[量化金融] 线性信用风险模型 [推广有奖]

应计利息Viai（t，t，tM）由或有现金流和加权零回收息票债券的总和给出，因此其计算遵循命题2.5和2.6。或有现金流系列实际上等于违约时支付τCD的单个或有付款*（t，tM）=MXj=1Ehτe-r（τ-t） {tj-1<τ≤tj}Gti=Ehτe-r（τ-t） {t<τ≤tM}Gti。使用标识{tj-1<τ≤tj}={τ>tj-1}-{τ>tj}我们得到Viai（t，t，tM）的第二项由下式给出-MXj=1Ehe-r（τ-t） tj公司-1{tj-1<τ≤tj}Gti=MXj=1tj-1（CD（t，tj）- CD（t，tj-1） ）=tM-1CD（t，tM）- 经颅多普勒（t，t）-M-1Xj=1（tj- tj公司-1） CD（t，tj）。命题2.11的证明Nu的条件特征函数由φ（t，ξ）=Ehexp给出iξNuF∞∨ Gti=EhexpiξNXi=1{τi≤u}F∞∨ Gti=EhNYi=1{τi>u}+eiξ（1-{τi>u}）F∞∨ Gti=NYi=1{τi>t}Sit（Siu+eiξ（Sit- Siu））+{τi≤t} eiξ=NYi=1eiξ+{τi>t}（1- eiξ）SiuSit其中，第三行中的第一个等式来自（Bielecki和Rutkowski，2002年，引理9.1.3），它给出了表达式{τ>t，…，τN>t}| Ft∨ 燃气轮机=NYi=1{τi>t}位。

（53）表达式（18）随后直接应用离散傅立叶变换，详情请参见（Ackererand Vatter 2017，第3节）。命题证明2.12通过对所有可能的违约事件SQ（α）=NYi=1施加条件，CDIS期权的支付时间始终可以分解为2Nterms（{τi>t}）αi+（{τi≤t} ）1-αi（54）对于α∈ {0，1}N，并使用约定0=0，以便payoff函数重写NXi=1{τi>t}Sitψicds（t，t，tM，k）>YtXt公司+ （1）-δ） {τi≤t}+=Xα∈{0,1}NNXi=1αiSitψicds（t，t，tM，k）>YtXt公司+ （1）-δ)(1 - αi）+q（α）。我们可以应用（Bielecki和Rutkowski 2002，引理9.1.3）来计算概率（53），因此通过将（54）写成指示函数的线性组合，我们可以得到q（α，t，t）=E[q（α）| Ft∨ Gt]=NYi=1（Sit）αi（Sit- Sit）1-αiSit{τi>t}+（{τi≤t} ）1-αi这就完成了证明。定理3.1的证明我们定义了有界连续映射（Y，X）：R1+m→ R1+mbyY（y，x）=y+∧ 1，Xi（y，x）=x+i∧ y型+∧ 1，i=1，m、 这样，E上的（Y，X）（Y，X）=（Y，X）。类似地，将色散矩阵∑（Y，X）扩展到R1+m上的丰富连续映射∑（（Y，X）（Y，X））。然后，随机微分方程（21）扩展到R1+mbydYt=-γ> X（Yt，Xt）dtdXt=（bY（Yt）+βX（Yt，Xt））dt+∑（（Y，X）（Yt，Xt））dWt。（55）由于（55）的漂移和色散在R1+m上是有界和连续的，对于（Y，X）的任何初始定律（Y，X）存在（55）的弱解（Y，X），并以E为支撑，请参见（Karatzas和Shreve 1991，定理V.4.22）。现在我们证明了（55）的任何弱解（Y，X）（Y，X）∈ E保持在E（Yt，Xt）∈ E代表所有t≥ 为此，对于i=1，m、 注意，∑ii（（Y，X）（Y，X））=0表示所有（Y，X）和xi≤ 0或xi≥ y、 （57）条件（24）意味着（由（y）+βX（y，X））i≥ 0表示所有（y，x）和xi≤ 0

（58）对于δ， > 0我们定义τδ，= inf{t≥ 0 | Xit≤ - 和- < 对于所有s，Xis<0∈ [t- δ、 t）}。然后在{τδ上，< ∞} 根据（57）和（58），0>Xiτδ，- Xiτδ，-δ=Zτδ，τδ，-δ（bY（Yu）+βX（Yu，Xu））idu≥ 0，这很荒谬。因此τδ，= ∞ a、 因此退出≥ 0表示所有t≥ 同样，条件（25）暗示-γ> X（y，X）-（bY（y）+βX（y，X））i≥ 0表示所有（y，x）和xi≥ y、 （59）使用与Yt相同的参数- Xit代替Xit，（59）代替（58），我们看到Yt- 退出≥ 0表示所有t≥ 0。请注意，0≤ γ> X（y，X）≤ γ> 1y+代表所有（y，x），然后1≥ 年初至今≥ e-γ> 所有t的1t>0≥ 这证明了（56），从而证明了（21）的E值解的存在性。（21）的E值解（Y，X）的唯一性来自（Filipovi\'c和Larsson2016，定理4.2）和E相对紧的事实。多项式p（y，x）=xind y的边界未达到条件（26）–（27）来自（Filipovi\'c and Larsson 2016，定理5.7（i）和（ii））- xi，对于i=1，m、 引理4.1矩阵A的证明*在LHCC模型中，由A给出*=-r-γ0 00-（κ+r）κθ0···。。。。。。θm0-（κm+r）因此它的行列式等于| A*| = -r-（κ+r）κθ0··。。。。。。0 0 -（κm+r）+ (-1） m级-γ0 0-（κ+r）κθ0···。。。。。。0-（κm+r）κmθm.r>0时，右侧的第一个元素为非零，符号等于(-1） 1+和第二个元素的符号也等于(-1） 这是因为三角形矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积。因此*是非零，这就结束了证明。公式（39）的证明，i=1，对于所有t，我们有d（1/Yt）=γZ1t/Yt≥ 因此Z的动力学由dzit=（κiθiZ（i+1）t给出- κiZit+γZ1tZit）dt+σipZit（1- Zit）dWit，对于i=1。

，m-1，bydZmt=（κmθm- κmZmt+γZ1tZmt）dt+σmpZmt（1- Zmt）dWmtFixing Z1t=(R)u1t并求解Zmt的值，该值抵消了其漂移，我们得到了umt=-κmθm′u1tγ- κm，并递归求解i=m- 1.1给出（39）。引理4.4We的证明Z（t，tM，k）的n次方重写sz（t，tM，k）n=ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司n=ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司Xα>1=n-1cπ（α）hπ（α）（Yt，Xt）=1+mXi=1Xα>1=n-1cπ（α）ψcds（t，t，tM，k）ihπ（α+ei）（Yt，Xt）这是一个包含所有且仅包含n次多项式的多项式，引理通过改变项来遵循。命题5.3的证明零息票零回收债券的时间t价格现在由bz（t，tM）=EhD*****t{τ>tM}给出Gti={τ>t}DtStEhDtMStMFti={τ>t}（a>rYt）（a>Yt）Eh（a>rYtM）（a>YtM）Fti={τ>t}a>ZYta> ZeA（tM-t）YtXt公司应用引理A.1。类似地，对于引理A.2的或有现金流，我们有-r（τ-t） {t≤τ≤tM}Gti=f（τ）{τ>t}StDtZtMtEh- f（s）DsdSsFti={τ>t}（a>rYt）（a>Yt）ZtMtf（s）Eh-（a>rYs）（cYs+γXs）Ftids={τ>t}a>ZYtZtMtf（s）a>DeA（s-t） ds公司YtXt公司f（s）等于s或1，这就完成了证明。命题5.5的证明L'evy Kintchine定理表明ψ（u）=bZu+Z∞（1）- e-uξ）νZdξ。

（60）我们通过应用Sylvester公式eUDU得出结论-1=UeDU-1并使用（51）中的（60），如下所示“A=bZUDU”-1+Z∞（eUDU-1ξ- Id）νZdξ=bZUDU-1+Z∞（UeDξU-1.- U U-1） νZdξ=-UbZ公司(-D） +Z∞（Id）-e-(-D） ξ）νZdξU-1=-Uψ（D）U-公式（52）的证明公式（51）中的矩阵“A”重写了“A=Z”∞（吃- Id）γZt-1e级-λZtdt=γZ∞Xk=1Akk！Z∞tk公司-1e级-λZtdt=γZ∞Xk=1Akk！Γ（k）λkZ=γZ∞Xk=1Aλ-1Zkk=-γZlog（Id-Aλ-1Z）其中第二个等式来自矩阵指数的定义，第三个等式来自伽马函数及其整数值的定义，最后一个等式来自矩阵对数的定义。B风险规格的市场价格我们讨论了风险规格的市场价格（MPR），使得X在实际世界衡量标准P下也存在线性漂移~ Q、 这可能进一步促进LHC模型的经验估计。设∧（Yt，Xt）表示时间t MPR，使得Xtunder P的漂移变为uPt=bYt+βXt+∑（Yt，Xt）∧（Yt，Xt）。对于某些向量bP，它在（Yt，Xt）中呈uPt=bPYt+βPXt形式的线性∈ RMAD矩阵βP∈ Rm×m，当且仅当∧i（y，x）=（（bP- b） s+（βP- β） x）iσipxi（y- xi），i=1，m、 （61）为了使∧（Yt，Xt）得到很好的定义，并引起等效的测量值变化，即氡浓度-尼古丁密度过程expZt∧（Yu，Xu）dWu-Ztk∧（Yu，Xu）kdu（62）是一个一致可积的Q-鞅，我们需要（Y，X）不能达到E的所有边界部分。下面的定理对此进行了说明，该定理源自（Cheridito，Filipovi\'c和Yor2005）。定理B.1（61）中的MPR∧（Yt，Xt）得到了很好的定义，并导出了一个等价的度量~ 具有氡-尼科德姆密度过程（62）的Q，如果对于所有i=1，m、 Xi0∈ （0，Y）和（26）–（27）对于Q漂移参数β，b和P漂移参数βP，b保持不变，以代替β，b。如果对于某些i=1。

，m，βPij=βij对于所有j 6=i和（i）bPi=bi，使得∧i（y，x）=（βPii- βii）√xiσi√y- xi，如果Xi0∈ [0，Y）而不是Xi0∈ （0，Y）和（24）而不是（26）适用于βij，bi，因此适用于βPij，bPi。（二）bPi- bi=βPii- βii，使得∧i（y，x）=（βPii- βii）√y- xiσi√xi，如果Xi0∈ （0，Y）而不是Xi0∈ （0，Y）和（25）代替（27）适用于βij，bi，因此适用于βPij，bPi。通常采用线性漂移保持测度变化的假设是为了节省开支和简化经验估计过程。例如，在（Duffee 2002年），（Duarte 2004年）和（Cheridito，Filipovi\'c，和Kimmel 2007年）等中，从理论和实证上研究了维持风险因素本质的MPR规范。C切比雪夫插值本附录描述了如何在一个角[a，b]×[C，d]上执行任意函数的切比雪夫插值 R、 第一类切比雪夫多项式取[-1，1]，但可以移动和缩放，以形成[a，b]的基础。在这种情况下，它们由以下递归公式给出，ta，b（x）=1Ta，b（x）=x- uσTa，bn+1（x）=2（x- u）σTa，bn（x）- Ta，bn-1（x），u=（a+b）/2，σ=（b）-a） /2。然后，区间[a，b]的切比雪夫节点由xa给出，bj=u+σcos（zj），zj=（1/2+j）πN+1，对于j=0，N、 N阶多项式插值ispN（s，x）=NXn=0NXm=0cn，mTa，bn（s）Tc，dm（x），其中系数由cn给出，m=2{n6=0}+{m6=0}NXi=0NXj=0fxa、bi、xc、djcos（n zi）cos（m zj）（n+1）。通过应用克伦肖方法或离散余弦变换，可以有效地计算系数。这种直接的插值有利于防止龙格现象。