朴素分析平衡

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考虑一个3人博弈，在这个博弈中，每一个方块位于一个圆内，每个方块的所有价格都在下降，它主要取决于它自己的价格和它顺时针方向的邻居的价格。也就是说，需求函数由（对于某些0<<<<1)给出:Q=120-x-x-∑x、Q=120-x-x-∑x、Q=120-x-x-∑x，每个firerm的profiret函数为πi=qixi。观察到ga me存在战略替代(DπIDXIDXJ<0)和负外部性(DπIDXJ<0)，这意味着战略互补性和Payo外部性是一致的。在下面的文章中，我们证明了在任何朴素分析平衡中，x_i<bri x_-i，这与Adicating命题2是一致的。对相反的r y假设x*>br x*-1，这意味着玩家1从单方面降低价格以达到无偏见的最佳回答中获得收益，这种降低最初会诱导竞争双方提高价格，但玩家3的反应要强烈得多。玩家3的这个新的更高的价格促使玩家2重新调整她的价格，将其降低到她的初始NAE价格以下，这增加了玩家1的Payo。这意味着玩家1从对手策略的变化中获益。因此，X*不可能是Stackelberg-leader策略，这与(α*,X*)是一个幼稚的分析均衡相矛盾。c有偏估计的微观基础c.1价格竞争中的偏差αi<1假设这两个机构中的每个机构雇佣的分析师决定通过在高价格（pH）和低价格（pL）之间交替来测试需求的价格弹性，并设定一个低价格（折扣）的时间份额。实验可以用一个水平的马虎γi∈[0,1]来表征。在一小部分时间里，分析师没有监控该公司的员工，也没有仔细监督员工随机统一选择折扣时间。因此，例如，fiengrm的员工可能会在需求较低的日子里实施折扣，这可能是因为员工在这些日子里有更多的空闲时间来处理发布的价格。在其余时间(1-γIFRaction)，分析证明价格是随机设置的。因此，当任何一个分析师随机统一设定价格时，投资者的价格之间不会有相关性。这意味着时间的1-γγ分数。在剩余的γγ部分时间里，可能存在着它们的价格之间的相关关系，我们用ρ来表示。在相关系数ρ、分数γ的条件下，价格的联合分布，γ如表4所示。PLPHPLμLL=μL+μL(1-μL)γγρμLH=μL(1-μL)(1-γγρ)PHμHL=μL(1-μL)(1-γγρ)μHH=(1-μL)+μL(1-μL)γγρ，表4：相关系数ρa nd分数γ的价格联合分布，γ当计算需求的价格弹性t o决定如何改变价格时，分析师计算:ηi=-qiqipipi(c.1)其中qi是高价格时期和低价格时期的平均需求的最差值，Qii是平均已实现的需求，pi=pH-pLi是高、低价格期间的价格差异，和pi=μLPL+(1-μL)pHis平均价格。当设置价格pi时，和当竞争对手设置价格p-ii时，firirm i观察到的需求是Qi(pi，p-i)=ai-bipi+cip-i。使用Ta ble4中的联合概率，我们发现Qi=a-(b-c)(μLPL+(1-μl)pH)和Qi=-(pH-pl)(b-cγγρ)。插入(c.1)中，firirm i将估计其价格弹性为:ηi=(b-cγγρ)(μLPL+pH(1-μl))a-(b-c)(μLPL+pH(1-μl))(μLPL+pH(1-μl))L))，(c.2)，而真实弹性为ηTI=b(μLPL+pH(1-μL))a-(b+c)(μLPL+pH(1-μL))。

因此，当c>0和ρ>0时，分析师将估计该公司的价格弹性低于ηti，在广告竞争中c2偏差αi>1。假设该公司在t时的销售额按照线性模型salest=μ+xt+θt，其中μ为平均销售额，xtis广告水平，可以是XH>XL≥0的xLor XH，需求冲击分布为I.I.D N(0,1）.在这个模型中，广告的真正E-ect,d（salest）dxtequals 1.figurrm有一个销售目标μ，其广告策略是将广告增加到xt+1=xHif销售额低于μat t ime t,即，如果Salest<μ，否则setxt+1=xl.为了估计广告的Ect,当广告增加或减少时（否则变化不能与广告的变化有关），figuryrm查看销售额的情况，并取平均值计算[i.salest]@x=e[salest+1-salestxt+1=xH,xt=xl]xh-xl+e[salest+1-salestxt+1=xl,xt=xH]xl-xh(c.3)更复杂的方法可以考虑这些估计的加权平均值，也可以考虑广告不变时的基线销售额。求和的左手部分等于:e[salest+1-salestxt+1=xH，XT=xL]XH–xL=μ+XH+E[1 T+1]–(μ+xL+E[3 T EST<μ])XH–xL==μ+XH–μ+xL–φ(–xL)Φ(–xL)XH–xL=1+φ(–xL)Φ(–xL)XH–xL>1，其中φ(·)为标准正常pdf和Φ(·)为CDF。右边的partequals:E[salest+1-salestxt+1=xL,xt=xH]xl-xh=μ+xL+e[ut+1]-(μ+xH+e[utsalest≥μ])xl-xh=μ+xl-μ+xh-φ(-xH)1-Φ(-xH)xl-xh=1-Φ(-xH)Φ(xH)xh-xl<1因为φ(x)Φ(x)在x中是递减的，所以(c.3)分子中的和大于than2，这导致了对其广告的e有效性的高估。d Techn i cal Proo fsd.1证明假设(α*，x*)是一个朴素的分析平衡，x*i/∈XSLIα*-i。x*i/∈XSLIα*-i这一事实意味着存在x′i∈Xi和x′i，α*-i-平衡x′，使得πi(x′)>πi(x′)。设α′i∈A是满足dπα′ii(x′)dxi=0和dπα′ii(x′)dxi<0的偏置（由于第4项的第（2）部分，这样的α′存在）。thenx′是α′i，α*-i-平衡，它满足πi(x′)>πi(x*)，这与(α*，x*)是一个朴素分析平衡相矛盾。其次，相反地假设x′是一个α*-平衡，x*i∈XSLIα*-i在玩家i中，and(α*，x*)不是一个朴素分析平衡。最后一个假设意味着存在i∈N，偏置α′i，α′i，α′-i-平衡x′s.t。πi(x′)>πi(x′).观察到x′是x′i，α′-i-平衡。πi(x′)>πi(x*)的事实与xi(α*)∈XSLi(α-i)的假设相矛盾。D.2命题4（策略互补）引理1。设γ是一个博弈假设1-4。设X*是一个策略方案，满足SGN X*i-bri X*-i∈NSGN DπIDXJ,对于每个i∈N为0O,对于某个k∈N为SGN X*K-bri X*-K6=0.当存在Nash方程xNE时，SGN X*i-Xnei=SGN DπJDXI,对于每个i∈N为SGN DπJDXI。我们首先给出一个稍弱的性质，即存在纳什平衡xNE，使得sgn x*i-xnei=nsgn dπjdxi,0o对于每个i∈n。对反向y假设存在一个博弈方j，对于每一个纳什均衡xne，其s gn x*j-xnej=-sgn dπjdxi。考虑一个类似于G的辅助对策，除了每个玩家i被限制选择一个策略xisatisfyingsgn(x*i-xi)∈nsgndπidxj，0o。由于凹性（假设3)，博弈分级为纯纳什均衡，我们用XRE表示。结果表明：对于每一个Na sh平衡xne，均为sgn x*j-xrej∈nsgn dπidxj，0o,而sgn x*j-xnej=-sgn dπjdxi。这是由于sgn x*j-xnej=-sgn dπjdxi不符合原ga me G的Nash平衡。

这意味着存在一个博弈方i,其中xrei=x*i，且SGN x*i-bri xre-i=-SGN dπidxj,这与SGN x*i-bri x*-i,SGN bri x*-i-bri xre-i∈nSGN dπidxj,0o相矛盾（其中后一个包含是由策略补偿和SGN x*-i-xre-i∈nSGN dπidxj,0o的事实所暗示的）。接下来，我们证明了SGN x*i-xnei=SGN dπjdxi foreach i的稍强的性质，即SGN x*i-xnei=SGN dπjdxi相反，假设存在一个博弈者j，对于每个纳什均衡xne，其sgn x*j-xnej=n-sgn dπidxj，0o。由于在上面提出的论点，gn x*i-xnei=nsgn dπjdxi，0o，对于每个i∈n。这意味着x*j=xnejandsgn brj x*-j-brj xne-j=sgn brj x*-j-xnej=(Sgndπjdxi！，0)由于战略互补。最后，证明了SGN xutj-bri xutj-j=SGN dπjdxi意味着SGN xutj-xnej=SGN dπjdxi的矛盾。引理2。设γ是一个满足假设1-6的对策。设x是α-eq uili b rium，设x′是αj，α′-j-平衡。Th en sgn(XJ-BRJ(X-J))=sgn X\'J-BRJ X\'-J。证明。x(resp.,x\')是α-平衡(resp.,αj,α\'-J-平衡）这一事实意味着dπαjj(x)dxj=0（resp.,dπαjj(x\')dxj=0)。这又意味着，由于对dqαjjdxj，假设2-3为αj·dπj(x)dxj·πj(x)xj>0（另外，αj·dπj(x′)dxj·πj(x′)xj>0)。将这些不等式结合在一起就得到了sgn dπj(x)dxj=sgn dπj(x′)dxjdueto假设2,这意味着sgn(xj-brj(x-j))=sgn x′j-brjx′-j由于假设3。4 f或策略替代的情况（第（1）部分在正文和前面的引理中得到证明）。推论1意味着对于每个i∈N,SGN xéi-brixé-i=-SGN dπidxj。我们现在证明了对于每个Nash均衡xne，存在玩家i∈N,使得SGN xéi-xnei=-SGN dπjdxi。固定任意玩家j∈N。相反地，对于每个玩家i假定s gn x*i-xnei=sgn dπjdxi。这意味着（由于强有力的战略替代品）sgn bri x*-j-brj xne-j=-sgn dπidxj，这反过来又意味着-sgn dπidxj=sgn x*j-brj xne-j=sgn x*j-xnej，我们得到了一个矛盾。其次，xNEand X*都是对称的。profections和上述论点的对称性意味着sgn x*i-xnei=-sgn dπjdxi对于每个参与者i∈n。这意味着πi(x*)<πi x*i，xne-i≤πi xne，其中fifrst（第二）不等式是由于单调外部性（resp.，xne是纳什均衡）。D.3命题5的证明（Pr冰竞争yen假设1-6）以下三个引理将有助于证明命题5。引理3。价格竞争γ证明了任意α∈r++存在唯一的α-均衡。payo函数的鲁棒凹性（如下所证明）意味着任何α-平衡都完全由FOC0=dπαiidxi=qi+αi(bi-ciwi)xi=ai-(bi+αi(bi-ciwi)xi+ci+αi(bi-ciwi)，(d.1)将每个第i个方程乘以wi，并将n个方程求和得到x=xi∈nwi(ai+ci_x)bi+αi(bi-ciwi)(d.2)，这是一个线性的单变量方程，得到唯一的解xα，通过在(d.1)中代入x=xα，得到唯一的α-平衡xα。当取代α=-→1时，这意味着存在唯一的纳什均衡，我们用xne来表示。引理4。假定brαi(x-i)=aαi+bαiipj6=iwjxj,aαi>0,bαi∈(0,1）对于每个玩家i∈N和每个αi∈A,让xi=aαii,xi=maxi∈NAαii+1-maxi∈Nbαii,则brαixα-i,brαixα-i∈(xαi,xαi).BRαII(x-i)，BRαII(x-i)>AαII=xαi是直接的。其次观察brαII(x-i)，BrαII(x-i)≤aαII+bαiimaxi∈NaαII+à1-maxi∈NbαII！≤maxi∈NaαII+bαi+1-maxi∈NbαII！maxi∈NaαII(1-maxi∈NbαII)+bαii∈NaαII+bαII[1-maxi∈NbαII<maxi∈NaαII+[1-maxi]NbαII=xi。引理5。设brαi(x-i)=aαi-bαiipj6=iwjxj,aαi>0,bαi∈(0,1）foreach棋子i∈N a nd,设xαi=mini∈N(aαi(1-bαi)),xαi=aαii,则brαixα-i,brαixα-i∈(xαi,xαi).

BrαII(x-i)，BrαII(x-i)<aαII=xαII是直接的。接着观察brαII(x-i)，brαII(x-i)≥aαII-bαIIaαII=(1-bαII)aαII≥mini∈n(AαII(1-bαII))=xαII。假设1:DπIDXJ=DπIDQIDQIDXJ=XIDQIDXJ=XIWJCI§sgn DπIDXJ=sgn(ci)。假设2:(1)πi xi=qi>0，和(2)πi qi qi xi=-xi·（bi-wici）<0.3。假设3\':（这意味着稳健凹性的假设3):(1)DDXiπi Xi=DQIDXi=-(Bi-WICI)<0，和(2)DDXiπi Qi·Qi Xi=DDXi(-Xi(Bi-WICI))=-(Bi-WICI)<0.4。假设4\':(1)ddxjπi xi=ddxj(qi)=wjci，(2)ddxjπi qi qi xi=ddxj(xi·(wici-b))=0.5。假设5（有界感知最佳回答）：对于每一个玩家i∈N和αi>0:0=dπαi(x)dxi0=πi xi+αiπi qi·qi=qi-αixi(bi-wici)=ai-bi-wici)(1+αi)(bi-wici)xi=ai+cixj6=iwjxj(1+αi)(bi-wici)。(d)3)如果ci>0，则设=maxi∈nai(1+αi)(bi-wici)+à1-maxi∈nci(1+αi)(bi-wici)，Lemma4表明假设5成立。如果ci<0，则letxαi=mini∈Nai(1+αi)(bi-wici)1-ci(1+αi)(bi-wici)！！，xαi=ai(1+αi)(bi-wici)，且Lemma5表示假设5成立。假设6（一致的二次适应）：假设是琐碎的IFCI>0。假定CI<0。设α∈AN。i∈N和xi∈XI。设x是α-平衡。x是一个α-平衡的事实意味着，对于每个j∈n:brαjj(xi,x-i)=aj+cjpk6=jwkxk+cjwi(xi-xi)(1+αj)(bj-wjcj)=xj+cjwi(xi-xi)(1+αj)(bj-wjcj)。二次适应与原始适应I[sgnxj6=ibrαjj(xi,x-i)+xi-xjxj=sgn(xi-xi)xj6=i brαjj(xi,x-xi)xj6=i brαjj(xi,x-i)xj6=i brαjj(xi,<(xi-xi)wixj6=icj(xi-xi)(1+αj)(bj-wjcj)<(xi-xi)wixj6=icj(1+αj)(bj-wjcj)<wi，由于假定pj6=icjbj+wjcj<wi而始终成立。命题3意味着α*i<1（部分（1））。如果CI>0，第（2）和（3）部分立即从Propo sition4中隐含出来。当CI<0.eq时，我们只剩下证明部分（2）和（3）。(D.2)意味着x是0=f((x，α)xi∈nwi(ai+ci_x)bi+αi(bi-ciwi)-x的唯一解。注意tf（x,α)在两个参数中都在减小，这意味着增加α会使唯一x满足f（x,α)=0。因此，在每个αi中x(α)是递减的，这意味着（由于方程(d.1)）在每个αi中每个xjis是递减的。对于每一个i来说α_i<1，这一事实意味着Pa r t(2):x_i>xnei。最后，第（3）部分由πi(x~)<πix~i，xne~i<πix~ne，其中，不等式是由于正外部性和x~i>xnei，而该不等式是由xnei是xne~i唯一的最佳回答而隐含的。D.4命题7（对称寡头垄断）的证明一个类似于Lemma3的论证暗示对于每个xi∈xi，α-i)-平衡点存在唯一的(xi，α-i)-平衡点。设x是一个(xi，α-i)-平衡，其中所有的参数都具有相同的偏置水平（即，αj-αk，对于每个j，k6=i)。方程(D.3)意味着对于每个j6=i:xj=brαjj(x-j)=aj+cjpk6=jnxk(1+αj)bj-ncj=a+～cpk6=jxk(1+αj)～b，其中我们通过具有～c=cjnand～b=bj-cjn来简化符号。根据对称性，xj=xk，对于每个j，k6=i。这意味着XJ=A+～C((n-2)XJ+xi)(1+αJ)～BXJ=A+～CXI(1+αJ)～B-～C(N-2)。这意味着XJ xi，α＇-I=A+～CXI1+α＇J～b-～C(N-2)'ADXJ XI，α＇-i dxi=1+α＇j～b～c-(n-2)，其中，反过来，暗示由于索赔1 t hat x*j必须满足α*j-1=xj6=idxj xi，α:/-i DXI·齐XJ齐c～b～c^aα*j～b～c,n！=n-2+r(n-2)-4(n-1)-4～b～c n-2-～b～c～b～c.可以简单地验证αutj～b～c,n在两个参数中都在增加，并且limn→∞αuti～b～c,n=limbc→∞αuti～b～c,n=1。

~b～c=b-cncn=nbc-1是n和bc的增函数，这一事实意味着α~ibc，n在两个参数中都在增加，并且limn→∞α~ibc，n=limbc→∞α~ibc，n=1进一步观察到(D.3)意味着对称的NAE和NE价格是x~j=a(1+α)b-c1+αn,xnej=a2b-1+nc。(D.5)D.5提案8（广告竞争）引理6的证明。本文证明了r++中任意α∈r++的一个唯一的α-均衡。payo函数的鲁棒凹陷性（见下文证明）意味着任何α-平衡都完全由FOC0=dπαiidxi=piαiBi+ci√x-i+ci√x-i，(d.6)替换√x-i=p-iα-bi+cip-iα-ib-i+c-i√xixi(α)=piαi(2bi+cip-iα-ib-i)4-pip-iαiα-icic-i！(d.7)当替换α=-→1时，这意味着a存在唯一的纳什均衡:xnei=pi(2bi+cip-ib-i)4-pip-icic-i。我们首先说明：我们符合假设1-6：1。假设1:DπIDx-i=DπIDQIDQIDx-i=PIDQIDx-i=PICI√XI√x-iyensgn DπIDx-i=sgn(ci).2。假设2:(1)πi xi=-1<0，和(2)πi qi qi xi=pi bi+ci√x-i√xi>0，其中不等式是由ci>0或x-i≤m-i=bici.3的假设隐含的。假设3\'（这意味着稳健凹性的假设3):(1)DDXiπi xi=0,(2)DDXiπi qi·qixi=DDXi pi bi+ci√x-i√xi<0.4。假设4\':(1)DDx-Iπi XI=DDx-I(-1)=0,（2）DDx-I BI+CI√x-I√XI=CI√XI√x-I.5。假设5：对于每一个玩家i∈N和αi>0:0=dπαiidxi=piαiBi+ci√x-i√xi-1^aqbrαi(x-i)=piαiBi+ci√x-i，如果ci>0，则一个类似的参数t o引理4（其中qbrαi(x-i)和√x-i代替brαii(x-i)和x-i)暗示假设5是关于任何一个>0和xαi=piαiBi！，xαi=maxi∈npiαiBi+1-maxi∈npiαiCi，如果ci<0，则Lemma4暗示假设5是satition，如果ci<0，则关于。xαi=mini∈npiαiBi1-piαiCi！！，xαi=piαiBi！。假设6（一致的二次适应）：假设在有两个游戏者的情况下是微不足道的。接下来，我们证明第（1）部分（由于命题4而暗示了第（2-3）部分）。求EQ的导数。(D.6)意味着atdx-i（xi,α*-i）dxi=√x-i√xiα*-ip-ic-i。Qi x-i=ci√xi√x-i，以及Qi x-i=2α*ipi是立即的。因此，权利要求2意味着x*iMust满足α*i-1=*x-i-xiα*-ip-ic-ici√xi2α*ipi*x-i=α*α*ppcc。(D.8)观察当交换i a nd j时(D.8)的RHS保持不变。这意味着α*jandα*imust是相等的。一元二次方程有两个解:α=α=1+√1-CCPP∈(1,2）和α=α=1-√1-CCPP>2,很容易证明只有解α=α=α=满足命题（团队生产）1的SOC.D.6证明。假设1（单调外部性）:dπidx-i=dπidqidqidx-i=dqidx-i>0.2。假设2:(1)πi xi=-1<0，和(2)πi qi qi xi=qi xi>0.3。假设3\'（包含鲁棒凹性假设3):(1)ddxiπi xi=0,(2)ddxiπi qi·qixi=ddxi qixi=dqidxi<0.4。假设4\':(1)ddxjπi xi=ddxj(-1)=0,(2)ddxjπi qi qi xi=ddxj qi xi=dqidxidxj>0.5。假设5（有界感知最佳回答）：固定偏差profoyleα∈AN。Foreach博弈者i∈N，设zibe为有偏博弈者i所感知的等于1的真需求灵敏度，即qαii xi(zi)=1。由于假设8，存在对称性xα<<xα，使得对于每个玩家i∈N:dqi(xα)dxi<zi<dqi(xα)dxi<1<dqαii(xα)dxiàdπαii(xα)dxi<0<dπαii(xα)dxiàbrαi(xα),brαi(xα)∈(xα,xα).假设6是微不足道的，因为有战略互补。D.7命题10（市场结构分析）的证明附录D.4表明，在NAE中，合并前的均衡偏差为αprei～b～c，n！=n-2+r(n-2)-4(n-1)-4～b～c n-2-～b～c～b～c～c=c+√c-36bc+36b6b-2cfor n=3，～b=b-cnand～c=c，导致价格xprei=a(1+α^)b-c(1+α^n)=3a3b(1+α^)-c(+α^n)=3a3b(1+α^)3+α:/)=6 A√36 byen36 BC+C+6 byen5 C。标准分析表明，当参数s为πmci=(xmci-mci)qithenbri(xmc-i)=a+～b·mci+～cpj6=ixmcj～b时，t为t。

在对称纳什均衡中，假设所有产品具有相同的边际成本，我们可以将条件xmci=BRi(xmc-i)归纳为接收xmc=a+～b·MCI+～c(n-1)xmc～byenxmc=a+～b·MC～b-(N-1)～c。通过求解xpre=xmc，经济学家估计边际成本asmci=3 a 6 b-3c-√36 b-36 bc+c(3b-c)√36 b-36 bc+c+6b-5c，当b>c且a>0时，边际成本总是为正值。当产品2和3合并时，由于对商品2和3的需求是对称的，我们可以假设它们将设定相同的价格xpostfor两种产品。接合部figurrm\'strue payo值将为πpost=xpost(q+q)，而figurrm1保持相同的payo值，在（5.1）中产生权重w=1/3和w=2/3。命题（6）表明，对于双寡头，长期唯一NAE产生的偏差为αpost=αpost=q1-2c(3b-c)(3b-2c)，与αpre相比，我们发现αpre>αpostc>0。将隐函数定理应用于(D.2),设g=pi∈nwi(Ai+ci_x)bi+α(bi-ci_wi)-x,thend xdα=-gαgd_x。由于bi>wici,ai>0,且x≥0,则-gdα=pi∈n(bi-ciwi)wi(ai+ci_x)(bi+α(bi-c))+α(2+α)wwcc(b+(b-c))α)<0,而gd_x=-(1+α)(bw(b-c)+bw(b-cw)α)(b+(b-cw)α)(b+(b-cw)α)<0。因此，αpre>αpostimplies当经济学家预测合并后的价格时，假设合并后的价格为πmc=(xmc-mc)(q+q)，而合并前的价格函数与合并前的价格函数相同，所得均衡价格ar exmc,post=a c√36 b-36bc+c-5 c-144bc+108b+54 bc(3b-c)(6 b-6bc+c）√36 b-36bc+c+6b-5c,xmc,post=a c√36 b-36 bc+c+6 b-6bc+c）√36 b-36bc+c+6b-5c.di-erence xpost(αpre)-xmc,post=a(3b-2c）594 bc+126 bc-108 bc-48 bc+7 c 8bc+13c-(3b-c)(6b-6bc+c)(18b-18bc+5c)√36b-36bc+c+6b-5c，当b>c>0时为正，如Mathematica软件所示（代码在补充应用程序endix中）。同样，xpost(αPRE)–xmc，POST=2 AC 17 c–144BC+108B+15 BC–18B–15BC+c–36BC+c–6BC+c+6B–6B–5c+c+7c–12B)–36B–36BC+c–72B+90BC–23c也是Mathematica软件（代码在补充附录中）规定的。