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也许每一步数学方程演算都对应一个物理过程
于德浩
2020.6.18
数学方程为解决实际物理问题提供了方便。很多问题，我们只要能求解方程，就可以得到答案了。而不是像算术方法一样，要每一步都有物理意义，才能继续往下走。
举例，经典的鸡兔同笼数学问题。“鸡兔同笼，上面看有10个头，下面看有26只脚，请问鸡兔各几只？” 现在，我们都会很自然的用二元一次方程组的方法。x+y=10;4x+2y=26。从而可以解得兔子有x=3只，鸡有y=7只。
古代的人，或现代的小学生，在不会数学方程时，他们是怎么求解呢？ 他们的算术方法很巧妙。解法一，如果都算成10只鸡，那么就是10个头和20只脚。而实际是26只脚，多出来的6只就是兔子的。因为多一个兔子就会多出2只脚，所以就是3只兔子；剩下就是7只鸡了。解法二， 如果让所有的动物都抬起一半的脚，那么鸡的头与脚一样多，而兔子的头比脚少一个。 所以，26只脚的一半，就是10个动物的头对应10只脚，多出来的3只脚，就应该是兔子多出来的。所以，兔子就是3只。 解法三， 如果鸡和兔子都是一样多的各5只，那么就应该有30只脚。而实际中，有26只脚，说明兔子更少些，每少一只兔子就少2只脚。 少了4只脚，就是相对少了2只兔子，所以兔子是5-2=3只。
解法一，是对应方程其中一种消元法。 方程2-2*方程1，（4x+2y）-2(x+y)=26-2*10。也就是说，这种消元法，实际对应一种物理意义，就是“假设全是10只鸡，就有20只脚”。同样，解法二，对应另外的消元法，方程2/2-方程1，“都抬起一半的脚”。 虽然，从数学看，这两种消元法都类似，但各自对应的物理意义不同。
对于解法三，需要列出另外的方程。 x+y=10; 2(x-10/2)=26-(4+2)*10/2。方程组的第二个方程，就是“若兔子比一半的5只少一个，就对应少2只脚”。
我们现在想一想，代入法解方程，会对应什么样的物理意义呢？4x+2(10-x)=26。 这个求解的过程，实际就是指“如果减去最少的20只脚，多出来的，就是由兔子多出来的”，这与解法一的物理意义基本一致。
大部分的物理想法与数学方程都应该相互对应。 人们无法把物理想法对应成数学方程时，就会发明更多的数学工具。人们对一个数学求解过程或某个数学解找不到物理意义时，往往可能有新的物理发现。当然，我们常用的就是数学物理方法，先设想一个物理过程，从而有可能解出方程。 从物理到数学，这是经典的唯象物理，从实验数据归纳总结出物理规律，数学和计算机只是工具。从数学到物理，是现代的数学物理，从某个数学方程出发，试图给每一步数学演算及数学解，赋予一定的物理意义。 现在的机器学习和计算机AI，也许能帮助人们从更复杂更大量的数据中，发现新的物理规律。
我们考虑一个具体的简单问题。 如果初始100元，两年后是121元，请问年利率是多少？ 我们很容易的列出100(1+r)^2=121，解得年利息率r=10%。 其实，这里还有一个解，就r= -2.1，这一般被认为是一个增根，不合题意。因为，收益率r一般最低是-100%，即最多本金全部亏完，怎么可能是负的呢？ 实际中，还真发生了这样历史罕见的情形。比方说，今年2020年4月份出现了负油价。 如果，你10美元买入一桶原油，最后收盘是-21美元；而后来油价又大幅反弹到20美元，累计收益又是正值了。
其实，在加杠杆的期货或期权交易中，收益为负，还是很常见的。 比方说，原来有100万，2年后变成210万，是平均每年+40%的复利收益率吗？ 实际情形，可能是，第一年100万变成30万，第二年又变成210万。 也可能是，100万本金，杠杆融资900万，第一年大幅亏损，总资产从1000万变为500万，这就是-600%的收益率；第二年，总资产从500万又变到1700万，再减去大约400万的利息等费用，净资产就是300万。可以轻描淡写的说，“原来100万，两年后变成了300万。”
考虑期权定价的问题。平值期权的价格，大约占比正股价格涨跌幅标准差的一半，x=0.5*A。比方说，50ETF的股价是3.0元，月涨幅标准差是6%，那么剩余30天的平值认购期权的理论价格大约就占正股股价的3%，即0.0900元/份。市场价与这个理论价非常一致。
这个简单的定价公式，我们可以这么想象一下。 如果期权卖方收到x的权利金，那么期末他有50%的概率会赔钱。假设，股价末态要么在-1X的位置，要么在+1X的位置。于是就有x=0.5*A。 对于认购期权买方，他有50%的概率赔掉投入的权利金，有50%的概率会赚一笔钱。 0.5*x=0.5*（A-x），同样可以解出x=0.5A。
其实，这里我们隐含了3个约束条件的方程。胜率p，败率q，赔率b。p+q=1；p*b=q*1，b=1。 这里，我们可以解得p=0.5，q=0.5，b=1。 两个假设末态+1X与-1X是对称的。
如果，我们要求解虚值期权的价格，就要假设末态股价要么是d+A，要么是d-A，这显然就是不对称了，胜率p就不容易计算了。 假设虚一认购期权的行权价是3.06元，那么d=2%，其中标准差A=6%，就是说，假设的两个简化末态+4/3X与-2/3X是不对称的。
我们也可以根据平值期权去近似的计算虚一认购期权的价格。 仍然认为p=q=0.5，是+1X与-1X两个末态，但是收益不同了。对于卖方，x=0.5*（A-d）。 对于期权买方，可以列方程0.5*x=0.5（A-d-x）。这两种算法是一致的。 就是说，虚一期权的价格是平值期权减去一半的差值。即，如果平值3.00元认购期权是0.0900元，那么虚一3.06认购期权的理论价格是0.06元。 一般来说，现实中的市场价格大约是0.07元，也许这就是风险溢价。
我们也可以稍微精确的去计算一下+4X/3与-2X/3的概率。这与BS期权定价公式的期望值概率方法很像了。 1-N（1.33）=1-0.9082=0.09,N(-0.67)=1-0.7486=0.25; 所以，p/q=0.09/0.25=0.36。从而，p=0.265，q=0.735，b=2.78。再代入期权卖方的盈亏平衡方程，x=p*A，期权买方盈亏平衡，q*x=p*（A-x）。虚一期权的理论价格x=0.265*A。虚一3.06认购价格是0.265*6%*3.0=0.0477。这比市场价0.07小太多，哪儿算错了？ 也许没错。
对于虚值认购期权的买方来言，他是强烈看涨的，这个行权概率要比市场中性定价的0.265大，但要比平值的0.5行权概率要小。
市场价的数据拟合，行权概率p=0.3。 当50ETF的价格是2.852元时，行权价从2.7500-2.9500的5个合约价格依次是，0.1165，0.0823，0.0530，0.0324，0.0192。平值期权是0.0530元。 虚值行权价每上升一个0.05元档次，价格就减少40%。 另外，0.0530-0.5*0.05=0.028<0.0324市场价。
当前，2020.6.18日，50ETF价格是2.895元，剩余34天的平值期权2.9价格是0.0457元，虚一2.95是0.0276元，虚二3.0价格是0.0160，虚三认购3.1是0.0055元，虚四3.2是0.0022元/份。 这个也是行权价每上升0.05元，虚值认购期权的价格就减少40%，等比数列0.6。 实值期权大约是0.7，由于有了期权内在价值。 实一2.85价格是0.0719，实二2.8的是0.1046，实三2.75的价格是0.1421。 当前的隐含波动率很低，期权很便宜。 平值期权简化公式x=0.5A，反推的月涨幅标准差是0.03，比一般平均的月波动率6%低一半。
平值期权定价简化公式x=0.5A，还是很符合实际情形的。如果只是考虑剩余时间T，那么期权价格与T^0.5成正比，这也是符合真实市场数据的。实际就是整体分布的方差等于局部分布的方差之和。
如果考虑虚值期权的定价，行权概率就不是平值期权的市场中性的0.5了，应该要比这个小。 具体用正态分布概率近似去计算是0.265，但在用实际市场数据拟合中，虚一期权的行权概率是0.3，递推是0.6的等比数列。
也就是说，在中性市场假设下，平值期权有50%的概率，预期股价末态会到+1X处；虚一期权认为正股有30%的概率到末态+1X+d处。
如果股价末态涨幅是一个标准差大小，中性市场的观点是，股价随机波动到了+1X处。 而平值认购期权的买方观点，则认为末态是新的平衡态0X处，符合自己的看涨预期，而初态，是原来平衡态的末态，是当前分布的-1X处。 所以说，正股价格右边一个标准差处，是认购期权的一个平仓点。对于购买虚值期权的买家，他会更乐观，他的预期平仓点应该是+1X+d处。
不过，对于隐含波动率的估计，有难度。 我们不清楚，当前所处的新短周期的标准差是多大。有三种估计方法，一是当前历史波动率去近似。 比方说，当前最近20日的标准差是折成月标准差是3%，那么隐波就约等于3%。 二是，根据更多短周期的标准差平均值去近似，比方说，最近5年的月标准差平均是6%，那么当前隐波就近似为6%。三是，根据当前出现的最大长阳线去估计当前短周期的标准差。 比方说，出现一根+2%以上的长阳线，这可能暗示日标准差是1.8%，合月标准差8%。那么，我们就把短周期的标准差估计为8%。
具体案例，当前50ETF股价是2.9元，我们认为15天前的2020.6.1日是预估的上涨短周期起始日，初态是2.8元。 我们假设一个短周期大约20-30个交易日，如果估计标准差近似为6%，我们应该等到2.8*1.06=2.968元，平仓认购期权。
而如果我们比较保守估计标准差是较小的3%，那么在2.8*1.03=2.884元，就应该平仓。现在是2.906元，应该保守的平仓了结。
而如果我们乐观预估标准差是更大的9%，那么我们应该继续耐心、大胆的等到更高的高点3.052元再卖出认购期权平仓了结。
短周期的最高点一般会出现在第10-20个交易日，一般是第二根长阳线（日涨幅大于+2%）之后。 当前的短周期，从时间上看，基本到平仓点了；但从最大涨幅空间及长阳线数量来看，还不太够，还可以再等3个交易日到6月底。
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