[量化金融] 弱一致极限订货簿模型下的做市 [推广有奖]

与做市商的限价订单相比，当平均市场订单规模较小时，此假设更为合理。3、如果v<v，则针对每个v级市场订单*, 其中v*是一个固定常数，它有可能达到做市商的限价指令ρ。如果v≥ v*, ρv股票将针对我们的做市商执行。对于大型股票，由于股票价格相对较小，平均订单量较大，选择1是合理的。而对于小型股票，由于恰恰相反的原因，选择2似乎更合适。例如，2014年5月8日，伯克希尔哈撒韦股份有限公司A类股票的价格为190010美元，大多数市场订单的规模为一股，因此，假设做市商执行期权1中每个市场订单的一小部分是不合理的。选项3更为复杂，但它可以适应各种规模的市场订单。在本文中，我们将使用选项1进行说明。做市商可以通过不断将其在LOB中的限价订单调整为大致为每个价格水平下排队长度的比例ρ来实现其目标执行利润，但详细机制超出了本文的范围。由于几乎所有证券交易所都实行所谓的价格-时间优先权，因此退出市场会导致当前限价指令失去优先权。为了充分说明这一点，需要涉及延迟积分微分方程，这将使模型更加复杂。相反，我们只需惩罚在时间t从i切换到j时，出价方和要求方的成本分别为cb（i，j，t，s）、ca（i，j，t，s）和价差s。

我们建议使用以下简单的cb、ca公式，同时承认这方面需要更多的研究。cb（0,1，t，s）=α'qbρ（s/2+ε）minT- t'qb/（（λ'v+λ'v）），1（42）ca（0,1，t，s）=α'qaρ（s/2+ε）minT- t'qa/（（λ'v+λ'v）），1（43）cb（1,0，t，s）=ca（1,0，t，s）=0（44），其中“Vi”是i类订单的平均数量，“qb”，“Qa”是代表我们做市商在关闭模式下排队长度的参数，α是一个恒定的贴现系数。这些公式的基本原理如下：为了停止提供流动性，取消限额指令不会让做市商付出任何代价，因此我们将cb（1,0）=ca（1,0）=0。然而，较大的股票意味着相对于价格而言，股票的大小较大[32]。当做市商在退出市场后想要重新提供流动性时，她不能这样做，直到她面前的所有订单都执行完毕。正如我们稍后将在完整模型中看到的那样，为了简单起见，我们假设一旦Regime1变为1，做市商将能够捕获市场订单；因此，事实上，处罚成本cb，Cai是由于价格-时间优先性，从“qρ（s/2+ε）”的高估利润中减去的金额，其中“q”可以是“qbor”Qa，具体取决于侧面。然而，仅仅通过发布限价订单并不能保证盈利。价格可能会偏离最初的报价，做市商甚至可能蒙受损失。这就是为什么我们引入贴现因子α来考虑这一点。此外，当市场接近收盘时，由于做市活动几乎没有时间进行，夸大的利润会减少。在做市商之前，购买方消耗所有博纳限额指令的平均时间约为'qb/（λ'v+λ'v）。当剩余时间t-t小于该值，我们使用因子（t-t） /（\'qb/（λ'v+λ'v）按比例分摊切换成本。

换言之，当时间接近市场收盘时，为了将最终清算成本降至最低而关闭的成本更低。我们想强调的是，qb、qa并不是这本书的平均深度，因为做市商不需要为了暂时离开市场而取消所有订单。如果真是这样的话，在她能够重新提供流动性之前，将会有很长的延迟。要想离开市场，她应该继续取消足够的高优先级订单，这样剩余的订单就不会以90%的概率执行。例如，如果卖出市场订单的90%是9000股，她只需要取消大约1000股，因为她的参与率是10%，并且她的订单在队列中均匀分布。比如说，在一份900股的销售订单中标后，她将取消额外的100股，这样她的订单就永远不会出现在前9000股中。因此，在本例中，(R)qb=9000。可以进一步确定切换成本公式，但关键是切换惩罚应小于完整订单书深度。冲动（市场订单）的惩罚是交换费η和跨越买入价差的成本，这已经反映在持有Bt中，以及间接成本ci，我们将其建模为当价格在做市商发出市场订单之前移动时产生的意外滑动成本。ci=βδρ'vmax（45）我们假设，由于做市商出于各种原因推迟了市场订单的提交，价格有可能会移动1滴答。

其市场订单的平均规模约为ρ'vmax，其中'vmax为1、2、7、8类平均交易量的最大值。我们强调，切换和脉冲之间的权衡对cb、ca、ci非常敏感（见第5.2.1节），需要彻底考虑，以使最终结果有用。我们的模型的一个局限性是，在激进市场秩序下的平均执行价格无法准确计算，因为我们只知道最佳出价/要价的价格。作为近似值，我们将假设平均执行价格只是最好的出价/要价，即使在每次往返交易中，做市商的每股收益为+2ε，我们将其中的一半归因于交易双方。使用（45）中的实际脉冲大小似乎更符合我们的基本原理，但脉冲成本必须远离0，因此连续发送微小脉冲永远不会是最优的。或者，可以将脉冲成本视为控制脉冲延迟的参数。根据定义，市场订单可以上升到LOB。正如我们将在订单簿示例的第5.1节中的表4所示，激进的市场订单非常罕见。此外，我们的近似值偏于保守，因为它总是低估做市商的利润。4.3做市商最优控制问题做市商现金持有Bt和库存QT的演变取决于制度（Rbt-,老鼠-). 例如，做市商未发布任何限价指令（Rbt-= 老鼠-= 0），Bt、QT的变化将为零。当老鼠-= 1，对于每个购买市场订单，她的库存将减少ρv，其中v是市场订单的数量。收到的现金将是有效股票数量ρv乘以卖出价Sat-, 加上回扣ε。

投标规模的逻辑相似。该设置假设做市商的限价订单在队列中统一分布，这提供了一个很大的简化，因为我们不需要处理完整的订单记账模型，也不需要跟踪做市商订单在队列中的优先级。在任何给定的制度中，我们的做市商执行的订单数量由参与率ρ决定，决策变量只有何时切换（限制订单）制度，何时放置冲动（市场订单），以及有多少股票可以交易冲动。因此，位于某个容许集Uad中的控制u是有序四元组{（τn，rbn，ran，ζn）}n的序列≥1，其中τ为开关和/或脉冲的停止时间。rbn，ran∈ {0,1}分别是bid和ask队列上的新机制，ζn∈ 我 R是紧集I中的签名脉冲强度（买入（正）或卖出（负）的股份数）。rbn，ran，ζnare都可以相对于Fτn进行测量。如果rn=rn-1，表示政权没有变化。如果ζn=0，则表示只有转换，而没有市场订单。当rn6=rn时-1和ζn6=0时，市场制造商切换制度，同时发布市场订单。

由于我们的切换和脉冲成本不取决于制度，切换和脉冲的顺序并不重要。做市商最优控制问题是通过选择最优控制u={（τn，rbn，ran，ζn）}n，使T期末预期总财富（现金+库存）的价值函数V最大化，减去风险规避θ、转换（cb（o）、ca（o）和脉冲（ci）的库存罚款总成本（θRQtdt）≥1、受买卖价格Sbt、Sat、订单到达NI（t）、现金Bt和库存Qt的动态影响。当做市商执行限价指令时，她将收到每股回扣ε≥ 0、鉴于每股交换费η≥ 0，除价差交叉造成的不利价格外，做市商按照市场指令移除多余库存时，将强制执行。我们现在陈述做市问题的数学公式。我们在这个模型中不包括交易税、清算费、经纪人佣金等，但它们很容易合并。脉冲指令的方向无关紧要，因为做市商应始终采取行动，减少因相关罚款而产生的投资规模。脉冲强度I的集合可能取决于当前库存水平和其他状态变量，因此，在脉冲之后，库存仍然在域内。

然而，为了清晰起见，我们不会强调符号中的依赖性。我们假设费用结构没有颠倒【33】。定义2（做市商最优控制问题）。V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）=supu∈UadJ（t，b，q，sb，sa，rb，ra，u）（46）J（t，b，q，sb，sa，rb，ra，u）=EBT+（SbT- η） Q+T- （SaT+η）Q-T- θZTtQtdt-∑τn∈（t，t）cb（rbn-1，rbn，τn，Saτn- Sbτn）+ca（ran-1，ran，τn，Saτn- Sbτn）+ci（ζn6=0）Bt=b，Qt=q，Sbt=sb，Sat=sa，Rbt=rb，Rat=ra（47）Bt=b+Z（t，t）×R+ρvRar-（Sar-+ ε） （N+N）（dr×dv）-Z（t，t）×R+ρvRbr-（丁苯橡胶-- ε） （N+N）（dr×dv）-∑τn∈（t，t）（Saτ-n+η）ζ+n- （Sbτ-n- η)ζ-n（48）Qt=q-Z（t，t）×R+ρvRar-（N+N）（dr×dv）+Z（t，t）×R+ρvRbr-（N+N）（dr×dv）+∑τn∈（t，t]ζn（49）Sbt=sb+Z（t，t）]×Z+ξδ（n- N- N） （dt×dξ）（50）Sat=sa+Z（t，t）×Z+ξδ（N+N- N） （dt×dξ）（51）Rbt=rb[t，τ）（t）+∑n≥1rbn[τn，τn+1）（t）（52）Rat=ra[t，τ）（t）+∑n≥1ran[τn，τn+1）（t）（53）cb（0,1，t，s）=α'qbρ（s/2+ε）minT- t'qb/（λ'v+λ'v），1（54）ca（0,1，t，s）=α'qaρ（s/2+ε）minT- t'qa/（λ'v+λ'v），1（55）cb（1,0，t，s）=ca（1,0，t，s）=0（56）ci=βδρvmax（57），其中x+=（| x |+x）/2，x-= （| x |- x） /2（58）4.4求解最优控制问题Tang和Yong[34]表明，扩散过程的组合最优切换和脉冲控制的值函数是变分不等式系统的唯一粘性。唐和勇的论文中的组合开关和脉冲与我们的略有不同，因为开关和脉冲在其设置的时间内不会发生。另一方面，Biswas等人[35]证明了Levyprocess的最优切换的值函数是非局部变分不等式组的唯一粘性解。通过组合[34，35]中的参数，我们推测值函数V（t，b，q，sb，sa，rb，ra）是以下Hamilton-Jacobi-Bellman拟变分不等式（HJBQVI）的唯一粘性解，它现在是一个积分微分方程。

对这一结果的严格证明保留了一篇完整的论文，我们将把它留给对随机控制和粘度解感兴趣的研究人员。

在本文中，我们对找到一个数值过程感到满意，该过程可以为我们解决做市问题提供有用的见解。明尼苏达州-电视（o）- L V（o）+θq，V（o）- M V（o）o=0（59）V（T、b、q、sb、sa、rb、ra）=b+（sb- η） q+- （sa+η）q-（60）式中，l V（t，b，q，sb，sa，rb，ra）=+ZR+∞∑ξ =1V（t，b+，q-,sb、sa+、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（v，ξ）dv+ZR+∞∑ξ =1V（t，b-,q+，sb-,sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（v，ξ）dv+（（sa-sb）/δ）-1.∑ξ =1V（t、b、q、sb+、sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（ξ）+（（sa-sb）/δ）-1.∑ξ =1V（t、b、q、sb、sa-,rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（ξ）+∞∑ξ =1V（t，b，q，sb-,sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（ξ）+∞∑ξ =1V（t、b、q、sb、sa+、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（ξ）+ZR+V（t，b+，q-,sb、sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（v）dv+ZR+V（t，b-,q+、sb、sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（v）dv（61）b-= b- rb（sb- ε） ρv，b+=b+ra（sa+ε）ρv，q-= q- raρv，q+=q+rbρv（62）sb-= 某人- ξδ，sb+=sb+ξδ，sa-= 南非- ξδ，sa+=sa+ξδ（63），如【36】中所述，由于状态动力学的纯跳跃性质，值函数V相对于时间t可能不可微，因此控制问题可能不存在经典的C解。请注意q+/q-是q的正/负部分，而q+/q-在方程式（62）中定义。M V（t，b，q，sb，sa，rb，ra）=最大值（~rb，~ra，ζ）∈{0,1}×I \\{（ra，rb，0）}nV（t，b- （sa+η）ζ++（sb- η)ζ-,q+ζ、sb、sa、~rb、~ra）- cb（rb，~rb，t，sa- sb）- ca（ra，~ra，t，sa- sb）- ci（ζ6=0）o（64），其中f（v，ξ），f（v，ξ）是积极市场订单量和跳跃分布的联合概率密度函数，f（ξ），。。。，f（ξ）是积极限价订单和取消的跳跃分布的概率质量函数，f（v），f（v）是非积极市场订单数量分布的密度。我们假设Ohmkxk fi（x）dx<∞ i、 L是状态过程的最小生成器。

M是所谓的干预运算符，它通过切换状态和/或发出脉冲使值函数最大化，任何操作都会产生最大值。微型生成器（61）的表达式看起来令人望而生畏；然而，在表达式的每个部分，它只是记录了不同订单类型到达时的交易变化，没有涉及复杂的数学理论。例如，当第1类（激进市场购买）订单到达时，做市商的库存将减少raρv，收集的现金为ra（sa+ε）ρv。此外，由于这是一个激进订单，因此要价将上涨ξδ。积分计算不同体积v和跳跃大小ξ的平均变化，最后将结果乘以λ，以根据到达强度缩放效应。4.5 ansatz使用AS框架中的标准ansatz，我们将状态变量的维数减少了2。