[量化金融] LSMC最优回归设计的一个方面 [推广有奖]

κ商（nXTX）- 1×N-1（对数N）s对于m=1，图3。V（Д）最大值，对于m=1，25、我们这里只计算了m=25的V（Д）max，因为在数字上很难给出精确的值，V（Д）max增长很快；对于m=30，它已经>10。影响必要模拟数量的另一个因素是：o低差异序列的收敛常数C：众所周知的现象是，不同低差异序列收敛到均匀分布的速度不同，参见例如[Nie92]，定理3.6。图4显示了κ（nXTX）的收敛速度- 1.→ 0 forN→ ∞ 取决于所选的低差异序列（将Legendrepolynomals移位到2级，即m=3，以及baseb中的van der Corput序列）。理论上，预计C会随着b的增加而增长，再次参见【Nie92】，定理3.5。图4反映了这种行为。图4：。κ（nXTX）的收敛性- 1对于不同的基b，比选择一个好的一维低离散度序列（例如通过调整范德科普特序列的基）更微妙的是C对拟合空间s维数的依赖性，再次比较，例如[Nie92]，定理3.6。因此，明智地选择用于填充拟合空间[0，1]的（Sobol）序列对于数值稳定性非常重要。这就引出了与条件数交互作用最为复杂的变量：o适应空间的维度s：它由确定与保险公司相关的风险驱动因素的数量决定。因此，它是外部给出的，不能受到回归算法智能设计的影响。一方面，维数s通过（log N）s的幂对所需的模拟次数有直接影响。

当（log N）相对较低地增长时，这种影响不如s的间接影响重要：正如我们刚才讨论的低差异序列的收敛常数C随s增长。从实际角度来看，在增加s时保持基函数m的数量不变也没有意义，因为回归算法应该反映每个相关的风险驱动因素。这最终也意味着V（Д）max可能增加。总结，定理3.1表明，LSMC回归算法的合理设计应至少包括正交多项式和低偏差序列。我们留给未来研究的问题是，通过进一步明确的数值计算来巩固我们的理论观察，并由此找到相关变量的最佳组合。确认。第一位作者在Fields Institute逗留期间进行了本文的部分工作，他想感谢他的热情好客。两位作者都想感谢裁判的宝贵评论。参考文献[AW85]Askey，R.，Wilson，J.：“推广雅可比多项式的一些基本超几何正交多项式”，AMS回忆录，54（319），iv+55（1985）。【BH15】Bauer，D.，Ha，H.：“资本要求计算的最小二乘蒙特卡罗方法”，工作文件（2015年）。【BBR10】Bauer，D.、Bergmann，D.、Reuss，A.：“Solvency II和NestedSimulations–最小二乘蒙特卡罗方法”，国际精算师大会（2010年）。【Ben17】Benedetti，G.：“关于使用单最小二乘蒙特卡罗计算风险度量的说明”，《国际理论与应用金融杂志》，20（2017）。【BFW14】Bettels，C.、Fabrega，J.、Weiss，C.：“Anwendung von最小二乘法Carlo im Solvency II Kontext–Teil 1”，Der Aktuar，2014（2），151–155（2014）。[BF88]Bratley，P.，Fox，B。

五十、 ：“算法659：实现Sobol的拟随机序列生成器”，ACM Trans。数学《软件》，14，88–100（1988）。【Car96】Carriere，J.：“使用模拟和非参数回归对期权的早期行权价格进行估价”，《保险：数学与经济学》19，19–30（1996）。【Dof14】Doff，R.：《偿付能力II手册：实施的实际方法》，风险手册（2014年）。[第31页]Gerschgorin，S：“特征值矩阵的计算”，Izv。阿卡德。诺克。苏联Otd。菲兹-小地毯诺克语（德语），6:749–754（1931）。Glasserman，P.：“金融工程中的蒙特卡罗方法”，Springer（2003）。【GJ10】Gordy，M.B.，Juneja，D.：“投资组合风险度量中的嵌套模拟”，《管理科学》，561833-1848（2010）。[JK08]Joe，S.，Kuo，F.：“构建具有更好二维投影的Sobol’序列”，Siam J.Sci。计算。，30(5), 2635–2654(2008).[KNK18]Krah，A.-S.，Nikoli'c，Z.，Korn。

R、 ：“人寿保险公司代理建模中的最小二乘蒙特卡罗法”，风险6（2），（2018年）。【KN74】Kuipers，L.，Niederreiter，H.：“序列的均匀分布”，John Wiley&Sons，纽约（1974）。[LHKB13]Leitschkis，M.、H"orig，M.、Ketterer，F.、Bettels，C.：“快速稳健资本预测的租赁方蒙特卡罗”，Milliman白皮书（2013年）。[LS01]Longstaff，F.，Schwarz，E.：“通过模拟评估美国期权：简单的最小二乘法”，《金融研究评论》14:113–147（2001）。【New97】Newey，W.K.：“序列估计的收敛速度和渐近正态性”，《计量经济学杂志》，79147-168（1997）。【Nie92】Niederreiter，H.：“随机数生成和拟蒙特卡罗方法”，应用数学CBMS-NSF系列第63号，费城暹罗（1992）。【NJZ17】Nikoli'c，Z，Jonen，C.，Zhu，C.：“SMC代理建模中的稳健回归技术”，Der Aktuar，2017（1），8–16（2017）。【Sch72】Schmidt，W.M.：“分布不规则性VII”，学报。，21,45–50 (1972).【TGSY95】Tikhonov，A.、Goncharsky，A.、Stepanov，V.、Yagola，A.：“解决不适定问题的数值方法”，Mathematics及其应用，Springer（1995）。【TB97】Trefethen，L.，Bau，D.：“数值线性代数”，暹罗（1997）。Christian WeissHochschule Ruhr West，Duisburger Str.100，D-45479 Mülheiman der Ruhr，Germany电子邮件地址：Christian。weiss@hs-鲁尔韦斯特。德国科隆Weyertal科隆大学deZoran Nikoli'c数学研究所86-9050931电子邮件地址：znikolic@uni-科恩。判定元件