tag 标签: 冲锋枪经管大学堂：名校名师名课

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longwo 2012-9-18 04:25
第四个故事：方差和标准差 让我们考虑一个“打靶”的例子。为了简单起见，我们的“靶子”不是圆形的，而是一条直线，中间有个0点，所有实数刻度也都已经好好的刻在了上面。那么“样本空间”，或者说打靶的结果，就是全体实数了。设随机变量 X 就是“打靶结果”，那么X可以取的值，也就是全体实数。X的分布如何，这我们暂时还不知道，取决于枪手的水平怎么样，如果水平很好，那么X的值落在0附近很小一片范围内的概率就会比较大，相反如果水平较臭，那么X的值落在同样一片小范围内的概率就会比较小。 “嗖～～～叭”，楼主我从靶子底下的坑道里面小心翼翼的探出头来，气运丹田，大吼一声“负 2.3厘米”！那么随机变量这次的取值，就是 X=-2.3 。“叭叭叭叭叭～～～”楼主我赶紧缩头，连滚带爬的下到坑道里面，这是谁端着冲锋枪上来了，也不先告诉一声。等我再次探头出来的时候，发现靶子上已经布满了洞洞。 假设楼主我看了看头顶的靶子，无数小洞密密麻麻的分布在围绕0附近很小的一片区域里面（怎么看上去像我打的？），再歪头往旁边一瞅，边上那个靶子上的枪眼乱七八糟，恨不能把这直线平均打断成九九八十一段似的，虽然这两个靶子上的枪眼位置算期望下来都是0，但是它们所反映的情况显然不一样。那么用什么来衡量这其中的差别呢？仅用期望显然是不够的。 那么我们记录每一个枪眼同期望（也就是所有枪眼的平均值，我们就假设是0点吧）的差，然后再全部加起来取平均，作为衡量“平均起来每一枪有多大偏差”的工具好不好用呢？这个办法显然不好使，因为正值和负值加起来是要互相抵消的。例如四个枪眼位置 {-10,-10,10,10}，它们分别和0的差，再全都加起来，是0。这麻烦了，有多大偏差全看不见了，百发百中的神枪手这么轻易就诞生了。嗯，那么我们取每个差的“绝对值”，然后再求平均，行不行呢？这比刚才的办法的确好多了，它可以比较真实的告诉我们，每一枪具体离中间的0点大致有多远。但是数学家不太喜欢这个“绝对值函数”，因为它是个锯齿型的函数，并不光滑，不能求导数，而且真要讨论的时候，常常要有“分段讨论”的麻烦，所以还需要改进。那么再下一个能想到的最简单的可能，就没有多少选择了，我们只好使用“每一枪偏差的平方 的平均值”。 定义：一个集合{x1,x2.....xn}（其中每个xi都是实数）的方差，定义为 /n ，其中 m=(x1+x2+...+xn)/n 。 几点观察： 1.方差永远是个非负实数。同那个“平均值m”所在的位置相比起来，具体每一个xi无论是向左偏，还是向右偏，在“方差”眼里看起来，都是“偏差”，是完全一样的。 2.如果方差是0，那么表示这个集合里的所有实数必须统统相等，也就是说，“每一个数都一点偏差都没有”。 3.方差越大，说明这个集合里的数的分布越松散。 4.如果你给集合中的所有数都共同乘上一个非0常数c，那么得到的新集合的方差是原来方差的 “c的平方” 倍。（注意这时候新集合的平均值也同时变成 cm 了） 5.如果你给集合中的所有数都共同加上一个常数c，那么得到的新集合的方差不变。这很自然，我们心目中的方差刻画的是“所有这些数的平均松散程度”，那么如果我们把整个集合平移一下，松散程度当然应该是不变的。 不知看过上文242楼的汽油们有没有注意到一个问题，在我们前面说分布，密度，期望等等话题的时候，说的都是“随机变量的分布”，“随机变量的密度”，“随机变量的期望”，甚至在242楼讲方差故事的开篇，也有一个随机变量X跳出来虚晃了一枪，可是下面定义方差的时候，却是“一个集合的方差”。 当然，“随机变量的方差”也是有的，我们下面马上就要说到。现在先插几句话说说这个“集合的”和“随机变量的”的区别。 其实这个问题早就存在，一个集合的“期望”当然也可以谈，只是我们在这种情况下不大习惯于称它“期望”，而是简单的叫“集合中所有数的平均值”。另外一个集合中数的“分布”“密度”能不能谈呢？当然也可以。在解决实际问题的时候，我们经常说“设某某事情的结果服从某某分布”，有了这个假设以后，就可以套用我们强大的理论武器去做各种计算和预测。但是这个“假设”是哪里来的？可靠么？好像很少听到有人问这个问题。如果真问的话，概率学家也许只好略带尴尬的说，这只是一个假设而已，在实际应用中因为得到的结论很令人满意，所以最初的假设就被认为是有道理的。 回到我们的打靶场景。一个陌生的枪手披挂上阵，他即将在靶上打出的弹孔位置服从什么分布，有谁能知道呢？我们能够做的，就是让他多给我们表演一番，例如连打100枪，然后得到100个弹孔的位置。如果我们去研究这100个位置的分布，均值，方差等等，那么这些将都是“一个集合”的分布，均值，方差。 第二天这个枪手又来了，假设他的水平在一夜之间没有突飞猛进的话，那么他再打100枪，得到的一个新的100个枪眼位置的集合，当然同昨天的集合不一样。但是这个新集合的分布，均值，和方差，我们有理由期待同昨天的老集合非常接近。肯定会略有微小差别，但是差别在“不出人意料的范围之内”。 无论这个枪手重复多少次“打100枪”的实验，只要他的技术始终维持在同一水准上，那么所有这些“样本集合”将都围绕在一个虚幻而神秘的“固定分布”的周围。每一个真实得到的“样本集合”都不权威，真正的权威，是我们想像出来的，或者说，是我们的信念，冥冥之中，它在那里，它就是“这个枪手打出的子弹位置的分布”。 定义：一个随机变量X的方差，定义为 Var(X) = E(X-EX)^2 EX 是随机变量X的期望，所以是一个实数。那么 X-EX 是一个随机变量，它的平方当然也是个随机变量，所以外面再取期望是可行的。（注意，概率里面的符号习惯，是先做平方，再做期望，所以 E(X-EX)^2 意思是 E ，而不是 ^2。这个以后就不再解释了）回忆一下，期望E是“加权平均”的意思。所以方差就是“把 (X-EX)^2 的所有可能结果都加权平均起来”。因此同前面“集合的方差”的想法是完全一样的。 “方差”在英文里叫 variance，这就是符号 Var 的由来。 几点观察： 1.前面讨论“集合的方差”时候的那几点观察，仍然相应的成立。例如方差永远非负，方差等于0表示随机变量X（以概率1）恒为一个常数（就是其期望）等等。 2.把平方乘开，经过简单的合并同类项的计算之后，我们得到 Var(X)=EX^2-(EX)^2 。由此我们也顺便得到，EX^2 永远大于等于 (EX)^2。这其实是柯西不等式的一个变型。具体写出来，就是如果 a1,...,an非负并且 a1+a2+...+an=1，那么 a1*x1^2 + a2*x2^2 +....+ an * xn^2 大于等于 ( a1*x1 +....+ an*xn)^2 其中在特殊情况 a1=a2=...=an=1/n 下，带进上面的不等式就得到我们常见的柯西不等式。 在打靶例子中，如果我们认为这个枪手的落弹位置可以取全体实数的话，那么这就是一个连续性随机变量了，所以我们必须先假定好这个枪手的落弹位置的分布是什么，得到一个密度函数，然后再用积分得到其方差。在实际应用中，因为由此得出的种种结果都很好的符合了客观实际，所以我们认为，我们一开始给枪手所假定的那个分布（例如说正态分布），是有道理的。 在概率学中，人们与方差相处得很好。但是在统计学中，统计学家显然更喜欢一个叫“标准差”的东西。以至于大家在写正态分布参数的时候，概率学家用“期望和方差”，而统计学家用“期望和标准差”。 定义：方差的非负平方根，叫做标准差。 为什么需要“标准差”这个东西呢？这是因为，方差定义中的运算，是把观测结果平方之后再做平均的，所以得出的结果，其“单位”与观测结果不一样。例如观测结果若是以“厘米”来衡量的，那么方差就是以“厘米平方”这么个不伦不类的单位来衡量的。所以把方差取一下平方根，这个数给它起个名字叫“标准差”，标准差告诉了我们每一次的实验结果大致会同期望相差多少。 还是加一个具体例子吧。例如掷骰子，实验的期望是3.5，每个结果的可能性都是1/6，那么结果的方差就是 /6 约= 2.92 标准差约为 1.7 。这同我们的估计大致相仿，每一次的结果同均值 3.5相比起来，平均误差大约是1.7的样子。
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