[学科前沿] 兰切斯特第二法则（1） [推广有奖]

兰切斯特第二法则

    下面将阐释兰切斯特第二法则，如第二法则图示所示，近距离包围战是典型的第二法则的军事运用。第二法则的核心就是协同效应。由于距离近，每一个士兵都能有效的将枪口瞄准敌人，进行射击。第二法则如下图所示

1.1.2.1 兰切斯特第二法则的框图分析

    这里引用艾·里斯和杰克·特劳特所著《商战》中的例子。

    “假如A队有9名士兵，B队有6名士兵，双方每人中3颗子弹便死亡，双方都是以尽可能多的消灭敌人为目的。

    A队有50%的数量优势。人数可以是9个人对6个人，也可以是90人对60人，或者9000人对6000人。不管到底是多少，其中的原则是相同的。

    第一次火拼后，战局发生了戏剧性的变化。A队打出9发子弹，打死3人；B队打出6发子弹，打死2人。A队由9:6的优势转变为7:3的优势。A队50％的兵力优势变为大于100％。随着战火的燃烧，这种致命的算术递增仍在继续。

    第二次交火后，A队打出7发子弹，打死2人，并且剩余人中有1人中1枪，B对打出3发子弹，打死1人。兵力对比会变为A队以6:1占绝对优势。

    第三次交战后，A队打出6发子弹，将B消灭，B队打出1发子弹，未打死1人。B队就被彻底歼灭了。

    再来看一下双方的伤亡情况。优势兵力(A队)的伤亡人数仅是劣势兵力(B队)的一半。”

    这是《商战》中所提及的兵力原则的例子。让我们将这个例子进行扩展，使其具有更广泛的意义。

    A队人数受B队战斗力的影响，B队的人数同时也受A队战斗力的影响，这是一个数学递归问题。

假设A队每a发子弹打死1人，B队每b发子弹打死1人。A队的剩余人数等于A队战斗人数减去B队消灭人数，即\[{X}_{n+1}={X}_{n}-E={X}_{n}-\frac{N}{b}={X}_{n}-\frac{{Y}_{n}\times H}{b}\] 。同理\[{Y}_{n+1}={Y}_{n}-F={Y}_{n}-\frac{M}{a}={Y}_{n}-\frac{{X}_{n}\times G}{a}\]  。如下面框图所示

    假设A队和B队武器性能相同，设为1，且均是a发子弹打死一个敌人。则

\[{X}_{n}={X}_{n-1}-\frac{{Y}_{n-1}}{a}\]

\[{Y}_{n}={Y}_{n-1}-\frac{{X}_{n-1}}{a}\]

    两式相加和相减得到下列2式

\[{X}_{n}+{Y}_{n}={X}_{n-1}+{Y}_{n-1}-\frac{{X}_{n-1}}{a}-\frac{{Y}_{n-1}}{a}=(1- \frac{1}{a})({X}_{n-1}+{Y}_{n-1})\]

\[={(1- \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}+{Y}_{0})\]

\[{X}_{n}-{Y}_{n}={X}_{n-1}-{Y}_{n-1}+\frac{{X}_{n-1}}{a}-\frac{{Y}_{n-1}}{a}=(1+\frac{1}{a})({X}_{n-1}-{Y}_{n-1})\]

\[={(1+ \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}-{Y}_{0})\]

    求出上述2个方程式的解，得到A队和B队人数的方程式

\[{X}_{n}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}+{Y}_{0})+\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}-{Y}_{0})\]

\[{Y}_{n}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}+{Y}_{0})-\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}-{Y}_{0})\]

    假设A队人数占优势，B队最后全军覆灭。另下式为0，

\[{Y}_{n}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}+{Y}_{0})-\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}-{Y}_{0})=0\]

    上式变换为

\[(\frac{1- \frac{1}{a}}{1+ \frac{1}{a}})^{n}=\frac{{X}_{0}-{Y}_{0}}{{X}_{0}+{Y}_{0}}\]

    两边取对数，求得n，即n轮时，B队全军覆灭。

\[n=\frac{\ln (\frac{{X}_{0}-{Y}_{0}}{{X}_{0}+{Y}_{0}})}{\ln (\frac{1- \frac{1}{a}}{1+ \frac{1}{a}})}\]

    将n带到下式，可求出最终A队剩余战斗人数。

\[{X}_{n}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}+{Y}_{0})+\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}-{Y}_{0})\]

    求出战斗人数递归方程的解有一个好处，当交火次数在1到n之间取值时，即可通过递归方程的解求出每一轮过后两队的剩余人数。

    用上述例子进行验算，依然假设A队9人，B队6人，每3发子弹打死1个敌人。

    则初始状态时

    X0=9，Y0=6，a=3。

    最终状态时，B队全军覆灭。n=2.3，向上取整即n=3。即在第三轮交火时，A队不需要用全力，就能将B对消灭。

    将n=1，2，3分别代入以下两式，分别求出每轮过后，A队和B队的剩余人数。

\[{X}_{n}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}+{Y}_{0})+\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}-{Y}_{0})\]

\[{Y}_{n}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}+{Y}_{0})-\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}-{Y}_{0})\]

    当n=1时，

\[{X}_{1}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{3})}^{1} (9+6)+\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{3})}^{1} (9-6)=7\]

\[{Y}_{1}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{3})}^{1} (9+6)-\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{3})}^{1} (9-6)=3\]

    当n=2时，

\[{X}_{2}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{3})}^{2} (9+6)+\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{3})}^{2} (9-6)=6\]

\[{Y}_{2}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{3})}^{2} (9+6)-\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{3})}^{2} (9-6)= \frac{2}{3}\]

    其中2/3表示B对只剩1人，并中了1枪。

    当n=2.3时，

\[{X}_{3}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{3})}^{2.3} (9+6)+\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{3})}^{2.3} (9-6)=5.85\]

\[{Y}_{3}=0\]

    即A队剩余6人，B队全军覆灭。

    这个递归公式是基于盖然性的计算，真实情况会基于盖然计算值上下有小幅度波动。这里的3发子弹打死一个敌人是假设的平均情况，战斗人数越少，偶然性就越大。比如一个人这次只用2发子弹就打死了1个敌人，而他的队友却用4发子弹打死1个敌人。参战的人数越多，这些偶然性之间就会彼此中和，偏差就会越小，偶然性就越小。

    当初始兵力为X0=9，Y0=6，而士兵所能承受的被击中的枪数a变化对剩余人数的影响见下表。

数的影响见下表。

    当a=1时，即射击命中率100%，并且1枪致命，此时应该使用兰切斯特第一法则，完全没有协同作用。

    当n>=2时，由上图的表格可以得出结论，当初始兵力为X0=9，Y0=6，所能承受的被击中的枪数越多（即a越大），则所需要的交火次数n越多，并且A队剩余人数Xn逐渐增大，最终A队剩余6.7人，B队全部阵亡。

1.1.2.2 兰切斯特第二法则的阐释

    兰切斯特第二法则：攻击力＝武器性能×兵力数的平方，即

\[M=mv^2\]

。这里E表示攻击力，m表示武器性能，v表示兵力数。

    如A和B两队进行近距离作战，则可使用兰切斯特第二法则进行分析。A队的战斗力为\[{E}_{A}={m}_{A}\times {v}_{A}^{2}\]

B队的战斗力为\[{E}_{B}={m}_{B}\times{v}_{B}^{2}\]

两队进行战斗，A队人数比B队人数多，最后剩余的战斗力

\[{E}_{\Delta }={m}_{A}\times{v}_{A}^{2}-{m}_{B}\times {v}_{B}^{2}\]

，将这个公式称为第二法则战斗公式。而最后可以求出A队剩余的人数为：

\[{E}_{\Delta}=\sqrt{\frac{{m}_{A}\times {v}_{A}^{2}-{m}_{B}\times{v}_{B}^{2}}{{m}_{A}}}\]

    还是引用上边的例子，假如A队有9名士兵，B队有6名士兵，双方武器性能相同，双方都是以尽可能多的消灭敌人为目的（注意这里与上边例子的区别是这里没有说中几枪身亡）。

    现在用兰切斯特第二法则计算A队最后剩余的人数，此时B队全军覆灭。A队的剩余人数

\[{E}_{\Delta }=\sqrt{\frac{{m}_{A}\times{v}_{A}^{2}-{m}_{B}\times{v}_{B}^{2}}{{m}_{A}}}=\sqrt{{9}^{2}-{6}^{2}}=6.7082\]

人，

    即A队最后剩余7人。读者可以发现框图分析的表格中，a越大，即士兵能承受的被击中的枪数越多，A队所剩余的人数越与兰切斯特第二法则算出的A队剩余人数6.7082人接近。关于这两者的所计算出的数值的关系，将在后边进行阐述。

    由上述例子，我们可以发现，当两队进行近距离作战时，通过兰切斯特第二法则计算出的胜利者剩余人数与真实值相差无几，这样就可以用第二法则来分析两队竞争的关系，从而决定投入多少兵力，或者在投入兵力既定的情况下，分析剩余兵力的情况。