[量化金融] 随机波动下Libor市场模型的快速标定 [推广有奖]

在此基础上，我们在下一部分将Edgeworth方法作为参考方法，与经典的Heston方法进行比较。4.3 Edgeworth和Heston方法的比较我们的方法与Wu和Zhang（2006）所述的Heston方法的比较根据三个标准进行分析：（i）在第一步中，我们进行了市场一致性分析，评估市场互换期权波动的拟合质量，对于理论波动率（由定价公式暗示）和经验波动率（通过蒙特卡罗模拟获得）。4.3 Edgeworth和Heston方法之间的比较●●●●●●●●●●●●●●十倍挥发性0.55%0.6%0.65%0.7%0.75%0 5 10 15 20 25 30●●●●●●●●●●●●●●●MarketEdgeworth pricingGram公司-Charlier pricingFigure 1:5年期ATM蒙特卡罗掉期期权波动率●●●●●●●●●●●罢工（bps）隐含波动率0.6%0.7%0.8%0.9%-200-150-100-50-25 0 25 50 100 150 200●●●●●●●●●●●●MarketEdgeworth pricingGram-Charlier pricingFigure 2:Monte Carlo掉期期权波动率为5年到期日。为了模拟，采用了具有5000条模拟路径的对数Euler方案，这反映了保险实践中的操作标准，并且仍然合理，以提供令人满意的Monte Carlo情景收敛性。

此外，我们还讨论了理论波动率的偏差（由定价公式暗示）。（ii）在第二步中，我们通过基于一组常见参数计算理论波动率来评估Edgeworth展开的准确性。（iii）在最后一步中，与Wu和Zhang（2006）详述的Heston方法相比，我们给出了使用Edgeworth展开时校准所需的计算时间增益；作为一个主要结论，我们的数值结果表明，与经典的Heston方法相比，DD-SV-LMM校准过程的计算时间减少了98%。对于所有三个标准，我们在本节中展示了侧重于5年成熟度的结果；附录5.4.4.3 Edgeworth和Heston方法之间的比较4.3.1市场一致性分析10年期和20年期的结果。DD-SV-LMM的校准是针对以下三种方法的市场掉期期权波动率进行的：Heston方法、适用于价格的Edgeworth扩展（命题1）和适用于波动率微笑（命题2），在以下图表中，分别称为Edgeworth pricing和Edgeworth smile。我们在图3中报告了每种方法的ATM经验掉期期权波动率以及5年到期的相应市场掉期期权波动率。这突出表明，赫斯顿方法和两种埃奇沃思方法都能得出接近的结果，提供了令人满意的市场数据蒙特卡罗拟合。图4（分别图5）描述了5年期到期的理论（分别为经验）波动率偏差。可以看出，Edgeworth展开进行的调整意味着与Heston方法类似的理论波动率偏差。

此外，理论和实证结果导致波动性曲线接近，并有力地支持了埃奇沃思方法复制一致市场报价的能力。请注意，理论波动率和经验波动率之间的密切程度将在下一节中进行更广泛的讨论。●●●●●●●●●●●●●●十倍挥发性0.55%0.6%0.65%0.7%0.75%0 5 10 15 20 25 30●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●MarketHestonEdgeworth pricingEdgeworth smileFigure 3：5年到期的ATM蒙特卡罗掉期期权波动率4.3.2固定参数集下的近似精度为了评估每种方法下近似值的准确性，我们计算了一组参考参数，即基于数值积分的Hestonmethod诱导的理论波动率，以及命题1和命题2的Edgeworth定价和微笑公式方法。然后，我们将这些理论元素与参考参数引起的蒙特卡罗波动率进行比较。我们计算了以经验波动率为中心的95%置信区间，并研究了理论波动率超出置信区间的情况。4.3 Edgeworth和Heston方法之间的比较●●●●●●●●●●●罢工（bps）隐含波动率0.65%0.7%0.75%0.8%0.85%-200-150-100-50-25 0 25 50 100 150 200●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●MarketHestonEdgeworth-pricingEdgeworth-smileFigure 4：5年到期的理论掉期期权波动率偏差●●●●●●●●●●●罢工（bps）隐含波动率0.65%0.7%0.75%0.8%0.85%-200-150-100-50-25 0 25 50 100 150 200●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●MarketHestonEdgeworth pricingEdgeworth smileFigure 5：5年到期的蒙特卡罗掉期期权波动率偏差对于5年到期、ATM和远离货币的理论波动率，所有方法都在95%置信区间内，见图6和图7。

这一观察结果支持Edgeworth-pricingand-smile公式中近似值的稳健性。理论波动率和经验波动率之间的差异源于各种原因。一方面，为了获得理论波动率，采取了近似方法（冻结技术，赫斯顿方法的数值积分，或埃奇沃思展开的密度近似）。另一方面，经验值受到抽样误差的影响，如置信区间所评估的，以及蒙特卡罗模拟中使用的对数欧拉离散化方案。Edgeworth定价和smile方法导致ATM和非货币掉期期权的波动率非常相似，如图6和图7所示。基于这种分析，可以评估Edgeworthexpansion中涉及的近似值的影响；这似乎随着到期日的增加而增加，如4.3 Edgeworth法和Heston法之间的比较所示。对于10年期和20年期的到期日，Edgeworth法和Heston法的比较见附录5.4。然而，在大多数情况下，理论和蒙特卡罗互换期权波动率之间的差异很小，并且强烈支持埃奇沃思展开的基本近似。●●●●●●●●●●●●●●十倍挥发性0.55%0.6%0.65%0.7%0.75%0 5 10 15 20 25 30●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●经验LCI-CI+HestonEdgeworth pricingEdgeworth smileFigure 6：5年期给定参数的ATM掉期期权波动率●●●●●●●●●●●罢工（bps）隐含波动率0.65%0.7%0.75%0.8%0.85%-200-150-100-50-25 0 25 50 100 150 200●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●经验LCI-CI+HestonEdgeworth pricingEdgeworth smileFigure 7：给定参数的5年期掉期期权波动率偏斜4.3.3计算时间增益本文的数值结果已在R 3.2.0下，使用C++集成关键函数，在一台2.6 GHz Intel Core i7 CPU的计算机上执行。

至于比较基础，我们在优化程序中使用2500个目标函数调用的固定预算来估计350个掉期期权波动率下的DD-SV-LMM参数，详见第4.1小节。我们在表1中报告了校准DD-SV-LMM所需的CPUtime（以秒为单位），以优化例程的2500次迭代预算为基础。Edgeworth方法似乎比Edgeworth方法和Heston方法更快，因为与经典Heston方法相比，Edgeworth方法的计算时间减少了98%。方法CPU时间（秒）Heston 425.1Edgeworth 8.2表1：使用2500优化迭代预算进行校准所需的CPU时间该结果主要可以通过以下事实来解释：Heston方法涉及数值积分，需要在复杂领域中工作，而Edgeworth展开法利用了高达四阶的交换速率矩的分析形式，没有任何数值差异。此外，在Edgeworth情况下，力矩母函数的导数仅在z=0时进行估值，从而简化了计算。最后，请注意，与Edgeworth定价方法相比，将市场波动率与Edgeworth微笑公式之间的差异最小化的校准方法更简单，因为在校准过程中不需要对Bachelier公式进行数值反演。Edgeworth扩展速度的提高能够快速重新校准DD SV LMM，并可用于保险公司面临的各种主题，如通过嵌套模拟计算偿付能力资本要求，见Devineau和Loisel（2009）以及Bauer等人。

（2012），在最小二乘蒙特卡罗框架内实施强化再校准过程，见Vedani和Devineau（2013），以及可变年金对冲和交易网格计算。事实上，压力测试场景中多次重复校准的必要性涉及到对更快校准过程的日益增长的需求。因此，Edgeworth定价和相关的微笑公式似乎是运营环境中特别有效的方法。总结性评论在本文中，我们说明了使用Edgeworth和Gram-Charlier展开法校准随机波动率和位移差的Libor市场模型（DD-SV-LMM）的有效性。我们的方法将两个研究领域结合在一起；首先是Wu和Zhang（2006）工作以来SV-LMM的结果，尤其是矩母函数，其次是基于Edgeworth或Gram Charlier展开的密度分布近似。通过探索高达四阶矩的分析可处理性，我们能够对参考Bachelier模型进行调整，将Edgeworth方法和Heston方法的偏斜度和峰度的可用性进行normal4.3比较，并作为一个副产品，推导出一个将波动性与货币性与可解释参数相关联的微笑公式。本文中的数值结果有力地支持了Dgeworth展开方法中涉及的近似值，同时为市场掉期期权波动率的拟合提供了令人满意的结果。作为一个主要结论，我们的数值结果表明，与经典的Heston方法相比，DD-SV-LMM校准过程的计算时间减少了98%。

值得一提的是，我们的方法适用于实数集，与在复杂领域使用数值积分的经典Heston方法相比，它更加简单和稳定。至于进一步的研究，我们的方法可以扩展到四个以上的任何（偶数）阶，以便在保持高效计算方法优势的同时重新确定拟合精度。这可以通过计算更多的分析导数和深入理解高阶多项式的定义域来实现。5附录5.1求解力矩母函数让我们考虑方程（7）中引入的力矩母函数的可分离形式：ψ（x，V，t；z）=eA（τ，z）+B（τ，z）V+zx，其中τ=Tm- t、 然后ψ的扭转导数可以计算为ψt型=-A.τ- 五、Bτψ,ψV=Bψ，ψx=zψ，二阶导数为ψV=Bψ，ψx=zψ，ψ五、x=zBψ。（6）中的Kolmogorov方程变成-A.τ+κθB+ 五、-Bτ- κξB+B+ρλzB+λz= 通过识别，得出（8）中的偏微分方程。5.2关于Edgeworth扩展，我们在本附录中考虑了第3节中介绍的符号。让我们重新调用Edgeworth展开式来近似随机变量asP（Sn）的标准化和的累积分布函数≤ x）≈ Φ（x）-γ√nИ（x）H（x）+γ- 324nД（x）H（x）+γ72nД（x）H（x）。（23）注意，术语n没有出现在旨在推导定价闭合形式表达式的论文中。Balieiro Filho和Rosenfeld（2004）对此问题进行了讨论，其中作者指出，术语n包含在偏度和峭度系数中，但这些问题留给读者考虑。我们在此建议进一步详细说明这些方面。表示u=E【Sn】和u=E【Sn】，Sn的偏斜度和峰度，可以恢复u=γ√nandu=γ+3（n-1） n。

因此，方程（23）可以重写为：P（Sn≤ x）≈ Φ（x）-uД（x）H（x）+u- 3Д（x）H（x）+uД（x）H（x）。例如，这与Balieiro Filho和Rosenfeld（2004）中用于Edgeworth定价调整的公式相对应。在第3节开发的框架中，我们将此扩展应用于方程（13）中定义的掉期利率的标准化变量Z：Z=Rm，n（Tm）-Rm，n（0）ν。假设该随机变量为掉期利率分布（整数）可除的5.3矩，即存在一个（可能较大的）整数n和一个i.i.d.随机增量集合（Xj），使得z=Sn=√nnXj=1Xj。注意，这包括前一次分解适用于任何n的不可整除分布集，以及不可整除分布的特殊情况下的稳定分布。由于基于矩母函数的偏度和峰度计算直接关注变量Z，因此系数u和u与我们的Edgeworthexpansion中考虑的系数u和u是一致的。

因此，我们在Edgeworth框架中省略了术语n。5.3掉期利率分布的矩et us表示h（k）（z）=kh公司zk（z）对于任何函数h，h（0）（z）=h（z），写式A（0）j（z）=A（τj，z），B（0）j（z）=B（τj，z）。我们记得，表示V=V（0），ψ（0）（z）=ψ（Rm，n（0），V，0；z） ，动量母函数写出ψ（0）（z）=eA（0）m（z）+B（0）m（z）V+zRm，n（0）。让我们定义z的以下函数：a（0）=κξ- ρλz，d（0）=q（a（0））- λz、 gj=a（0）+d（0）- B（0）ja（0）- d（0）- B（0）j。让我们表示u=τj+1- τ和h（0）=a（0）+d（0）- B（0）j，h（0）=1- 经验值d（0）u,h（0）=a（0）- d（0）- B（0）j，h（0）=a（0）- d（0）- B（0）j-a（0）+d（0）- B（0）j经验值d（0）u= h（0）+h（0）h（0）- 1.,h（0）=a（0）+d（0）- B（0）j1.- 经验值d（0）ua（0）- d（0）- B（0）j,= h（0）h（0）h（0）。5.3掉期利率分布函数a、d、gj和（hk）的矩在此隐含时间依赖性；递归模式由（A（0）（τ，z）=A（0）j（z）+A（0）j（τ，z）给出，τ ∈ （τj，τj+1），B（0）（τ，z）=B（0）j（z）+λB（0）j（τ，z），τ ∈ （τj，τj+1），~A（0）j=κθ\"a（0）+d（0）u- 2 ln1- GJEP公司d（0）u1.- gj！#=κθa（0）+d（0）u- 2英寸-a（0）- d（0）- B（0）j-a（0）+d（0）- B（0）j经验值d（0）u2d（0）,=κθ\"a（0）+d（0）u- 2英寸-h（0）2d（0）！#，B（0）j=a（0）+d（0）- B（0）j1.- 经验值d（0）u1.- gjexp（d（0）u）=a（0）+d（0）- B（0）j1.- 经验值d（0）ua（0）- d（0）- B（0）ja（0）- d（0）- B（0）j-a（0）+d（0）- B（0）jexp（d（0）u）=h（0）h（0）。注意，仅术语d（0）=q（a（0））- λzis与Wu和Zhang（2006）中考虑的不同。