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在线投资组合(Online Portfolio Selection)：机器学习的应用
投资组合的任务是将资产以最优的方式分配到投资产品。这是投资中的重要和基本的研究课题，虽然方法和策略多种多样，一般可分为两大类：投资群体常用的mean-variance理论，和基于信息理论的 Capital Growth 理论(CGT)。
Mean-variance理论基于数学优化，是典型的一步优化方法。而CGT是多步优化方法，及时使用当前的最新数据，并且以序列化的方式选择最优的投资组合。这是机器学习在投资组合中的自然的应用，通常称为在线投资组合(online portfolio selection)。
在线投资组合常用的策略有：
1. Follow the winner 增加表现好的投资产品的权重，降低表现不好的投资产品的权重。其中最有代表性的是Universal Portfolio，首先定义投资组合的集合(其中每一种组合可以看作是一个专家系统)，然后对集合中的专家系统分配权重，最后的投资组合是所有专家系统的加权平均。
除了Universal Portfolio, 其他具有代表性的策略有：
- Exponential Gradient：找到前一段时间最佳的投资组合，同时保持最小的换手率，即尽量使得新的投资组合接近最后的投资组合。
- Follow the leader: 在给定的投资组合的集合中找到前一时间段中最优的投资组合，作为下一步的投资方案。
2. Follow the loser 这种策略的理论基础是mean reversion，即当前效益好的投资产品在下一时间段的效益会变差，反之亦然。作为这种策略的结果，当前效益差的投资产品在下一步的权重将会增加。
典型的策略有：
- Anti-Correlation：选定过去的两个时间段，并计算所有投资产品在两个时间段之间的相关系数。策略将增加近期变现差的投资产品的权重，增加的数量由该产品和其他产品的相关系数决定。相似的策略用于降低近期表现好的投资产品。
- Passive Aggressive Mean Reversion：首先定义一个损失函数(loss function)，当投资组合的收益小于指定的阈值时损失函数为0，反之为一个正数。策略归结为一个数学优化问题，在尽量降低换手率的同时使得损失函数为0。背后的理论仍然是mean reversion：降低收益好的投资产品的权重，增加收益差的产品的权重。
- Online Moving Average Reversion：引进多步方法估算下一步的投资产品收益，以过去的收益的加权平均作为下一步收益的预测，最终的投资组合归结为一个数学优化问题，在降低换手率的同时使得投资组合的收益最高。
3. Patten match 一般包含两个步骤：样本选取；投资组合优化。 样本选取步骤中，从历史数据中寻找与近期市场表现相似的时间段，从而收集样本点，并以次为依据预测接下来的投资产品的收益。其中不同的历史时期可以被指定概率。 接下来定义一 utility function 作为数学优化的目标函数，数学优化的目的是使得在样本点的集合中 utility function 是最优的。
样本选取的主要方法有：histogram based; Nonparametric kernel based; correlation driven nonparametric等等。
优化的策略主要有两大类：基于Kelly 理论的CGT，和基于Markowitz的mean-variance优化。
4. Meta learning 类似于机器学习中的专家系统，每一个专家被看作独立的策略，多个专家系统被组合以后形成最终的策略。常用的Meta Learning 使用 Follow The Winner 策略，当个别专家策略对参数比较敏感时，组合以后的策略性能将变得更稳定。
常用的方法有：Aggregating Algorithm, Fast Universalization, Online Gradient and Newton Updates。
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