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分享 条件概率、乘法公式、独立性
accumulation 2015-1-2 00:18
1.条件概率的定义 2.乘法公式 3.独立性的定义 4.两个随机事件是相互独立的 5.例：配置高射炮的数目 6.一组事件两两独立并不能保证该组事件相互独立
个人分类: 计量经济学|0 个评论
分享 概率里的“独立性”
longwo 2012-9-18 02:40
独立性并非指毫不相干，而是指互不干涉。 我们可以谈“事件”的独立性，然后推广到“sigma域”的独立性，再往下还可以推广到“随机变量”的独立性，而最根本的，当然是“事件”的独立性。所以我们主要谈谈这个。至于其它的，等我们建立了“随机变量”的概念以后再说。 回忆一下，所谓“事件”，就是样本空间的一个子集，换句话说是某些可能实验结果（某些样本）的集合。那么只要真正的实验结果落在这个子集里，我们就认为这个“事件发生了”。所以把“概率”想像成“面积”是很直观的。整个样本空间O的面积就是1，换句话说，不管你弄出什么实验结果，这结果肯定是样本空间里的元素吧？所以“样本空间这件事” 100%是要“发生”的，也就是说，发生的概率为1。如果是样本空间的某个子集，那么能不能发生就不敢说了，要看真正的实验结果是否落在了它里面。 现在，我们拿两个“事件”出来，比如一个叫A一个叫B吧，两个都是样本空间的子集。A和B这两件事情“独立”，或者说“不相关”，究竟是什么意思呢？我先给数学定义： 定义：如果 P(A交B) = P(A) P(B)，（用语言说就是A和B的交集的面积等于A的面积和B的面积的乘积，或者说A和B全都发生的可能性等于A发生的可能性乘以B发生的可能性），那么我们就说事件A和事件B是“相互独立”的。 第一次接触这个定义的人多半会觉得不知所云，驴唇不对马嘴。这个乘积式子跟“两件事情互不相干”怎么扯一块去了？这种反应是完全正常的，不要着急。我写本文的目的，就是要让你在看过之后，能比我更先脱口而出：“这个独立性的定义真TM自然啊”。 我自己当研究生带本科生概率习题课的时候，每到这时候都喜欢先把定义那个式子写在黑板上，然后转头问学生：“两个事件相互独立到底是什么意思呢？是不是说，它们这两个集合完全不相交，没有交集呢？完全不相交的两个集合，到底是不是相互独立的？”学生们冷不防被问到这个问题，都会愣一会儿，然后渐渐有些人会不出声的缓缓点头。是啊，独立，不相关，那就别相交呗，大家谁都不碍谁的事，多合情合理啊。这时候我就说了：“事实上，完全不相交的两个非空集合，绝不可能是相互独立的！相互独立的两个非空集合，它们必然是要相交的！”回回不出意外，学生们的眼里霎时间布满了惊讶。 我回到黑板前的那个式子：“你们看，这里写得明明白白，A和B的交集的面积有多大呢？就是A的面积乘以B的面积那么大。所以如果A和B的面积都不是零，那么他们的交集的面积，当然绝不会是零了。事实上，所谓‘相互独立’，既不是要它们完全分开，当然更不是要它们完全重合，而是规定死了它们的交集的面积。它们相交不能大了，也不能小了，必须要交得刚刚好，就恰巧是 P(A)乘以P(B)那么大。这是要求，也是唯一的要求。只要任两个集合交得‘刚刚好’，那么它们就是独立的。” “只要相交那部分的面积大小恰好对了，那么它们就是独立的”，这句话大家一定要牢牢记住啊！ 定义中那个式子的印象这回算是深了，可横看竖看起来它还是满奇怪的。所以我们现在暂且抛开它，退回到直观常理上面去再多琢磨一下。 首先，两个事件互相没关系，意思应该是说两件事分别各发生各的，谁发生了还是没有，对对方丝毫没有影响。这样想就对了，如果你给我两个不相交的事件A和B，那如果其中某一个比如说A“发生”了，意思是说真实的实验结果落在了A这个范围内，那么我马上可以得出结论，B这件事肯定没发生！这是显然的，B和A是不相交的，那么样本落在了A里面，那绝对不可能落在B里面。所以我通过“A是否发生了”这个结论，居然可以推算出关于B发生了没有的断言，这能说A跟B相互没关系么？依我看这关系大了去了。 所以说，“A和B互相不影响”的意思，是说不论A发生了还是没发生，反正B要发生的可能性还是完全一样的，该是多少还多少，不会随之改变。那么再进一步，“A已经发生了”是什么意思呢？就是说，我们现在已经知道，实验结果样本落在了A的范围之内，也就是说，现在我们不必着眼于全部样本空间O，而只要把眼睛看着A这一块就行了，因为实验结果绝不在A外面，外面那些样本全部可以扔掉了。那么现在，“已经知道A发生了的前提下，然后B又发生”的概率是多少呢？那就是 P(A交B) 除以 P(A)，用语言说，就是表示A发生之后B也发生那一块的面积，除以A发生的面积。为什么要除以一下A的面积呢？是因为我们已经确切的知道A发生了，也就是说，A这一块才是我们真正要关心的范围，已经应该被认为是面积1了，所以我们当然要把刻度重新衡量一下。现在A和B“互不影响”，就是说不知道A发生没有情况下B发生的概率“P(B)”，应该等于已知A发生了之后B再发生的概率 “P(A交B) 除以 P(A)”，用式子写出来就是： P(B) = P(A交B) 除以 P(A) 把 P(A) 乘到等号另一边，不就是独立性的定义么？现在那式子显得自然可亲了吧。 现在我们来看一个具体的复杂些的例子。如果你有耐心从上面一直看到了这一行的话，我希望你能再多坚持一下，一定一定要认真看完这个例子。因为这个例子非常非常锐利，很有助于你建立起对“独立性”的正确感觉。 样本空间O就是区间 [0,1) （0那边是闭的，1那边是开的，这不是重要问题，只是为了跟等一会儿要建立起的内部模式统一起来），样本空间上的sigma域是。。。。Borel sigma域，这个也不必去管它，反正我们能想到的大部分子集，都逃不出这个sigma域的范围。至于概率函数，就是我们前面提到过的那个“长度”，勒贝格测度。现在我们建立一族子集，然后来说明这族子集中的任意两个，都是相互独立的，如下： 对于任意正整数n，n=1,2,3...... 把区间 [0,1) 做 2的n次方等分，然后把这些小区间“隔一个取一个”，你可以从最左边第一个开始取，也可以跳过第一个从第二个开始取，总之隔一个取出一个，都取完之后，拿出来的部分就是你构造出的一个子集。 例如，当 n=2 的时候，我就要把区间 [0,1) 4等分，分成 [0,1/4)，[1/4,1/2)，[1/2,3/4)，[3/4,1)。然后隔一个取一个，可以得到 [0,1/4) 并上 [1/2,3/4) 或者 [1/4,1/2) 并上 [3/4,1) 这是我构造的这族子集中的其中两个。当n更大的时候，你当然就需要划分得越来越细，然后更加努力的去挑出更多的小区间出来作为你的集合。 现在我要说明，这族子集中的任意两个，都是相互独立的。那么你无非就是要随便拿出两个这样的子集来，看看它们分别面积多大，然后看看它们的交集面积多大。你很容易的发现，确实满足独立性定义中的那个乘积式子。而事情这么凑巧的原因，恰恰是因为 每一个细小的局部放大出来，看上去都跟全集一个模样！ 所以造成了这种现象，无论你是看大范围，还是缩到某一个局部去用放大镜看小范围内的事，具体事件发生的可能性是没有区别的，大家看起来都“相似”嘛！ 以上这个优美的例子，来源于 Rademacher functions。Rademacher functions是一族相互独立的随机变量，而我们到现在为止还没有谈到随机变量，所以暂且不去管它。但是从 Rademacher functions 中提炼出来的意思，就是我写在上面的例子。 故事讲完了。如果你现在能够隐隐对“独立”这个词感到不大满意，总想把它改成“相似”才舒服的话，那么恭喜你已经建立起了比较正确的感觉。另外，请大家一起大声朗读下面这句话：天下没有比独立性那个定义更自然更合乎道理的东西啦！
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