关于多项式是正或负的证明

比如一个含有X的六次方甚至七次方的一元函数。在定义域内如何证明其正或负？
我这样的思路对不对：
第一步，先看一阶条件，如果能判断是正（或负），就说明该函数递增或递减。这样如果递增，只要当函数在x在定义域内取最小值时为正就ok. （如果递减则要证明在X取最大值时函数为正即可）。否则就是第二步
第二步，作二阶条件。看是正或负。如果能判断是正或负，就能说明一阶条件是递增还是递减。只要x在定义域内取最小值时，二阶条件为正就说明一阶条件是递增的，进而回到第一步。 否则就是第三步.
第三步，三阶条件。。。。

麻烦达人给个评论，或者更好的建议。预谢。

你的思路是对的，但是要是能因式分解就更好了，我看证明正负，恐怕和因式分解有关，越是复杂的式子，越要简单化处理，你试试看

定义域和函数形式都知道了值域是不是也确定了呢，迷茫

小公公建议得好。我在尽可能简化，同时在做不能简化处理时的准备。