LSMC最优回归设计的一个方面

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英文标题：
《An Aspect of Optimal Regression Design for LSMC》
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作者：
Christian Wei{\\ss}, Zoran Nikoli\\\'c
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Practitioners sometimes suggest to use a combination of Sobol sequences and orthonormal polynomials when applying an LSMC algorithm for evaluation of option prices or in the context of risk capital calculation under the Solvency II regime. In this paper, we give a theoretical justification why good implementations of an LSMC algorithm should indeed combine these two features in order to assure numerical stability. Moreover, an explicit bound for the number of outer scenarios necessary to guarantee a prescribed degree of numerical stability is derived. We embed our observations into a coherent presentation of the theoretical background of LSMC in the insurance setting.
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中文摘要：
从业人员有时建议在使用LSMC算法评估期权价格或在Solvency II制度下的风险资本计算时，使用Sobol序列和正交多项式的组合。在本文中，我们从理论上证明了为什么LSMC算法的良好实现确实应该结合这两个特性以确保数值稳定性。此外，还导出了保证规定数值稳定性所需的外部场景数的显式界。我们将我们的观察结果嵌入到保险背景下LSMC理论背景的连贯呈现中。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> An_Aspect_of_Optimal_Regression_Design_for_LSMC.pdf (496.01 KB)

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关键词：LSM SMC Quantitative Presentation Practitioner

LSMcChristian WeissZoran Nikoli'c的最优回归设计方面2019年5月30日摘要从业者有时建议在应用LSMC算法评估期权价格或在Solvency II制度下的风险资本计算时，使用Sobol序列和正交多项式的组合。在本文中，我们从理论上证明了为什么LSMC算法的良好实现确实应该结合这两个特性，以确保数值稳定性。此外，还导出了保证规定数值稳定性所需的外部场景数的显式界。我们将我们的观察结果嵌入到保险环境中LSMC理论背景的连贯陈述中。1简介最小二乘蒙特卡罗（LSMC）方法最初是作为经典蒙特卡罗方法的一种替代方法引入的，用于计算美国或百慕大风格期权的价格，该期权不存在封闭形式的解，例如[Car96]、[LS01]。近年来，LSMC也在保险业务中获得了大量关注，在保险业务中，需要使用近似算法来计算Solvency II制度下的资本要求，参见[BBR10]、[LHKB13]、[BFW14]、[KNK18]。有必要进行近似计算的原因是，资本需求的全套随机计算将导致运行时间，到目前为止，运行时间远远超过了保险公司的计算能力。[BH15]给出了在保险背景下应用LSMC方法的理论依据，他利用Newey[New97]的结果，正式改进了风险分布和某些风险度量族算法的收敛性。与[New97]中的假设相比，在限制较少的假设下，收敛性在[Ben17]中得到了证明。

【KNK18】中指出，与我们将在这里介绍的【BH15】相比，在更接近市场实施的略有不同的环境中，也存在着趋同。让我们简要描述一下LSMC算法的工作原理：作为第一步，riskdrivers Z，确定与保险公司相关的Z，其中包括市场和承保风险。在实际实施中，通常每个风险驱动因素都被限定在一个紧凑的范围内，例如该风险驱动因素的实际分布的0.1%到99.9%之间。因此，我们可以在不损失推广的情况下假设（Z，…，Zs）∈ [0，1]s缩放后。接下来，通过确定性地选择Z（ωi）的许多（通常数千）实现来构建拟合空间：=（Z（ωi），Zs（ωi））。通常，Sobol序列是一种特殊类型的低差异序列，在此步骤中被选择来统一填充[0，1]。这些所谓的外部场景被输入到保险公司的现金流预测模型中，并针对少量（例如1或2）所谓的内部场景评估最佳估计负债（BEL），即，在考虑的风险驱动因素实现（外部场景）的条件下，在风险中性度量下进行蒙特卡罗模拟。然后进行回归：将BEL值作为响应y。设计矩阵X包括在风险驱动因素实现Z（ωi）下评估的基函数Дj，即Xij=Дj（Z（ωi））。因此，回归问题的形式为y=Xβ+, （1） 其中需要估计参数向量β，并且 表示错误项。通常，对β进行最小二乘估计，但交替类型的回归也很有效，参见【NJZ17】。

最后，使用样本外验证评估近似的质量。有关LSMC算法的更多详细信息，请参阅[BFW14]和[KNK18]。在本文中，我们感兴趣的是以下观察结果：乍一看，通过Sobol序列将整个空间[0，1]均匀填充似乎很奇怪：如果风险驱动因素不相关，则单位立方体的角分别对应于0.01（1- 0.01）联合分配比例。然而，事实上，他们还讨论了在偿付能力II制度下需要的风险价值估值器是有偏差的，但在保守的一面，也比较[GJ10]。在实践中，高斯copulas被广泛用于建模风险驱动因素的依赖关系。这将导致单位球体内的浓度。我们将在这里讨论，出于数值原因，这确实是执行LSMC算法的最佳方式：通过将低差异序列与希尔伯特空间L（[0，1]s）的正交多项式基（子集）组合作为回归的基函数，可以最佳地实现数值稳定性。2理论背景数值挑战。虽然SMC计算中最耗时的步骤是现金流预测模型的评估，但从数字上看，最具挑战性的步骤是回归。线性回归（1）中参数向量的N维估计量bβ由bβ=（XTX）给出-1XTy公司=NXTX公司-1·NXTy。（2） 虽然矩阵乘法在数值上是稳定的，但这里的主要问题在于XTX的反转，因为X的列数可能很大（等于回归投影的空间的维数N）。基质XTX可能存在病态。这导致了各种正则化技术的实现，最著名的可能是ridgeregression，参见[TGSY95]和[NJZ17]。

我们解决这个问题的方法是两次添加乘法因子：正如我们将在本文中证明的那样，它将首先稳定矩阵的逆。其次，y的值在LSMC的上下文中仅基于少量内部场景（如statedearlier<10），因此它们非常不准确。如果对不同的内部场景（风险中性度量下的蒙特卡罗模拟）进行评估，则响应会有很大差异。另一方面，（2）中的估计在模拟中产生类似的估计参数向量Bβ是可取的。因此，添加可降低不准确度的因素是有意义的。条件编号。回想一下，矩阵的条件数κ（A）衡量矩阵的数值稳定性，即它给出了线性方程Ax=b的解有多不精确的界限。定义为κ（A）=A.-1.· kAk，其中k·k是l-算子范数。如果输入的微小变化导致输出的巨大变化，那么矩阵被称为病态矩阵，或者称为病态矩阵。由于矩阵A=XTX是正规矩阵，我们有κ（A）=λmax（A）λmin（A），（3），其中λmax（A）和λmin（A）表示A的最大和最小特征值。通常考虑eκ=log（κ），而不是κ，因为它可以解释为（最后）位数，这可能由于回归问题的数值不稳定性而不正确。如需了解更多详细信息，请参阅[TB97]，第三章。Gershgorin圆定理我们证明的主要内容是Gershgorin定理，该定理给出了矩阵特征值的界。它在[Ger31]中首次得到证实，属于数值分析的经典结果。为了完整起见，我们在此声明。定理2.1（格什戈林圆定理）。矩阵的所有特征值∈ Cn×nlie在Gershgorin discsDj内：=（z∈ C | | z- 所有|≤nXk=1，k6=j | ajk |）。正交多项式。

平方可积函数的空间L（[0，1]s）在具有内积hf，gi：=Z[0，1]sf（x）g（x）dx时成为希尔伯特空间。元素f的Hilbert范数∈ L（[0，1]s）由kf k=phf，fi给出。A子集S 如果每两个元素f，g的hf，gi=0，L（[0，1]s）是正交的∈ S、 如果除此之外，kf k=1适用于所有f∈ S、 然后S是正交的，称为（希尔伯特）基。对于完整的基S，我们可以写出每个元素x∈ L（[0，1]s）asx=Xu∈Shx，uiu，即每个元素都可以由基本元素的线性组合任意很好地近似。请注意，L（[0，1]s）是一个可分离的希尔伯特空间，因此可以使用完整的基。要显式构造希尔伯特基，例如，可以应用以下步骤：对于维数s=1，当从单项式开始并应用Gram-Schmidt算法时，最终得到类勒让德多项式Pn（x）。对于任何一维正交基，还有其他更复杂的例子，如[AW85]中介绍的Askey-Wilson多项式。p（x），p（x）。对于L（[0，1]），可以得到L（[0，1]s）的s维希尔伯特基，如下所示：引理2.2。设p（x），p（x）。是L（[0，1]）的正交基。然后是多维元素spi，i，。。。，is（x，…，xs）：=π（x）·π（x）·π带ij的pis（xs）（4）∈ N代表1≤ j≤ s构成L的基（[0，1]s）。证据根据Fubini定理和piare在L（[0，1]）中是基的性质，得出如下结论：。Z（π（x）·π（x）·pis（xs））dxdx。dxs=ZZ。Zpi（x）dx·pi（x）dx·…·pis（xs）。dxs=1·1·…·1 = 1.类似地，对于两个多项式pi，i，。。。，isand pj，j，。。。，jswith ik6=JK对于某些kwe getZ。Zpi（x）·…·pis（xs）pj（x）·…·pjs（xs）dx。dxs=ZZ。Zpik（xk）pjk（xk）dxkpi（x）pj（x）dx。dxs=0·…=0.差异。设Z=（zn）n≥0是[0，1）s中的序列。

回想一下，序列前N个点的星号差异是由D定义的*N（Z）：=supB[0,1）dAN（B）N- λs（B）,其中，取所有区间B的上确界=[0，a）×[0，a）×…×[0，as） [0，1）sand AN（B）：=|{n | 0≤ n<n，zn∈ B} |和λsde表示s维Lebesgue测度。如果是D*N（Z）满意度*N（Z）=O（N-1（对数N）s）（5）则Z称为低偏差序列。人们普遍猜测（5）中的收敛速度是最优的。事实上，这个猜想在一维和二维情况下都是成立的，[Sch72]，并且有理论和计算证据表明，它在更高维度上也是成立的。在实际应用中，当然需要低差异序列的明确示例。其中，Sobol序列是最常用的一类。由于我们对它们的具体构造不感兴趣，因此我们将读者参考[BF88]、[Gla03]、[Nie92]，并将目前软件实现中经常使用的算法参考[JK08]。Koksma Hlawka不等式。准蒙特卡罗方法通常优于蒙特卡罗方法，因为它具有更好的收敛速度和确定性误差界：对于未知函数f：[0，1]s→ R有限sumnPni=1f（xi）到积分R[0,1]sf（x）dx的收敛速度仅取决于函数的有界变化和序列的星离散度。更准确地说，以下观点成立。定理2.3（Koksma-Hlawka不等式）。设f：[0，1]s→ R是Hardy和Krause意义下有界变差的任意函数，V（f），设x，xNbe【0，1】s中的点的有限序列。然后NNXi=1f（xi）-Z[0,1]sf（x）dx≤ V（f）D*N（x，…，xN）。如果f的所有偏混合导数在[0，1]上都是连续的，则V（f）可以表示为|u | f徐（徐，1）dxn，其中，总和接管所有子集u {1, . . .

，s}和（xu，1）是第i分量为xiifi的向量∈ u和1，否则，请参见【KN74】，第2章。相比之下，典型的MonteCarlo方法的概率收敛速度为√它比N的确定性收敛性差得多-1（对数N）由Koksma-Hlawka不等式简化为低差异序列。在LSMC的背景下，BEL的实际功能f确实是未知的，因为用于计算BEL的现金流预测是一个复杂的软件，它包含了负债、资产和管理行动的复杂交互作用，例如[Dof14]。因此，每当涉及f的积分问题时，必须控制x的星离散度，xNand使用低差异序列。3回归设计计算XTX。我们认为（2）实现中的主要数值挑战在于XTX的反转，因为X的行数很大（等于外部场景的数量）。现在我们计算XTX的条目。设Д（x，…，xs），Д（x，…，xs）。是L（[0，1]s）的任意（多维）希尔伯特基。回归产生了对L（[0，1]s）的某个m维子空间的投影，并且可以假定其基（作为向量空间）由ν（x，…，xs），^1m（x，…，xs）。此外，lett=（t，…，ts），t=（t，…，ts），tN=（tN，…，tNs）是用作外部场景风险驱动因素实现的s维允许差异序列。ThenXij=Дj（ti），因此（XTX）ij=NXk=1Дi（tk）Дj（tk）。主要结果。在得出主要结果之前，我们需要确定表达式V（Д）max：=max{V（ДiДj）| 1≤ i、 j≤ n} 是XTX中基函数对的最大Hardy-Krause变化。定理3.1。让t，t。

是s维低偏差序列，带D*N（Z）≤ C（对数N）SN表示所有N∈ N并设Д，Д，^1mbe回归投影的m维子空间的正交基。此外，设θ>1为任意值，且设N为（log N）sN≤θ - 当条件数满足κ（NXTX）时，1（1+θ）CV（Д）m≤ θ. （6） 因此，如果外部场景的数量很大，那么条件编号就存在一个显式执行器界限。对于任何均匀分布的序列，κ（NXTX）收敛于1的证明将证明这一点，因为后者等价于D*N（Z）→ 0表示N→ ∞. 然而，N的显式边界仅适用于低差异序列，如果差异理论的大开放问题的答案为真，即最佳可能的收敛速度D，则N的显式边界是最好的*N（Z）→ 0为N-1（对数N）s.证明。Koksma Hlawka不等式，定理2.3，以及（ti）i∈Nis低差异序列意味着（NXTX）ij-Z[0,1]sаi（x）аj（x）dx≤ V（Д）maxC（log N）sN，其中C是一个独立于N的常数。由于基是正交的，我们获得（NXTX）ij- δij≤ V（Д）maxC（log N）sN，其中δij表示Kronecker三角洲。这意味着nxtx收敛到N的身份矩阵→ ∞. 最后，可以从Gershgorin的定理2.1中推断，对于Ntx的每个特征值λ（N），我们有|λ（N）- 1| ≤ V（Д）最大值（对数N）sNm。（7） 现在，让0<r<1为任意值，并选择足够大的N，以便（log N）sN<rCV（Д）maxm。（8） 然后从（7）和（8）得出|λ（N）- 1| ≤ V（Д）maxC（log N）sNm<r，即所有特征值位于区间（1- r、 1+r）。最后，通过（3）我们得到κ（NXTX）≤1+r1- r、 （9）If1+r1-r≤ θ或换句话说r≤θ-1θ+1，如下所述。总结和数值结果。我们刚刚导出了保证SMC回归模型数值稳定性所需的外部场景数的界。

同等条件下，表达κ（NXTX）- 1小于N-1（对数N）刺激某个常数。这一点通过我们使用MATLAB在维度1中进行的数值计算得到证实：对于基数为2的van der Corput序列和高达2阶的移位Legendre多项式，即m=3，图1显示了κ的商（nXTX）- 10比N-1（对数N）显然有界，正如定理3.1所预测的那样，尽管表达式中存在一些差异。图1：。κ商（nXTX）- 1×N-1（对数N）S对于N=10，此外，必须根据（8）选择外部方案N的数量，以达到LSMC计算的期望数值精度。它取决于四个不同的变量：o子空间（多项式）的维数m：[BH15]认为子空间的大维数会减慢收敛速度。同样，我们也看到它对数值稳定性也有负面影响。然而，可能存在外部需求，例如不同风险驱动因素的复杂相互作用，这需要一定的基数所选正交基V（ν）max的Hardy-Krause变化：这表明用户可以选择正交基，这对回归问题的数值稳定性有显著影响。请注意，由于考虑额外的基元可能（通常会）增加V（Д）max，因此m对V（Д）max有相互作用。我们还进行了数值计算，以证实这一观察结果（van der Corput sequencein base 2，Legendre多项式的最大阶数为m- 1和N=200）。如果我们只看κ（NXTX）除以m的商，图2显示它显然没有边界。然而，图3表明，最大Hardy-Krause变化V（Д）max的增长速度快于此商，这与理论预测一致。图2：。