Betti数的包围与Euler-Poincar的计算 半二次系统定义的半代数集的性质 多项式

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摘要翻译：
设$\r$为实闭域，${\mathcal Q}\subset\r[Y_1,...,y_\ell，X_1,...,x_k]，$与$\deg_{Y}(Q)\leq2,\deg_{X}(Q)\leq d,Q\in{\mathcal Q},#({\mathcal Q},#({\mathcal Q}）=m,$与${\mathcal P}\subset\r[X_1,...,x_k]$与$\deg_{X}(P)\leq d,P\in{\mathcal P},#({\mathcal K}$一个由布尔公式定义的无负数半代数集，原子$P=0,P\geq0,P\leq0,P\in{\mathcal P}\cup{\mathcal Q}$。我们证明了$S$的Betti数之和被\[\ell^2(O(S+\ell+m)\ellD)^{k+2m}有界。\\]这是前人关于分别由$d$和2次多项式定义的闭半代数集的Betti数有界结果的共同推广。我们也给出了计算这类集合的Euler-Poincar特征的一个算法，推广了以前的类似算法。该算法的复杂度以$(\ell s m d）^{O(m(m+k))}$为界。
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英文标题：
《Bounding the Betti numbers and computing the Euler-Poincar\'e
  characteristic of semi-algebraic sets defined by partly quadratic systems of
  polynomials》
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作者：
Saugata Basu, Dmitrii V. Pasechnik, Marie-Francoise Roy
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最新提交年份：
2008
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Algebraic Geometry        代数几何
分类描述：Algebraic varieties, stacks, sheaves, schemes, moduli spaces, complex geometry, quantum cohomology
代数簇，叠，束，格式，模空间，复几何，量子上同调
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Symbolic Computation        符号计算
分类描述：Roughly includes material in ACM Subject Class I.1.
大致包括ACM学科第一类1的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Algebraic Topology        代数拓扑
分类描述：Homotopy theory, homological algebra, algebraic treatments of manifolds
同伦理论，同调代数，流形的代数处理
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Geometric Topology        几何拓扑
分类描述：Manifolds, orbifolds, polyhedra, cell complexes, foliations, geometric structures
流形，轨道，多面体，细胞复合体，叶状，几何结构
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英文摘要：
  Let $\R$ be a real closed field, $ {\mathcal Q} \subset \R[Y_1,...,Y_\ell,X_1,...,X_k], $ with $ \deg_{Y}(Q) \leq 2, \deg_{X}(Q) \leq d, Q \in {\mathcal Q}, #({\mathcal Q})=m,$ and $ {\mathcal P} \subset \R[X_1,...,X_k] $ with $\deg_{X}(P) \leq d, P \in {\mathcal P}, #({\mathcal P})=s$, and $S \subset \R^{\ell+k}$ a semi-algebraic set defined by a Boolean formula without negations, with atoms $P=0, P \geq 0, P \leq 0, P \in {\mathcal P} \cup {\mathcal Q}$. We prove that the sum of the Betti numbers of $S$ is bounded by \[ \ell^2 (O(s+\ell+m)\ell d)^{k+2m}. \] This is a common generalization of previous results on bounding the Betti numbers of closed semi-algebraic sets defined by polynomials of degree $d$ and 2, respectively.   We also describe an algorithm for computing the Euler-Poincar\'e characteristic of such sets, generalizing similar algorithms known before. The complexity of the algorithm is bounded by $(\ell s m d)^{O(m(m+k))}$.
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PDF链接：
https://arxiv.org/pdf/0708.3522

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关键词：Euler TTI Inc CAR Bet 原子 subset 算法 系统 ell