基于因子图形套索的最优投资组合

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摘要翻译：
图形模型是估计高维逆协方差（精度）矩阵的有力工具，已应用于投资组合分配问题。这些模型的假设是精度矩阵的稀疏性。然而，当股票收益由共同因素驱动时，这样的假设就不成立了。我们解决了这一缺陷，并开发了一个框架--因子图形套索(FGL)，它通过将精确矩阵分解为低秩和稀疏的分量，将图形模型与投资组合分配中的因子结构结合起来。理论和仿真结果表明，FGL方法能够一致地估计投资组合的权重和风险敞口，并且对重尾分布具有鲁棒性，适合于金融应用。在S&P500成份股的实证应用中，基于FGL的投资组合显示出优于包括等权重投资组合和指数投资组合在内的几个突出竞争对手的性能。
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英文标题：
《Optimal Portfolio Using Factor Graphical Lasso》
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作者：
Tae-Hwy Lee and Ekaterina Seregina
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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英文摘要：
  Graphical models are a powerful tool to estimate a high-dimensional inverse covariance (precision) matrix, which has been applied for a portfolio allocation problem. The assumption made by these models is a sparsity of the precision matrix. However, when stock returns are driven by common factors, such assumption does not hold. We address this limitation and develop a framework, Factor Graphical Lasso (FGL), which integrates graphical models with the factor structure in the context of portfolio allocation by decomposing a precision matrix into low-rank and sparse components. Our theoretical results and simulations show that FGL consistently estimates the portfolio weights and risk exposure and also that FGL is robust to heavy-tailed distributions which makes our method suitable for financial applications. FGL-based portfolios are shown to exhibit superior performance over several prominent competitors including equal-weighted and Index portfolios in the empirical application for the S&P500 constituents.
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关键词：投资组合 econometrics Applications distribution Quantitative

利用因子图形LassoTae-Hwy Lee*和Ekaterina Seregina 2010年4月11日的最优投资组合抽象图形模型是估计高维逆协方差（精度）矩阵的有力工具，已应用于投资组合分配问题。这些模型的假设是精度矩阵的稀疏性。然而，当股票收益率受共同因素驱动时，这种假设就不成立了。我们解决了这一缺陷，并开发了一个框架--因子图形套索(FGL)，它通过将精确矩阵分解为低阶和稀疏的分量，将图形模型与投资组合分配中的因子结构结合起来。理论和仿真结果表明，FGL能够一致地估计投资组合的权重和风险敞口，并且对大尾分布具有鲁棒性，适合于实际应用。在S&P500成份股的实证应用中，基于FGL的投资组合显示出优于包括均衡加权和指数投资组合在内的几个主要竞争对手的性能。关键词：高维度、投资组合优化、图形套索、近似因子模型、夏普比、椭圆分布。分类:C13、C55、C58、G11、G17*加州大学河滨分校经济系。电邮:tae.lee@ucr.edu.é加州大学河滨分校经济系。电子邮件:ekaterina.seregina@email.ucr.edu.1导言估计超额股票收益的逆协方差矩阵或精确度矩阵是构造投资组合中金融资产的权重和估计样本外汇率的关键。在高维情形下，当资产数目p大于等于该大小T时，利用协方差矩阵估计来获得投资组合权重会导致Markowitz诅咒：资产数目越多，投资组合之间的相关性越大，这就要求投资组合更加多样化，但权重的不稳定角点解也就越可能出现。这一诅咒背后的原因是为了从二次优化问题中获得最优权值，需要反演一个高维协方差：当p≥T时，协方差矩阵的个数（即协方差矩阵的最大特征值与最小特征值之比的绝对值）较高。因此，反向协方差矩阵产生了精度矩阵的不稳定估计量。为了避免这个问题，人们可以直接估计精度矩阵，而不是反演协方差矩阵。图形模型被证明可以提供精度矩阵的一致估计（Cai et al.(2011)；Friedman et al.(2008)；Meinshausen and Béuhlmann(2006))。Goto和Xu(2015)使用图形模型估计了投资组合对冲的稀疏精度矩阵。他们发现，与基于同等权重、收缩协方差矩阵、行业因素模型和不卖空约束的投资组合相比，他们的投资组合实现了显著的样本外风险降低和更高的回报。Awoye(2016)使用图形Lasso(Friedman et al.(2008))估计Markowitz均值-方差投资组合问题的协方差矩阵，以提高已实现投资组合风险的协方差估计。Millington和Niranjan(2017)Contotedan实证研究应用图形套索估计投资组合分配的协方差。他们的经验研究表明，与经验协方差矩阵相比，使用图形套索进行协方差估计的投资组合具有更低的风险和更高的收益。他们表明，结果对缺失的观测是稳健的。Millington和Niranjan(2017)还使用估计的精度矩阵构建了一个firgnancial网络，以探索公司之间的关系，并展示构建的网络如何有助于做出投资决策。

（2019）利用Meinshausen和Béuhlmann(2006)的Nodewise回归方法，建立了高维渔业投资组合的估计方差、权重和风险的一致性。它们的实证应用表明，基于Nodewise回归的精度矩阵估计器优于主正交补阈值估计器（Poer）（Fan et al.(2013))和线性收缩估计器（Ledoit and Wolf(2004))。蔡等人。（2020）将约束最小化用于精确矩阵的逆矩阵估计（Clime）（Caiet al.（2011））开发了高维全球最小方差投资组合的一致最小方差估计。值得注意的是，所有上述方法都将稀疏性假设置于超额收益的精确矩阵上。一种处理高维设置的替代策略使用因子模型来确认股票价格的ommon变化，这在许多实证研究中都有记录（参见Campbell et al.(1997)等）。一种常见的方法是将excessreturns的协方差矩阵分解为低秩和稀疏部分，后者被进一步正则化，因为在考虑了公共因素后，特质成分的剩余协方差矩阵仍然是高维的（Fan et al.(2011，2013，2018))。然而，这一系列的文献集中在协方差矩阵的估计上。Ait-Sahalia和Shui(2017)研究了由基于因子的协方差矩阵反演得到的精度矩阵的准确性，但他们没有研究高维情况。因子模型通常被视为图形模型的竞争对手：例如，Callot et al.（2019）在样本外夏普比和投资组合风险方面，精确度矩阵的nodewiseregression估计器优于基于因子的估计器诗人（Fan et al.(2013))的证据。将因子模型和图形模型分开处理的根本原因是后者对精度矩阵的稀疏性假设。具体地说，正如Koike(2020)所指出的，当资产返回公因子时，精度矩阵不可能是稀疏的，因为所有对资产都通过公因子与其他资产部分相关。Fan等人尝试将因子建模与高维精度估计相结合。（2018）（第5.2节）：作者将此类模型称为“条件图形模型”。然而，这并不是他们的论文的主要重点，他们的论文集中在通过椭圆因子模型估计协方差。作为范等人。（2018）指出，“虽然人们已经对图形模型进行了大量的理解，但很少有人对更具一般性和现实性的条件图形模型进行估计”。具体地说，目前还没有研究将图形模型与因子结构结合起来，在投资组合配置中进行理论和实证研究。本文弥补了这一空白，提出了一种新的近似因子模型下的超额收益条件精度矩阵估计方法，该方法结合了图形模型和因子结构的优点。我们称我们的算法为因子图形套索(FGL)。利用afactor模型去除因素引起的协同运动，然后利用加权图形套索法估计特征项的精度矩阵。我们证明了FGL在谱范数和矩阵范数中的相容性。此外，我们还证明了三种最优投资组合分配公式所估计的投资组合权重和风险暴露的一致性。我们的实证应用使用了S&P500组成成分的日和月数据：我们证明了FGL优于等权重投资组合、指数投资组合和基于其他精度矩阵估计的投资组合(Clime，Cai等人）。

（2011））和协方差矩阵，包括诗人（Fan et al.（2013））和调整收缩估计量以考虑因子结构（Ledoit and Wolf(2004)，Ledoit and Wolf(2017))，根据样本外夏普比。此外，我们发现强有力的经验证据表明，放松投资组合权重至1的约束会导致样本外夏普比的大幅增加，据我们所知，这在以前的经验分析文献中没有得到很好的研究。从理论角度来看，我们的论文对现有的图形模型和因子模型文献做出了几个重要贡献。首先，据我们所知，在不假设股票收益的协方差或精确矩阵的稀疏性的情况下，没有等价的理论结果在高维环境下证明投资组合权重和风险暴露的一致性。其次，我们扩展了诗人（Fan et al.(2013))的理论结果，允许因子数随资产数增长。具体来说，我们建立了PCA估计的因子和因子负荷的一致一致性。第三，在无观测因子的近似因子模型下，利用加权图形套索估计高维精度矩阵的收敛性结果还没有其他文献提供。此外，本文所建立的所有理论结果都适用于广泛的分布：亚高斯族（包括高斯族）和椭圆族。仿真结果表明，该方法对重尾分布具有较强的鲁棒性，适合于实际应用。最后，我们证明了与诗人相比，proposedmethod的成功并不严重依赖于因子普遍假设：当发散特征值和有界特征值之间的差距减小时，FGL对这些条件是鲁棒的。本文组织如下：第2节回顾了Markowitz均值-方差投资组合理论的基础。第3节简要总结了图形模型，并介绍了因子图形套索。第4节包含理论结果，第5节通过仿真验证了这些结果。第6节提供实证应用。第7节总结。为了便于读者阅读，我们总结了全文所要用到的记号。让SPT表示所有p×p对称矩阵的集合，S++PD表示所有p×p正定矩阵的集合，而S++PD表示所有p×p正定矩阵的集合。对于任何矩阵C，其第（i,j）个元素表示为Cij。给定一个向量u∈Rdandparameter a∈[1,∞)，设kukadenote`a-范数。给定一个矩阵U∈Sp，设λmax(U)λ(U)≥λ(U)≥.≥λmin(U)p(U)是U的特征值，eigK(U)∈Rk×p，是λ(U)对应的K≤p归一化特征向量。.，λk(U)。给定参数a,b∈[1,∞)，设Ua,bmaxkyka=1kuykb，表示导出的矩阵算子范数。对于`/`-算子范数，特例为umax1≤j≤npni=1ui，j；算子范数(`-矩阵范数）uλmax(UU)等于u的最大奇异值；对于`∞/`∞-算子范数，u∞max1≤j≤npni=1uj。最优投资组合配置Markowitz(1952)提出的最小方差投资组合作为一种风险管理工具的重要性已被许多学者所研究。在这一节中，我们回顾了Markowitz均值-方差投资组合理论的基础，并给出了最优投资组合分配的几个公式。假设我们观察p个资产（以i为指数）在T段时间内（以T为指数）。设rt=(r1t,r2t,...,rpt)'AD(m,∑)是从分布D中得到的超额收益的p×1向量，其中m和∑是超额收益的无条件均值和协方差矩阵。Markowitz理论的目标是最优地选择投资组合中的资产权重。

我们将研究两个优化问题：著名的Markowitz权重约束(MWC)优化问题和放宽投资组合权重约束的Markowitz风险约束(MRC)优化问题。这可以表述为以下二次优化问题:minww∑w，s.t。其中，w为投资组合中资产权重的p×1向量，w为1的p×1向量，w为投资组合的期望收益率。设θ∑-1为精度矩阵，如果mw>μ，则（2.1）的解得到全局最小方差(GMV)组合权重WGMV:WGMV=(lθl)-1θl.（2.2）如果mw=μ，(2.1)的解是byTobin(1958)引入的一个著名的两基金分离定理：wMW c=(1-a)WGMV+awM,(2.3)Wm=(lθm)-1θm,(2.4)a=μ(mθl)(lθl)-(mθl)(lθl),(2.5)其中wMW表示投资组合分配，约束是权重需要加到1,wmc捕获所有与均值相关的市场信息。MRC问题的目标与（2.1）相同，但不要求投资组合权重加到1：minww∑w,s.t。mw≥μ.（2.6）可以很容易地说明（2.6）的解是:W*=μθmmθm。（2.7）或者，人们可以在给定最大风险承受水平的情况下最大化预期投资组合收益，而不是寻找具有特定期望预期收益率的投资组合:MaxWWM，S.T.W∑W≤σ。（2.8）在这种情况下，对（2.8）的解产生:W*=σWmθm=σμθm。（2.9）为了得到（2.9）中的第二个等式，我们使用了（2.6）中的μ。因此，如果μ=σ√θ，其中θmθm是投资组合的夏普比率的平方，那么（2.6）和（2.8）的解允许以下表达式:WMRC=σ√mθmθm=σ√θα，(2.10)其中αθm。方程（2.10）告诉我们，一旦投资者指定了期望收益和最大风险承受水平σ，这就降低了投资组合的夏普比，从而使得风险最小化（2.6）和投资组合期望收益最大化（2.8）的优化问题相同。这就给我们带来了现有文献中常用的三种替代投资组合配置：全局最小方差投资组合(2.2)、Markowitz权重约束投资组合（2.3）和Markowitz最大风险约束投资组合（2.10）。很明显，所有的公式都需要估计精度矩阵θ.3因子图形套索。在这一部分，我们介绍了一个估计上述金融投资组合精度矩阵的框架，它考虑了收益遵循近似因子结构的事实。Ross(1976)提出的套利定价理论(APT)假定证券的预期收益应该只与它们与公共成分或因子的协方差有关。APT的目标是通过因子分解对资产收益的趋势进行建模。假定收益率生成过程(rt)遵循一个k因子模型:rt{z}p×1=B ft{z}k×1+εt,t=1,。.T(3.1)其中，ft=(f1t,...,fKt)是因子，B是因子负荷的p×K矩阵，ε是不能用公因子解释的特殊成分。（3.1）中的因素可以是可观察的，如Fama和French(1993，2015)，也可以使用统计因子模型进行估计。不可观测因素和负荷通常用主成分分析(PCA)来估计，如Bai(2003)所研究的；Bai and Ng(2002)；Connor和Korajczyk(1988)；Stock和Watson(2002)。

严格的因子结构假设特质扰动εT是不相关的，而近似因子结构允许特质扰动相关（参见Bai(2003)；Chamberlain和Rothschild(1983)等）。在这一小节中，我们研究了如何利用因子结构来解决Markowitz均值-方差投资组合配置问题。我们还开发了因子图形套索，利用估计的公因子来获得特性分量的稀疏精度矩阵。该估计量用于获得形成组合权重所需的资产收益的精确度。本文主要研究高维情形下精确度矩阵、投资组合权重和风险敞口的估计的渐近性质。我们确定公因子数K=Kp，T→∞为p→∞,或T→∞,或同时为p，T→∞,但要求max{K/p,K/T}→0为p，T→∞。（2013）：我们考虑了一个尖峰协变模型，当∑(σ)的K个主特征值随p增长，而其余的p-凯根值有界且增长慢于p时。重写矩阵形式的方程（3.1）：r{z}p×t=B{z}p×kf+e(3.2)回顾（3.2）中的因子和载荷是通过解决以下最小化问题来估计的：（bB,bF)=argminB,fkr-bfkfs.t.tff=IK,bB是对角的。为了确定这些因素，还存在制约因素（Fan et al.(2018))。结果表明（Stock and Watson(2002))BF=√t eigK(RR)和BB=t-1 RBF。GivenbF,bB,DE=R-BBBF。特异分量和因子的协方差矩阵设∑ε=t-1和∑f=t-1,其逆矩阵设θε=∑-1ε和θf=∑-1FBE。给定估计残差{bεt=rt-bbbft}tt=1和估计因子{bft}tt=1的样本，Letb∑ε=(1/t)ptt=1bεtbεtandb∑f=(1/t)ptt=1bftbft是协方差矩阵的样本对应。由于我们的兴趣在于构造投资组合权重，我们的目标是估计超额收益的精确矩阵。我们对特征量的精度矩阵θε施加了稀疏性假设，该矩阵是用去除因素引起的共动后的估计残差得到的（参见Barigozzi et al.(2018)；Brownlees et al.(2018)；Koike(2020))，设wε是∑ε的估计。另外，letbdεdiag(wε)。为了引起特殊误差θε精度矩阵估计的稀疏性，我们使用了带加权图形Lasso惩罚的惩罚Bregman发散:bθε,λ=arg minθ∈S++ptrace(wεθε)-log det(θε)+λxi6=jbdε,iibdε,jjθε,ij。（3.3）下标λinbθε，λ表示（3.3）中优化问题的解取决于调谐参数的选择。在第4节中提供了更多的细节，该节建立了保证（3.3）收敛的稀疏性要求，第5节描述了在实践中选择收缩强度。为了简化表示法，我们将省略thesubscriptλ。为了求解(3.3)，我们使用Friedman等人提出的基于加权图形套索的方法。（2008年），并在Mazumder和Hastie(2012)、Jankov\'a和van de Geer(2018)等人中进一步研究。对Wε、B∑ε和θε进行以下划分:Wε=Wε,11{z}(p-1)×(p-1)Wε,12{z}(p-1)×1Wε,12 wε,22,B∑ε=B∑ε,11{z}(p-1)×(p-1)Bσε,12{z}(p-1)×1Bσε,12 bσε,22,θ=θε,11{z}(p-1)×(p-1)θε,12{z}(p-1)×1θε,12{z}(p-1)θε,12{z}(p-1)×1θε,12{z}(p-1)θε,12{z}(p-1)θε,12{z}3.4)设β-θε,12/θε,22。GLASSO的思想是将wε=b∑ε+λi设于（3.3）中，并将（3.3）的梯度与分块逆公式相结合，得到以下`-正则二次规划bβ=arg minβ∈rp-1nβwε,11β-βbσε,12+λkβko。（3.5）如Friedman等人所示。(2008)，(3.5)可以看作是一个LASSO回归，其中LASSO估计是wε，11和bσε，12的内积的函数。因此，(3.3)等价于pcouped LASSO问题。

一旦我们得到bβ，我们就可以用分块逆公式估计条目θε。算法1中总结了获得稀疏的θε的过程。算法1图形化Lasso，Friedman等人。(2008)，自适应1：初始化wε=b∑ε+λi。wε的对角线保持不变。2:j=1重复。..,p,1,....,p....直到收敛:o将wε划分为第1部分：除第j行和第j列以外的所有部分；第2部分：第j行和第j列。o使用循环坐标下降法求解得分方程:wε,11β-bσε,12+λ·符号(β)=0。这给出了一个(p-1)×1向量解bβ.oUpdateBwε，12=wε，11bβ.3:如Friedman等人所示，在i=1,...,p）循环中，求解bθ=wε，22-bβbwε，12和bθ=-bθbβ。（2008）和Mazumder and Hastie(2012)的后续论文中，由图形Lasso产生的估计量被保证是正的。注意Friedman等人开发的原始算法。（2008）不适合在因子结构下，因此，在第4节中提供了对精度矩阵估计器的统计特性的单独处理。算法1涉及调整参数λ，在5.1小节中更详细地描述了如何选择收缩强度COE的过程。在估计因子、因子负荷和特质成分的精度矩阵的基础上，我们利用Sherman-Morrison-Woodbury公式将它们结合起来，估计超额收益的精度矩阵:bθ=bθε-bθεbb[bθf+bbbθεbb]-1bbbθε。（3.6）我们将上述过程称为因子图形Lasso(FGL)，并在算法2中对其进行了总结。算法2因子图形Lasso1:FM估计ebftandbbi（定理1）。getbεt=rt-bbbft,b∑ε,b∑fandbθf=b∑-1f.2:(GL)使用算法1 getbθε。（定理2)3:FGL)用bθε，bθfandbbi从步骤1-2得到方程（3.6）中的bθ。（定理3)4:用bθ来getbwζ,ζ={GMV,MWC,MRC}。（定理4)5:用b∑=bθ-1和bwζ得到投资组合的暴露surebwζb∑bwζ。（定理5）正如我们在讨论算法1时所指出的，由图的Lassoin一般，特别是FGL所产生的估计量是正的。我们在实验和实证应用中对其进行了验证。在第4节中，给出了算法2所示的因子和负荷（定理1)、精度矩阵ε（定理2)、精度矩阵θ（定理3)、投资组合权重（定理4）和投资组合风险暴露（定理5）的估计量的相合性。我们可以用算法2的步骤4从（3.6）中得到的bθ来估计(2.2)、(2.3)和（2.10）中的投资组合权重：注1。在实践中，公因子K的数目是未知的，需要估计。标准和常用的方法之一是以数据驱动的方式确定K（Baiand Ng(2002)；Kapetanios(2010))。作为一个例子，在他们的论文Fan等人。（2013）采用Bai and Ng(2002)的方法。然而，上述所有论文都涉及到了一定数量的因素。因此，我们需要采用一个di-whited erent标准，因为在我们的设置中，K是允许增长的。为此，我们采用了李等人的方法。(2017):当K需要估计时，设bi，Kand ft,KdenoteK×1向量的载荷和因子，且BKI是堆叠bi，K的p×K矩阵。defunneV(K)=minBK，FKPTPXI=1TXT=1RIT-√KBI,Kft,K,(3.7)，其中最小值取自1≤K≤Kmax，需进行归一化BKBK/P=IK。因此，*fk=√krbk/p。defunnebfk=/fk(.fk/t)1/2，这是因子的重标估计值，用于确定K随样本量增长时因子的数量。然后我们应用Li等人描述的以下程序。（2017）估计K:BK=arg min1≤K≤kmaxln(V(K,fk))+Kg(p,T）,(3.8)其中1≤K≤kmax=o(min{p1/17,t1/16}）且g(p,T）是(p，T)的罚函数，使得(i)kmax·g(p,T)→0和(ii)c-1p,T,kmax·g(p,T)→∞,Cp,T,kmax=op maxhkmax√p,k5/2 max√ti。罚函数的选择类似于Bai和Ng(2002)。

在整篇论文中，我们都是（3.8）的解。4渐近性质在这一节中，我们简要回顾了关于图形模型的文献中使用的术语和估计精度矩阵的方法。在此基础上，建立了算法2中因子图形套索的一致性。我们还研究了(2.2)、(2.3)和（2.10）中权重估计量的相合性及其对样本外夏普比的影响。（2001）和Bishop(2006)。图由一组顶点（节点）和一组连接某些对顶点的边（弧）组成。在图形模型中，每个顶点代表一个随机变量，图形可视化整个随机变量集的联合分布。图中的边是由位势（值）参数化的，位势（值）编码了相应顶点上随机变量之间的条件依赖强度。稀疏图的边数相对较少，使用稀疏图模型的主要挑战是图的结构选择（模型选择）和从数据中估计边参数。对于j=1，对以下集合进行修改。..,p:dj(A){i:aij6=0,i6=j},dj(A)card(dj(A)),d(A)maxj=1,...,pdj(A)，(4.1)其中dj(A)是与顶点j相邻的边数（即顶点j的度）,d(A)度量最大顶点度。definne S(A)spj=1dj(A)是总的对角稀疏性模式，而S(A)ppj=1dj(A)是图中包含的边的总数。注意card(S(A))≤S(A):当S(A)=p(p-1)/2时，这将给出一个完全连通的图。4.1假设我们现在列出模型(3.1):(A.1)（尖峰协方差模型）的假设为p→∞,λ(∑)>λ(∑)>。.>λk(∑)λk+1(∑)≥..≥λp(∑)≥0,其中λj(∑)=O(p)对于j≤K,当非尖峰特征值有界时，λj(∑)=O(p)对于j>K。(a.2)（普适因子）存在一个正的K×K矩阵B，使得p-1bb-b→0和λmin(b)-1=O(1)为p→∞。(a.3)(a){εt,ft}t≥1是严格平稳的。(b)存在常数c,c>0,使得λmin(∑ε)>c,∑ε<cand mini≤p,j≤pvar(εitεjt)>c。(c)存在r,r>0和b,b>0,使得对于任意s>0,i≤p,j≤K,Pr(εit>s)≤exp{-(s/b)r},Pr(fjt>s)≤exp{-s/b)r}。设f-∞和f∞分别表示{（ft,εt):t≤0}和{（ft,εt):t≥t}生成的σ-代数。给出了混合coe-cientα(T)=supa∈f-∞,B∈f∞tpr A Pr b-pr ab.(4.2)(a.4)（强混合）存在R>0，使得3r-1+1.5r-1+3r-1>1,且C>0满足，对于所有T∈Z+,α(T)≤exp(-CTR)。(a.5)（正则性条件）存在M>0，使得对于所有i≤p，T≤T和s≤T,即:(a)kbikmax<M(b)eut-p-1/2{εsεt-e[εsεT]}<M和(C)ehp-1/2ppi=1biεIt<km。假设(A.1)(A.4)与Fan et al中相同。(2013)，并对假设(A.5)进行了修改，以考虑到越来越多的因素。假设(A.1)将特征值分为发散特征值和有界特征值。在不丧失一般性的前提下，我们假定K个最大特征值的重数为1。尖峰协方差模型的假设在近似因子模型的文献中是常见的。然而，我们注意到本文所研究的模型可以被描述为“veryspiked模型”。换句话说，K特征值和其余特征值之间的差距随着p的增加而增加。正如Fan等人所指出的。(2018)，(a.1)典型地被带有普遍因素的因素模型所充分利用，这就给我们带来了假设(a.2):因素影响单个时间序列的比例不变。

在第五节的最后，我们讨论了当扩散性假设放松时，即当发散特征值和有界特征值之间的间隙减小时，用FGL构造的投资组合的敏感性。假设(a.3)(a)比Bai(2003)稍强，因为它要求{εt}和{ft}之间具有严格的平稳性和非相关性，以简化技术计算。在(A.3)(b)中，我们要求∑ε<c，而不是λmax(∑ε)=O(1)来一致估计K。当K为已知时，如在Fan等人中。（2011年）；小池(2020)，这个条件可以放宽。(A.3)(c)要求指数型尾将大偏差理论应用于(1/t)PTT=1εitεjt-σu,ijand(1/t)PTT=1fjtuit。然而，在4.6小节中，我们讨论了我们的结果对具有椭圆分布族的设置的扩展，这更适合于更广泛的应用。具体地，我们讨论了对收益方差矩阵的初始估计量的适当调整，以使本文导出的界继续成立。(A.4)(A.5)是一致估计公因子和负荷所需的技术条件。由于我们的目标是估计一个精确矩阵，所以条件(a.5)(a-b)比Bai(2003)弱，而Bai(2003)和Bai and Ng(2006)的条件(a.5)(c)，假设因子数随p缓慢增长。此外，还对总体数量作了以下结构假设:(b.1)k∑kmax=O(1)，Kbkmax=O(1)，Kmk∞=O(1)，θε的稀疏性受确定性序列sTand:s(θε)=Op(sT)控制，对于某个序列sT∈(0，∞)，T=1,2,，。对于某些序列dT∈(0,∞）,T=1,2,，d(θε)=Op(dT)。...我们将限制DT的增长速度。注意ondtar的假设较弱，因为它们总是在st=dt时被充分利用。然而，dTcan通常比ST小。与Fan等人形成对比。（2013）我们不对特质成分的协方差矩阵施加稀疏性，相反，在考虑了公共因素后，对精度矩阵施加条件稀疏性对投资组合分析中的误差量化更为现实和相关。4.2 FGL过程实现了（3.3）中加权图形Lasso估计器对特质成分精度矩阵的识别。另外，回想一下，为了估计θ我们使用了等式（3.6）。因此，为了得到FGL估计Bθ，我们采取以下步骤：（1）：估计未知因子和因子负载，得到∑ε的估计量。(2):在（3.3）中用b∑ε得到了θε的一个估计量。（3）：将bθε与步骤1中的因子和因子负荷的估计量一起使用，得到精确矩阵估计Bθ、投资组合权重估计Bwζ和风险暴露估计BΦζ=Bwζbθ-1Bwζ,其中ζ={GMV,MWC,MRC}。第4.3小节研究了这一步骤的理论基础，第4.4-4.5小节专门讨论步骤2和3.4.3未知因子和负荷的收敛性，正如Bai(2003)和Fan等人所指出的那样。(2013)，K×1维因子加载{bi}pi=1（因子加载矩阵B的行）和K×1维公因式因子{ft}tt=1（因子加载矩阵F的列）不能单独识别。具体地说，对于任何K×K矩阵HH=IK，BFT=BHHft，我们不能从(BH，Hft)中识别元组(B，ft)。LetbK∈{1,...,Kmax}表示因子的估计数，其中Kmax允许以比min{p,T}慢的速度增加，使得Kmax=o（min{p1/3,T}）（关于速率的讨论见Li et al.(2017)）。进一步，求abK×BK矩阵H=(1/t)V-1BFFBB。对于t≤t，hft=t-1v-1bf(Bf,..,BfT)BfT，它仅取决于数据v-1bff和参数{BfT}tt=1的一部分。

因此，无论所施加的identi可寻性条件如何，HFT都不存在identi可寻性问题。设γ-1=3r-1+1.5r-1+r-1+1。下面的定理是Fanet al中结果的推广。（2013）对于因子数未知且允许增长的情况。所有定理的证明见附录A。定理1。假定Kmax=o(min{p1/3,T}）,Klog p=o(Tγ/6),KT=o(p)和假设(A.1)-(A.5)和(B.1)成立。设ω1tk3/2plog p/t+k/√p和ω2tk/√t+kt1/4/√p。然后，maxi≤p bbi-hbi=OP(ω1t)和maxt≤t bft-hft=OP(ω2t),条件Klog p=o(tγ/6),KT=o(p)与Fan等相似。(2013)，由于我们没有计算K，因此，除了因子负荷外，还有其他因子需要估计。因此，由未知生长因子引入的参数数目不应“太多”，以便我们能够一致地统一估计它们。因子数的增长速度受Kmax=o(min{p1/3,T}）控制，定理1中导出的界帮助我们建立了下一个定理：定理2中给出的估计协方差B∑ε和精度矩阵Bθε的收敛性质。设ω3tKplog p/t+k/√p。在定理1的假设下，在λω3t（其中λ是（3.3）中的调谐参数）下，用（3.2）中的因子模型估计B∑ε，得到了B∑ε-∑εmax=OP(ω3t)。设%tbe是一个正值随机变量序列，使得%–1tω3tp–→0。如果st%tp-→0，则bθε-θεL=OP(%TST)为T→∞对于anyl∈[1,∞]。注意包含k/√p的项是由于需要估计未知因子而产生的：Fanet al.（2011）得到了类似的比率，但对于可观察因素的情况（在他们的工作中，ω3t=k1/2plog p/t)。定理2的第二部分是基于Jankov\'a andvan de Geer(2018)中建立的估计协方差的收敛率与精度矩阵之间的关系（定理14.1.3）。Koike(2020)得到了因子可观测时的收敛速度：由于因子需要估计，本文得到的收敛速度较慢（具体来说，可观测因子下的收敛速度满足%-1 TPK log p/tp-→0)。Wenow对定理2中速率的最优性进行了评述：正如Koike(2020)所指出的，在无因子结构的标准高斯条件下，极大极小最优速率为d(θε)plog p/t，如果d(θε)<st,则其速度可以快于定理2中得到的速率。使用惩罚nodewiseregression可以帮助实现这一更快的速度。然而，我们对每月股票收益的实证应用表明，在样本外夏普比率和投资组合风险方面，加权图形套索比传统回归具有更好的性能。4.精确度矩阵估计量与投资组合权重的收敛性在建立了B∑ε和Bθε的收敛性后，我们转到方程（3.6）中因子调整收益的精确度矩阵的估计上。定理3。在定理2的假设下，如果dtst%tp-→0，则bθ-θ=OP(%tst)和bθ-θ=OP(%tdtk3/2st)。注意，由于通过构造使用因子图形lasso得到的精度矩阵是对称的，所以bθ-θ∞可以从上述定理中简单地得到。利用定理3，我们可以建立基于因子图形lasso的投资组合估计权重的一致性。定理4。在定理3的假设下，我们另外假设θ=O(1)（这一附加要求实质上在(a.1)中强加了λp(∑)>0)，并且%tdtst=O(1)。