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求证陆懋祖老师《高等时间序列经济计量学》上的一道题目，原题如下：

其中W（r）为标准维纳过程。
请给出详细证明过程。谢谢

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关键词：500论坛币 随机积分 0论坛币 论坛币 经济计量学

根据随机分析的一个定理：“非随机被积函数的Ito积分定理”（shreve金融随机分析第2卷，定理4.4.9），以int表示积分符号，我这里打不出那个积分符号。
int(rdW(r),0,1)是一个随机积分，可以把r 写成t，也就是 int(tdW(t),0,1)。
首先一点，这个随机积分，由于 被积分项是 t，这是一个确定的关于 t 的函数 f(t)=t, 它对W(t) 积分，因此是随机积分。根据上述定理，这个积分的结果是“一个服从正态分布的随机变量”。这个正态分布的特点是（正态分布只需要确定2个参数，均值和方差）：
均值=0；方差是一个积分值，等于 int(f(t)^2,0,1) ，由于f(t)=t, 所以int(f(t)^2,0,1)=int(t^2,0,1)=1/3  。
定积分：int(r^2,0,1) =1/3；
现在可以确定 int(rdW,0,1)=e，e是一个正态随机变量，其分布是： e~N(0, 1/3)

也就是上述那个积分值是一个取自正态分布的随机变量。也可以写作：
int(rdW,0,1)~N(0, 1/3)。这就是这个积分的答案。
而对于标准wiener过程W(t)，有 W(0)=0，
W(t)服从的分布是正态分布：N(0,t )，原因就是wiener的二次变差不是0，而是 t。
那么，W(1/3)~N(0,1/3) 。

这个结果就和上面第一步推导的一致。因此：int(rdW,0,1)=W(1/3) 。这个原因是：
W(1/3) 是一个正态分布的随机变量，也就是它在一个分布里面取任意值(进一步说明了随机积分它不是一个普通的定积分，积分后就是一个值；随机积分它积分后市一个随机变量，是不确定的值，只可以用分布来表示，当然还需要满足一定条件，就是“被积分函数是时间 t 的确定函数”)。
等价的写法，本来int(rdW,0,1)~N(0, 1/3)，而恰好W(1/3)~N(0,1/3) ，所以划等号了。
同理，你可以推广：W(1/4)~N(0,1/4)，W(1/5)~N(0,1/5) ...

现在把题目变换一下：比如 int(r*rdW(r),0,2)，那么由于 int(r*r,0,2)=8/3, 因此 int(r*rdW(r),0,2)~N(0,8/3),  因此可以写为：int(r*rdW(r),0,2)=W(8/3)。
如此，等等，中间被积分的可以是 r，也可以是sin(r),cos(r), r*r, r^3  等等...
x希望对楼主有帮助？您可以参考shreve金融随机分析第2卷(中文版上海财大翻译出版，P120 定理4.4.9)。
祝楼主好运！

如果回答正确，我只要100币。呵呵，不那么贪心哦

2# qh19810
我要看到具体的计算过程啊！

无论如何，还是谢谢2楼的同学。

根据随机分析的一个定理：“非随机被积函数的Ito积分定理”（shreve金融随机分析第2卷，定理4.4.9），以int表示积分符号。
int(rdW,0,1)是一个随机积分，其均值=0，方差= int(r^2,0,1) 的正态分布变量。
而 int(r^2,0,1) =1/3，这是一个定积分；也就是 int(rdW,0,1)~N(0, 1/3)，
正好 W（1/3）~N(0, 1/3),  注意：W(0)=0，所以 你那个式子成立。
哈哈  我吧二楼的答案复制一下 表示赞同  给我十个论坛币就好  哈哈

随机分析真是高深的学问。。。后悔没好好学

好难啊。。。。哪位高人快来解释下吧

膜拜一个 回复高深 其实也还好

2楼的朋友，这个积分的结果是一个服从参数为1/3的标准维纳过程，而不是一个正态分布。
用分部积分法就可以积出来，楼主可以用分部积分法自己试试。