拟凹函数的二阶可微性

如果函数f(x)是二阶连续可微的拟凹函数  的充要条件 是 当Df(x)z=0时，zD*2f(x)z<=0
MWG 数学附录1327页定理 MC.4的证明，怎么证啊，请求高手指点

根据hint瞎证证 我觉得我可能证错了
just prove necessity
choose z belongs to this subset {Df(x)*z=0} choose a belongs to (0,1]
by taylor expansion
f(x+az)-f(x)-Df(x)*az=a^2/x*z*D^2 f(x+bz)*z for some b belongs to [0,a]
as z belongs to the subset, the above equation is equivalent to
f(x+az)-f(x)=a^2/x*z*D^2 f(x+bz)*z for some b belongs to [0,a]
if left hand side <=0, then we get D^2 is  negative semidefinite as a b can be arbitrarily small
if left hand side >0 ie. f(x+az)-f(x)>0
f(x) is a continuous function, so there exists a small neighborhood U around x, for any point y belongs to U we have
f(y+az)>f(y)  then we have Df(y)*az>=0 for any point y in U by theorem m.c.3. as a belongs to (0,1] we have  Df(y)*z>=0
then Df(x)*z=0 is a local minimum for this c1 function in U (as f is c2) and thus a necessary condition is
D^2f(x)*z=0  thus D is negative semi definite as well in this case.we can do the exact same proof for a<0 then D(x)*z=0 is a local maximum.

这个题目难啊，搞了我好几天没想出，那位在指点一下啊

quasi-concave的函数，你只需要证明函数是convex to origin就行了。

然后，就是证明那个投影是convex减函数的一段就成。

AdrianW 发表于 2011-3-15 10:27
quasi-concave的函数，你只需要证明函数是convex to origin就行了。

然后，就是证明那个投影是convex减函数的一段就成。

能详细的说下嘛

对于一个定义在实数域上的函数\( f(x) \)，若该函数为二阶连续可微的拟凹函数（pseudoconcave function），那么有以下充要条件：

当且仅当对于任何点\( x \)以及向量\( z \)，如果满足一阶导数(梯度)在该方向上的投影为零，即 \( Df(x)^Tz = 0 \)（其中\(Df(x)\)是函数的梯度），那么二阶导数矩阵（Hessian 矩阵）在这个点与方向上的乘积应当是非正的，即 \( z^TD^2f(x)z \leq 0 \)。

换句话说，在任何给定点上，如果沿着一个使得一阶偏导为零的方向去观察函数的行为，那么该方向上的二阶变化率应该非正，这符合拟凹函数的一般定义。这个条件确保了在满足特定条件的点和方向上，函数的变化不会违反拟凹性。

需要注意的是，拟凹函数并不等同于凸函数的简单反转，它具有更复杂的性质，并且这一条件是判断一个二阶可微函数是否为拟凹的一个关键标准之一。

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