弱一致极限订货簿模型下的做市

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英文标题：
《Market Making under a Weakly Consistent Limit Order Book Model》
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作者：
Baron Law and Frederi Viens
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We develop a new market-making model, from the ground up, which is tailored towards high-frequency trading under a limit order book (LOB), based on the well-known classification of order types in market microstructure. Our flexible framework allows arbitrary order volume, price jump, and bid-ask spread distributions as well as the use of market orders. It also honors the consistency of price movements upon arrivals of different order types. For example, it is apparent that prices should never go down on buy market orders. In addition, it respects the price-time priority of LOB. In contrast to the approach of regular control on diffusion as in the classical Avellaneda and Stoikov [1] market-making framework, we exploit the techniques of optimal switching and impulse control on marked point processes, which have proven to be very effective in modeling the order-book features. The Hamilton-Jacobi-Bellman quasi-variational inequality (HJBQVI) associated with the control problem can be solved numerically via finite-difference method. We illustrate our optimal trading strategy with a full numerical analysis, calibrated to the order-book statistics of a popular Exchanged-Traded Fund (ETF). Our simulation shows that the profit of market-making can be severely overstated under LOBs with inconsistent price movements.
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中文摘要：
我们开发了一种新的做市商模型，该模型是根据市场微观结构中众所周知的订单类型分类，针对限额订单簿（LOB）下的高频交易而定制的。我们灵活的框架允许任意的订单量、价格上涨、买卖价差分布以及使用市场订单。它还尊重不同订单类型到货时价格变动的一致性。例如，很明显，在买方市场订单上，价格永远不应该下跌。此外，它尊重LOB的价格-时间优先级。与经典的Avellaneda和Stoikov[1]做市框架中对扩散进行常规控制的方法不同，我们利用了标记点过程的最优切换和脉冲控制技术，这在订单特征建模中被证明是非常有效的。与控制问题相关的Hamilton-Jacobi-Bellman拟变分不等式（HJBQVI）可以通过有限差分法进行数值求解。我们用一个完整的数值分析来说明我们的最佳交易策略，并根据一个流行的交易所交易基金（ETF）的订单统计数据进行校准。我们的模拟表明，在价格波动不一致的LOB下，做市商的利润可能被严重夸大。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Market_Making_under_a_Weakly_Consistent_Limit_Order_Book_Model.pdf (772.23 KB)

2022-6-25 05:28:33 上传

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关键词：Quantitative distribution Variational Numerically agent-based

弱一致性限制指令簿模型下的做市商Baron Law和Frederi ViensAgam CapitalMichigan州立大学，2020年1月28日，发表在《高频文摘》（High FrequencyAbstracts）上。我们开发了一种新的做市商模型，该模型是根据市场微观结构中众所周知的订单类型分类，针对限制指令簿（LOB）下的高频交易而定制的。我们的灵活框架允许任意的订单量、价格上涨、买卖价差分布以及使用市场订单。Italso尊重不同订单类型到货时价格变动的一致性。例如，很明显，在买方市场订单上，价格永远不应该下跌。此外，它尊重LOB的价格-时间优先级。与经典的Avellaneda和Stoikov[1]做市框架中对扩散进行常规控制的方法不同，我们利用了标记点过程的最优切换和脉冲控制技术，这些技术已被证明对订单特征建模非常有效。与控制问题相关的Hamilton-Jacobi-Bellman拟变分不等式（HJBQVI）可以通过有限差分法进行数值求解。我们通过一个完整的数值分析来说明我们的最佳交易策略，并根据一个流行的交易所交易基金（ETF）的订单统计数据进行校准。我们的模拟表明，在价格波动不一致的情况下，做市商的利益可能被严重夸大。关键词：做市；高频交易；随机最优控制；最优切换；脉冲控制；点过程；粘度解决方案1简介现代电子订单驱动交易所中的做市商通过在限额订单簿（LOB）的两侧同时发布限额买卖订单，为市场提供流动性。

他们渴望在每次往返买卖交易中获得买卖价差，以换取承担不利价格变动、不确定执行和不利选择的风险[2，3]。在Avellaneda和Stoikov【1】现在的经典设置中，我们将其称为Frameworker作为模型，作者假设中间价SMT遵循布朗运动，在距离中间价d的距离处达到极限订单的买入或卖出市场订单的到达是一个强度λ（d）=a exp的独立泊松过程(-kd）其中A>0，k>0是常数。小型做市商在交易期结束时，根据中价Smt、现金持有量Bt、库存Qt以及买卖双方Nat的市场订单到达动态，通过控制不同时间的买入价和卖出价SAT，努力实现风险调整后财富的最大化。因此，做市商问题可以被视为如下随机最优控制：maxSbt，SatE（U（BT+QTSmT））（1）dSmt=σdWt（2）dBt=SatdNat- SbtdNbt（3）dQt=dNbt- dNat（4）λb=Aexp(-k（Smt- Sbt））（5）λa=Aexp(-k（Sat- Smt））（6）其中WT表示布朗运动，Nbt表示与WT无关的泊松过程，强度分别为λb和λ。量σ>0表示瞬时波动率，U（o）是凹效用函数。AS框架改编自Ho和Stoll[4]，该框架最初是为交易商在报价驱动的市场（如债券、OTC衍生品）中进行交易而设计的，他们通过电话或现在的彭博终端向潜在客户发出出价和询价。Avellaneda和Stoikov将垄断做市商的假设替换为小型做市商的假设，因此参考（中间）价格是外生的。此外，他们还将最优限价订单替换为最优报价，以便在LOB中进行交易。

这将博弈论模型转变为纯粹的随机模型，数学金融领域的研究人员更容易使用该模型，因此，他们的框架已成为许多近期随机做市模型研究论文的基础（见表1）。然而，简单地将报价交换为限价订单并不能将报价驱动的做市模式转变为良好的订单驱动模式，因为as框架并没有解决许多重要的OB功能，我们将在下面几节中重点介绍这些功能。1.1价格一致性在AS框架中，假设价格和订单到达是独立的，因此价格可以在大型卖出市场订单上上涨，这在现实世界LOB交易中显然是不可能的。由于知情交易者（逆向选择）的存在，市场做市商往往站在交易的错误一边，缺乏这种关键的依赖结构往往会产生巨大的虚幻收益情景，导致做市策略的平均收益被夸大。在我们这里，报价是指对客户的价格报价，但稍后我们将松散地使用报价来表示出价或要价。感兴趣的读者还可以参考附录A了解做市商模型的简短历史。另见【14】。表1：自2008年以来的制作论文作者贡献2012年Fodra和Labadie在更一般的设置下解决了HJB PDE的亚解2013年Guéant等人。解决HJB PDE2013的有效算法Guilbaud和Pham允许市场订单和任意限制订单量，将出价/ASK价格限制在最佳报价或更好的1个刻度，2013年Fodra和Labadie将中价作为跳跃扩散扩展到多资产2014 Cartea等人。通过漂移项2014 Nystr"om等人引入价格与订单到达的依赖关系。

引入模型不确定性2015 Cartea和Jaimungal比较优化目标中的不同惩罚函数2015 Fodra和Pham mid price作为与订单到达相关的马尔可夫更新过程2017 Cartea等人。引入模型不确定性2017 Guéant在更一般的多资产环境下解决HJB PDE 2018 Cartea等人。建模订单到达的条件强度根据第6.2节多资产环境模拟后验下HJB PDE的volumeimbalance2018 Evangelista和Vieira封闭式近似解，这种价格不一致可能会将做市利润夸大50%以上。1.2价格-时间优先级由于几乎所有LOB现在都使用价格-时间优先级，更改limitorder的价格或数量意味着失去执行优先级；然而，AS框架假设在改变买卖价格方面没有成本，因为该模型最初是为报价驱动市场设计的，这显然不会在改变客户报价方面产生成本。在AS模型中，时间t的最优买入价和卖出价表示为与当前时间t的中间价的距离，而不是发布限价订单时的中间价，因此遵循最优买入价和卖出价意味着不断更改限价订单。例如，根据该模型，当前的最佳出价和要价应该是中间价的3个刻度，您可以按照规定下限价订单。当中间价上涨1分时，您的限价买卖订单现在位于中间价的4分和2分的位置。根据模型，您应该立即取消订单，并发布新订单，该订单比当前中间价低3个百分点。

如果您遵循该模型，您的订单将很难在LOB中执行，因为由于您不断更新，您的订单总是位于出价和询问队列的底部。根据Ho和Stoll[4]最初设计的报价驱动市场，AS模型非常有意义。例如，当客户第一次打电话时，你给她一个报价，比如9.97美元/10.03美元。一分钟后，她再次打来电话，你给了她一个9.98美元/10.04美元的报价，因为你的最高执行优先级是限制价格更好的订单，然后是时间戳较早的订单。[1]中的第2.4节：这些限额订单pband Pac可以免费持续更新。在[6]的回溯测试部分，作者需要调整市场环境和交易策略，以便模型在LOB下有意义。参考价格上涨了0.01美元。在本例中，在报价驱动的市场中更改报价不会产生任何成本，但由于价格-时间优先级规则，在LOB下情况并非如此。1.3价格勾选在LOB中，价格仅允许在固定价格网格中。因此，价格确实是一个纯粹的跳跃过程，它有两个维度：即跳跃次数和跳跃幅度。扩散模型只能近似跳跃的大小，但不能描述与跳跃计时相关的属性，例如高频交易中的跳跃聚类。此外，在pricetick约束下，优化在某些模型中可能没有用处。例如，在花费数小时高精度处理PDE后，该模型的最佳出价为10.0123456789美元。尽管如此，您不能在LOB中以这样的价格下限价订单；您可以下限价10.01美元或10.02美元的订单。

在第1.4节中，您甚至可能会发现，在许多情况下，您不需要浪费时间来解决PDE，因为唯一可行的选择是最佳出价或最佳出价。1.4执行概率AS模型的一个关键组成部分是速率函数λ（d）=A exp(-kd），它直接影响给定间隔内限制指令的执行概率。在他们的模型中，价格是连续的，所以d是一个连续变量。然而，由于价格网格inLOB的离散性，利率函数只能是阶跃函数，而不是平滑曲线。此外，当限额指令与某些流动性股票的最佳报价相差一个勾号以上时，执行概率极低（例如，e-mini标准普尔期货的执行概率小于3%[17]）。因此，优化问题变得不必要，因为在这种情况下，唯一合理的做法是将限额订单与最佳报价挂钩。1.5订单规模为了简单起见，AS模型假设所有市场订单和限额订单的规模相同。这种假设可能掩盖做市商过度交易的风险。实际上，做市商不会像as框架所建议的那样，将所有限价指令放在一对最优出价和ASK价格上；相反，他们将在许多价格级别下过多的限额订单，以便在执行订单时继续保持其在LOB中的优先级。尽管如此，一个大型市场订单的到来可能会将其库存提高到无法接受的水平，而当所有订单的规模都相同时，这种过度交易风险就无法显现出来。1.6文件布局本文的组织如下：在第2节中，我们定义了订单一致性的概念，然后在第3节中，我们充分描述了弱一致LOB的实现。

我们的novelFor股票价格>1美元，刻度大小为0.01美元。这种执行概率并不是在一系列价格变动之后，发布到次优的限价单最终被执行的概率。相反，它是指当前第二好队列中的限价指令被一个非常大的市场指令执行的可能性，该市场指令在账面上走高。做市商模型在第4节中有详细描述，第5节用数值解说明了我们模型的一些性质。第6节提供了模拟回溯测试的结果，第7节得出结论。2限额订单簿模型的一致性在完整的LOB模型中，唯一的要素是限额订单和市场订单。所有其他数量，即买入价、卖出价、买入卖出价差和限价订单队列的深度，都可以从限价订单和市场订单的出现中派生出来。然而，在简化形式的一级LOB中，一个人只观察发生在最佳出价和最佳出价上的事件；因此，这种模型并不包含推导价格动态所需的所有信息。因此，许多市场营销模型中的价格都是外生的，而且这种价格往往与订单簿记交易不一致。在讨论具体示例之前，我们首先定义一致的LOB模型的含义。在以下部分中，我们将使用（Sbt、Sat、Smt=（Sbt+Sat）/2、St=Sat- Sbt）分别表示买入价、卖出价、中间价和买入卖出价差，相应的小写字母（sb、sa、sm、s）将用于表示给定时间点的当前“状态”值。定义1（一致的限额订单模型）。

设τbm、τam、τbl、τal、τbc、τac表示任何市场卖出、市场买入、限价买入、限价卖出、限价买入取消和限价卖出取消订单的到达时间，相应的数量和价格（仅限限价订单）用vandπ表示。如果限额订单簿模型满足以下所有条件，则称为一致。1、方向一致性o当适销对路的销售/购买订单到达时，买卖价格不能上下移动，而买卖价格只能保持不变：PnSaτam≥ Saτa-mo\\nSbτam=Sbτa-瞬间= PnSbτbm≤ Sbτb-mo\\nSaτbm=Saτb-瞬间= 1（7）o在限价卖出/买入订单到达时，价格在买卖价差内，债券/买入价格只能向下/向上移动，而买入/卖出价格只能保持不变。如果限额指令在买卖价差之外，则买卖价格保持不变：A=nSbτal=SbτA-lo\\nSaτal<Saτa-loπal<Saτa-lo（8）A=nSbτal=SbτA-lo\\nSaτal=Saτa-lo\\nπal≥ Saτa-lo（9）A=nSaτbl=Saτb-lo\\nSbτbl>Sbτb-loπbl>Sbτb-lo（10）A=nSaτbl=Saτb-lo\\nSbτbl=Sbτb-lo\\nπbl≤ Sbτb-lo（11）PA【A】= PA【A】= 1（12）可销售的买入/卖出指令是市场买入/卖出指令或限价高于/低于或等于买卖价格的限价买入/卖出指令在最佳询价/出价时，当限额买卖订单取消时，询价/出价只能向上/向下移动，而询价/询价只能保持不变。如果取消是在最佳报价之外，则买卖价格保持不变：B=nSbτac=Sbτa-co\\nSaτac≥ Saτa-coπac=Saτa-co（13）B=nSbτac=Sbτa-co\\nSaτac=Saτa-coπac>Saτa-co（14）B=nSaτbc=SaτB-co\\nSbτbc≤ Sbτb-coπbc=Sbτb-co（15）B=nSaτbc=SaτB-co\\nSbτbc=Sbτb-coπbc<Sbτb-co（16）PB【B】= PB【B】= 1 (17)2. 时间一致性-出价/要价仅在订单到达/取消的瞬间变动：PnSbt=Sbt-o\\nSat=Sat-ot型/∈ Γ= 1（18）式中，Γ是市场和限价订单的所有停止时间集。3.

数量一致性o如果可销售买卖订单的数量等于或大于最佳询价/投标队列的深度（Qat、Qbt），则询价/投标价格会上移/下移；否则保持不变：PnSaτam>Saτa-mo\\n AM≥ Qaτa-瞬间[nSaτam=Saτa-mo\\nvam<Qaτa-瞬间= 1（19）页nSbτbm<Sbτb-mo\\nvbm≥ Qbτb-瞬间[nSbτbm=Sbτb-mo\\nvbm<Qbτb-瞬间= 1（20）o如果限额买入/卖出取消的数量等于最佳询价/竞价队列（Qat、Qbt）的深度，则询价/竞价会上移/下移；否则保持不变：PnSaτac>Saτa-co\\nvac=Qaτa-有限公司[nSaτac=Saτa-co\\nvac<Qaτa-有限公司= 1（21）页nSbτbc<Sbτb-co\\nvbc=Qbτb-有限公司[nSbτbc=Sbτb-co\\nvbc<Qbτb-有限公司= 1（22）当方向一致性被违反时，做市商的利益可能会被显著夸大。例如，当价格在一系列卖出市场指令后暴跌时，做市商将遭受重大损失，因为做市商通过交易的对立面拥有净多头库存。如果价格违反方向一致性并上涨，做市商willinstead将获得意外之财。更一般地说，由于做市商经常处于交易的错误端，即她从市场卖出指令买入，从市场买入指令卖出，违反方向一致性的LOBmodel可能会夸大做市商的利益（模拟结果见第6.2节）。我们还要求因激进订单而即时更新价格，以防止陈旧价格带来的虚幻机会，否则会产生非常有利的交易策略。例如，如果最终会观察到方向一致性，则可以在大型买入市场订单之后立即以过时的价格买入，并等待价格完全反映订单状态。