数学分析习题练习六

中国科学技术大学数学分析B3期中试题(2020秋季)


证明：
        （1）、设$x_0$为$f^{-1}(1)$的聚点。则定义必有
                                     $\displaystyle \exists A_\epsilon ,x_n\in A_\epsilon =(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ),s.t.$

                                        $\displaystyle x_n\rightarrow x_0,(n \to \infty )$

                         而由条件可知
                                                $\displaystyle x_n\in [a,b]$

                                             $\displaystyle \therefore x_0\in f^{-1}(1).$

                           因此，$f^{-1}(1)$为闭集。

          （2）、由条件及（1）知，$D$为开区间，所以为开集。

中科大学数学分析B3期中试题(2020秋季)


证明
   （1）、当$x\in[0,1)$时
                                $\displaystyle \lim_{n \to \infty }f_n(x)=\lim_{n \to \infty }\int_{0}^{x}f(t^n)dt=\lim_{n \to \infty }xf(\xi^n)=xf(0).(\xi\in[0,1))$

              当$x=1$时
                                $\displaystyle \lim_{n \to \infty }f_n(1)=\lim_{n \to \infty }\int_{0}^{1}f(t^n)dt=\lim_{n \to \infty }\int_{0}^{1-\delta }f(t^n)dt+\lim_{n \to \infty }\int_{1-\delta }^{1}f(t^n)dt=f(0)+0=f(0),(\delta>0,\delta\to 0)$

                            $\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty }f_n(x)=xf(0).$

（2）、令
                         $\displaystyle g(x)=f_n(x)-xf(0).$

                    则
                          $\displaystyle g'(x)=f(x^n)-f(0)=0,\Rightarrow x=0,$（最大值点）

                  此时有
                              $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\sup|f_n(x)-xf(0)|=0.$
                  
                 由此可知，$\{f_n(x)\}$一致收敛。

中科大学数学分析B3期中试题(2020秋季)


证明：
            因为$\{x_n\}$为有界无穷数列，所以必存在收敛子列。设任一收敛子列为$\displaystyle \{x_{n_k}\}$,而
                                   $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_{n_k}=x_0\in E,$

                 显然$E$非空，至少包含一个$\displaystyle \{x_n\}$的聚点。

            另一方面，设$\xi$为$E$的聚点，则必$\exists A_\xi=(\xi-\epsilon ,\xi+\epsilon )\in E,$

                  由条件可知，$A_\xi$中的点均为$\{x_n\}$的极限点，由此可知，$\xi$必为$\{x_n\}$的极限点。

                  所以，$\xi\in E.$由闭集的定义可知，$E$为闭集。

中科大学数学分析B3期中试题(2020秋季)


证明：由已知条件
                                    $\displaystyle \because na_n\rightarrow 0,(n \to \infty ),$

                                     $\displaystyle \therefore a_n=o(\frac{1}{n}),\rightarrow 0,\downarrow ,$

                           又
                                    $\displaystyle \because |x^n|\leq 1,$

                   由级数一致收敛的Dirichlet判别法，可知$\displaystyle \{a_nx^n\}$一致收敛。于是由级数一致收敛的性质，有

                                   $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty }\lim_{x\to 1^-}(a_nx^n)=\sum_{n=1}^{\infty }a_n=A.$

一道三重积分题及推广：



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一般形式



https://www.zhihu.com/question/430973890/answer/1708026964

南开大学2016-2017学年第一学期数学分析期末试题


证明：
           （i）若$A$有界，则$A$的任意无穷子列必有界，根据致密性定理，该子列必有聚点。

           （ii）用反证法证明$A$的任意无穷有聚点的子列，必有界。

                        设$x_n$为$A$的一个任意无穷有聚点的子列，设$x_n$无界。则必有
                                      $\displaystyle |x_n|>n,(n>N)$
                             即有
                                       $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=\infty.$

                       由此说明$x_n$无聚点。这与假设矛盾。

                         所以，$A$的任意无穷有聚点的子列，必有界。从而$A$必有界。

                命题成立。

复旦大学2019-2020学年数学分析AII试卷


解：
                               $\displaystyle \int_{0}^{n}xe^{[x^2]}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{n}e^{[x^2]}dx^2=\frac{1}{2}\int_{0}^{n^2}e^{[t]}dt,$

                                       $\displaystyle \because t-1\leq [t]\leq t,$

                                $\displaystyle \therefore \int_{0}^{n}xe^{[x^2]}dx=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n^2}\int_{k-1}^{k}e^{k-1}dt=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n^2}e^{k-1}=\frac{e^{n^2}-1}{2(e-1)}.$

复旦大学2019-2020学年数学分析AII试卷


解：
                由
                          $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\sin (x^p+\frac{1}{x^q})dx=\int_{0}^{1}\sin (x^p+\frac{1}{x^q})dx+\int_{1}^{+\infty }\sin (x^p+\frac{1}{x^q})dx,$

                  可知右边第一个积分为正常积分，有界。而第二个积分
                                   $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\sin (x^p+\frac{1}{x^q})dx=\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{(x^p+\frac{1}{x^q})'}(x^p+\frac{1}{x^q})'\sin (x^p+\frac{1}{x^q})dx=\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{(x^p+\frac{1}{x^q})'}\sin (x^p+\frac{1}{x^q})d(x^p+\frac{1}{x^q}),$

                当$p> 1$时，由于
                                            $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\sin (x^p+\frac{1}{x^q})d(x^p+\frac{1}{x^q}),$
                         有界，而
                                             $\displaystyle \frac{1}{(x^p+\frac{1}{x^q})'}=\frac{1}{px^{p-1}-qx^{-q-1}},\downarrow ,\rightarrow 0.$

                        因此，此时第二个积分收敛。
                  


            

复旦大学2019-2020学年数学分析AII试卷


解：由所求和级数的形式，可以想到用$\sh x,\ch x.$

                             $\displaystyle \because \cosh' x=(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!})'=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2nx^{2n}}{(2n)!}=x\sinh x,$

                  又
                              $\displaystyle (\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2nx^{2n-1}}{(2n)!})'=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{4n^2x^{2n}}{(2n)!}=\sinh x+\cosh x,$

                           令$x=1,$得
                                 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{(2n)!}=\frac{\sinh 1+\cosh 1}{4}.$

复旦大学2019-2020学年数学分析AII试卷