具有零Hurst参数的分数布朗运动：一种粗糙波动率

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英文标题：
《Fractional Brownian motion with zero Hurst parameter: a rough volatility
  viewpoint》
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作者：
Eyal Neuman and Mathieu Rosenbaum
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Rough volatility models are becoming increasingly popular in quantitative finance. In this framework, one considers that the behavior of the log-volatility process of a financial asset is close to that of a fractional Brownian motion with Hurst parameter around 0.1. Motivated by this, we wish to define a natural and relevant limit for the fractional Brownian motion when $H$ goes to zero. We show that once properly normalized, the fractional Brownian motion converges to a Gaussian random distribution which is very close to a log-correlated random field.
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中文摘要：
粗糙波动率模型在定量金融中越来越流行。在这个框架中，我们认为金融资产的对数波动过程的行为接近于分数布朗运动，赫斯特参数约为0.1。基于此，我们希望在$H$为零时，定义分数布朗运动的一个自然的和相关的极限。我们证明，一旦适当归一化，分数布朗运动收敛到高斯随机分布，该分布非常接近对数相关随机场。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Fractional_Brownian_motion_with_zero_Hurst_parameter:_a_rough_volatility_viewpoint.pdf (169.71 KB)

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关键词：分数布朗运动 hurst 布朗运动 Urs 波动率

Hurst参数为零的分数布朗运动：一种粗糙波动性观点Eyal Neuman*, Mathieu Rosenbaum+2018年5月17日AbstractRough波动率模型在定量金融领域越来越流行。在这个框架中，我们认为金融资产的对数波动率过程的行为接近于分数布朗运动，赫斯特参数约为0.1。基于此，我们希望定义当H为零时分数布朗运动的自然和相关极限。我们表明，一旦适当归一化，分馏布朗运动收敛到高斯随机分布，该分布非常接近于所有相关随机场。关键词：分数布朗运动、对数相关随机场、粗糙波动性、多重分形过程。1简介分数布朗运动（简称fBm）是许多领域中非常流行的建模对象，如水文学[29]、电信和网络传输[23,28]等，以及金融，见开创性论文[11]。A fBm（BHt）t∈R带Hurstparameter H∈ （0，1）是一个零均值高斯过程，协方差核由[BHtBHs]给定=|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H.它具有固定增量，并且与参数H自相似，即（BHat）t∈Rhas与（aHBHt）t的定律相同∈R对于任何a>0。此外，fBm的样本路径几乎肯定具有H¨older正则性H- ε对于任何ε>0的情况。促使在上述应用中使用fBm的主要概率特征之一是，当H>1/2时，增量的长记忆特性。

这意味着对于H>1/2，我们有+∞Xi=1Cov[（BHi+1- BHi），BH]=+∞.因此，fBm增量的自共变函数衰减缓慢，这在建模相对现象时很有趣。*伦敦帝国理工学院数学系，e。neumann@imperial.ac.uk+'马修CMAP理工学院。rosenbaum@polytechnique.eduHowever最近，在[20]中引入了一种新的范式，用于fBm融资。事实上，对金融时间序列的仔细分析表明，对数波动性过程，即资产价格变化的强度，实际上表现为与赫斯特参数为0.1阶的afBm类似。因此，使用带有smallHurst参数的fBm进行波动率建模的各种方法已被引入。这些模型被视为粗糙波动率模型，有关更多细节和实际应用，请参见[4、5、6、8、13、14、16、21]。在研究数千项资产的波动过程时，发现了如此小的H估计值（介于0.05和0.2之间），见【7】。因此，一个自然的问题是当H被发送到零时，fBm在极限情况下的行为。当然，在协方差函数中直接输入H=0不会导致相关的过程。因此，在这项工作中，我们希望建立一个合适的归一化FBM序列，并将其极限描述为Hgoes为零。这将为我们提供H=0时分数布朗运动的可能定义。请注意，几位作者已经定义了H=0的分数布朗运动，参见第[19]节。这通常通过正则化过程完成。从财务角度来看，我们的方法非常简单，可能更自然。我们选择对过程进行规范化，以获得非退化极限，而不是对过程进行正则化。

我们的标准化过程序列（XH）H∈（0,1）通过xht=BHt定义-tRtBHudu公司√H、 t型∈ R、 其中XH=0。减去分子中的积分并除以√当H变为0时，H使我们的序列能够得到一个非平凡的极限。我们的主要结果是，XH在温度分布空间中被视为随机m元素，向近似对数相关的高斯场收敛。表示实Schwartz空间，即R上的实值函数集，其所有阶的导数都存在且衰减速度比任何多项式都快。我们为S的二次方写S′，即回火分布的空间。我们还定义了实Schwartz空间的子空间，该子空间由函数φfrom S（rrφ（S）ds=0）及其拓扑对偶S′/R组成。对数相关高斯函数（简称LGF）X∈ S′/R是一个中心高斯场，其协方差核满足[hX，φihX，φi]=ZRZRlog | t- s |φ（t）φ（s）dt ds，对于任意φ，φ∈ S、 有关LGF的概述，请参见[12]。我们在本文中表明，XHas H为零的极限“几乎”是一个对数相关高斯场，准确结果见第2节。LGF与Mandelbrot开创的一些多重分形过程密切相关（参见示例[26]），并在[1、2、3、9]等中进一步发展。A过程（Yt）t≥如果对于q的一系列值，我们对于一些T>0E|年初至今+l- Yt | q~ C（q）lζ（q），对于0<l ≤ T、 其中C（q）>0是常数，ζ（·）是非线性凹函数。特别是，用于资产原木价格的多重分形随机游走模型[1]满足此类属性。定义为Yt=BM（[0，t]），其中B是布朗运动，m（t）=liml→0σZtewl（u）du，a.s.，具有σ>0和wla高斯过程，使得对于某些λ>0和T>0Cov[wl（T），wl（T′）]=λlog（T/| T- t′|），对于l<t- t′|≤ T、 详见【2】。

因此，我们看到M形式上对应于formexp（Xt）dt的度量，其中X是LGF。关于这些度量的精确定义，请参见[22]和[30、31、32]中关于高斯乘性混沌的推广以及其中的参考文献。最后，请注意，LGF和更普遍的高斯乘子理论在金融以外的其他领域有着广泛的应用，如湍流，见【10，18】，无序系统，见【17，25】和刘维尔量子引力，见【30，31】。在下面的章节中，我们介绍了我们的主要定理，这是一个关于H为零时归一化fBm向LGF收敛的精确陈述。我们还讨论了同一作用下极限LGF的多重分形性质。我们定理的证明可以在第3.2节fBM向LGF2的收敛中找到。1主要结果定义了S′中元素的弱收敛，如[24]中的命题12.2所示。我们说，对于任意φ，当H趋于0时，xh弱收敛于X∈ 我们有hxh，φi→ hX，φi，在定律中，当H趋于0时。本文的主要结果如下。定理2.1。

序列{XHt}t∈当H趋于零时，R弱收敛于满足任意φ，φ的中心高斯场X∈ SE[hX，φihX，φi]=ZRZRK（t，s）φ（t）φ（s）dt ds，其中-∞ < s、 t<∞, s 6=t和s，t 6=0K（t，s）=对数| t- s |+g（t，s），其中g（t，s）=tZtlog | s- u | du+sZslog | t- u | du-tsZtZslog | u- v | dudv。我们看到，当t，s>δ，对于某些δ>0时，g（t，s）是有界连续函数。因此，协方差核显示出与LGF相同的奇异性类型。因此，在我们的框架中，当H变为fBm规范化版本的z ero时，限制是“几乎”LGF。2.2多重分形性质在[30]中，作者研究了任何领域D上以Ga-ussian油田为中心的情况 具有协方差核的R为fyingK（x，y）=log+| x- y |+f（x，y），x，y∈ D、 （2.1）其中log+（x）：=max{0，log x}，f（x，y）是有界连续函数。因此，如果对于某些固定δ>0，我们将X限制在域[δ，1]，那么X包含在fra meworkof[30]中。特别是，他们关于高斯场多重分形谱的结果适用于这一更严格的领域。受前面段落ph的启发，我们首先确定δ>0，并通过ξHγ（dt）=eγXHt确定近似的进化度测量值ξHγ-γE[（XHt）]dt，δ≤ t型≤ 1，对于某些常数γ>0。这里我们假设ξHγ（·）在[δ，1]c上消失。根据定理2.1的结果，我们推导出以下推论。在下文中，Lnorm中的收敛表示L.推论2.2中随机变量的通常收敛。γ<√2，{ξHγ}H∈（0,1）当H接近零时收敛到以下意义下的随机测度ξγ，ZRφ（t）ξHγ（dt）L→ZRφ（t）ξγ（dt），对于所有φ∈ S、 此外，极限测度ξγ是所谓的高斯乘性混沌。第3节给出了推论2.2的证明。关于Gaussia n多重复制混沌的定义和性质，我们参考了Rhodes和Varg的调查论文[30]。

我们将从高斯乘性混沌理论简要解释ξγ的一些性质。我们首先描述ξγ矩的行为。注意，对于t∈ [δ，1]，K表示m（2.1）。从[31]中的命题2.5可以看出，对于所有t∈ （δ，1）和Q∈ (-∞, 2/γ），存在C（t，q）>0，这样eξγB（t，r）q]~ C（t，q）rζ（q），作为r→ 0，其中ζ（q）=（1+γ/2）q-γq/2。因此，我们确实获得了引言中描述的多重分形标度。最后，我们考虑一个与上述函数ζ密切相关的量：ξγ的奇异谱。对于任何0<γ<√2和0<r<√2/γ，我们定义为负γ，r=x个∈ (δ, 1); limε→0logξγ（B（x，ε））logε=1+- rγ.集合Gγ，rsomehow对应于点x，其中ξγ的H¨older正则性等于1+（1/2- r） γ。设dimH（A）表示集合A的Hausdorff维数。【31】中的定理2.6表明dimH（Gγ，r）=1-特别地，我们注意到dimH（Gγ，r）=infp∈Rnp公司1 +- rγ- ζ（p）+1o。这个等式意味着，在我们的例子中，将一个过程的标度指数与其奇点谱联系起来的弗里什-帕里西猜想成立，有关多重分形形式的更多细节，请参见[15]和[30]。本文的其余部分致力于定理2的证明。定理2.1和推论2.2.3的证明。对于t，s∈ R、 设KH（t，s）=E【XHtXHs】。我们以以下重要事项开始本次公关活动。引理3.1。对于任何非零-∞ < s、 t<∞ 对于s 6=t，我们有LimH→0KH（t，s）=K（t，s）。（3.1）证据。

我们写KH（t，s）=IH（t，s）+IH（t，s）+IH（t，s）+IH（t，s），whe-reIH（t，s）=-2H | t- s | 2H，IH（t，s）=2HtZt | s- u | 2Hdu，IH（t，s）=2HsZs | t- u | 2Hdu，IH（t，s）=-2HstZtZs | u- v | 2Hdudv（3.2）和K（t，s）=I（t，s）+I（t，s）+I（t，s）+I（t，s），whe-reI（t，s）=log | t- s |，I（t，s）=tZtlog | s- u | du，I（t，s）=sZslog | t- u | du，I（t，s）=-stZtZslog | u- v | dudv。我们有KH（t，s）=KH（s，t）和K（t，s）=K（s，t），所以我们可以假设-∞ < s<t<∞.注意，对于任何s 6=t，IH（t，s）+2H=-2小时e2H对数| t-s|- 1.因此利姆→0IH（t，s）+2H=-对数| t- s |=I（t，s）。接下来我们讨论IHi，i=2。。。，我们考虑了几个案例。情况1：假设0<s<t。

我们很容易得到（t，s）+IH（t，s）=2H（2H+1）tst2H+2+s2H+2- （t- s） 2H+2.对于IH（t，s），请注意ZT | u- v | 2Hdu=2H+1v2H+1+2H+1（t- v） 2H+1。因此我们得到zszt | u- v | 2Hdudv=（2H+1）（2H+2）t2H+2- （t- s） 2H+2+s2H+2因此，h（t，s）=-2H（2H+1）（2H+2）tst2H+2+s2H+2- （t- s） 2H+2.定义2,4（t，s）=Xi=2hi（t，s）。因此，IH2,4（t，s）=2H（2H+2）tst2H+2+s2H+2- （t- s） 2H+2.因此我们有iH2，4（t，s）-H（2H+2）=2H（2H+2）tst2H+2+s2H+2- （t- s） 2H+2-2H（2H+2）tst+s- （t- s）=2H（2H+2）tst（t2H- 1） +s（s2H- 1) - （t- s） （（t- s） 2小时- 1).因此，limH→0IH2,4（t，s）-H（2H+2）=2tst日志t+slog s- （t- s） 日志（t- s）安德林→0IH2,4（t，s）-2H=2tst日志t+slog s- （t- s） 日志（t- s）-.我们也很容易得出，对于0<s<tI（t，s）+I（t，s）=stt日志t+slog s- （t- s） 日志（t- s）- 2、此外，Ztlog | u- v | du=v log v+（t- v） 日志（t- 五）- t、 因此，我们得到zsztlog | u- v | du dv=-st+s（2对数s- 1） +t（2对数t- 1)-（t- s） （2对数（t- s）- 1)=t日志t+slog s- （s）- t） 日志（s）- t）- 第三我们推导出i（t，s）=-2tst日志t+slog s- （s）- t） 日志（s）- t）+.现在定义2,4（t，s）=Xi=2Ii（t，s）。我们有2,4（t，s）=2stt日志t+slog s- （t- s） 日志（t- s）-.最后我们得到了→0IH2,4（t，s）-2H=I2,4（t，s），其中（3.1）很容易遵循0<s<t<∞.案例2：假设-∞ < s<t<0。我们使用thatKH（t，s）=KH(-t，-s） =KH(-s-t） K（t，s）=K(-t，-s） =K(-s-t） 根据案例1的证明推断（3.1）。案例3：假设s<0<t。我们写s=-u、 重复案例1中的相同步骤，我们得到2,4（t，-u）-H（2H+2）=2H（2H+2）tu（t+u）（（t+u）2H- 1) - t（t2H- 1) - u（u2H- 1),andI2,4（t，-u） =2ut（t+u）对数（t+u）- t日志t- ulog u-.下面是thatlimH→0IH2,4（t，-u）-2H=I2,4（t，-u） 我们得到（3.1）。Letφ，φ∈ S

由于X和X是以S′为中心的高斯数，为了证明定理2.1，它足以证明limh→0E[hXH，φihXH，φi]=ZRZRK（t，s）φ（t）φ（s）dt ds。此外，对于任何H∈ （0，1）我们有[hXH，φihXH，φi]=ZRZRKH（t，s）φ（t）φ（s）ds dt。因此，orem 2.1紧接着是下一个引理。引理3.2。对于任意φ，φ∈ S、 林氏→0ZRZRKH（t，s）φ（t）φ（s）ds dt=ZRZRK（t，s）φ（t）φ（s）ds dt。（3.3）证明。首先请注意，对于x≥ 0, 1 - e-x个≤ x、 因此，对于任何0<| t- s |≤ 1,|1 - |t型- s | 2H | 2H=2H（1- e2H对数| t-s |）≤ -对数| t- s |。此外-Z Z | t-s|≤1log | t- s | |φ（t）| |φ（s）| dt ds≤ -kφk∞ZR |φ（t）| Z | v|≤1log | v | dv dt=-2kφk∞ZR |φ（t）| Zlog（v）dv dt≤ Ckφkkφk∞.因此，从主导收敛来看，它遵循thatlimH→0Z Z | t-s|≤11- |t型- s | 2H2Hφ（t）φ（s）dt ds=-Z Z | t-s|≤1log | t- s |φ（t）φ（s）dt ds。设f（x）=x2H/（2H），其中x>0且H∈ (0, 1/2 ). 因为f是凹的，对于任何x≥ 1，我们有0≤ f（x）- f（1）≤ f′（1）（x）- 1). 因此，对于任何| t- s |≥ 1，| | t- s | 2H- 1 | 2H≤ |t型- s |- 1.≤ 2（| t |+| s |）。自Cez Z | t起-s |>1（| t |+| s |）|φ（t）|φ（s）| dt ds<∞,我们从占主导地位的convergencelimH→0Z Z | t-s |>11- |t型- s | 2H2Hφ（t）φ（s）dt ds=-Z Z | t-s|≥1log | t- s |φ（t）φ（t）dt ds。这还需要证明Limh→0ZRZRIH2,4（t，s）-2小时φ（t）φ（s）dt ds=ZRZRI2,4（t，s）φ（t）φ（s）dt ds。我们再次考虑几个案例。案例1：假设0<s<t。我们显然有2H（2H+2）ts | s2H- 1| ≤2H（2H+2）| s2H- 1|.此外，通过泰勒展开，我们得到了t2H-（t-s） 2小时≤ 2H（t-s） 2小时-1s及其后2 HTS | t（t2H- 1) - （t- s） （（t- s） 2小时- 1)|≤2 HTS|t（t2H- 1) - （t- s） （t2H- 1） |+（t- s） （t2H- 1) - （t- s） （（t- s） 2小时- 1)|≤2 HTS|t2H型- 1 | | s- 2st |+2H（t- s） （t- s） 2小时-1秒≤H | t2H- 1 |+（t- s） 2小时。因此，对于任何0<s<t，IH2,4（t，s）-小时（2H+2）≤2H | s2H- 1 |+2H | t2H- 1 |+（t- s） 2H：=左侧（t，s）。（3.4）情况1bis：假设0<t<s。由于IH2,4（t，s）=IH2,4（s，t），我们将tIH2,4（t，s）-小时（2H+2）≤ 左侧（s、t）。案例2：假设-∞ < -t，-s<0。