限价订单的随机偏微分方程模型

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英文标题：
《A stochastic partial differential equation model for limit order book
  dynamics》
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作者：
Rama Cont and Marvin S. Mueller
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We propose an analytically tractable class of models for the dynamics of a limit order book, described through a stochastic partial differential equation (SPDE) with multiplicative noise for the order book centered at the mid-price, along with stochastic dynamics for the mid-price which is consistent with the order flow dynamics. We provide conditions under which the model admits a finite dimensional realization driven by a (low-dimensional) Markov process, leading to efficient estimation and computation methods. We study two examples of parsimonious models in this class: a two-factor model and a model with mean-reverting order book depth. For each model we analyze in detail the role of different parameters, the dynamics of the price, order book depth, volume and order imbalance, provide an intuitive financial interpretation of the variables involved and show how the model reproduces statistical properties of price changes, market depth and order flow in limit order markets.
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中文摘要：
我们提出了一类分析可处理的极限订单书动力学模型，该模型通过一个随机偏微分方程（SPDE）来描述，其中以中间价为中心的订单书具有乘性噪声，中间价的随机动力学与订单流动力学相一致。我们提供了模型允许由（低维）马尔可夫过程驱动的有限维实现的条件，从而产生了有效的估计和计算方法。我们研究了这类节俭模型的两个例子：一个双因素模型和一个具有均值回复订单深度的模型。对于每个模型，我们详细分析了不同参数的作用、价格动态、订单簿深度、数量和订单不平衡，对所涉及的变量提供了直观的财务解释，并展示了该模型如何再现限价订单市场中价格变化、市场深度和订单流的统计特性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_stochastic_partial_differential_equation_model_for_limit_order_book_dynamics.pdf (2.79 MB)

2022-6-14 10:06:22 上传

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关键词：偏微分方程 微分方程 偏微分 Differential Applications

穆勒（M¨uller）ETH Z¨urich数学系，当前地址：2Xideas AG，Seestrasse 39，CH-8700 K¨usnacht

随机微分方程的数值解。斯普林格。Krylov，N.V.（2011年）。关于分布值过程的It^o-Wentzell公式及相关主题。概率。理论相关领域，150（1-2）：295–319。Lasry，J.-M.和Lions，P.-L.（2007年）。平均场比赛。日本。J、 数学。，2(1):229–260.Lehalle，C.-A.和Laruelle，S.（2018年）。实践中的市场微观结构。WorldScientific.Leonenko，N.和ˇSuvak，N.（2010）。互惠Gammadiffusion过程的统计推断。《统计规划与推理杂志》，140（1）：30–51。L’evine，J.（1991年）。随机偏微分方程的有限维实现及其在滤波中的应用。随机与随机报告，37（1-2）：75–103。Lipton，A.、Pesavento，U.和Sotiropoulos，M.G.（2014）。交易策略viabook失衡。风险，第70–75页。Luckock，H.（2003年）。连续双重拍卖的稳态模型。定量金融，3（5）：385–404。Markowich，P.、Teichman，J.和Wolfram，M.（2016）。市场规模波动下的抛物线自由边界价格形成模型。多尺度建模与仿真，14（4）：1211–1237。Milian，A.（2002年）。随机发展方程的比较定理。斯托赫。斯托赫。代表，72（1-2）：79-108。Mueller，M.S.（2018）。一阶边界条件下的随机Stefan型问题。《应用概率年鉴》，28（4）：2335–2369。Revuz，D.和Yor，M.（1999年）。连续鞅与布朗运动。斯普林格。Schlichting，H.和Gersten，K.（2017）。边界层理论。数学研究生课程。Springer Verlag。Smith，E.、Farmer，J.D.、Gillemot，L.和Krishnamurthy，S.（2003）。连续双重拍卖的统计理论。定量金融，3（6）：481–514。Yosida，K.（1995年）。功能分析。数学经典。斯普林格。（R.Cont）牛津大学数学研究所。（硕士）。

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- St）dt+（σbvt- csθ（σb- a、 bσa）vt）dWt+csθq1- a、 bσavtdWton（圣- 五十、 St），否则vt=0；dSt=csθutdt+csθ（σb- a、 bσa）dWt- csθq1- a、 bσadWt，为了明确我们在本文中所指的解决方案，我们引入了映射SL:[x∈RH（R \\{x- 五十、 x，x+L}）∩ H（R \\{x- 五十、 x，x+L}）×{x}→ D、 （五、六）7→ (（五）- L+）- v（s）-L-)))δs-L+(（v（s+）- v（s）-)))δs+(（v（s+L+）- v（s+L-)))δs+L。现在定义函数u：R→ R、 \'\'σ，\'\'σ：R→ R为u（x，y，y，y，s）：=（ηa+σs）y+（βa- csθ(a、 bσbσa- σa）y+αay+fa（x），x∈ （0，L）（ηb+σs）y- （βa+csθ（σb- a、 bσbσa）y+αby- fb（x），x∈ (-五十、 0），否则，(R)σ（x，y，y，s）：=σaa、 由，x∈ （0，L），σby，x∈ (-五十、 0），否则，\'（x，y，y，s）：=（σaq1- a、 由，x∈ （0，L）0，否则为x，y，y，y，s∈ R、 根据（Mueller，2018，定义1.11），（a.13）的解是一个L（R）×R连续随机过程（vt，St），取[x]中的值∈RH（R \\{x- 五十、 x，x+L}）∩ H（R \\{x- 五十、 x，x+L}）×{x},（St）由（A.10）给出，并且在分布意义上，（A.14）dvt=（(R)u（。-圣，及物动词，vt，vt，St）dt- vtdSt+L（vt，St）dhSit+(R)σ（。- 圣，vt，vt，St）dWt+(R)σ（。- 圣，vt、vt、St）载重吨。参考Bibby，B.M.、Skovgaard，I.M.和Sorensen，M.（2005）。具有给定边缘分布和自相关函数的扩散型模型。伯努利，11（2）：191–220。Bibby，B.M.和Sorensen，M.（1995年）。离散观测扩散过程的鞅估计函数。伯努利，1（1-2）：17-39。Borodin，A.N.和Salminen，P.（2012年）。布朗运动事实和公式手册。Birkh–auser。Bouchaud，J.-P.，Farmer，J.，和Lillo，F.（2009）。市场如何慢慢消化供求变化。Hens，T.和Schenk Hoppe，K.R.，编辑，《金融市场手册：动态和演变》，第57-160页。爱思唯尔。Burger，M.、Caffarelli，L.、Markowich，P.A.和Wolfram，M.-T.（2013）。

回想一下 和 在前面的讨论中，表示R上的弱导数\\{-五十、 0，L}，我们明白了xu=u和（A.5）xu- u=x个u-u=(u(-L+）-u(-L-))δ-L+(u（0+）- u（0-))δ+ (u（L+）- u（L-))δL，其中δxdenotes是x处的点质量∈ R、 定义（x）：=ηaut（x）+βaut（x）+αaut（x）+fa（x），x∈ （0，L），ηbut（x）- βbut（x）+α，但（x）- fb（x），x∈ (-五十、 0），否则为0，（A.6）ct（x）：=σaa、 但是（x），x∈ （0，L），σ，但（x），x∈ (-五十、 0），否则为0，（A.7）ct（x）：=（σaq1- a、 但是（x），x∈ （0，L），0，否则，（A.8），使（A.9）dut=btdt+ctdWt+ctdWt。Cauchy-Schwartz不等式表明（A.1）是令人满意的。现在假设中间价格（St）t≥0遵循动力学（A.10）dSt=csθutdt+csθ（σb- σaa、 b）载重吨- csθσaq1- a、 bdWt。对于某些可积可预测过程u。定义（A.11）σs：=csθqσb+σA- 2.a、 bσbσa。然后，定理a.2得出vt（x）：=~ut（x- St）我们得到（A.12）dvt=hbt（。- St）+σsxvt公司- csθutxvt公司-csθ（σb- a、 bσa）xct（。- St）+csθq1- a、 bσaxct（。- St）idt公司+ct（。- St）- csθ（σb）- a、 bσa）xvt公司载重吨+ct（。- St）+csθq1- a、 bσaxvt公司dWti。e、 v是随机移动边界问题的解，（a.13）dvt=ηa+σsvt公司+βa- csθut- csθa、 bσbσa- σavt+αavt+fa（。- St）dt+（σaa、 bvt公司- csθ（σb- a、 bσa）vt）dWt+σaq1- a、 b（vt+csθvt）dWt，on（St，St+L），dvt=ηb+σs及物动词-βb+csθut+csθσb- a、 bσbσavt+αbvt- fb（。

- x） i |+NXk=1ckt，φ（。- x）dt<∞.Let（Wkt，k=1，…，N）t≥0be独立的标量布朗运动。我们考虑形式为（A.2）dut=btdt+NXk=1cktdWkt的方程，定义A.1。一个D值随机过程（ut）t≥0称为（a.2）在初始条件为t的分布意义下的解∈ (0, ∞) 和φ∈ C∞（A.3）小屋，φi- hu，φi=Zthbs，φi dt+NXk=1Ztcks，φdWks。几乎可以肯定。变量公式的以下变化是Krylov结果的特例（Krylov，2011，定理1.1）：定理a.2（广义It^o-Wentzell公式）。让（ut）t≥0是（a.2）在分布意义下的解，且let（xt）t≥0be表示为dxt=utdt+NXk=1σktdWkt，t的局部可积过程≥ 0.其中（ut）t≥0和（σkt，k=1..N）t≥0是实值可预测流程。定义D值过程（vt）t≥0按vt（x）：=ut（x+xt），对于x∈ R、 t型∈ [0, ∞). 然后（vt）t≥0是VT=“bt（.+xt）+NXk=1的解决方案σkt!xvt+utxvt+NXk=1σktxckt（.+xt）#dt+NXk=1ckt（.+xt）+σktxvt公司分布意义上的DWK。备注A.3。值得注意的是，（ut）和（xt）的相关性导致termNXk=1σktxckt（.+xt）.现在，我们应用上述It^o-Wentzell公式，以便在第3节和第4节中考虑的设置中，在非中心坐标下推导订单簿密度v的动态。让我∈ (0, ∞] 而我：=(-五十、 0）∪（0，L）。对于h，f∈ H（一）∩H（I）。然后，（1.2）在初始条件u=h时，允许一个由（ut）t表示的唯一（解析）强解≥设▄ut是utto R的平凡扩展，即（A.4）▄ut（x）：=（ut（x），x∈ 一、 0，否则。请注意，u∈ H（R\\{-五十、 0，L}）∩ H（R）。

比较日内价格波动率σS的各种估计值：价格变化的标准偏差（蓝色），基于买卖深度的已实现方差/协方差的估计值（红色），以及基于鞅估计函数的估计值（橙色）。股票代码ubuaνbνaσbσa一bINTC 2016-11-15 5179.0 5641.7 0.151 0.156 0.133 0.134-0.0772016-11-16 5565.0 5672.5 0.082 0.118 0.111 0.124-0.0702016-11-17 5776.5 7363.2 0.144 0.109 0.118 0.116-0.019MSFT 2016-11-15 3035.6 3855.9 0.522 0.426 0.292-0.0922016-11-16 2839.9 3562.1 0.409 0.395 0.239 0.240-0.0712016-11-17 4149.0 5762.5 0.300 0.239 0.202 0.208-0.146QQQ 2016-11-15 4686.9 5489.2 2 2.467 1.972 0.724 0.639-0.1772016-11-16 4801.0 5142.6 2.041 1.845 0.632 0.677-0.1772016-11-17 6414.0 6226.4 1.428 1.281 0.510 0.506-0.224SPY 2016-11-15 3903.4 4877.9 1.949 1.689 0.737 0.666-0.1762016-11-16 3773.4 4486.4 1.324 1.763 0.578 0.657-0.1562016-11 3693.0 4115.4 1.355 1.405 0.597 0.543-0.181表1。模型参数的平均估计量；每秒给出ν和σ。附录A.绝对价格协调中的动力学我们现在更详细地讨论了分配值过程的广义It^o-Wentzell公式，该公式在第3.5节中用于推导（非中心）订单簿密度vt（p）的动力学。让C∞:= C∞（R） 是R，D上的光滑紧支函数空间，其对偶是广义函数空间。我们表示为X和X分布意义上的前两个导数And by h。i D×C上的对偶积∞.一个D值随机过程u=（ut）t≥0在过滤概率空间上(Ohm, F、 F，P）称为F-可预测if for allφ∈ C∞（R） 实值过程（hut，φi）t≥0可预测。让N∈ N和（bt）t≥0和（ckt）t≥0，k∈ {1，…，N}是可预测的D值进程。我们假设对于所有的T，R∈ (0, ∞) 和所有φ∈ C∞（R） ，几乎可以肯定（A.1）ZTsup | x|≤R | hbt，φ（。

自相关（νa/b）、标准差（σa/b）和买卖相关(a、 b）两个流动ETF（QQQ和SPY）的前2级订单深度。0.00.10.20.30.40.50.6自动相关股票代码：INTC日期：2016-11-16νbνa0.00.10.20.30.40.5波动率σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00:00时间1.00.80.60.40.20.00.2Bid-AskCorrelation%a，b0.00.51.01.52.02.5自相关检测器：MSFT日期：2016-11-16νbνa0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8波动性σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00Time1.00.80.60.20.00.2Bid-AskCorrelation%a，图8。自相关（νa/b）、标准差（σa/b）和买卖相关(a、 b）两种流动库存（INTC和MSFT）的前2级订单深度。0.10%0.20%0.30%0.40%0.50%0.60%s，单位：国际日期：2016-11-17价格，单位：RVfrom depth:RCG0.20%0.40%0.60%0.80%1.00%s，单位：MSFT日期：2016-11-170.40%0.60%0.80%1.00%s，单位：SPY日期：2016-11-1710:0011:0012:0013:0014:0015:0016:00Time0.40%0.60%0.80%1.00%1.20%1.40%s，单位：QQQ日期：2016-11-17图9。