就哥德尔不完备性定理答网友

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昨天看贴注意到了哥德尔不完备性定理，咋一看这个定理，形式上与很多自然科学中的表述是一致的，当时就想到了量子力学，于是，就有网友问：是否可以具体说说，下面就谈谈我的想法，仅供参考。

哥德尔不完备性定理的具体叙述就省略了，这个定理表明了任何形式系统都不能同时具有完备性和一致性，定理有两个表述，第二定理是第一定理的推论，所以，仅就第一定理来进行讨论，我们可以这样理解，把任何形式系统理解为具体的一个系统，这个系统具有两个客观的性质，即完备性和一致性，这两个性质是系统的客观属性，不完备性定理表明了，我们不可能同时描述这两个性质，要描述完备性，哪么一致性就会变得很不确定，要精确的知道一致性，哪么完备性就会变得不确定，这就是量子力学测不准关系的有一种表达形式，反过来，我们将一个微观粒子作为一个形式系统的话，这个系统具有位置和速度两个属性，这就相当于完备性和一致性，他们的表述都是：不可能同时精确的知道这两种属性。
其实，这就是事物存在的普遍形式，任何事物都有两个方面的性质，也就是所谓的矛盾的两个面构成的，我们不可能同时精确的知道这两者的准确信息，这就是辩证法所强调的思想，这种思想只是被人们不断的不自觉的重复利用，而只有马克思是自觉的坚持。


写到这里，原本还有很多想要说的，想想还是算了，我在网络里找了一些理解比较好的、浅显的文章，附后，供阅读参考。

距离车博给我提起哥德尔这个人已经有很长一段时间了，听说被称为20世纪对思想界影响最巨的数学家NO.1，就来了兴趣，想知道是干嘛的。于是，就在百度百科看到那个被称为属于上帝的真理的哥德尔不完备定理。至于这个定理的数学含义，完全不懂，但是其中包含的思想的延伸还是给我很大的震撼：任何一个理论体系必定是不完备的，任何理论体系中都包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题。第一反应：这还有什么搞头，咱们人类岂不是永远不能获得这个世界的完整真理了。第二反应：教授这个职业岂不是永远不会消失，总会有问题去研究。第三个反应：人类的对这个世界的探索会不会成为一个死循环？当然这一天如果存在的话，还非常遥远。然后有时候会去想这个问题，很多东西还没有一点理解。不过我的理解可能是完全错误的，毕竟这个定理里包含的思想我可能曲解了。另一方面无奈我不是个优秀的学生，就只得到以下一些零散、粗浅的东西。
首先呢，这个定理的数学理论上那一套，以我的脑袋还无法去领悟，所以也就不管其在数学方面的意义了（不过有点兴趣的是希尔伯特在看到这个定理时会有什么样的反应）。唯一一点在意的是，数理逻辑上的，从这个定理表面上看，逻辑是有问题的。我们可以通过逻辑解决很多问题，但是也有逻辑无法证明的命题，如果这个命题偏偏属于某个理论体系中的公理的话，会有甚么样子的结果？是否意味着这个理论体系的失败？现在仍有很多数学问题没有找到答案，但从经验来看，很多问题似乎在未来一定会有答案的。现在最为困难的一些命题比如黎曼猜想，看上去最终都会在未来得到解决。但是否存在这样的问题，比如xxx猜想，用纯粹的数学逻辑无法证明，需要使用逻辑之外的东西去处理，但甚么东西能够代替逻辑的作用？我实在想不到其他的，也许真的有上帝存在，虽然一直我都是无神论者。当然承认上帝存在的前提是必须有用逻辑无法证明的命题存在，这样的命题是否真的存在？貌似转移到哲学上了。
刚见到这个不完备定理时候碰巧在弄马哲，猜想如果马克思遇到哥德尔一定会相见恨晚。马哲里面关于真理有一段论述：真理的绝对性和相对性（最初的出处是不是老马就不得而知了）。基本上老马关于真理的相对性叙述实际上就是哥德尔不完备定理的翻版，真理是无限的，相对的，人类的认识需要永远不断的扩展，加深。看着这个，对“数学是物理的先导，哲学是科学的先导”这句话的后半句印象又改善不少，题外话。只是老马的论述实在有些飘渺，这似乎也是哲学的一贯风格，不如哥德尔在数学上给出证明来的有说服力，刚好，于是又想起“科学为哲学提供实证材料，促进哲学的发展”这句话来。
看到这个定理的时候，就想跟曾经自己喜爱的物理关联一下，虽然我只有高中物理的水准。首先就有一个绝佳的证明，量子力学无法解释宏观世界，相对论对微观世界束手无策。然后想到的是物理学家孜孜追求的大统一理论的未来，八成是没戏了，大一统理论的终极目标是一个放置于全宇宙从宏观到微观皆准的能解释整个宇宙运行规律的理论或理论体系，很显然，哥德尔不完备定理告诉我们这是不可能的，无论是怎样的理论体系，必然存在无法证明的命题，那么也就存在无法解释的现象，因此要建立一套理论能完全的解释宇宙的点点滴滴也是个疑问了，当然比较好的含义是物理学不会有终结的那一天。接着想到的是海森堡不确定原理，似乎也能扯上一点边，无法同时获得一个粒子的准确速度和位置，貌似可以看作不完备定理的一个理论例子，也是量子力学即使在适用的微观世界也有无法处理的问题的体现，这刚好与不完备定理相符。另，记忆中曾经在天地人大跟别人讨论过一个貌似哲学的话题，那哥们儿的意思是如果我们有了对宇宙的完备知识的话，就不需要讲“概率”这个概念了，因为他文科生，然后我搬出高中化学课中（or 物理课，基本课程大家都学过）中氢原子电子云的例子来，想证明微观粒子的运动中客观存在“概率”这个词儿，概率本身就是完备知识中的概念；结果他回答说那是因为我们还没有完全了解电子的运动规律，无法解释电子的跳跃现象，只是根据观察的经验画出电子云图，再用概率来解释。我倒，一时我竟无法反驳，我是非常不情愿看着“概率”这个概念消失掉，否则那不就是宿命论了，完全一个死掉的世界。如果是现在，我就拿哥德尔不完备定理出来。哈哈。不过，人类是否真的是因为无知而创造出概率这门学问，想想就有点害怕。
如果要说这个定理是否与社会科学领域特别是经济学，政治学有关联的话，虽然之前也想过，但总觉得有些牵强。先还是不提罢了。
最后是点跟计算机相关的，这个定理最初实际上是个直接关于逻辑学的结论，自然让人联想到算法、人工智能方面。不过自己的计算机基础实在太烂，根本就是无知。只剩一点就是人工智能能否实现的问题，对建立在图灵机基础上的现代计算机，按照哥德尔不完备定理的限制，恐怕人工智能也是遥遥无期了。人工智能的课当初几乎也没有去上，最初的理解是人脑都有解决不了的问题，当然机器也是一样了。另一点是机器必定存在无法判断真或非真的命题，何况机器需要一套形式语言系统为基础，去模拟人的思维，但按照哥德尔不完备定理，这样一个形式语言系统本身都是具有矛盾的，难道还能指望它能模拟我的思维去证明自己的不相容。因此人工智能必定无法完全的模拟人脑。（大缺陷：人工智能是怎么回事？忘记了-_-b）
前言不搭后语，自己都无法说服自己，还需要再多读点其他东西。

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关键词：哥德尔 计算机基础 理论体系 人工智能 量子力学 自然科学

牛、晕，打下将由就闪

提供个资料
    哥德尔关于形式系统的不完备性定理，首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果，如果仅就算术系统而言，这个定理可以简单地表述为：
定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。

为了不至引起大家的误解，觉得还是有必要让大家了解一下哥德尔定理的基本内容。



哥德尔不完备性定理的基本内容

　　　一个普遍公认的事实是，哥德尔不完备性定理在数理逻辑中占有极其重要的地位，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑。

　　　哥德尔关于形式系统的不完备性定理，首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果，如果仅就算术系统而言，这个定理可以简单地表述为：

　　　定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。

　　　罗塞尔（Rosser）对上面的定理进行了如下改进：

　　　定理：如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。具体说就是——
　　　定理：如果一个含有自然数论的形式系统S是无矛盾的，则S中存在一个逻辑公式A，使得在S中A是不能证明的，同时￣|A（￣| 为否定连接词——笔者注）也是不能证明的。

　　　作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。映射是数学研究中极为重要的一 种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。哥德尔的方法是：把算术系统（记 为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在 研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对象（如符号、公式）转换为自然数或自然数的函数，能够用自然数的理论来讨论有关问题。其次，哥 德尔又通过“递归函数”的引进证明了所有元理论中关于表达式的结构性质命题，都可以在算术系统中得到表达。映射原理的应用和递归函数的引进，使元理论中的 命题都映射为了算术系统中的命题，算术系统也因此获得了元数学的意义。

　　　哥德尔在阐述自己的证明思想时说过：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项、括号或中断号）的一个有限序 列，而且人们容易精确地去指明基本符号的那些有限序列是有意义的公式和那些不是有意义的公式。类似地，从形式的观点看，所谓证明实际上就是公式的一个有限 序列。对于元数学来说，究竟用什么东西来作为基本符号当然是没有关系的。我们不妨就用自然数来作为基本符号，如此，一个公式就是一个自然数的有限序列，而 证明便是一个有限的自然数序列的有限序列。据此，元数学的概念（命题）也就变成了关于自然数或他们的序列的基本概念（命题），从而就可以（至少是部分地） 在（对象）系统本身的符号中得到表示，特别是人们可以证明‘公式’、‘证明’、‘可证公式’等都可在对象系统中加以定义。”

　　　哥德尔按照上述的证明思想，为不完备性定理的证明在对象系统内构造了这样一个命题G，使其元数学的意义为“G是不能证明的”（作为元数学的命题——我们记为G’，这里G’为G的映射。）。

　　　哥德尔指出：一旦构成这样的命题，定理的证明就完成了，因为G正是需要的不可判定的命题。对此，这里仅作简单描述：

　　　前提：
　　　（α）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是任何一公理系统的必然要求）。
　　　（β）命题的真理性在映射下保持不变（特别是这里的G和G’是同真假的）。

　　　结论1：G是不能证明的。
　　　证明：用反证法
　　　设G是可以证明的（α）→G为真，（β）→G’为真；由G’的意义→G是不能证明的。矛盾，证毕。

　　　结论2：￣| G也是不能证明的。
　　　证明：由结论1可知，G是不能证明的，由G’的意义→G’为真；（β）→G为真，Df→￣|G为假，（α）→￣| G是不能证明的，证毕。

　　　由结论1和结论2可知G是不可判定的，也就是说系统是不完备的。

　　　上述的证明，可以定性地概括如下：

　　　[color=Red]（1）一个包括初等数论的形式系统P，如果这个系统是一致的，那么它就是不完备的。这条称为第一不完备性定理。
　　　（2）如果一个包括初等数论的形式系统P是一致的，那么它的一致性在本系统中是不能得到证明的。这条称为第二不完备性定理。
　　　哥德尔不仅详细检验了他的论证，而且进一步断定：如果要证明一个系统S的一致性，那么在元理论中所使用的推理工具绝不能弱于系统S中所使用的推理工 具。因此，可以看出，希尔伯特的方案，即用有穷观点证明自然数论甚至整个数学的一致性是绝对行不通的。这一点也说明了形式系统有局限性。
哥德尔定理的证明思想来源于对悖论的分析，可见深入研究悖论问题对数学和逻辑学都有着极为重要的意义。而哥德尔定理的另一个重大意义在于：系统一致性和完 备性的不相容性，仅仅存在于数学系统中，还是普遍存在于所有系统中呢（自然科学系统，社会科学系统，等等）？[/b]所以，哥德尔定理已经超越了数学和逻辑学，提 出了无法回避的哲学问题；在20世纪对数学的基础研究中，对数学哲学基础的研究成了十分重要的一个方面，和哥德尔定理的发现是有着直接关系的。

杨振伟 发表于 2011-5-1 10:38
首先呢，这个定理的数学理论上那一套，以我的脑袋还无法去领悟，所以也就不管其在数学方面的意义了（不过有点兴趣的是希尔伯特在看到这个定理时会有什么样的反应）。唯一一点在意的是，数理逻辑上的，从这个定理表面上看，逻辑是有问题的。我们可以通过逻辑解决很多问题，但是也有逻辑无法证明的命题，如果这个命题偏偏属于某个理论体系中的公理的话，会有甚么样子的结果？是否意味着这个理论体系的失败？现在仍有很多数学问题没有找到答案，但从经验来看，很多问题似乎在未来一定会有答案的。现在最为困难的一些命题比如黎曼猜想，看上去最终都会在未来得到解决。但是否存在这样的问题，比如xxx猜想，用纯粹的数学逻辑无法证明，需要使用逻辑之外的东西去处理，但甚么东西能够代替逻辑的作用？我实在想不到其他的，也许真的有上帝存在，虽然一直我都是无神论者。当然承认上帝存在的前提是必须有用逻辑无法证明的命题存在，这样的命题是否真的存在？貌似转移到哲学上了。

呵呵，有点道理。康托就是搞这些只有上帝才懂的问题，把自己搞疯了。这时候大概最适合哲学之类的东西来自圆其说了。

刚见到这个不完备定理时候碰巧在弄马哲，猜想如果马克思遇到哥德尔一定会相见恨晚。马哲里面关于真理有一段论述：真理的绝对性和相对性（最初的出处是不是老马就不得而知了）。基本上老马关于真理的相对性叙述实际上就是哥德尔不完备定理的翻版，真理是无限的，相对的，人类的认识需要永远不断的扩展，加深。看着这个，对“数学是物理的先导，哲学是科学的先导”这句话的后半句印象又改善不少，题外话。只是老马的论述实在有些飘渺，这似乎也是哲学的一贯风格，不如哥德尔在数学上给出证明来的有说服力，刚好，于是又想起“科学为哲学提供实证材料，促进哲学的发展”这句话来。

这两位仁兄估计见了面会互相指责而不是相见恨晚。哥德尔未必认为真理有绝对性。他只是打破了希尔伯特的美梦，证明了公理化方法不是万能的。充其量，就是说明了得到全部数学知识的“某一种”方法失效了，但或许有其他的方法呢？从马克思的数学手稿上看，他本身是不是真的理解公理化方法，是值得怀疑的，更不用说批判公理化方法的哥德尔了。马克思给人的感觉是更接近庞加莱，喜欢直观的数学，而不是公理化理论体系。所以说马克思那套晦涩的关于真理的哲学成为不完备定理的“翻版”，本身就很可疑。两者形式上有所相似，应该仅仅是巧合而已。

看到这个定理的时候，就想跟曾经自己喜爱的物理关联一下，虽然我只有高中物理的水准。首先就有一个绝佳的证明，量子力学无法解释宏观世界，相对论对微观世界束手无策。然后想到的是物理学家孜孜追求的大统一理论的未来，八成是没戏了，大一统理论的终极目标是一个放置于全宇宙从宏观到微观皆准的能解释整个宇宙运行规律的理论或理论体系，很显然，哥德尔不完备定理告诉我们这是不可能的，无论是怎样的理论体系，必然存在无法证明的命题，那么也就存在无法解释的现象，因此要建立一套理论能完全的解释宇宙的点点滴滴也是个疑问了，当然比较好的含义是物理学不会有终结的那一天。接着想到的是海森堡不确定原理，似乎也能扯上一点边，无法同时获得一个粒子的准确速度和位置，貌似可以看作不完备定理的一个理论例子，也是量子力学即使在适用的微观世界也有无法处理的问题的体现，这刚好与不完备定理相符。另，记忆中曾经在天地人大跟别人讨论过一个貌似哲学的话题，那哥们儿的意思是如果我们有了对宇宙的完备知识的话，就不需要讲“概率”这个概念了，因为他文科生，然后我搬出高中化学课中（or 物理课，基本课程大家都学过）中氢原子电子云的例子来，想证明微观粒子的运动中客观存在“概率”这个词儿，概率本身就是完备知识中的概念；结果他回答说那是因为我们还没有完全了解电子的运动规律，无法解释电子的跳跃现象，只是根据观察的经验画出电子云图，再用概率来解释。我倒，一时我竟无法反驳，我是非常不情愿看着“概率”这个概念消失掉，否则那不就是宿命论了，完全一个死掉的世界。如果是现在，我就拿哥德尔不完备定理出来。哈哈。不过，人类是否真的是因为无知而创造出概率这门学问，想想就有点害怕。

物理学毕竟还是实证科学，而不是数学那样纯理论，用一些公理可以推出一套体系。物理学的目标不是“证明”一个“定理”，而是用理论为工具去预测，并通过实验验证，从而“发现”一个“定律”。两者的方法论完全是大相径庭的，定理和定律还是不太一样的。据我了解，大统一所遇到的困难，应该主要还是实验手段落后，无法达到所需要的高能粒子，而未必是数学上的失败。毕竟，数学的前沿要领先物理很多，物理用的多半是现成的数学方法。

海森堡测不准好像也和不完备定理没多少关系，据我了解，它只是说观察者和被观察者在同一系统出现时，会互相干扰互相影响，从而得不到精确的测量结果。而这本身和“不完备”没有多大关系，虽然思想是有些相似性。

概率论这个问题比较有意思，虽然现在哥本哈根学派的观点起到统治地位。

如果要说这个定理是否与社会科学领域特别是经济学，政治学有关联的话，虽然之前也想过，但总觉得有些牵强。先还是不提罢了。
最后是点跟计算机相关的，这个定理最初实际上是个直接关于逻辑学的结论，自然让人联想到算法、人工智能方面。不过自己的计算机基础实在太烂，根本就是无知。只剩一点就是人工智能能否实现的问题，对建立在图灵机基础上的现代计算机，按照哥德尔不完备定理的限制，恐怕人工智能也是遥遥无期了。人工智能的课当初几乎也没有去上，最初的理解是人脑都有解决不了的问题，当然机器也是一样了。另一点是机器必定存在无法判断真或非真的命题，何况机器需要一套形式语言系统为基础，去模拟人的思维，但按照哥德尔不完备定理，这样一个形式语言系统本身都是具有矛盾的，难道还能指望它能模拟我的思维去证明自己的不相容。因此人工智能必定无法完全的模拟人脑。（大缺陷：人工智能是怎么回事？忘记了-_-b）
前言不搭后语，自己都无法说服自己，还需要再多读点其他东西。

人工智能也不完全是用确定性的符号逻辑来运算的，还有很多算法用到了随机性，比如神经网络算法（虽然这是对大脑思维方式的一种粗糙幼稚的模仿），所以也不必太悲观。

看了你们的讨论，希望你们不要继续望文生义了。中国人很多时候喜欢把形式的类似性看成一些决定性的东西来妄自YY，而事实上他们之间真的是否产生联系根本不是这个层面上的东西。学东西要一步一步来，一口吃不成一个胖子。