限价订单的随机偏微分方程模型

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英文标题：
《A stochastic partial differential equation model for limit order book
  dynamics》
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作者：
Rama Cont and Marvin S. Mueller
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We propose an analytically tractable class of models for the dynamics of a limit order book, described through a stochastic partial differential equation (SPDE) with multiplicative noise for the order book centered at the mid-price, along with stochastic dynamics for the mid-price which is consistent with the order flow dynamics. We provide conditions under which the model admits a finite dimensional realization driven by a (low-dimensional) Markov process, leading to efficient estimation and computation methods. We study two examples of parsimonious models in this class: a two-factor model and a model with mean-reverting order book depth. For each model we analyze in detail the role of different parameters, the dynamics of the price, order book depth, volume and order imbalance, provide an intuitive financial interpretation of the variables involved and show how the model reproduces statistical properties of price changes, market depth and order flow in limit order markets.
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中文摘要：
我们提出了一类分析可处理的极限订单书动力学模型，该模型通过一个随机偏微分方程（SPDE）来描述，其中以中间价为中心的订单书具有乘性噪声，中间价的随机动力学与订单流动力学相一致。我们提供了模型允许由（低维）马尔可夫过程驱动的有限维实现的条件，从而产生了有效的估计和计算方法。我们研究了这类节俭模型的两个例子：一个双因素模型和一个具有均值回复订单深度的模型。对于每个模型，我们详细分析了不同参数的作用、价格动态、订单簿深度、数量和订单不平衡，对所涉及的变量提供了直观的财务解释，并展示了该模型如何再现限价订单市场中价格变化、市场深度和订单流的统计特性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_stochastic_partial_differential_equation_model_for_limit_order_book_dynamics.pdf (2.79 MB)

2022-6-14 10:06:22 上传

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关键词：偏微分方程 微分方程 偏微分 Differential Applications

极限订单书DYNAMICSRAMA CONT和MARVIN S.M¨ULLERAbstract的随机偏微分方程模型。我们提出了一类分析可处理的限价订单书动力学模型，通过以中间价为中心的订单书的带乘性噪声的随机部分微分方程（SPDE）以及与订单流动力学一致的中间价的随机动力学来描述。我们提供了模型允许由（低维）马尔可夫过程驱动的有限维实现的条件，从而产生高效的估计和计算方法。我们研究了这类节俭模型的两个例子：双因素模型和具有均值回复订单深度的amodel。对于每个模型，我们详细分析了不同参数的作用、价格动态、订单账面深度、数量和订单不平衡，对涉及的变量提供了直观的财务解释，并展示了该模型如何再现限价订单市场中价格变化、市场深度和订单流量的统计特性。内容1。限价订单簿动态的随机PDE模型31.1。状态变量和缩放变换41.2。居中限制指令簿的动力学51.3。价格动态71.4。绝对价格坐标中的动态81.5。订单动态的线性演化模型92。带乘性噪声的线性随机PDE模型112.1。齐次方程112.2。非齐次方程132.3。线性SDEs和皮尔逊差异152.4。正性、平稳性和鞅性质173。双因素模型183.1。溶液的光谱表示183.2。订单簿的形状213.3。订单动态第223.4卷。价格动态和市场深度223.5。绝对价格坐标：随机移动边界问题233.6。参数估计244。均值回复模型264.1。

一类均值回归264.2的模型。长时间渐近和平稳解274.3。订单簿动态第284.4卷。中等价格和市场深度的联合动态294.5。参数估计30附录A.绝对价格坐标中的动力学36参考文献39日期：2021年3月19日数学学科分类。35R60、60H15、91B26、91G80。M、 S.M.感谢瑞士国家科学基金会通过205121163425拨款和苏黎世ETH基金会的慷慨支持。作者感谢马丁·凯勒·雷塞尔的评论和讨论。股票和期货等金融工具越来越多地在电子化、订单驱动的市场中交易，在这种市场中，买卖订单集中在阿里米特订单簿中，市场订单根据限额订单簿中可用的最佳供应商执行。

这些市场中的价格动态不仅从市场参与者的角度（对于交易和订单执行）来看很有趣，而且从根本的角度来看也很有趣，因为它们提供了供需动态及其在价格形成中的作用的详细视图。这些市场上订单流量、交易和价格动态的大量高频数据的可用性引发了一系列研究，与传统的市场微观结构模型不同，传统的市场微观结构模型对各种类型代理人的行为和偏好进行假设，重点放在总订单流量的统计建模及其与价格动态的关系上，为了了解价格动态和不同市场参与者订单流量之间的相互作用（续，2011年）。解决这些问题的一种富有成效的方法是对限额订单簿的随机动力学进行建模，它集中了所有买卖订单，或者是作为排队系统（Luckock，2003；Smith et al.，2003；Cont et al.，2010；Cont and de Larrard，2012；Cont and de Larrard，2013；Kelly and Yudovina，2018），或者是在粗粒度级别上，通过描述买卖订单分布演变的（随机）偏微分方程（Lasry和Lions，2007；Caffarelli et al.，2011；Burger et al.，2013；Carmona和Webster，2013；Markowichet al.，2016；Hambly et al.，2020；Horst和Kreher，2018）。

这些PDE模型可能被视为离散点过程模型的缩放限制（Cont和De Larrard，2012；Hambly等人，2020；Horst和Kreher，2018）。虽然限额订单账簿中所有价格水平的订单流量联合建模更具吸引力，（S）PDE模型缺乏应用所需的分析和计算可伸缩性；因此，大多数分析结果都是使用最佳买卖队列的简化模型得出的（Cont and De Larrard，2012；Cont and De Larrard，2013；Chavez Casillas and Figueroa Lopez，2017；Huang et al.，2017）。我们提出了一类极限订单簿动态的随机模型，该模型代表了整个订单簿的动态，同时保留了低维马尔可夫模型的分析和计算可处理性，并为市场价格和订单簿深度的联合动态提供了现实的动力学。从通过带乘性噪声的随机偏微分方程（SPDE）描述极限指令簿的动态开始，我们表明，在许多情况下，该方程的解可能会根据低维离散过程进行参数化，从而使模型在计算上易于处理。特别是，我们能够导出模型参数和各种可观测量之间的分析关系。该特性可用于校准模型参数，以匹配订单流量的统计特征，并得出可经经验检验的预测，我们将使用电子股票市场订单流量的高频时间序列进行测试。大纲第1节介绍了通过随机偏微分方程（SPDE）对限价指令簿动力学的描述。我们描述了方程中的各种术语及其解释，并讨论了价格动力学的含义（第1.3节）。

这类模型是由半鞅驱动的更一般的偏微分方程族的一部分，在第。第1.5节研究。然后，我们将重点放在两个分析可处理的示例上：一个双因素模型（第3节）和一个具有平均回复深度和不平衡的模型（第4节）。对于每个模型，我们对不同参数的作用进行了详细分析，并研究了价格、订单深度、数量和订单不平衡的动态，42.11美元42.12美元42.13美元42.14美元42.15美元42.16美元42.17美元42.18美元42.19美元42.20价格水平-6000-4000-200002000040006000SharesCSCO限额订单簿日期：2018年1月1日14:00:00图1。纳斯达克CISCOshares限额订单簿快照（2018年1月30日），显示以不同价格等待执行的未完成买入订单（绿色）和卖出订单（红色）。最高买价（本例中为42.15美元）是出价，最低卖价（42.16美元）是要价。对涉及的变量提供直观的财务解释，并说明如何根据价格、数量和订单流量的财务时间序列估计模型。1、限价指令簿动态的随机PDE模型我们考虑金融资产（股票、期货合约等）的市场，在该市场中，买方和卖方可以提交限价指令，以特定价格购买或出售一定数量的资产，并根据最佳可用价格立即执行市场指令。等待执行的限价订单收集在限价订单簿中，如图1所示：在任何时间t，限价订单簿的状态由网格上价格水平p下等待执行的订单的卷V（t，p）汇总，网格大小由最小价格增量tick sizeδ给出。按照惯例，我们将负交易量与购买订单相关联，将正交易量与销售订单相关联，如图1所示。

然后，可接受的订单账簿配置由函数p 7表示→ V（p）使得0<sb（V）：=sup{p>0，V（p）<0}≤ sa（V）：=inf{p>0，V（p）>0}<∞.sb（V）（resp.sa（V））被称为出价（resp.ask）价格，代表与百思买（resp.sell）服务相关的价格。数量S=sa（V）+sb（V）在下文中，我们不区分市场订单和适销限价订单，即价格优于对方最佳价格的限价订单。被称为中间价格和差异sa（V）-sb（V）称为买卖价差。在图1所示的示例中，sb（V）=42.15，sa（V）=42.16，在这种情况下，投标askspread等于刻度大小，即1美分。一种建模方法是将V（t，p）的动力学表示为空间（标记）点过程（Luckock，2003；Cont等人，2010；Cont和de Larrard，2013；Kelly和Yudovina，2018）。这些模型在高频下保持了动力学的离散性，但如果试图结合真实动力学，则可能在计算上具有挑战性。特别是，在此类模型中是内生的价格动态很难研究，即使订单流量是一个离散点过程。当买卖价差和勾号大小δ远小于价格水平时，通常情况下，另一种建模方法是使用订单簿的连续近似值，通过其密度v（t，p）描述它，表示每单位价格的订单量：v（t，p）\'v（t，p）δ。然后通过偏微分方程（PDE）描述买卖订单密度的演变。（Lasry和Lions，2007）提出了通过耦合偏微分方程系统对有序密度动态的确定性描述，并由（Chayes et al.，2009；Caffarelli et al.，2011；Burger et al.，2013）进行了详细研究。

在Lasry Lions模型中，买卖订单密度的演化由一对通过价格动力学耦合的扩散方程描述，该方程表示买卖订单价格之间的自由边界。该模型在许多方面都很有吸引力，特别是在分析的可跟踪性方面，但它导致了一个确定性的价格过程，该过程会导致价格不变，因此无法深入了解流动性、深度、订单流量和价格波动之间的关系。（Markowich et al.，2016）探索了该模型的一些随机扩展，但本质上表明这些扩展并不能提供真实的价格动态。我们在这里采用这种连续统方法来描述限额订单，但通过随机部分微分方程来描述其动态，密切关注价格动态及其与订单流量的关系。我们提出的模型与（Lasry和Lions，2007）有一些共同的特点，但也有一些本质的区别。与Lasry-Lions模型不同，Lasry-Lions模型是一个自由边界问题，其中价格动态是隐式确定的，我们将该模型表述为相对价格坐标下的随机偏微分方程，从而导致绝对价格坐标下的随机移动边界问题。这导致了市场价格和订单深度的更现实的联合动态，这可能与经验观察有关。我们的模型也适用于（Horst和Kreher，2018；Hambly等人，2020）中研究的模型类别，作为离散排队系统的缩放限制。现在，我们详细描述我们的模型。1.1. 状态变量和缩放变换。

我们关注的是，与典型的价格水平相比，勾号大小δ和买卖价差较小的情况，并考虑以中间价格水平描述的限额订单簿，即每个价格水平p下的订单密度v（t，p），代表p<St的买入订单，以及p>St的卖出订单。我们使用图1所示的惯例，用负号表示买入订单，用正号表示卖出订单，sov（t，p）≤ 0表示p<标准v（t，p）≥ 0表示p>S根据价格优先级及其在队列中的位置，根据市场订单执行限制订单；只有当限价指令位于最佳（买入/卖出）价格时，才会执行限价指令。这意味着价格动态是由市场订单与由最佳价格定义的界面或界面附近的相反类型限额订单的相互作用决定的（Cont et al.，2010）。由于这一事实，大多数limitorders Flow的提交接近于最佳价格水平：limitorders提交的频率由于与最佳价格的距离而非常不均匀，并且集中在最佳价格附近。如之前的实证研究所示，在一级近似中，与最佳价格保持一定距离的订单流强度可以视为平稳变量（Bouchaud等人，2009年；Cont等人，2010年）。因此，在随机描述中，在（中间）价格St的参考框架中建模订单流的动态更为方便。我们定义（x）=v（t，St+x），其中x表示与中间价格的距离。我们将UTA称为中心订单书籍密度。最简单的居中方法是设置x（p）=p-但是，其他非线性缩放可能会引起人们的兴趣。尽管限价订单可能与买入/卖出价格保持任何距离，但价格动态主要取决于订单在中等价格以上和以下几个水平的行为（Cont和De Larrard，2012）。

如果勾号大小δ被简单地缩放为零，则该区域变得非常小，这表明正确的缩放限制是我们选择的坐标缩放版本（p- St），正如在PDE边界层分析中所做的那样（Schlichting和Gersten，2017），为了放大相关区域：（1.1）x（p）：=-（St- p） a，p<St，x（p）=（p- St）a、p>St、a>0分别表示投标方和买方。在第3节和第4节讨论高频数据的应用时，我们将考虑此类非线性标度的示例。这些参数还证明了将参数xto的范围限制为boundedinterval的合理性[-五十、 +L]，设置ut（x）=0表示x/∈ (-五十、 L）。这相当于假设在距离| x |的价格水平下没有提交订单≥ L中价，之前以p价提交的订单将立即取消- p |≥ L即，当中间价与p的距离超过L时。当L是日波动率的大倍数时，这是一个现实的假设。在某些市场（例如期货合约），实际上只能在中间价±1的范围内提交限价指令。1.2. 居中限制订单簿的动态。对电子市场日内订单流量的实证研究表明，两种非常不同类型的订单流量以不同的频率共存（Lehalle和Laruelle，2018）。一方面，我们观察到常规市场参与者在市场价格两侧以不同价格水平排队提交（和取消）订单。取消可能以几种方式发生：我们将直接取消与替换（“订单修改”）取消区分开来，前者是我们根据当前队列大小按比例建模的，后者是指一个订单被取消并立即被另一个相同类型的订单取代，通常是在相邻的价格限制下。