基于因子图形套索的最优投资组合

算法2在(2.2)、(2.3)和（2.10）中一致地估计投资组合权重:KBWGMV-WGMVK=oP%TDTKST=oP(1)、KBWMWC–WMWCK=oP(%TDTKST)=oP(1)、KBWMRC–WMRCK=OP3/2TK·[%TST]1/2=oP(1)。（2019）对于GMV和MWC公式，当不假设股票收益率的因子结构时，需要(θ)3/2plog p/t=oP(1)，其中作者对股票收益率的精确矩阵进行了稀疏化，θ。因此，如果股票收益的精度矩阵不是稀疏的，只有当p小于t1/3时，才能一致地估计组合权重（因为需要(p-1)3/2plog p/t=o(1)才能保证组合权重的一致估计）。我们在定理4中的结果改进了这一率，并表明只要dTsTKplog p/t=oP(1)，我们就可以一致地估计投资组合的权重。具体地说，当因子调整收益的精确度稀疏时，我们可以在p>T时一致地估计组合权重，而不假设∑、θ上的稀疏性。其次，注意GMV和MWC权重的收敛速度略慢于MRC权重。这个结果在下一节的模拟中得到了进一步的支持。4.5对投资组合风险敞口的影响在研究了投资组合权重的性质后，自然要对投资组合方差估计误差进行评论。它由两个部分的误差决定：估计的协方差矩阵和估计的投资组合权重。取值a=lpθlp/p,b=lpθm/p,d=mθm/p,g=√mθm/p和ba=lpbθlp/p,bb=lpbθbm/p,bd=bmbθbm/p,bg=pbmbθbm/p。取ΦGMV=WGMV∑WGMV=(pa)-1为全局最小方差，ΦMWC=wMW C∑wMW C=P^a1 HATM-2B(R)+DAD-BII为MWC投资组合方差，ΦMRC=WMRC∑WMRC=σ(pg)为MRC投资组合方差。我们交替使用方差和风险暴露这两个术语。LetBΦGMV、BΦMWC和BΦMRCBE是各自投资组合方差的样本对应方。Fan等人导出了ΦGMV、ΦMWCs的表达式。（2008）和Callot等人。（2019年）。定理5建立了大投资组合方差估计的相合性。在定理3的假设下，FGL一致估计GMV、MWC和MRC组合方差:BΦGMV/ΦGMV-1=OP(%TDTSTK3/2)=OP(1)，BΦMWC/ΦMWC-1=OP(%TDTSTK3/2)=OP(1)，BΦMRC/ΦMRC-1=OP[%TDTSTK3/2]1/2=OP(1).（2019）在假设股票收益率的精度矩阵是稀疏的情况下，对ΦGMV、ΦMWCN也得到了类似的结果。还有，丁等人。（2021）在因子结构假设稀疏协方差矩阵和grossexposure约束的条件下给出了ΦGMV的界。第六节的实证应用表明，与GMV和MWC替代方案相比，使用MRC公式构造的投资组合具有更高的风险：使用S&P500指数成份股的月度和每日收益率，与替代方案相比，使用MRC公式构造的投资组合具有更高的样本外风险和收益。此外，实证结果表明，对于月度数据，MRC投资组合的高收益大于高风险，这从样本外夏普比的增加中得到了证明。4.6推广：亚高斯和椭圆分布到目前为止，定理4中因子图形套索的一致性依赖于(A.3)(c)中的指数型尾假设。由于这种尾部行为对投资组合的限制太大，我们对放松它的可能性发表评论。首先，回想一下以前使用(a.3)(c)的地方：我们需要这个假设来建立未知因子和加载定理1的收敛性，这个假设进一步被用来获得定理2中b∑ε的收敛性。因此，当假设(a.3)(c)放松时，人们需要寻找另一种方法来一致地估计∑ε。我们使用Fan等人开发的工具来实现它。（2018年）。

具体地说，设∑=∑λ，其中∑是遵循等式（3.1）中描述的因子结构的收益的协方差矩阵。定义B∑、Bλk、B^ak，是∑、λ、γ的估计量。我们进一步用B∑、BBBB=B^akB^akBK的前导经验特征值和相应的特征向量构造了BλK=diag(λ,...,λK)和B^aK=(V，...,Vk)。类似于Fan等人。(2018)，我们对估计量的分量极大值要求如下:(c.1)b∑-∑max=OP(plog p/T)，(c.2)(bλk-λ)λ-1max=OP(Kplog p/T)，(c.3)b∑k-ρmax=OP(k1/2plog p/(T p))。letb∑sgbe样本协方差矩阵，用b∑sgg的经验特征值和特征向量分别构造b∑sgkandbàsgk.另外，letb∑el1=bdbrbd，其中bris是用Kendall的tau相关coe cients得到的，而bd是用Huber损失构造的方差的稳健估计。此外，利用空间Kendall的tau估计得到了letb∑el2=bdbrbd。defunneBλelks是B∑EL 1的所有K个领先经验特征值的矩阵，而B^aelks是B∑EL 2的所有K个领先经验特征值的矩阵。关于构造B∑SG、B∑EL 1和B∑EL 2的更多细节，见Fan et al.(2018)，第3和4节。命题1。对于次高斯分布，B∑SG,BλSGKANDB'ASGKASSITCE(C.1)-(C.3),对于椭圆分布，B∑EL 1,BλELKANDB'AELKASSITCE(C.1)-(C.3),当(C.1)-(C.3)满足时，定理2-5中得到的界继续保持不变。命题1实质上是Fan等人的结果的改写。(2018)，第3、4节。当我们允许K增加时，就会产生di-in-erence,这在(c.2)-(c.3)中的修正率中得到反映。从上述命题可以看出，B∑EL 2仅用于估计特征向量。这是必要的，因为与B∑EL 2相比，B∑EL的本征向量的理论性质由于正弦函数而在数学上涉及。为了验证我们的理论结果，我们进行了几个仿真研究，分为四个部分。这组结果计算了经验收敛速度，并与定理3-5中导出的理论表达式进行了比较。第二组结果将FGL的性能与几种估计协方差和精度矩阵的替代模型进行了比较。为了突出使用因子结构信息而不是标准图形模型的优点，我们包括Friedman等人的图形套索。(2008)(GL)不考虑因素结构。为了探索（3.6）中用FGL进行误差量化的好处，我们考虑了（3.6）中的协方差/特征分量精度矩阵的几种替代估计：（1）由Ledoitand Wolf(2004)提出的协方差线性收缩估计，简称因子LW或FLW；(2)Ledoit和Wolf(2017)提出的协方差的非线性收缩估计（因子NLW或FNLW）；（3）诗人（范等人（2013））；(4)Clime（Cai et al.(2011))(Factor Climeor FClime）。此外，我们还发现，在某些情况下，诗人的协方差估计量不是正的。在这种情况下，我们使用Fan等人的矩阵对称化过程。（2018）然后像Callot等人那样使用特征值清洗。（2017）和Hautschet al（2012年）。这个估计者被称为投射诗人；当诗人的方差估计量为正时，它与诗人的方差估计量不谋而合。第三组结果检验了当因变量服从椭圆分布时FGL和稳健FGL的性能（在4.6小节中描述）。

第四组结果探讨了当Pervasiveness假设(A.2)放松时，即当发散特征值和有界特征值之间的差距减小时，用有限协方差和精度估计构造的投资组合的敏感性。本节中的所有练习都使用了100个蒙特卡罗模拟，我们将讨论算法1中（3.3）中调谐参数λ的选择。letbθε，λ是（3.3）的解。继Koike(2020)之后，我们利用网格搜索最小化了以下贝叶斯信息准则(BIC)：BIC(λ)Thtrace(bθε,λb∑ε)-log det(bθε,λ)i+(log T)xi≤jhbθε,λ,ij6=0i。（5.1）格网Gyen{λ,...,λm}是这样构造的：格网中的最大值λm是bθε，λmare的所有o-对角项为零的最小值，即b∑ε的o-对角项的最大模。当常数>0时，网格的最小值λ∈G是确定的。其余的网格值λ，...,λmare按对数标度从λ到λmon的升序构造:λi=exp log(λ)+i-1m-1log(λm/λ),i=2,。..,m-1。我们在模拟和经验练习中使用=ω3t，m=10。设p=Tδ,δ=0.85,K=2(log T)0.5,T=[2h],对h=7,7.5,8,...,9.5。构造了特殊成分的精确矩阵：利用随机图结构生成邻接矩阵。给出一个表示图的结构的p×p邻接矩阵aε:对于I6=j,aε，ij=1,概率q,0,否则。（5.2）设aε，ij表示邻接矩阵aε的第i,j个元素。我们设置aε，ij=aε，ji=1，对于i6=j，概率q；否则设置0。为了控制稀疏性，我们设置q=1/(Pt0.8)，使ST=O(t0.05)。邻接矩阵的对角线元素等于零。因此，为了得到一个正的计算精度矩阵，我们应用了Zhao等人所描述的方法。(2012):θε=aε·v+I(τ+0.1+u)，其中，u>0是一个正数加到精确矩阵的对角线上，以控制偏相关的强度，v控制与u的偏相关的大小，τ是aε·v的最小特征值。在我们的模拟中，我们使用u=0.1和v=0.3。假设因子具有以下结构:ft=φfft-1+ζt(5.3)rt{z}p×1=B ft{z}k×1+εt,t=1。.，T(5.4)其中，ε是N(0,∑ε)后面的特殊误差的p×1随机向量，稀疏的θε是上面描述的随机图结构，ftis是因子的K×1向量，φfs是因子中的自回归参数，为简单起见是标量，B是因子负荷的p×K矩阵，ζ是K×1随机向量，每个分量独立地跟随N(0,σζ）。为了在（5.4）中创建B，我们从p×p Toeplitz矩阵的Cholesky分解中取K行的上三角矩阵。对于这些结果，我们设置ρ=0.2，φf=0.2和σζ=1。（5.4）中的具体说明导致了股票收益率RT协方差的低秩加稀疏分解。作为一个初步练习，我们比较了精确矩阵、投资组合权重和风险敞口的经验和理论收敛速度。附录B.1提供了该过程和模拟结果的详细描述。我们发现定理3-5中的经验率和理论率是匹配的。作为第二个练习，我们将FGL的性能与本节开始时提出的替代模型进行比较。我们考虑两种情况：情况1与其他模拟结果相同(p<T):p=Tδ,δ=0.85,K=2(log T)0.5,ST=O(t0.05)。病例2在p>T时捕获病例，且p=3·Tδ，δ=0.85，其余均相等。病例2的结果在图13中报告，病例1在附录B.2中。

FGL在估计精度矩阵和组合权重的两种情况下都表现出优越的性能，在情况1和情况2的设置中都表现出一致性。此外，在估计投资组合风险方面，FGL优于GL，并一致地估计后者，然而，根据所考虑的情况，一些替代模型产生更低的平均误差。作为第三个练习，我们检验当因变量服从椭圆分布时，FGL和稳健FGL（在4.6小节中描述）的性能。附录B.3提供了数据生成过程(DGP)和仿真结果的详细描述。我们发现FGL估计精度矩阵的性能与RobustFGL的性能相当：这表明即使没有额外的改进，我们的FGL算法对重尾分布也是鲁棒的。作为一个有益的练习，我们探索了当普遍假设(a.2)放松时，使用双协方差和精度估计器构造的投资组合的敏感性。附录B.4给出了数据生成过程(DGP)的详细描述和仿真结果。我们验证了当发散特征值和有界特征值之间的差距减小时，FGL表现出鲁棒性能。相比之下，诗人和计划诗人对放松普遍假设最敏感，这与我们的经验结果以及Onatski(2013)的模拟结果一致。6经验应用在本节中，我们检验因子图形套索在使用每日数据构建投资组合时的性能。对月度数据的描述和实证结果可以在附录C中找到。我们描述了数据和估计方法，然后我们列出了在数据文献中通常报告的四个指标，并给出了结果。6.1数据使用标准普尔500指数成份股的每日回报。通过SAS接口从CRSP和Computstat中获取S&P500成份股和股票收益率的历史数据。对于每日数据，全样本量从2000年1月20日至2020年1月31日对420只股票进行了5040次观察。我们使用2000年1月20日-2002年1月24日（504个obs）作为训练（估计）周期，2002年1月25日-2020年1月31日（4536个obs）作为样本外测试周期。我们在测试样本上滚动估计窗口（训练期），以每月重新平衡投资组合。在每月末，在投资组合构建之前，我们删除历史股票回报数据少于2年的股票。我们检查因子图形套索在三个替代投资组合配置(2.2)、(2.3)和（2.10）中的性能，并将其与等权重投资组合(EW)、指数投资组合(index)、FClime、FLW、FNLW（在模拟中，我们使用替代协方差和精确估计器，通过谢尔曼-莫里森反演公式将因子结构纳入其中）、POER和投影POER进行比较。Index是S&P500综合指数，被列为§GSPC。我们从Kenneth R.French的数据库中提取了therisk-free率和Fama/French因子。6.2性能测量与Callot等人相似。(2019)，我们考虑了四个常见的统计指标：夏普比率、投资组合周转率、平均收益和投资组合的风险（以投资组合样本外方差的平方根计算）。我们考虑了两种情况：有交易成本和没有交易成本。设T表示总的观察数，训练样本由m=504个观察数组成，测试样本为n=t-m，当不考虑交易费用时，样本外的平均投资组合收益、方差和夏普比(SR)分别为:μtest=nt-1xt=mbwtrt+1,σtest=n-1t-1xt=m(Bwtrt+1-μtest),SR=μtest/σtest。（6.1）当考虑交易费用时，我们遵循Ban等人。（2018年）；卡洛特等人。（2019年）；德米格莱特阿尔。

（2009年）；Li(2015)以说明交易成本，进一步表示为TC。根据上述文献，我们将tc设置为50bps。将时间t+1的超额投资组合以交易成本(tc)为rt+1,portfolio=bwtrt+1-tc(1+bwtrt+1)pxj=1 wt+1,j-w+t,j,(6.2)其中w+t,j=wt,j1+rt+1,j+rft+11+rt+1,portfolio+rft+1为第j项资产的超额收益与无风险利率之和，而rt+1,portfolio+rft+1为该投资组合的超额收益与无风险利率之和。样本外平均投资组合回收率、方差、Sharpe比率和周转率相应地计算:μtest，tc=nt-1xt=MRT，portfolity，σtest，tc=n-1t-1xt=m(rt，portfolity-μtest，tc)，Srtc=μtest，tc/σtest，tc，(6.4)周转率=nt-1xt=mpxj=1 wt+1,j-w+t,j。（6.5）6.3结果本节探讨因子图形套索对每日投资组合数据的性能。我们考虑了两种情况，当因素未知并使用标准PCA（统计因素）估计时，以及当因素已知时。根据注1估计统计因子K的数目。对于已知因素的情况，我们包括多达5个Fama-French因素:FF1包括市场上的超额收益，FF3包括FF1加上规模因素（小减大，SMB)和价值因素（高减低，HML)，而FF5包括FF3加上可投资性因素（稳健减弱，RMW)和风险因素（保守Agressive,CMA）。在表1和附录C中，我们报告了(2.2)、(2.3)和（2.10）中三种替代投资组合分配的每日和每月投资组合操作能力。紧随Callotet al（2019年），我们设定的回报目标为μ=0.0378%，复合后相当于10%的年回报率。权重约束和风险约束Markowitzportfolio（MWC和MRC）的目标风险水平设定为σ=0.013，即标准普尔500指数在训练集内每日超额收益的标准差。跟随卡洛特等人。(2019)，每只股票的交易成本设定为0.1%。让我们在表1中总结每日数据的结果：（1）与MWC和GMV相比，MRC投资组合产生更高的回报和更高的风险。然而，MRCis的样本外夏普比低于MWC和GMV，这意味着MRC投资组合的高风险并没有被高收益所补偿。(2)FGL优于所有竞争对手，包括EWand指数。具体而言，我们的方法具有最低的风险和周转率（与FClime、FLW、FNLW和诗人相比），以及与所有替代方法相比最高的样本外夏普比。(3)POER在MRC中的应用导致了该方法估计组合权重的不稳定行为，具体地说，权重矩阵中的许多条目都有“nan”条目。我们在下面详细阐述了这样的表现背后的原因。（4）与基于统计因子的投资组合相比，在FGL中使用observableFama-French因子的投资组合通常具有更高的收益和更高的样本外夏普比。有趣的是，这种回报的增加并没有伴随着更高的风险。月数据的结果在附录C中提供：所有的结论都与日常数据的结论相似。我们现在检查诗人和项目诗人所观察到的令人困惑的行为背后的可能原因。前者的不稳定行为是由于协方差的Point估计器不是正的，这产生了GMV和MWC权重的较差估计，使得计算MRC权重变得不可行（回想一下，在（2.10）中构造MRC权重需要平方根）。为了探索被投射诗人的退化行为，让我们突出现有密切相关的文献所概述的两个方面。首先是贝利等人。

（2020）检验了实证文献中常用的146个因素的“渗透”程度或强度，发现只有市场因素是强的，而所有其他因素都是半强的。这表明因子普遍假设(A.2)在实践中可能是不切实际的。第二，正如Onatski(2013)所指出的，“诗人的素质随着系统学的特征值差距变小而急剧恶化”。因此，在上述两个结论的指导下，我们将Point和Projected Point的性能恶化归因于过去关于收益率的研究中所记录的发散特征值和有界特征值之间的差距减小。我们的额外模拟研究（附录B.4)进一步支持了这两个协方差估计器在这种情况下的高度敏感性，该研究检验了使用双协方差和精度估计器构造的投资组合的稳健性。表2比较了FGL和替代方法在有趣事件的每日数据中的性能，以累积超额收益和风险为基础。为了说明所有方法在经济衰退和经济扩张时期的表现，我们选择了四个时期，并在每个时期记录了全年的CER。2002年和2008年两年对应于经济衰退时期，这就是为什么我们称之为“衰退期”。我们注意到，提到阿根廷大萧条和金融危机并不打算将这些经济衰退限制在一年之内。它们只是为衰退提供了一个文本。其他两年，2017年及2019年对应于对股票市场有利的年份（“繁荣”）。表2揭示了一些有趣的发现：（1）MRC投资组合收益更高的CER，它们的特点是风险更高。（2）在两次衰退期间，MRC是唯一一种产生正CER的投资组合。请注意，在此期间所有使用MWC和GMV的模型都经历了较大的负CER。（3）当EW和Index的CER为正时（在繁荣时期），所有组合公式的CER也为正，但MRC组合公式的累积收益大多高于MWC组合公式和GMV组合公式。（4）FGL在CER和Risk方面都优于EW和Index等竞争对手。7结论本文结合图形模型和因子结构的优点，提出了一种新的带未观测因子的近似因子模型下超额收益的条件精度矩阵估计。在不假设股票收益协方差或精度矩阵稀疏的情况下，证明了FGL在谱和矩阵范数上的一致性，并证明了三个最优组合分配公式的组合权重和风险暴露的一致性。本文所建立的所有理论结果都适用于广泛的分布：亚高斯族（包括高斯族）和椭圆族。仿真结果表明，该方法对重尾分布具有很强的鲁棒性，这使得我们的方法适合于更广泛的应用。此外，我们还证明了与Point和Projected Point相比，所提方法的有效性不严重依赖于因子普遍假设：当发散特征值和有界特征值之间的差距减小时，FGL对场景具有鲁棒性。实验使用了S&P500指数的成分，并在样本外夏普比和风险方面证明了FGL与估计精度(FClime)、协方差(FLW、FNLW、POER)矩阵、等权(EW)投资组合和指数投资组合的几种替代模型相比的优越性。该结果对每月和每天的数据都是稳健的。

我们考察了三个独立的投资组合公式，发现在衰退期间唯一产生正累积超额收益(CER)的投资组合是那些放松了要求投资组合权重总和为1的要求的投资组合。参考文献Ait-Sahalia，Y.和Xiu,D.(2017)。利用主成分分析法估计一个高维因子模型与高频数据。计量经济学杂志，201(2):384-399.阿沃耶，O.A.(2016).Markowitz最小方差投资组合优化使用新的MachineLearning方法。博士论文，伦敦大学学院，Bai J.(2003)。大维因子模型的推理理论。经济计量学，71(1):135-171.白建，吴珊（2002）.近似因子模型中因子个数的确定。经济计量学，70(1):191-221.白建，吴山（2006）.双参数指数预测和因子增广回归推论的间隔。经济计量学，74(4):1133-1150.Bailey,N.,Kapetanios,G.和Pesaran,M.H.（2020）.因素强度的测量：理论与实践。Ban,G-Y.,El Karoui,N.和Lim,A.E.（2018）。机器学习与投资组合优化。管理科学，64(3):1136-1154。Barigozzi,M.Brownlees,C.和Lugosi,G.（2018）。幂律偏相关网络模型。电子统计学杂志，12(2):2905-2929.毕晓普，C.M.(2006).模式识别与机器学习（信息科学与统计学）。斯普林格-弗拉格，柏林，海德堡。布朗利斯，C.，Nualart，E和Sun，Y.(2018)。实现的网络。应用计量经济学学报，33(7):986-1006.蔡涛，刘伟，罗旭（2011）.稀疏精度矩阵估计的约束L1-最小化方法。美国统计协会学报，106(494):594-607.蔡泰泰，胡君，李彦，郑旭（2020）.基于高频数据的高维最小方差投资组合估计。计量经济学杂志，214(2):482-494.卡洛特，L.Caner，M.，E.O.，A.O.和Ula.San,E.(2019).估计大型投资组合的节点回归方法。商业与经济统计杂志，0(0):1-12.卡洛特，L.A.F.，Kock，A.B.，Medeiros，M.C.(2017)。建模和预测大的实现协方差矩阵和投资组合选择。应用计量经济学学报，32(1):140-158.坎贝尔，J.Y.罗，A.W.和麦金雷，A.C.(1997)。金融市场计量经济学，普林斯顿大学出版社，张伯伦和罗斯柴尔德（1983）。套利、因子结构和大型资产市场的均值-方差分析。经济计量学，51(5):1281-1304.康纳，G.和科拉杰奇克，R.A.(1988)。均衡状态下的风险与收益：一种新的检验方法的应用。金融经济学杂志，21(2):255-289.Demiguel,V.，Garlappi,L.和Uppal,R.（2009）.最优与幼稚的背离：1/N投资组合策略是什么？金融研究述评，22(5):1915-1953.丁云，李云，郑旭（2021）.统计因子模型下的高维最小方差投资组合估计。计量经济学杂志，222(1，B部分）：502-515。法马，E.F.和弗伦奇，K.R.(1993)。股票和债券收益中的常见风险因素。金融经济学杂志，33(1):3-56.法马，E.F.，French，K.R.(2015).一个fireve-factor资产定价模型。金融经济学学报，116(1):1-22.范君，范云，吕君（2008）.基于因子模型的高维协方差矩阵估计。计量经济学学报，147(1):186-197.范军，廖永，明切瓦，明永（2011）.高维协方差矩阵估计，非近似因子模型。《统计年鉴》，39(6):3320-3356.范建，廖永，明切瓦，M.(2013).基于正交互补的阈值化大协方差估计。英国皇家统计学会学报：B辑，75(4):603-680.范军，刘海，王文（2018）。

椭圆因子模型的大协方差估计。统计年鉴，46(4):1383-1414。弗里德曼，J.,Hastie,T.和Tibshirani,R.（2008）。稀疏逆协方差估计与图形套索。生物统计学，9(3):432-441.Goto,S.和Xu,Y.(2015)。通过稀疏对冲限制改进均值方差优化。金融与定量分析学报，50(6):1415-1441.Hastie,T.Tibshirani,R.和Friedman,J.（2001）.统计学习的要素。统计学中的SpringerSeries。Springer New York Inc.,New York,NY,USA.Hautsch,N.,Kyj,L.M.和Oomen,R.C.A.（2012）。采用分块正则化方法实现高维协方差估计。应用计量经济学杂志，27(4):625-645.Jankova，J.和van de Geer，S.(2018)。高维图形模型中的推理。图形模型手册，第14章，第325-351页。《儿童权利公约》出版社，Kapetanios,G.（2010）。在具有大数据集的近似因子模型中确定因子个数的一种测试程序。商业与经济统计杂志，28(3):397-409.小池，Y.(2020).高频数据的去偏图形套索。熵，22(4):456.Ledoit,O.和Wolf,M.（2004）.大维协方差矩阵的一个良好条件估计。多元分析杂志，88(2):365-411.勒多伊特，O.和沃尔夫，M.(2017).投资组合选择协方差矩阵的非线性收缩：Markowitz遇到Goldilocks。金融研究述评，30(12):4349-4388.李洪，李琴，施勇(2017).当因子扫描的个数随样本量增加时，确定因子的个数。计量经济学学报，197(1):76-86.李俊（2015）.参数不确定的稀疏稳定投资组合选择。商业与经济统计杂志，33(3):381-392。Markowitz,H.（1952）。投资组合选择。《金融学报》，7(1):77-91.马祖姆德，R.和哈斯蒂，T.（2012）。图形套索：新的见解和选择。电子统计学学报，6:2125-2149.迈因斯豪森，N.和伯尔曼，P.(2006)。高维图与套索变量选择。《统计年鉴》，34(3):1436-1462.米林顿，T.和尼兰詹，M.（2017）。使用Graphicallasso的稳健投资组合风险最小化。《神经信息处理》第863-872页，查姆。斯普林格国际出版社。奥纳茨基，A.(2013)。Fan J.、Liao Y.、Mincheva M论文的讨论，利用阈值化主正交补估计大协方差。皇家统计学会学报：B辑，75(4):650-652。罗斯，S.A.(1976)。资本资产定价的套利理论。经济理论杂志，13(3):341-360.斯托克，J.H.和沃森，M.W.(2002)。从大量预测因子中使用主成分进行预测。美国统计协会杂志，97(460):1167-1179。托宾（1958）。流动性偏好作为对风险的行为。《经济研究述评》，25(2):65-86.赵东，刘海，罗德尔，金，刘海，瓦瑟曼，林（2012）.R中高维无向图估计的巨包。

机器学习研究杂志，13(1):1059-1062.图1：对数标度上情况2的θ估计量的平均误差:P=3·t0.85,K=2(log T)0.5,ST=O(t0.05)。图2：对数标度上Case2的wGMV（左）和wMRC（右）估计量的平均误差；p=3·t0.85,K=2(log T)0.5,ST=O(t0.05)。图3：对数标度上Case2的ΦGMV（左）和ΦMRC（右）估计量的平均误差；p=3·t0.85,K=2(log T)0.5,ST=O(t0.05)。低迷#1阿根廷大萧条（2002）低迷#2金融危机（2008）繁荣#1（2017）繁荣#2（2019）CER风险CER风险CER风险CER风险CER风险CER风险QUAL加权和指数-0.1633 0.0160-0.5622 0.0310 0.0627 0.0218 0.1642 0.0185指数-0.2418 0.0168-0.4746 0.0258 0.1752 0.0042 0.2934 0.0086 Markowitz风险-约束(MRC)FGL 0.2909 0.0206 0.2938 0.0282 0.7262 0.6872 0.0263 FClime-0.0079 0.0348-0.8912 0.1484 0.5331 0.0383 0.2346 0.0557 FLW 0.0308 0.0231.85 0.0315 0.3164 0.0118 0.5520 0.0287 FNLW 0.0728 0.0213 0.2075 0.0392 0.5796 0.0497 0.6315 0.0355投影诗人-0.6178 0.0545 2.81 E-05 0.1874-0.7599 0.11971.8592 0.1177马科维茨权重约束(MWC)FGL-0.0138 0.0082-0.1956 0.0135 0.13980.0044 0.3787 0.0072 FClime-0.1045 0.0124-0.3974 0.0204 0.1309 0.0041 0.2595 0.0078 FLW-0.0158 0.0080-0.2789 0.0126 0.1267 0.0037 0.3018 0.0085 FNLW-0.01950.0078-0.2811 0.0123-0.0361 0.0087 0.4078 0.0098诗人-0.2820 0.0324-0.9989 0.11980.0.5720 0.11980.0.0630 1.4756 0.0403投影诗人-0.0217 0.0130-0.0842 0.0176-0.0877 0.0089 0.5300 0.0176全球最小方差投资组合(GMV)FGL-0.0044 0.0081-0.2113 0.01381-0.1380.1384 0.0045 0.333 703 0.0072 fclime-0.1061 0.0129-0.4410 0.0241 0.1264 0.0041 0.2829 0.0081 flw-0.0151 0.0080-0.2926 0.0128 0.1323 0.0037 0.2994 0.0084 fnlw-0.0206 0.0078-0.2959 0.0124-0.0388 0.0090 0.3287 0.0097诗人-0.3190 0.0330-0.9928 0.0931-1.0000 0.2414 1.6301 0.0318投影诗人-0.0662 0.0135 0.0829 0.0247-0.1106 0.0115 0.6870 0.0186表2：使用每日数据的投资组合的累积超额收益(CER)和风险。交易费用为50个基点，targetedrisk为σ=0.013（标准普尔500指数2000年至2002年训练期间每日超额收益率的标准差），日目标收益率为0.0378%，复合后相当于10%的年收益率。样本内：2000年1月20日，2002年1月24日（504个obs），样本外：2002年1月17日-2020年1月31日（4536个obs）。补充附录本在线补充附录的结构如下：附录A包含定理的证明和伴随的引理，附录B为第5节提供额外的模拟，第6节的额外实证结果位于附录C。附录A定理的证明1定理1引理1引理。在定理1的假设下，(a)maxi，j≤k(1/t)ptt=1fitfjt-e[fitfjt]=OP(P1/t),(b)maxi，j≤p(1/t)ptt=1εitεjt-e[εitεjt]=OP(plog p/t）,(c)maxi≤k,j≤p(1/t)pt=1fitεjt=OP(plog p/t）。引理1的证明可以在Fan等人中找到。（2011）（引理B.1).引理2。在假定(A.4)下，maxt≤tpks=1e[εsεt]/p=O(1)。引理2的证明可以在Fan等人中找到。（2013）（引理A.6).在表达式（3.6）中，pr bk=k→1。证明。引理3的证明可以在Li等人中找到。（2017）（定理1和推论1）。利用Bai(2003)中的表达式(A.1)和Fan等人的表达式(C.2)。(2013)，我们得到如下恒等式:bft-hft=vp-1“ttxs=1bfse[εsεt]p+ttxs=1bfsζst+ttxs=1bfsηst+ttxs=1bfsζst#,(a.1)其中ζst=εsεt/p-e[εsεt]/p,ηst=fsppi=1biεit/p和ζst=ftppi=1biε是/p引理4。对于所有i≤bk,(a)(1/t)pt=1h(1/t)pt=1fise[εsεt]/p=OP(t-1),ptt=1fisζst/pi=OP(p-1),(c)(1/t)pt=1h(1/t)pt=1fisηst/pi=OP(k/p),(d)(1/t)pt=1h(1/t)pt=1fisζst/pi=OP(k/p)。证明。我们只证明了(c)和(d),(a)和(b)的证明可以在Fan et al.(2013)（引理8）中找到。(c)回忆，ηst=fsppi=1biεit/p。

利用假设(A.5)，我们得到Eh(1/t)×PTT=1kppi=1biεitki=ehkppi=1biεitki=O(pK)。因此，通过Cauchy-Schwarz不等式和(1/T)ptt=1kftk=O(K),以及，πi,pts=1fis=T,ttxt=1ttxs=1fisηst≤ttxs=1K fisfskttxt=1pkpxj=1biεjtk≤T ptxt=1pxj=1biεjtk≤T ptxt=1pxj=1biεjt ttxs=1fsttxs=1kfsk！=OP kp·K=OP kpζst=ttxt=1 ttxs=1ftpxj=1εjs=1kftk ttxs=1pxj=1bjεjsp fis≤ttxt=1kftk ttxs=1pxj=1bjεjsp ttxs=1pxj=1bjεjsp ttxs=1fis=OP K·pkp·1=OP kp引理5.(a)maxt≤T(1/(tp))pts=1bfse[εsεT]=OP kp）。(b)maxt≤T(1/(tp))pts=1 bfsζst=OP(√kt1/4/√p)。(c)maxt≤T(1/(tp))pts=1 bfsηst=OP(kt1/4/√p)。(d)maxt≤T(1/(tp))pts=1 bfsζst=OP(kt1/4/√p)。证明。我们的证明与Fan等人中的证明相似。（2013年）。然而，我们用柯西-施瓦兹不等式放宽了k.(a)的假定，引理2，以及(1/t)ptt=1kbftk=OP(K)的事实，我们得到maxt≤tt ptxs=1bfseεsεt≤t“ttxs=1bfs ttxs=1e[εsεt]p！#1/2≤OP(K)maxt≤t”ttxs=1e[εsεt]p！#1/2≤OP(K)maxt=1e[εsεt]p！#1/2≤OP(K)maxs,ts e[εsεt]p maxt≤t“ttxs=1e[εsεt]p#1/2=OP(K)maxs使用Cauchy-Schwarz不等式，maxt≤t ttxs=1bfsζst≤maxt≤ttxs=1ζst！1/2≤OP(K)maxttxs=1ζst！1/2=OP√K·t1/4/√p.为了得到最后一个不等式，我们使用假设(A.5)(b)得到Eh(1/t)pts=1ζsti≤maxs,t≤teζst=O(1/p),然后应用Chebyshev不等式和Bonferroni的方法得到maxt(1/t)pts=1ζst=Op√t/p。(c)使用ηstwe的定义得到maxt≤ttxs=1bfsηst≤ttxs=1bfsfsmaxtppxi=1biεit=op k·t1/4/√p。为了得到最后一个速率，我们使用假设(A.5)(c)和Chebyshev不等式和Bonferroni的方法得到maxt≤tkppi=1biεitk=op t1/4√p。(d)中的maxt≤tkppi=1biεitk=op t1/4引理4的证明我们证明了k(1/t)×ptt=1ppi=1biεit(1/p)bfsk=O pk/p,假设(a.3)意味着e[k-2ft<M]，因此，maxt≤tkftk=OP t1/4√k。利用这些界限，我们得到maxt≤t ttxs=1bfsζst≤maxt≤tkftk·txs=1pxi=1biεitpbfs=OP t1/4√k·pk/p=OP t1/4k/√p。引理6.(a)maxi≤k(1/t)pt=1(bft-hft)i=OP(1/t+k/p)(b)(1/t)pt=1kbft-hft=OP(1/t+k/p)。(b)(1/t)pt=1kbft-hft=OP(k/t+k/p)。(c)最大值≤t(1/t)kbft-hftk=OP(k/√t+kt1/4/√p)。证明。类似于Fan等人。(2013)，我们证明了这个引理在事件K=K上的条件性。SincePr(K6=K)=o(1),隐含了无条件参数。(a)使用(a.1),对于某个常数C>0,maxi≤K(1/t)txt=1(bft-hft)i≤C maxi≤kttxt=1ttxs=1fise[εsεt]p！+C maxi≤kttxt=1ttxs=1fisζst！+C maxi≤kttxt=1ttxs=1fisζst！+C maxi≤kttxt=1ttxs=1fisζst！+C/p）。(b)(b)部分来自(a)部分，并且ttxt=1kbft-hftk≤K maxi≤kttxt=1(bft-hft)i。(C)部分(C)是a.1和引理5的直接结果。引理7。(a)hh=i K+OP(k5/2/√t+k5/2/√p)。(b)hh=ik+OP(k5/2/√t+k5/2/√p)。证明。与引理6类似，我们在K=K(a)上给出了条件。这里的关键观察是，根据对H的认识，它的秩随K，thatis，kHk=OP(K)增长。设ccov(Hft)=(1/t)pTT=1Hft(Hft)。利用三角不等式，我们得到HH-i k f≤HH-cCoV(Hft)f+ccov(Hft)-i k f。(A.2)为了约束(A.2)中的第一项，我们使用引理1:khh-ccov(Hft)kf≤khkkik-ccov(Hft)kf=op(k5/2/√t)。为了约束(A.2)中的第二项，我们使用引理txt=1khftk！1/2+txt=1hft-bft txt=1bft！1/2=op kt+kp·k1/2+kt+kp·k1/2！=op k3/2‰t+k5/2‰p！(b)的证明来自Pr(K=K)→1和Fan等人提出的论点。（2013）,（引理11）定理1的K.A.2证明在引理6中证明了定理1的第二部分。我们现在讨论这部分的收敛速度。利用以下条件:bbi=(1/t)ptt=1ritbft，(1/t)ptt=1bftbft=IK，我们得到bbi-hbi=ttxt=1Hftεit+ttxt=1rit(bft-hft)+h ttxt=1ftft-ik bi。