f()严格拟凹函数的证明

如果函数f(x)是二阶连续可微的严格拟凹函数    则当Df(x)z=0（Df(x)不为零）时，zD*2f(x)z<0
【Df(x)指f(x)的梯度，x,z均是n微向量；D*2 f(x)指f(x)的二阶导数】
MWG 数学附录1327页定理 MC.4的证明，怎么证啊，请求高手指点

能详细点么？？自认为凸凹函数还的可以，但是看不懂你写的！~那zD*2f(x)z<0  Z指嘛意思？

similar proof to the quasi concave function
just prove necessity
choose z belongs to this subset {Df(x)*z=0} choose a belongs to (0,1]
by taylor expansion
f(x+az)-f(x)-Df(x)*az=a^2/x*z*D^2 f(x+bz)*z for some b belongs to [0,a]
as z belongs to the subset, the above equation is equivalent to
f(x+az)-f(x)=a^2/x*z*D^2 f(x+bz)*z for some b belongs to [0,a]
if left hand side <0, then we get D^2 is  negative definite as a b can be arbitrarily small
if left hand side >0 ie. f(x+az)-f(x)>0   by mc.3 Df(x)*az>0. contradiction with Df(x)*z=0
if left hand side=0  ie. f(x+az)=f(x)   then as Df(x) not equal to 0, and f(x+az)>=f(x), Df(x)*(az)>0 as well by m.c.3.  so contradiction as well
so only the first case when left hand side is smaller than 0 is possilble.

malonechan 发表于 2011-3-17 20:56
similar proof to the quasi concave function
just prove necessity
choose z belongs to this subset {Df(x)*z=0} choose a belongs to (0,1]
by taylor expansion
f(x+az)-f(x)-Df(x)*az=a^2/x*z*D^2 f(x+bz)*z for some b belongs to [0,a]
as z belongs to the subset, the above equation is equivalent to
f(x+az)-f(x)=a^2/x*z*D^2 f(x+bz)*z for some b belongs to [0,a]
if left hand side 0 ie. f(x+az)-f(x)>0   by mc.3 Df(x)*az>0. contradiction with Df(x)*z=0
if left hand side=0  ie. f(x+az)=f(x)   then as Df(x) not equal to 0, and f(x+az)>=f(x), Df(x)*(az)>0 as well by m.c.3.  so contradiction as well
so only the first case when left hand side is smaller than 0 is possilble.

if left hand side <0, then we get D^2 is  negative definite as a b can be arbitrarily small
感觉这个有问题，当b任意小的时候，z*D^2 f(x+bz)*z的确是负的，但当b是零时，z*D^2 f(x+bz)*z就有可能为零。

4# xinshou0011

不会阿 b=0 只说明f里面是f(x) 没有关系啊 他直接说明z*D^2 f(x) * z<0   如果lfs<0的话  注意前面的常数是a^2 不是 b^2 a 必须不等于0的

malonechan 发表于 2011-3-17 21:46
4# xinshou0011

不会阿 b=0 只说明f里面是f(x) 没有关系啊 他直接说明z*D^2 f(x) * z

当b任意小的时候，z*D^2 f(x+bz)*z的确是负的，但当b是零时，z*D^2 f(x+bz)*z就有可能为零。

其实这里的b满足 0<b<a时（由泰勒展开式），z*D^2 f(x+bz)*z是负的，  b不是能去任意值的，z*D^2 f(x+bz)*z是当b趋于零，有z*D^2 f(x)*z，而这个极限的过程是不能保证z*D^2 f(x)*z不等于零的，你说呢

我不明白为什么z*D^2 f(x+bz)*z
当b是0 的时候  可能是0  我觉得当我们知道等式左边是负的  那右边就一定也是负的   

这个和任何极限没关系
等式左边是负的  右边就一定是负的的

malonechan 发表于 2011-3-17 22:37
我不明白为什么z*D^2 f(x+bz)*z
当b是0 的时候  可能是0  我觉得当我们知道等式左边是负的  那右边就一定也是负的   

这个和任何极限没关系
等式左边是负的  右边就一定是负的的

例如当X在（0，b）(b是大于于0的数) 上时，-X是小于零的，但是当X--->0+时，
-X--->0

x是给定点  和b没有任何关系  你在动b 不在动x