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hylpy1 2016-8-21 16:02
今春，一家有80年历史的日本粉笔企业宣告关张。大概没有人会像数学家一样对这家公司的离去感到如此伤心。数学家们曾对这种不沾手的羽衣牌粉笔（Hagoromo Fulltouch Chalk）极为着迷，甚至称它为“粉笔中的劳斯莱斯”。 随着白板和如今的各类电脑逐渐“占领”教室（传统的黑板和粉笔被取代），这家粉笔公司的倒闭似乎标志着一个时代的结束。 我既不是数学家，也不是粉笔艺术家，我是从朋友那里听说羽衣牌粉笔的。他叫丹，是一个数学家，刚刚从斯坦福大学取得博士学位。最近，他参加了一档有关羽衣文具株式会社倒闭的日本电视节目，节目摄制组专程来到斯坦福，采访数学家们对这种传奇粉笔的看法。一位教授说他囤积了足够自己未来使用15年的羽衣粉笔。丹也是这类数学家之一，他把羽衣粉笔的的消亡称作“数学界的悲剧”。 好吧，很明显他是在开玩笑。但数学家们确实是这种不甚出名的日本粉笔的狂热用户。前往这个网站，你会看到一串长长的在线讨论，一群数学家们正在美国四处搜罗羽衣粉笔的供应商。威廉姆斯学院的数学教授Satyan Devadoss甚至在其写的一篇博文中称羽衣粉笔是“梦想中的粉笔”。他这样写道： 引用 曾经有一个有关梦想粉笔的传说：这样一支强大的粉笔能让数学运算自动完成；这样一支神奇的粉笔能让数学推理完全无误；实不相瞒，寻觅数月之后我竟发现这样一支粉笔当真存在。 为什么这种粉笔能引发如此夸张的赞许？ 我想起了Brian Conrad，他就是那位囤积的羽衣粉笔够用15年的斯坦福大学数学教授。奥克兰有一家羽衣粉笔的进口商，名叫Ten By Ten，我发现他竟然是这家商店最大的客户。 我于是去了Ten By Ten，想给自己买些羽衣粉笔。我发现这家公司只有一个女老板，她也是唯一的员工。电影制作人是她真正的身份，在奥克兰卖粉笔是她的副业。之所以会卖羽衣粉笔是因为她曾在剪辑一部电影时，认识了一位伯克利的数学教授。有一次，她从日本回来时，这位教授请求她代购一些他挚爱的日本粉笔。现如今她绝大部分的顾客都是数学家。 那么，羽衣粉笔究竟伟大在哪儿呢？我试着用它在加州大学伯克利分校的黑板上演算了一道小小的数学题。第一感觉是，这种粉笔闪亮、清晰的外部涂层看上去就像一层薄薄的釉。听起来这仅仅是一个小小的设计元素，但它却解决了粉笔最大的问题：容易把手指弄脏。比起传统的美国粉笔，这种粉笔更加绵密、结实。我对粉笔并不在行，但我能说出来我感觉到的所有的微小差别。Conrad教授说：“很难用言语描述这种粉笔的好感，但使用它时，我能感觉到它比其他粉笔更舒服。它写起来非常顺滑，而且还比其他粉笔都更耐用。” 然而，更让人不思其解的问题是为什么数学家还在坚持使用粉笔？在21世纪，粉笔仍然是数学家们使用的主要工具。Conrad教授开玩笑说，“因为我们是喜欢胡思乱想的老古董。”他还提到了PPT，他说PPT没法用来演示如何一步一步推理难题。而且，在大多数情况下，技术总会失灵，让人心烦。 事实上，最让我吃惊的是他列举的那些黑板比白板更好用的原因。他说，“让白板保持干净实在太痛苦了。”清洗液要花钱，而且清洗液中的化学物质对身体还有危害。更何况，你不知道记号笔什么时候突然就没水了，这比你预想过的窘境还要麻烦。他补充道：“因为你从来说不清楚什么时候这些记号笔会没水，人们随时都可能拿起来开始写字。在演讲过程中，它们总是一起没水。这一点真的非常讨厌！我认为，随身带一盒粉笔比对付那些记号笔要容易得多！” Conrad教授相当清楚自己对喜欢黑板而不喜欢白板的偏好仅仅是一种习惯，而且比起其他领域的专家，数学家群体似乎更早产生这种偏好。年轻一代的数学家们更加倾向于使用白板，可能他们再也不会怀念粉笔了吧。 今年三月，当羽衣文具株式会社年岁已大的社长放弃了自己的公司后，制作羽衣粉笔的技术转移到了日本马印株式会社，这是一家大型办公用品公司。马印株式会社现在生产的粉笔名叫“DC Deluxe”，是和羽衣粉笔合作生产的粉笔品牌。一位马印株式会社的代表称，生产过程有些许差异，但他向我保证用户可以享受同样完美的质量。这位代表还补充说，马印株式会社生产的粉笔数量只相当于羽衣文具的一半。目前，他们还主要是一家生产白板的公司。 这不仅仅是一家粉笔公司倒闭的故事，它其实是一个传播媒介消失的故事。现在，黑板正在被白板和平板电脑所取代。但是不难发现，如同黑胶唱片和传统玻璃瓶一样，粉笔也拥有一种老式传统的魅力。现在，我们还可以在亚马逊上买到这种粉笔，在它消失之前，赶紧去采购一些吧。 英文原文： Why Mathematicians Are Hoarding This Special Type of Japanese Chalk （译者：刘一帆 审校：韩林涛）
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分享 最富创造性的数学家—黎曼
hylpy1 2015-9-3 21:10
1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在该校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。l851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。 因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 复变函数论的奠基人 19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。 1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。 黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。 黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。 1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。 为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。 黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。 黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。 黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。 在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。 由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。 微积分理论的创造性贡献 黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。 18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。 1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。 黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。 黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。 解析数论跨世纪的成果 19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。 1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。 在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。 那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。 组合拓扑的开拓者 在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。 黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。 比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。 代数几何的开源贡献 19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。 黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。 著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。 在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果 黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。 黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。 19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。 黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。 在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，…… 黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。 不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。 黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。 转自:http://www.mysanco.cn/wenda/index.php?class=discussaction=question_itemquestionid=6587sort=vote_a
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分享 二十世纪数学家排名(前100位)
hylpy1 2015-8-6 20:42
二十世纪数学家排名(前100位) 本排名根据狄多涅的纯粹 数学 全貌和岩波数学百科全书,苏联出版的数学百科全书综合量 化分析得出: 二十世纪数学家排名(前100位): 1,A.N.Kolmogorov 2,H.Poincare 3,D.Hilbert 4,A.E,Nother 5,von Neumann 6,H.weyl 7,A.Weil 8,I.M.Gelfand 9,Wiener 10,Alxsandrff 11,Ledesque 12,Shafarevich 13,V.I.Arnold 14,Dedekind 15,Markov 16,Klein 17,E.Artin 18,Jordan 19,Siegel 20,Sobolev 21,J.P.Serre 22,Gorthenideck 23,Whiteny 24,E.Cartan 25,Thom 26,Milnor 27,Hadamand 28,Godel 29,Landau 30,Hecke 31,陈省身 32,Zermelo 33,Puntrijagin 34,H.Cartan 35,Hopf 36,小平邦彦 37,Cantor 38,Chxxxxley 39,Picard 40,Whitehead 41,Caratheodory 42,G.H.Hardy 43,Alfors 44,Selberg 45,Tucker 46,高木贞治 47,Lefschetz 48,Banach 49,Eilenberg 50,Atiyah 51,Sinai 52,Smale 53,志村五郎 54,Vinogradov 55,Zarisky 56,Litelewood 57,Nelivanna 58,Linnik 59,Schur 60,Luzin 61,Fredholm 62,van de Waerden 63,Tihonov 64,Bernstein 65,Roknlin 66,福原满洲雄 67,Hormander 68,Turing 69,Minkowsky 70,Perron 71,Darboux 72,Levy 73,Ramanujan 74,Bronwer 75,Borel 76,Harish-Chandra 77,Skolem 78,Leray 79,Calreman 80,Mumford 81,Krull 82,Fisher 83,Suslin 84,Schwartz 85,Schannon 86,Deligne 87,Bochner 88,中山正 89,Zeeman 90,华罗庚 91,Petrovsky 92,Geromov 93,佐腾干夫 94,Russell 95,Birkhoff 96,Lindeloff 97,Teichmuller 98,Brauer 99,Garding 100,Witt
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分享 风险下的决策
accumulation 2015-4-6 18:29
3.1 圣彼得堡悖论 对风险偏好的现代讨论始于瑞士数学家贝努利（Daniel Bernoulli）。 贝努利的表兄Nicolas 提出这么一种赌局：抛一个公平的硬币，如果是正面，则参与者获得1元钱，且赌博结束。如果是反面，参与者并不会输钱。然后再抛一次硬币。此时如果出正面，则参与者获得2 元，赌博结束。但如果第2 次还是出的反面，则再抛一次，此时出正面的话参与者赢4 元......如此持续到永远。第n 次抛硬币如果出现正面，参与者能够获得的奖励是2n1。而如果出现反面，参与者也不输钱，只是继续再抛一次硬币而已。 可以算出，这一赌局的期望收益是无穷大。 所以，如果期望收益是人在不确定性下做决策的标准，那么不管给这个赌局设定多么高的进门费（交了进门费之后才能参与这个赌局），理性的人都会愿意交钱参与。但在现实中，就算愿意交25 块钱来参与这个赌局的人都不多。 贝努利对这个悖论的解释是，人其实看重的不是收益的期望，而是不同可能性下效用的期望。而效用会随着收益的增加而边际效益递减。贝努利采用的效用函数是对数效用。 贝努利所采用的这种不同情况下效用值的期望，就是现在广为使用的 期望效用函数（expected utility）。
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分享 数学的精细
longwo 2012-9-18 10:16
除了客观因素之外，也许更主要的原因是我对写这些东西的意义又产生了疑惑。翻翻这个帖子，尤其是后来那些页，不断的越来越深的陷入到具体的推导细节中去。所以我便很疑惑写这些东西究竟有什么用。如果用直截了当的数学语言去陈述，我相信立刻缩短至少一半以上篇幅是轻而易举能做到的。如果说我写这些东西是给不熟悉精确简明的数学语言的大众朋友看，那么我又事无巨细的扯那些论证细节干嘛？总之，无论如何这件事不能自圆其说。那好，那我们换种方式，完全以“高兴的讲故事”为主，需要什么术语就不加提防的直接引用，彻底抛弃对逻辑严密性的幻想如何？但那样便会导致另外一面的问题，轻飘飘的高谈阔论谁都会，追究其细节却如破渔网般漏洞百出不能收拾，实非我所愿。数学是个极精细的东西，最糟糕的就是“看起来挺像”，“应该情况差不多吧”。尤其是已经沉淀了近一百年甚至更久的理论，其定理陈述每一个字的安排都是有讲究的。随便哪个不起眼的条件不满足，结论必然就错了，所谓失之毫厘，谬以千里。条件列在定理陈述中，必然在某一步要被用到，否则凭数学家眼里揉不得沙子的职业病，早就挥刀剔除了。 所以，我在开始写那个帖子时的初衷，是“在尽可能不伤害逻辑严密性情况下，用谁都看得懂的白话语言讲述概率理论”。后来事实证明，那几乎是个不切实际的幻想。毕竟，人家前后几年的概率课程不是白设置的，谁都不是傻子，如果有捷径又何必费那么多事。 刚才说到数学理论之精细，最怕稀里糊涂“看起来好像差不多”。我想顺手举一个例子，关于大数定律的。首先回顾一下，（强）大数定律说的是：“如果 X1,X2,X3..... 是 独立，同分布的随机变量列，每一个Xi的期望都是有限常数，那么当n趋于无穷时，前n个分量的平均（也就是 （X1+X2+...+Xn)/n ) 以概率为1的趋于 EX1 （那个固定的期望）”。一个简单实例，假如我们重复扔骰子，那么每一次结果的期望就是 3.5。扔一次我不敢说能多接近3.5，可能扔出1也可能扔出6，但如果扔的次数多了，把前面很多很多次（n次）的结果平均起来，我敢说这平均值随着n的增大是要渐渐趋于3.5的。这就是大数定律所要保证的事。现在，我们试图把定理需要的条件抽掉一点，看看会发生什么情况。“独立”这个条件很显然是不能抽的。极端的例子是我这一列随机变量完全一样，统统都是X，那么无论n是几，前n次结果的平均就是X刚刚取的值，那么这个值可能是1可能是2也可能是3，4，5，6，总之不会趋于3.5。这个显而易见，不值得多说。我想说的是把“同分布”这个条件抽掉如何？ 为了试图使大数定律仍然成立，我们还是要保证每个 Xi 的期望（也就是Xi自己的平均值）都是一样的。只是说，X1,X2,X3.... 他们分别的分布不保证一样。事实证明，我们可以很容易的找到一列独立的，每一个的期望都相同的随机变量列，使得前n次结果的平均不趋于这个公共的期望。也就是说，大数定律被抽掉“同分布”条件之后不再成立了。 例子如下： 每一个Xn都只能取两个不同值----以 1/（n^2)可能性取值 n^2-1，以 1- 1/（n^2) 可能性取值 -1。这样，Xn的期望（或者说平均值）就是（动手算一下很容易）： (n^2-1)* (1/(n^2)) + (-1)* (1 - 1/(n^2)) = 0 通俗的解释，你玩一个赌博游戏，第n次玩的情况是，你有很大可能性（ 1-1/（n^2）的概率）会输一块钱，但同时你有很小可能性 （ 1/(n^2) 概率）会一笔赢个大的（ n^2-1 块钱），总之，这些参数的选取保证你每一次玩的输赢平均值都是0元。那么这个游戏，你玩不玩？是不是很想当然的认为，既然每次结果的平均值都是0，那么我不停玩下去，总趋势也应该是不赔不赚才对吧。大数定律不是保证“重复很多很多次之后平均结果应该趋于那个每一次的平均值”吗？ 如果你这样想，就错了。用概率理论可以证明，前n次结果的平均值，是以概率1的趋于 -1 的，也就是说，如果你玩很多很多次（n很大），那么你前n次结果的平均值大致是 -1，换句话说，你现在差不多已经输掉 n 块钱了。还继续玩？玩n次就大约输 n 块钱，你玩吧。 证明也很简单，就是 Borel-Cantelli 引理的简单应用。令 An 表示 {Xn 取值为 n^2-1} 这个事件，那么 An 发生的概率就是 1/(n^2)，所以A1,A2,A3.....这一列相互独立的事件的概率全都加起来是收敛的（是个有限值）。那么由 Borel-Cantelli 引理， {An i.o.} 这个事件的概率为0。换句话说，以概率为1的可能性，只有有限多个Xn才能取到 n^2-1那个值，其它的 Xn 统统都是 -1. 那么当n越来越大趋于无穷的时候，前n个 Xn 的平均值当然只能是 -1 了。 检验完具体证明之后，我们发现，其实前面对于随机变量 Xn 的构造就是从这个 Borel-Cantelli 引理的想法来的。我们需要的就是，每个 Xn 取“大值”的可能性迅速衰减得极快，快到全部都加起来以后是收敛的（所以我们找到 1/ n^2 这个序列，这是个最常见的收敛级数）。然后再去寻找Xn能取的两个值，使得配上刚才预订好的概率之后，每个 Xn 的期望都恰好是 0。这也很容易，解个两三步的一元一次小方程就是了，小学生都会做。把这个例子这样拆碎破解之后，今后任何时候说起来，你都能稍加思索便马上构造出这个例子。具体的参数都是现算的，重要的是想法，非常简单。 通过这个例子我想说明，数学理论是极精细的东西。如果满不在乎其精确陈述，总是“看上去差不多吧，那多半也是对的”这种态度，那么没必要深谈。高谈阔论的感觉是挺良好，但在我看来几乎就是耽误时间，聊完了收拾走人该干嘛干嘛去，聊它干嘛？所以前面的帖子放在那里从4月底之后就没有更新，很大部分是出自这种心情。欲保持严密性，我没有这个能力；彻底放弃严密性，我又不愿。因此只好作罢。 今天想说的第二个例子，是用多项式去一致逼近闭区间上的连续函数，想通过它举例说明概率思想在其它数学分支中的应用。 我们考虑定义在闭区间 上的连续函数，我们希望找到一个多项式，使得这个多项式“几乎同刚才给定的连续函数差不多”。我们希望对于任意事先给定的正常数（很小） e，我们的多项式同给定的函数在任意一点的误差都不超过 e。这个性质叫做“一致”趋近，比“在每一点都趋近”要强。举个例子来说，如果你还记得初中代数课上学过的内容，那么考虑 x^n ，n=1,2,3....这串函数在开区间 (0,1) 上的图像。那么随着n越来越大，任何一个固定点 x 的n次方都是越来越趋于0的。可是无论n多大，函数 x^n 的图像的右端尾巴（靠近1的地方）都翘在上面，挂在那里。也就是说，虽然具体到每一个固定的 x， x的n次方都要趋于0，但是我们总体的看，总有那种“特别慢的x”在后面拖后腿，使得我们无论用多大的n值，图像的样子都不像那个 “0函数”，都不能令人满意。也就是说，x^n 这串函数在开区间 （0，1）上“逐点”趋于0，却不是“一致”趋于0。 问题的陈述是：对于定义在闭区间 上的任意连续函数，我们都可以找到足够高次的多项式，使得这个多项式同刚才给定的连续函数一致的逼近。 这个定理有个名字叫维尔斯特拉斯逼近定理，所找到的多项式叫做伯恩斯坦多项式。但是我不喜欢堆砌名词来吓唬人。本来是很简单直白的东西，却一会儿这个斯基一会儿那个莫夫吓唬人，很没意思。所以我总是先把东西说清楚之后再提一句它叫什么。 这个问题从陈述上看，完全是一个实分析的问题。但是令人意外的是，这个问题的解决有个很简单直接很漂亮的概率视角看法。具体证明我就不一步一步细说了，只给出这个多项式到底是什么。它是： E 其中 E 表示期望，f是事先给定的我们要去逼近的连续函数， Sn=X1+X2+....+Xn， X1,X2....是独立的标准伯努利随机变量，（以概率x取值为1，以概率 1-x 取值为0）。所以上面的表达式是一个关于 x 的函数，因为随机变量列 X1,X2.... 的定义依赖于 x。 有了这个具体的，实实在在的多项式在手之后，剩下的论证就只是一些标准计算了。其中会用到切比雪夫不等式，再看看根据 e 取一个多大的 n 才合适等等，总之都是按部就班了。精彩的内容是在前面，那个多项式是怎么给出来的？上面那个期望怎么就构造出了一个越来越逼近的多项式呢？奥妙究竟在哪里？这就需要自己去琢磨了。把式子展开写出来，仔细的想每一部分都是什么意思，究竟发生了什么。。。。这些我就不多说了。对于看不到这里的人来说，写了也没用；对于肯自己动脑子追根究底的人来说，本来就不需要我事无巨细。 再进一步说，近代概率理论同偏微分方程也有深刻联系。这其实并不意外。例如最简单的热方程的基本解，或者叫热核，写出来一目了然谁都看得出来它跟正态分布密度的联系，它刚好是布朗运动的转移密度。进而很多偏微分方程的解可以用概率语言表达。例如拉普拉斯方程的边值问题的唯一解可以表示为： E 其中 E 还是期望，f 是边值条件，W 是布朗运动，t_x （t 下标 x）是从x出发的布朗运动第一次到达边界的停时。 这很耐人寻味，偏微分方程是老老实实给定的方程，没有任何“随机”的不确定因素在里面，但为什么它的解却有概率表示呢？（其实也不那么奇怪， E 是取平均的意思，我都给你“平均”了，那么自然也就没什么“不确定”了） 再进一步概率里著名的 Feyman-Kac 公式，也是给出偏微分方程的解的概率表示，在金融学里有重要应用。这说明概率当然不是孤零零的学科。概率论同其它各个学科，包括同数学的各种其它分支都有深刻而精彩的联系。 今天想说的第三个例子，是关于网页的分级。希望通过这个例子来说明概率理论在现实问题中的强大应用。大家每天都在网上做搜索。输入一个关键词，哗啦一点出来上百万个相关链接，但是往往在搜索结果第一页上的前十个链接里面就能找到我们要找的东西。这是怎么做到的呢？究竟是通过什么办法能够从汪洋大海的搜索结果中筛选出“看起来像是重要的”那些网页呢？ 事实上，单凭那个关键词的出现频率是很有误导性的。例如我自己造一个网页，这个网页上什么内容都没有，就把刚才那个关键词重复1万遍。那么试试搜得出来么？我没试过，但我猜多半是搜不到的。原因在于，判别一个网页重要与否的法则，不是由这个关键词出现的频率决定的，更重要的是看有多少其它网页链接到它，还有那些链接到它的网页本身“重要性”如何。 考虑一个简单模型，例如只有4个网页。我们能够记录到这4个网页之间互相的链接关系。那么我们记录到从一个网页A到另一个网页B有链接（换句话说有人先看了网页A，然后又继续点到了网页B），我们就在图上画一条从A指到B的箭头。这样把图完成后，我们会发现有的网页出去的箭头多，进来的箭头少；有的网页进来的箭头多，出去的箭头少。如果有那么个网页，在大家搜索某个关键词的时候，大多数搜到这个网页就停止了，不再继续连到别处，那么这个网页多半就是我们要寻找的“最重要”的。说到这里，大家应该很自然的立刻联想到，我们刚刚画的图可以很容易的变成一个 4X4 的矩阵，这个矩阵中的每一个元素都表示从某个网页连到另一个网页的“概率”，这样就同马尔可夫链的理论联系起来了。马尔可夫链在若干条件下向平稳状态的收敛，再配上些很浅的矩阵特征值理论（所有内容都不超出本科理论程度），这个问题能够得到很漂亮的解决。具体就不再细说了，有兴趣可以很容易的去搜到相关资料查看。 总结一下，今天谈了三个例子： 第一个例子：说明数学是个极精细的东西。定理陈述失之毫厘谬以千里。构造一个赌博游戏，每一把的输赢期望都是0，那么是不是连续玩下去总得来说也会不赔不赚？（大数定律貌似是这么说的）可事实上，概率理论证明它完全不是这回事，把游戏参数恰当构造之后，纵然每一次的平均值都是0，积累起来的总效果却可能趋到负无穷去。那么是不是大数定律错了呢？当然不是，原因在于你缺了大数定律所要求的一个条件没有满足。 第二个例子：说明概率理论同数学其它分支有着千丝万缕的深刻联系。 第三个例子：说明概率理论在生活中的具体问题中的强大应用。 概率理论是非常强大的。当然，数学的其它分支也同样强大，我相信其它各个严肃学科的理论，虽然我是外行不怎么懂，也一定是同样强大的。有兴趣不妨尽力去多了解些，毕竟人活一世，应该与草木不同。人类千百年智慧积淀创造的宝库就在身边，可是绝大多数人终其一生都不屑一顾，整日就知道虚耗时间，辩论狗屎一样没有价值的问题（例如谁“最”厉害，今人不够比古人，围棋不够比数学物理，动辄高谈谁“最”伟大，问题是你懂多少呢？真有能力去断那些大师的高低么？），吾未见其明也。
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790309760 2012-6-12 19:02
也许数学家们的研究是我们难于理解的，但数学家们的故事我们不妨看看。 ●“文革”中，批斗陈景润的人宣布：让哥德巴赫猜想见鬼去吧!1+2有什么了不起!1+2不就等于3么?吃着农民种的粮食，住着工人盖的房子，有解放军战士保护着，还领着国家的工资，研究什么1+2=3，什么玩艺儿？伪科学!陈腾地跳上桌子，一步便迈向洞开的窗户，纵身往下一跳!命不该绝。他从三楼窗口往下跳，伸出的屋沿挡了他一下，一个罕见的奇迹!跳楼的陈景润安然无恙，只是大腿上擦破了点皮，有涔涔的鲜血冒出来。一个造反派干将，见到跳楼后平安无事的陈景润，说：“真不愧是个知名的数学家，连跳楼都懂得选择角度!” ●一次，数学家欧基里德教一个学生学习某个定理。结束后这个年轻人问欧基里德，他学了能得到什么好处。欧基里德叫过一个奴隶，对他说：“给他3个奥波尔，他说他学了东西要得到好处。”在数学还非常哲学化的古希腊，探究世界的本原、万物之道，而要得到什么“好处”，受到鄙视是可以理解的。 ●一次拓扑课，Minkowski向学生们自负的宣称：“这个定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。”…….这节课结束的时候，没有证完，到下一次课的时候，Minkowski继续证明，一直几个星期过去了……一个阴霾的早上，Minkowski跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，inkowski很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的……。 ● Hilbert曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann猜想，尽管其中有个无法挽回的错误，Hilbert还是被深深地吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事死了，Hilbert要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，Hilbert说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走，应该有可能证明Riemann猜想，再接下来，Hilbert继续热烈的冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单变量的复函数.....”众人皆倒。 ●贝塞克维奇（Abram S．Besicovich，1891－1970年）是具有非凡创造力的几何分析学家，生于俄罗斯，一战时期在英国剑桥大学。他很快就学会了英语，但水平并不怎么样。他发音不准，而且沿习俄语的习惯，在名词前不加冠词。有一天他正在给学生上课，班上学生在下面低声议论教师笨拙的英语。贝塞克维奇看了看听众，郑重地说：“先生们，世上有5000万人说你们所说的英语，却有两亿俄罗斯人说我所说的英语。”课堂顿时一片肃静。 ● 德国女数学家爱米·诺德，虽已获得博士学位，但无开课“资格”，因为她需要另写论文后，教授才会讨论是否授予她讲师资格。当时，著名数学家希尔伯特十分欣赏爱米的才能，他到处奔走，要求批准她为哥廷根大学的第一名女讲师，但在教授会上还是出现了争论。 一位教授激动地说：“怎么能让女人当讲师呢？如果让她当讲师，以后她就要成为教授，甚至进大学评议会。难道能允许一个女人进入大学最高学术机构吗？”另一位教授说：“当我们的战士从战场回到课堂，发现自己拜倒在女人脚下读书，会作何感想呢？” 希尔伯特站起来，坚定地批驳道：“先生们，候选人的性别绝不应成为反对她当讲师的理由。大学评议会毕竟不是洗澡堂！” 　　 ●波兰伟大的数学家伯格曼（Stefan Bergman，1898－1977年）离开波兰后，先后在美国布朗大学、哈佛大学和斯坦福大学工作。他不大讲课，生活支出主要靠各种课题费维持。由于很少讲课，他的外语得不到锻炼，无论口语还是书面语都很晦涩。但伯格曼本人从不这样认为。他说：“我会讲12种语言，英语最棒。”事实上他有点口吃，无论讲什么话别人都很难听懂。有一次他与波兰的另一位分析大师用母语谈话，不一会对方提醒他：“还是说英语吧，也许更好些。” 　　1950年国际数学大会期间，意大利一位数学家西切拉（Sichera）偶然提起伯格曼的一篇论文可能要加上“可微性假设”，伯格曼非常有把握地说：“不，没必要，你没看懂我的论文。”说着拉着对方在黑板上比划起来，同事们耐心地等着。过了一会西切拉觉得还是需要可微性假设。伯格曼反而更加坚定起来，一定要认真解释一下。同事们插话：“好了，别去想它，我们要进午餐了。”伯格曼大声嚷了起来：“不可微—不吃饭。”（No differentiability, no lunch）最终西切拉留下来听他一步一步论证完。 　　还有一次伯格曼去西海岸参加一个学术会议，他的一个研究生正好要到那里旅行结婚，他们恰好乘同一辆长途汽车。这位学生知道他的毛病，事先商量好，在车上不谈数学问题。伯格曼满口答应。伯格曼坐在最后一排，这对要去度蜜月的年轻夫妇恰巧坐在他前一排靠窗的位置。10分钟过后，伯格曼脑子里突然有了灵感，不自觉地凑上前去，斜靠着学生的座位，开始讨论起数学。再过一会，那位新娘不得不挪到后排座位，伯格曼则紧挨着他的学生坐下来。一路上他们兴高采烈地谈论着数学。幸好，这对夫妇婚姻美满，有一个儿子，还成了著名数学家。 　　●哥德尔（Kurt Godel，1906－1978年）的举止以“新颖”和“古怪”著称，爱因斯坦是他要好的朋友，他们当时都在普林斯顿。他们经常在一起吃饭，聊着非数学话题，常常是政治方面的。麦克阿瑟将军从朝鲜战场回来后，在麦迪逊大街举行隆重的庆祝游行。第二天哥德尔吃饭时煞有介事地对爱因斯坦说，《纽约时报》封面上的人物不是麦克阿瑟，而是一个骗子。证据是什么呢？哥德尔拿出麦克阿瑟以前的一张照片，又拿了一把尺子。他比较了两张照片中鼻子长度在脸上所占的比例。结果的确不同：证毕。 　　哥德尔一生花了很大精力想搞清楚连续统假设（CH）是否独立于选择公理（AC）。在60年代早期，一个初出茅庐的年轻数学家柯恩（Paul J．Cohen），与斯坦福大学的同事们聊天时扬言：他也许可以通过解决某个希尔伯特（Hilbert）问题或者证明CH独立于AC而一举成名。实话说，柯恩当时只是傅里叶分析方面的行家，对于逻辑和递归函数，他只摆弄过不长时间。柯恩果然去专攻逻辑了，大约用了一年的时间，真的证明了CH与AC独立。这项成果被认为是20世纪最伟大的智力成就之一，他因此获得菲尔兹奖（Fieids Medal，比自然科学界的诺贝尔奖还难获得）。柯恩的技术是“力迫”（forcing）法，现已成为现代逻辑的一种重要工具。 　　当初的情形是：柯恩拿着证明手稿去高等研究院找哥德尔，请他核查证明是否有漏洞。 　　哥德尔起初自然很怀疑，因为柯恩早已不是第一个向他声明解决了这一难题的人了。在哥德尔眼里，柯恩根本就不是逻辑学家。柯恩找到哥德尔家，敲了门。门只开了6英寸的一道缝，一支冷冰冰的手伸出来接过手稿，随后门“砰”地关上了。柯恩很尴尬，悻悻而去。不过，两天后，哥德尔特别邀请柯恩来家里喝茶。柯恩的证明是对的：大师已经认可了。 　　●维纳（1894－1964年）是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了。维纳早期在英国，有一次遇见英国著名数学家李特尔伍德（Littlewood）时说：“噢，还真有你这么个人。我原以为Littlewood只是哈代（Hardy）为写得比较差的文章署的笔名呢。”维纳本人对这个笑话很懊恼，在自传中极力否认此事。此故事的另一种版本说的是朗道（Edmund Laudau）：朗道很怀疑李特尔伍德的存在性，为此专程去英国亲自看了这个人。 　　维纳后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年。他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套点近乎。有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案。实际上这位学生并不想知道答案，只是问他“方法”。维纳说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法。维纳最有名的故事是有关搬家的事。一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙。第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了。白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家。晚上维纳习惯性地回到旧居。他很吃惊，家里没人。从窗子望进去，家具也不见了。掏出钥匙开门，发现根本对不上齿。于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步。突然发现街上跑来一小女孩。维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运。我找不到家了，我的钥匙插不进去。”小女孩说道：“爸爸，没错。妈妈让我来找你。” 　　有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番。在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的。但这位学生不知道怎样接近他为好。这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于沉思之中。这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想。但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字……。 数学家的故事——苏步青 苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可量，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。 那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。
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