[量化金融] 具有零Hurst参数的分数布朗运动：一种粗糙波动率 [推广有奖]

自IH2,4起(-t，-s） =IH2,4（t，s），我们有IH2,4(-t，-s）-小时（2H+2）≤ 左侧（t，s）。案例3：假设-s<0<t和s≤ t、 回想一下，当-s<0<t，IH2,4（t，-s）-H（2H+2）=2H（2H+2）ts（t+s）（（t+s）2H- 1) - t（t2H- 1) - s（s2H- 1).自从s<t以来s2H（2H+2）ts（s2H- 1)≤2H（2H+2）| s2H- 1|.使用泰勒展开，我们得到（t+s）2H- t2H型≤ 2Ht2H-1秒，2小时（t+s）（（t+s）2小时- 1) - t（t2H- 1)|≤2 HTS|（t+s）（（t+s）2H- 1) - （t+s）（t2H- 1） |+|（t+s）（t2H- 1) - t（t2H- 1)|≤2 HTS2H（t+s）t2H-1s+| t2H- 1 | | s+2st|≤ （t+s）2H+2H | t2H- 1|.因此IH2,4（t，-s）-小时（2H+2）≤2H | s2H- 1 |+小时| t2H- 1 |+（t+s）2H：=左侧（t，s）。案例4：假设-s<0<t和t<s。重复与案例3相同的行，但交换t和s的角色，我们得到IH2,4（t，-s）-小时（2H+2）≤ 左侧（s、t）。案例5：假设-t<0<s和t<s.自IH2,4起(-t、 s）=IH2,4（s，-t） ，从案例3可以看出IH2,4(-t、 s）-小时（2H+2）≤ 左侧（s、t）。案例6：假设-t<0<s和s<t。再次使用IH2,4(-t、 s）=IH2,4（s，-t） ，我们从案例4得到IH2,4(-t、 s）-小时（2H+2）≤ 左侧（t，s）。最后，我们显然拥有ZRZRsupH公司∈(0,1/2)左（s，t）+左（t，s）+左（s，t）+左（t，s）φ（t）φ（s）dt ds<∞.因此，我们使用支配收敛theo-rem得出结论。在证明推论2.2之前，我们回顾了文献[30]中示例2.2中对数+（1/| x |）的近似值。对于任何x∈ R我们将圆锥C（x）定义为R×R+：C（x）=n（y，t）∈ R×R+|x个- y |≤t型∧ 1o。直接计算给定SF（x）=ZC（0）∩C（x）dy dtt=对数+| x |。我们用以下函数来近似f，~fε（x）：=ZC（0）∩C（x）；ε<t<∞dy dtt，对于ε>0。

（3.5）定理25推论2.2的证明我们从（3.3）得到推论2.2，前提是我们证明{ξH}H∈（0,1）一致可积。首先要注意的是，所有ξH，0<H<1，都可以构造在相同的概率空间上，作为具有依赖于H的不同核的相同布朗运动的演化（见[27]）。从（3.2）和（3.4）中，我们得到δ≤ s、 t型≤ 1，KH（s，t）≤2H | 1- |t型- s | 2H |+2H | s2H- 1 |+2H | t2H- 1 |+（t- s） 2H+C≤2H | 1- |t型- s | 2H |+C（δ）。使用1- e-x个≤ x对于x>0，我们得到所有δ≤ s、 t型≤ 1，KH（s，t）≤ -对数| t- s |+C（δ）。另一方面，对于δ≤ s、 t型≤ 1我们有KH（s，t）≤2H+C（δ）。它紧跟着撒切尔（s，t）≤2小时∧ 对数| t- s |+C（δ）=对数| t- s |∨e-2H+C（δ）。Letε∈ （0，1）可以任意小。LeteXε是一个中心高斯随机场，具有子午线核|fε+C（δ），其中|fε在（3.5）中给出，即eKε（t，s）：=e[eXεteXεs]=|fε（t- s） +C（δ），-∞ < t、 s<∞.自ε∈ （0，1），我们从（3.5）得出0<x≤ 1，~fε（x）=ZC（0）∩C（x）；ε<r<∞dy drr=Z∞x个∨εdrrZ（r∧1） /2倍-（r）∧1） /2天=-日志（x∨ ε) -xx号∨ε+ 1.注意，fε是一个偶数函数，因此，eKε（t，s）≥ 对数| t- s |∨ε+C（δ），0<t，s≤ 我们定义了以下测量值ξεγ（dt）=eγeXεt-γE[（eXεt）]dt，δ≤ t型≤ 1、回想一下，根据我们的假设，γ<2。然后，从[32]中命题3.5的结果来看，存在p=p（γ）>1，因此supε>0Eeξεγ（[0，1]）p< ∞.通过选择H=H（ε）=(-2对数ε）-1，我们注意到KH（s，t）≤eKε（s，t），根据F（x）=xp的比较原理（见[32]中的推论A.2），我们得到∈（0,1）EξHγ（[δ，1]）p< ∞.因此，我们得出结论{ξH}H∈（0,1）一致可积。致谢我们非常感谢Vincent Vargas，一位匿名推荐人和助理编辑，他的许多有用的评论使我们能够显著改进本文。参考文献【1】E.Bacry、J.Delour和J.F.Muzy。多重分形随机游走。

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