基于一般复合Hawkes过程的风险模型

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英文标题：
《Risk Model Based on General Compound Hawkes Process》
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作者：
Anatoliy Swishchuk
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we introduce a new model for the risk process based on general compound Hawkes process (GCHP) for the arrival of claims. We call it risk model based on general compound Hawkes process (RMGCHP). The Law of Large Numbers (LLN) and the Functional Central Limit Theorem (FCLT) are proved. We also study the main properties of this new risk model, net profit condition, premium principle and ruin time (including ultimate ruin time) applying the LLN and FCLT for the RMGCHP. We show, as applications of our results, similar results for risk model based on compound Hawkes process (RMCHP) and apply them to the classical risk model based on compound Poisson process (RMCPP).
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中文摘要：
在本文中，我们介绍了一种新的基于索赔到达一般复合霍克斯过程（GCHP）的风险过程模型。我们称之为基于一般复合霍克斯过程的风险模型（RMGCHP）。证明了大数定律（LLN）和泛函中心极限定理（FCLT）。我们还将LLN和FCLT应用于RMGCHP，研究了这种新风险模型的主要性质、净利润条件、保费原则和破产时间（包括最终破产时间）。作为结果的应用，我们展示了基于复合霍克斯过程（RMCHP）的风险模型的类似结果，并将其应用于基于复合泊松过程（RMCPP）的经典风险模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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关键词：Hawk 风险模型 Applications Quantitative Application

基于广义复合霍克斯过程的风险模型摘要：本文介绍了一种新的基于广义复合霍克斯过程（GCHP）的索赔到达风险过程模型。我们称之为基于一般复合霍克斯过程的风险模型（RMGCHP）。证明了大数定律（LLN）和泛函中心极限定理（FCLT）。我们还将LLN和FCLT应用于RMGCHP，研究了这种新风险模型的主要性质、净利润条件、保费原则和破产时间（包括最终破产时间）。作为结果的应用，我们展示了基于复合霍克斯过程（RMCHP）的风险模型的类似结果，并将其应用于基于复合泊松过程（RMCPP）的经典风险模型。关键词：霍克斯过程；通用复合霍克斯工艺；风险模型；净利润状况；溢价原则；破产时间；最终破坏时间；LLN；FCLT1简介霍克斯过程（Hawkes（1971））是一个简单的点过程，具有自激励特性、聚类效应和长记忆性。它已广泛应用于地震学、神经科学、DNA建模和许多其他领域，包括金融（Embrechts、Liniger和Lin（2011））和保险（Stabile等人（2010））。在本文中，我们介绍了一种新的风险过程模型，即索赔到达的一般复合霍克斯过程（GCHP）。我们称之为基于一般复合霍克斯过程（RMGCHP）的风险模型。据作者所知，该风险模型是现有文献中最普遍的模型。Stabile等人介绍了复合Hawkes过程和基于该过程的风险模型。

(2010).与索赔的简单泊松到达相比，GCHP模型考虑了索赔的传染和聚集风险。我们注意到，Stabile&Torrisi（2010）是第一个在研究破产概率的经典问题时，用简单的Hawkes过程取代Poisson过程的人。Dassios和Zhao（2011）使用标记的相互激励过程（动态传染过程）考虑了相同的破产问题。加拿大卡尔加里卡尔加里大学作者感谢NSERC继续支持Jang&Dassios（2012）实施Dassios&Zhao（2011）计算保险费，并建议在不同的保险产品线中普遍设立更高的保险费。半马尔可夫风险过程及其最优控制和稳定性首次在Swishchuk&Goncharova（1998）中引入，并在Swishchuk（2000）中研究和开发。在Swishchuk、Chavez Casillas、Elliott和Remillard（2017年），复合Hawkes流程被用于限制订单。通用复合霍克斯流程也已应用于Swishchuk的LOB（2017年）。Swishchuk（2017）首次引入generalcompound Hawkes流程，以模拟保险业的风险流程。本文的组织结构如下。第2节专门描述霍克斯过程。第3节包含RMGCHP的大数定律（LLN）和泛函中心极限定理（FCLT）。第4节包含LLN和FCLT的应用，包括净利润条件、保费原则、破产和最终破产概率，以及RMGCHP破产时间的概率密度函数。第5节描述了第4节的结果在基于复合霍克斯过程（RMCHP）的风险模型中的应用。第5节包含了第5节的结果在基于复合泊松过程（RMCPP）的经典风险模型中的应用，只是为了说明的完整性。

第6节对论文进行了总结，并重点介绍了未来的工作。2霍克斯、一般复合霍克斯过程（GCHP）和基于GCHP的风险模型在本节中，我们介绍了霍克斯和一般复合霍克斯过程，并给出了它们的一些性质。我们还介绍了基于GCHP的风险模型。2.1霍克斯过程定义1（计数过程）。计数过程是一个随机过程N（t），t≥ 0，取正整数值并满足：N（0）=0。几乎可以肯定，这是一个右连续阶跃函数，其大小增量为+1。（例如，见Daley和Vere Jones（1988））。用FN（t），t表示≥ 0，到达时间t的历史，即{FN（t），t≥ 0}，是一个过滤（σ-代数的递增序列）。计数过程N（t）可以解释为截至当前时间t的系统到达次数的累积计数。计数过程还可以用随机到达时间序列（t，t，…）来表征此时计数过程N（t）已跳变。由这些到达时间定义的过程称为点过程。定义2（点过程）。如果一系列随机变量（T，T，…），取[0]中的值+∞), 有P（0≤ T≤ T≤ ...) = 有界区域中的点数几乎肯定是有限的，那么，（T，T，…）称为点过程。（参见Daley，D.J.和Vere Jones，D.（1988））。定义3（条件强度函数）。考虑一个计数过程N（t）和相关的历史FN（t），t≥ 如果存在一个非负函数λ（t），使得λ（t）=limh→0E【N（t+h）】- N（t）| FN（t）]h，（1）则称为N（t）的条件强度函数。

我们注意到，有时这个函数被称为危险函数。定义4（一维霍克斯过程）（霍克斯（1971））。一维Hawkes过程是一个点-点过程N（t），其特征是相对于其自然过滤的强度λ（t）：λ（t）=λ+Ztu（t- s） dN（s），（2），其中λ>0，响应函数u（t）为正函数，满足+∞u（s）ds<1。常数λ称为背景强度，函数u（t）有时也称为激励函数。我们假设u（t）6=0以避免常见情况，即齐次泊松过程。因此，theHawkes过程是Poisson过程的非马尔可夫扩展。方程（2）的解释是，事件根据背景强度λ的强度发生，背景强度λ在每个新事件中增加u（0），然后根据函数u（t）衰减回背景强度值。选择u（0）>0会导致每个新事件的强度发生波动，该特征通常被称为自激特征，换句话说，因为到达会导致（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）增加，因此该过程被称为自激。关于（1）和N（t）（2）中λ（t）的定义，它遵循p（N（t+h）- N（t）=m | FN（t））=λ（t）h+o（h），m=1o（h），m>11- λ（t）h+o（h），m=0。我们应该提到，（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）可以与计数过程N（t）的补偿器∧（t）相关联，即∧（t）=Ztλ（s）ds。（3） 因此，∧（t）是唯一的FN（t），t≥ 0，可预测函数，其中∧（0）=0，并且是非递减的，因此n（t）=M（t）+∧（t）a.s.，其中M（t）是FN（t），t≥ 0，局部鞅（这是N的Doob-Meyer分解。）（2）中函数u（t）的常见选择是指数衰减：u（t）=αe-βt，（4）参数α，β>0。

在这种情况下，霍克斯过程被称为强度呈指数衰减的霍克斯过程。因此，方程（2）变为λ（t）=λ+Ztαe-β（t-s） dN（s），（5）我们注意到，在（4）的情况下，过程（N（t），λ（t））是一个连续的时间马尔可夫过程，而选择（2）的情况并非如此。在某些初始条件λ（0）=λ时，（5）中的条件密度λ（t）和（4）中的指数衰减满足SDEdλ（t）=β（λ- λ（t））dt+αdN（t），t≥ 0，可（使用随机演算）求解为λ（t）=e-βt（λ- λ） +λ+Ztαe-β（t-s） dN（s），是（5）的扩展。u（t）的另一个选择是幂律函数：λ（t）=λ+Ztk（c+（t- s） ）pdN（s）（6）表示一些正参数c、k、p。λ（t）in（6）的幂律形式被应用于称为Omori定律的地质模型中，并用于预测地震引起的余震率。霍克斯过程的许多推广已经被提出。它们尤其包括多维霍克斯过程、非线性霍克斯过程、混合扩散霍克斯模型、具有散粒噪声异源事件的霍克斯模型、具有世代相关核的霍克斯过程。2.2通用复合霍克斯工艺（GCHP）定义7（通用复合霍克斯工艺（GCHP））。LetN（t）是上述任何一维Hawkes过程。设Xnbe遍历连续时间有限（或可能有限但可数）状态马尔可夫链，独立于N（t），空间状态为X，且a（X）是X上的任意有界连续函数。一般的复合Hawkes过程定义为t=S+N（t）Xk=1a（Xk）。（7） GCHP1的一些示例。复合泊松过程：St=S+PN（t）k=1Xk，其中N（t）是aPoisson过程，a（Xk）=Xkare i.i.d.r.v.2。复合霍克斯过程：St=S+PN（t）k=1Xk，其中N（t）是aHawkes过程，a（Xk）=Xkare i.i.d.r.v.3。

复合马尔可夫更新过程：St=S+PN（t）k=1a（Xk），其中N（t）是更新过程，Xkis是马尔可夫链。2.3基于一般复合HawkesProcess定义8的风险模型（RMGCHP：有限状态MC）。我们将基于GCHP的风险模型R（t）定义如下：R（t）：=u+ct-N（t）Xk=1a（Xk），（8）其中u是保险公司的初始资本，c是支付保费的比率，Xkis状态空间中的连续时间马尔可夫链x={1，2，…，N}，N（t）是霍克斯过程，a（x）是x上的连续有界函数）。N（t）和Xkare独立。定义8’。（RMGCHP：最终状态MC）。我们基于有限状态但可数马尔可夫链的GCHP定义风险模型R（t），如下所示：R（t）：=u+ct-N（t）Xk=1a（Xk）。（8） 这里：X={1，2，…，n，…}-马尔可夫链Xk的有限但可数的状态空间。RMGCHP1的一些示例。经典风险过程（Cramer-Lundberg风险模型）：Ifa（Xk）=Xkare i.i.d.r.v.和N（t）是齐次泊松过程，则r（t）是经典风险过程，也称为Cramer-Lundberg风险模型（见Asmussen和Albrecher（2010））。在后一种情况下，我们对传出索赔采用复合泊松过程（CPP）。备注1。利用这个类比，我们将我们的风险过程称为基于一般复合霍克斯过程（GCHP）的风险模型。2、基于复合霍克斯过程的风险模型：如果a（Xk）=Xkare i.i.d.r.v.和N（t）是霍克斯过程，那么r（t）是一个风险过程，Stabile et al.（2010）引入了非平稳霍克斯索赔到达。3 RMGCHP的LLN和FCLT在本节中，我们介绍了RMGCHP的LLN和FCLT。3.1 LLN表示RMGCHP定理1（LLN表示RMGCHP）。设R（t）为上文（8）中定义的风险模型（RMGCHP），Xkbe为平稳概率π的遍历马尔可夫链*n、 Thenlimt公司→+∞R（t）t=c- 一*λ1 - ^u，（9）其中*=主键∈Xa（k）π*k、 和0<u：=R+∞u（s）ds<1。证据

（以下摘自Swishchuk（2017）（“限量订单簿中的一般复合鹰牌工艺”，工作文件。可在arXiv上获得：https://arxiv.org/submit/1929048)).从（8）我们得到（t）/t=u/t+c-N（t）Xi=1a（Xk）/t.（10）当t→ +∞. 另一方面，w.r.t.thestrong LLN表示马尔可夫链（参见Norris（1997））nnXk=1a（Xk）→n→+∞一*, （11） 其中a*定义见（9）。最后，考虑（10）和（11），我们得到：N（t）Xi=1a（Xk）/t=N（t）tN（t）N（t）Xi=1a（Xk）→t型→+∞一*λ1 - （9）中的结果如下。我们注意到，我们使用了上面的结果，N（t）/t→t型→+∞λ/(1 -^u). （参见Bacry、Mastromatteo和Muzy（2015）或Daley，D.J.andVere Jones，D.（1988））。Q、 E.D.备注2。当a（Xk）=Xkare i.i.d.r.v.时，则a*= EXk公司。备注3。当u（t）=αe时-β为指数，则^u=α/β。3.2 RMGCHP的FCLT定理2（RMGCHP的FCLT）。设R（t）为上文（8）中定义的风险模型（RMGCHP），Xkbe为平稳概率π的遍历马尔可夫链*n、 Thenlimt公司→+∞R（t）- （ct- 一*N（t））√t=DσΦ（0，1），（12）（或在Skorokhod拓扑中（见Skorokhod（1965））limn→+∞R（nt）- （cnt- 一*N（nt））√n=σW（t））（12），其中Φ（·，·）是标准正态随机变量（W（t）是标准维纳过程），σ：=σ*pλ/（1）- ^u),(σ*):=圆周率∈Xπ*iv（i），0<u：=R+∞u（s）ds<1，（13）和v（i）=b（i）+Pj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）- 2b（i）Pj∈S（g（j）- g（i））P（i，j），b=（b（1），b（2）。。。，b（n）），b（i）：=a*- a（i），g：=（P+π）*- （一）-1b，a*:=圆周率∈Xπ*ia（i），（14）P是Xk的转移概率矩阵，即P（i，j）=P（Xk+1=j | Xk=i），π*表示P的平稳分布矩阵，g（j）是g证明的第三步。（以下摘自Swishchuk（2017）（“限量订单簿中的一般复合鹰牌工艺”，工作文件。可在arXiv上获得：https://arxiv.org/submit/1929048)).

从（8）可以看出R（t）/√t=（u+ct-N（nt）Xi=1a（Xk））/√t、 andR（t）/√t=（u+ct+N（t）Xi=1（a*- a（Xk））- N（t）a*)/√t、 （15）如果*定义见（14））。因此，R（t）- （ct- N（t）a*)√t=u+PN（t）i=1（a*- a（Xk））√t、 （16）只要asu√t型→t型→+∞0，我们必须找到Pn（t）i=1（a）的极限*- a（Xk））√t当t→ +∞.考虑以下sumsR*n： =nXk=1（a（Xk）- ^a*) （17） 安度*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc））R*bntc）+（nt- bntc））R*bntc）+1]，（18），其中b·c是FLOOR函数。根据Vadori和Swishchuk（2015）的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中具有以下弱收敛性（见Skorokhod（1965））：^U*n（t）→n→+∞σ*W（t），（19），其中σ*定义见（13）。我们再次注意到，对于霍克斯过程N（t）（参见Daley，D.J.和Vere Jones，D.（1988））的w.r.t LLN，我们有：N（t）t→t型→+∞λ1 - ^u，orN（nt）n→n→+∞tλ1- ^u，（20），其中^u在（13）中定义。使用（19）中的时间变化，t→ N（t）/t，我们可以从（19）和（20）中找到：U*n（n（nt）/n）→n→+∞σWtλ/（1）- ^u),奥鲁*n（n（nt）/n）→n→+∞σpλ/（1）- ^u）W（t），（21），其中W（t）是标准维纳过程，σ*和^u在（13）中定义。结果（12）现在由（15）-（21）得出。Q、 E.D.备注4。当a（Xk）=Xk时∈ {+δ, -δ} 独立且P（1，2）=P（2，1）=π*= 1/2，然后a*= 0和σ*= +δ.备注5。当a（Xk）=Xk时∈ {+δ, -δ} 是独立的，P（1，2）=P（2，1）=P，然后是π*= 1/2，a*= 0和（σ*)= δp/（1）- p） 。备注6。当a（Xk）=Xk∈ {+δ, -δ} 是两态马尔可夫链，P（1，1）=P，P（2，2）=P，然后是a*= δ(2π*- 1） 和（σ*)= 4δ(1 - p+π*（p- p） （p+p- 2)- π*(1 - π*).备注7。

当a（Xk）=Xkare i.i.d.r.v.，则σ*= V ar（Xk）in（13）和σ=V ar（Xk）pλ/（1- ^u).4 LLN和FCLT在RMGCHP中的应用在本节中，我们考虑了LLN和FCLT在RMGCHP中的一些应用，包括净利润条件、保费原则、破产概率和终极概率。4.1 LLN的应用：定理1中的净利润条件（LLN表示RMGCHP）表明净利润条件具有以下形式：推论1（NPC表示RMGCHP）。c>a*λ1 - ^u，（22）其中*=主键∈Xa（k）π*k、 推论2（NPC代表RMCHP）。当a（Xk）=Xkare i.i.d.r.v.时，则a*= EXk，这种情况下的净利润条件的公式C>λ1- ^u×E【Xk】。推论3（NPC代表RMCPP）。当然，在泊松过程N（t）（^u=0）的情况下，我们有众所周知的净利润条件：c>λ×E[Xk]。4.2 LLN的应用：保费原则保费原则是一个如何针对保险风险定价保费的公式。