数学分析习题练习六

广东财经大学2020数学分析

解：
              $\displaystyle V=\int_{0}^{\pi}\pi y^2dx=\pi\int_{0}^{\pi}\sin^2xdx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}(1-\cos 2x)dx=\frac{\pi^2}{2}.$

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证明：令
                     $\displaystyle f(x)=x-a\sin x-b,$

                      $\displaystyle \because f(0)=-b< 0,f(a+b)=a+b-a\sin (a+b)-b=a(1-\sin(a+b))> 0.(a+b\neq \frac{\pi}{2})$

             由由连续函数的介值定理知
                       $\displaystyle \exists \xi\in(0,a+b),s.t.f(\xi)=0,$

                  又当$\displaystyle a+b=\frac{\pi}{2}$时
                           $\displaystyle f(a+b)=0,$

             综上所得，方程至少存在一个不大于$a+b$的正根。

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证明：
               由已知条件利用拉氏中值定理，有
                         $\displaystyle \forall \epsilon > 0,\forall x_1,x_2\in X,\exists \delta=\frac{\epsilon }{M} > 0,|x_1-x_2|< \delta ,s.t.$

                          $\displaystyle |f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)(x_1-x_2)|\leq M|x_1-x_2|=M\cdot \frac{\epsilon }{M} =\epsilon .$

                 因此，命题成立。

判别下列函数列在指定的区间上的一致收敛性
                       $\displaystyle f_n(x)=n^\alpha xe^{-nx},x\in[0,+\infty )$

解：
               显然
                         $\displaystyle x=0,f_n(0)=0,$

                           $\displaystyle \because x> 0,\lim_{n \to \infty }f_n(x)=\lim_{n \to \infty }n^\alpha xe^{-nx}=0=f(x),$

                            $\therefore \underset{x\in(0,+\infty)}{\sup}|f_n(x)-f(x)|=\underset{x\in(0,+\infty)}{\sup}|f_n(x)|,$

                   求最大值
                             $\displaystyle f'_n(x)=n^\alpha e^{-nx}(1-nx)=0,\Rightarrow x=\frac{1}{n},$

                    此时有
                              $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\underset{x\in(0,+\infty)}{\sup}|f_n(x)-f(x)|=\lim_{n \to \infty }f(\frac{1}{n})=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha -1}e^{-1}\rightarrow 0,(\alpha < 1)$

                  因此有
                            当$\alpha < 1$时，函数列在指定区间上一致收敛；
                            当$\alpha \geq 1$时，函数列在指定区间上非一致收敛。

中山大学2021年数学分析试题
一、计算题
           1、（5分）$\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x};$

           2、（5分）$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}x^2e^{-x}dx;$

二、讨论级数的收敛性
           1、（5 分）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}(\ln n)^2};$

           2、（5 分）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\frac{n!}{n^n};$

三、（10分）已知级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，求收敛域和和函数。

四、（10分）设$\displaystyle f(x)$是周期为$\displaystyle 2\pi$的连续函数，证明：若其Fourier系数全为零，则$\displaystyle f(x)\equiv 0$.

五、（10分）$\displaystyle \alpha$是一实数，讨论$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2\alpha }}{(1+x^2)^n}$关于$\displaystyle x\in(0,+\infty)$上的一致收敛性。

六、（10分）设$\displaystyle u_n>0$，证明数列$\displaystyle\{(1+u_1)(1+u_2)\cdots (1+u_n)\}_{n=1}^\infty$与级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }u_n$具有相同的敛散性。

七、（10分）设$\displaystyle D\subset R^2$为平面上的有界闭集，用有限覆盖定理证明二元函数$f(x,y)$在$D$上连续，则$f(x,y)$在$D$上有界。

八、（10分）设二元函数
                     $f(x,y)=\begin{cases}
\frac{y^2}{x^4+y^2} &, y\neq 0 \\
1&, y= 0
\end{cases}$
                （1）、证明$\displaystyle f(x,y)$在原点，所有方向导数都存在；

                 （2）、$\displaystyle f(x,y)$在原点是否可微，请证明你的结论。

九、（10分）计算函数$\displaystyle f(x,y)=x^2+xy+2y^2-x$在区域$\displaystyle D=\{(x,y)||x|\leq 1,|y|\leq 1\}$上的最大值和最小值，并指明其最值点。

十、（10分）计算曲面积分$\displaystyle \iint_S\sin xdydz+\cos ydzdx+\sec zdxdy$，其中$\displaystyle S$为椭球面$\displaystyle \frac{x^2}{\pi^2}+y^2+z^2=1$外侧。

十一、（10分）计算曲线积分$\displaystyle \int_L\sqrt{xy}ds$，其中$L$为平面上以$\displaystyle A(0,1),B(0,2),C(1,2)$为顶点的三角形边界区域。

十二、（10分）求出常数$\displaystyle C,\alpha,\beta $使得$\displaystyle x^{\sin x}-(\sin x)^x$与$\displaystyle Cx^\alpha (\ln x)^\beta $，当$\displaystyle x\to 0^+$时是等价无穷小。

十三、（10分）证明函数$\displaystyle f$在区间$I$上一致收敛的充要条件是对任意满足
                                                         $\displaystyle \lim_{n \to \infty }(x_n-y_n)=0,$
       的数列$\displaystyle \{x_n\}$和$\displaystyle \{y_n\}$都有
                                                        $\displaystyle \lim_{n \to \infty }(f(x_n)-f(y_n))=0.$

十四、（10分）设函数$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle (a,b)$上可导，证明$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle (a,b)$上严格单调递增的充分必要条件是：对任意$\displaystyle x\in(a,b)$,$f'(x)\geq 0$，且对任意$\displaystyle c,d\in(a,b),c<d,f'(x)$在$\displaystyle (c,d)$上不恒为$0$。

十五、（10分）设函数$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle (a,b)$上二阶可导，$\displaystyle M>0$是一个常数。证明：对任意$\displaystyle x\in(a,b)$，均有$\displaystyle |f''(x)|\leq M$的充分必要条件是对任意满足$\displaystyle x,x-h,x+h\in(a,b)$的$x,h$均有
                                $\displaystyle |\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}|\leq M.$

一、（1）解：
                             $\begin{align*}\int \frac{dx}{1+\sin x}&=\int \frac{1-\sin x}{1-\sin ^2x}dx\\\\&=\int \sec^2xdx+\int \frac{d\cos x}{\cos ^2x}\\\\&=\tan x-\sec x+C.\end{align*}$

一、（2）解：
                      $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^2e^{-x}dx=-x^2e^{-x}|_0^{+\infty }+2\int_{0}^{+\infty }xe^{-x}dx=2\int_{0}^{+\infty }e^{-x}dx=\sqrt{\pi}.$

二、（1）解
                    $\displaystyle \because \frac{1}{\sqrt{n}(\ln n)^2}=\frac{1}{\sqrt{n}(\ln (1+(n-1)))^2}\sim \frac{1}{\sqrt{n}(n-1)^2},$

                而
                      $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}(n-1)^2}< \infty ,$

                      $\displaystyle \therefore \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}(\ln n)^2}< \infty .$

二、（2）
               此题前面已经有解，是个很经典的常考题。

三、解
                     $R=1,x\in(-1,1]$

                     $\begin{align*}S&=\lim_{n \to \infty }S_n=\lim_{n \to \infty }\int_{0}^{x}(\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1})'dx\\\\&=\lim_{n \to \infty }\int_{0}^{x}\sum_{k=1}^{n}(-1)^kx^{2k}dx=\int_{0}^{x}\frac{x^2}{1+x^2}dx\\\\&=x-\arctan x.\end{align*}$