基于因子图形套索的最优投资组合

(A.3)让我们把每个项限定在(A.3)的右边。定义Ismaxi≤pkhftεitk≤khkmaxivuutkxk=1ttxt=1fktεit！≤khk√k maxi≤p,j≤k ttxt=1fjtεit=op k·k1/2·plog p/t,其中引理1和7与Bonferroni方法一起使用。对于第二项，maxi ttxt=1rit bft-hft≤maxittxt=1ritttxt=1bft-hft！1/2=opt+kp！1/2，其中我们使用引理6和事实，即maxit-1ptt=1rit=OP(1)，因为e-rit=O(1).最后，第三项是OP(kt-1/2)，因为k(1/t)ptt=1ftft-ikk=OP kt-1/2，kHk=OP(k)和maxikbki=O(1)是假设(b.1)。a.3推论1作为定理1的结果，我们得到以下推论：推论1。在定理1的假设下，maxi≤p,t≤t bbibft-bift=OP(log t1/rkplog p/t+kt1/4/√p）。利用假设(A.4)和Bonferroni的方法，我们得到了maxt≤tkftk=OP(√k log t1/r),通过定理1,在i和t中一致地:bbibft-bift≤bbi-hbi bft-hft+khbi-hbi bft-hft+kbi-hbi khftk+kbikkftk+kt1/4+K√p·log t1/rk1/2！+OPlog t1/rk1/2 k5/2√t+k5/2√p！=OP log t1/rkplog p/t+kt1/4/√p.A.4定理2的证明利用特殊成分的识别，我们有εit-εit=biH(bft-hft)+(bbi-bih)bft+bi(Hh-ik)ft。我们将最大元素di定义为:maxi≤pttxt=1(εit-εit)≤4maxibih ttxt=1bft-hft+4maxibbi-bih ttxt=1bft+4maxibittxt=1kftk+kp！+o klog pt+kp·k！+OK·kt+kp！=OKlog pt+kp！。表示maxi≤p(1/t)ptt=1(εit-εit)=OP(ω3t)。然后，maxi，tεit-εit=OP(ω3t)=OP(1)，其中最后一个等式由推论1隐含。正如正文所指出的，定理2的第二部分是基于Jankov\'aand van de Geer(2018)（定理14.1.3）建立的估计协方差的收敛速度与精度矩阵之间的关系。A.5定理3引理8的引理。在定理1的假设下，我们得到了以下结果:(a)kBk=kBHk=O(√p)；(b)%–1tmax1≤i≤pbbi-HBi=oP(1/√k)和max1≤i≤pbbi=oP(√k)；(c)%–1t bb-bh=OPp/k和bb=oP(√p)。(c)部分是(a)-(b)的直接结果，因此，我们只证明了下面的两部分:(a)(a)部分很容易从(b.1):tr(∑-BB)=tr(∑)-KBK≥0，由于tr(∑)=O(p)由(b.1)得到KBK=O(p)。(a)部分是根据这样一个事实得出的，即B的行所跨越的线性空间与BH的行所跨越的线性空间相同，因此，在实践中，使用哪一个并不重要。(B)根据定理1，我们有maxi≤pBbi-HBi=OP(ω1t)。根据定理2中的%t，可以得出%-1 tω1 t=oP(ω1 tω-13t)。设EZTω1Tω-13T。考虑%-1 Tmax 1≤I≤P BBI-HBI=oP(zT)。后者对任何ZT≥ezT都成立，当ZT=ezT时，边界最紧。为了便于表示，我们用zt=1/√k代替ezt。(b)部分的第二个结果是利用max1≤i≤pbbi≤√kkbkmax的事实得到的，其中kbkmax=O(1)由(b.1)。引理9。设πhθf+(BH)θε(BH)i-1,bπhbθf+bbbθεbbi-1。另外，取∑f=(1/t)pt=1Hft(Hft),θf=∑-1f,b∑f(1/t)pt=1bftbft,bθf=b∑-1f。在定理2的假设下，我们得到了如下结果:(a)λmin(BB)-1=O(1/p)。(b)π=O(1/p)。(c)%–1T bθf-θf=OP1/√k。(d)%–1T bπ-π=OPST/p和bπ=OP(1/p)。(a)利用假设(a)2)我们得到了λmin(b)≤p-1 Bb-B，这里指的是(a).(b)部分。首先，请注意π=λmin(θf+(BH)θε(BH))-1。因此，我们得到π≤λmin((BH)θε(BH))-1≤λmin(BB)-1λmin(θε)-1=λmin(BB)-1λmax(∑ε)，其中第二个不等式是由于b的行所跨越的线性空间与BH的行所跨越的线性空间相同，因此在实践中，使用哪一个并不重要。

因此，(b)部分的结果是根据(a)部分的假设(a.1)和(a.2)得出的。(c)从引理7我们得到:ttxt=1Hft(Hft)-ttxt=1bftbft=1bftbft=OPK3/2√t+k5/2√p！。由于θf(b∑f-∑f)<1，我们得到bθf-θf≤θfθf(b∑f-∑f)1-θf(b∑f-∑f)=OPK3/2‰T+K5/2‰P！。设ω4T=K3/2/‰T+K5/2/‰P。根据定理2对%t的认识，得出%–1tω4t=oP(ω4tω-13t)。设Eγtω4tω-13T。考虑%-1 t bθf-θf=oP(γt)。对于任意γT≥EγT的Latternoles，当γT=EγT时得到了最紧的界。为了便于表示，我们用γT=1/√k代替EγT。(d)我们将每个项限定在bπ-π的范围内。首先，我们有bbbθεbb-(BH)θε(BH)≤bb-bh bθεbb+BH bθε-θεbb+BHθεbb-BH=OPp·ST·%T！。(A.4)现在我们将(A.4)与(b)-(c)部分的结果相结合:%–1 Tπbπ-1–π-1=OP ST。最后，由于πbπ-1–π-1<1，我们有%–1 Tπbπ-π≤%–1 Tππbπ-1–π-1–πbπ-1–π-1=OP ST定理3的证明利用Sherman-Morrison-Woodbury公式，我们得到了bθ-θL≤bθε-θεL+(bθε-ε)BBbπBBbθεL+θε(Bb-BH)bπBBbθεL+θεBH(bπ-π)BBbθεL+εBH(bπ-π)BBbθεL+εBH(bπ-π)BBbθεL+εBHπ(bb-b)bθεl+θεBHπ(BH)(bθε-θε)l=++++++++.（译者注：译者注：译者注：译者注：译者注：译者注：译者注）。(A.5)我们现在将(A.5)中的项定义为l=2和l=∞。我们从l=2开始。首先，注意定理2中的%–1t=OP(sT)。其次，利用引理8-9和定理2,我们得到了%-1 t(+)=OP(sT·√p·(1/p)·√p·1)=OP(sT)。第三，根据toLemma 8(c)，%–1t(+)可以忽略不计。最后，由引理8-9和定理M2得到%–1T=OP1·√P·(sT/P)·√P·1=OP(sT)。现在考虑l=∞。首先，与前面的情况类似，%–1T=OP(sT)。第二，%–1t(+)=OP st·√pk·(√k/p)·√pk·√dt=OP(stk3/2√dt)，其中我们使用了这样一个事实，即对于anyA∈Spwe有A=A∞≤pd(A)A,其中d(A)度量了第4节开头所述的最大顶点脱脂度。第三，根据引理8(c)，项%–1t(+)可以忽略不计。最后，给出了定理4引理10的引理:%–1T@=OP(Ⅹdt·Ⅹpk·Ⅹk(sT)/P·Ⅹpk·Ⅹdt)=OP(dtk3/2sT)。在定理4的假设下，(a)kbm-mkmax=OP(plog p/t)，其中m是股票收益在3.3小节中的无条件均值，而bm是样本均值。(b)θ=O(dtk3/2)，其中dt3/2在第4小节中被定义。证明。(a)(a)部分的证明在Chang等人中提供。（2018）（引理1）。(b)为了证明(b)部分，我们使用谢尔曼-莫里森-伍德伯里公式:θ≤θε+θεb[θf+bθεb]-1bθε=O(pdT)+OPDT·p·√KP·K·pdT=O(DTK3/2)。(A.6)中的最后一个等式是在定理4的假设下得到的。这一结果在以下几个方面具有重要意义：它表明股票收益率精度矩阵的稀疏性由特殊收益率精度的稀疏性控制。因此，当返回遵循因子结构时，不需要先验地对返回的精度强加一个不切实际的稀疏性假设--一旦考虑到共同的运动，精度的稀疏性就会出现。引理11。取值a=lpθlp/p,b=lpθm/p,d=mθm/p,g=√mθm/p和ba=lpbθlp/p,bb=lpbθbm/p,bd=bmbθbm/p,bg=pbmbθbm/p。在定理4的假设下，假定(ad-b)>0,(a)a≥c>0,b=O(1)，d=O(1)，其中顺式是表示θ的最小特征值的正常数。(b)BA-A=OP(%TDTK3/2ST)=OP(1)(b)BB-B=OP(%TDTK3/2ST)=OP(1)(d)BD-D=OP(%TDTK3/2ST)=OP(1)(e)BG-G=OP[%TDTK3/2ST)1/2=OP(1)(f)(BABD-BB)-(Ad-B)=OP%TDTK3/2ST)-(Ad-B)=OP%TDTK3/2ST)-(Ad-B)=OP%TDTK3/2ST)=OP(1)(g)AD-B=O(1).证明。(a)部分是琐碎的，直接从假设(b.1)的θ=O(1)和Kmk∞=O(1)中得出。

我们给出了d：recomp，d=mθm/p≤θkmk/p=O(1)的证明。(b)使用H-olders不等式，我们得到了ba-a=lp(bθ-θ)lp≤(bθ-θ)lpklpkmaxp≤bθ-θ=oP%tdtk3/2(st+(1/p))=oP(1)，其中最后一个速率是使用定理3的假设得到的。(c)首先，重写感兴趣的表达式:bb-b=[lp(bθ-θ)(bm-m)]/p+[lp(bθ-θ)]/p+[lp(bθ-θ)]θ)m]/p+[pθ(Bm-m)]/p。(A.7)我们现在使用在Callot等人中导出的表达式来约束(A.7)中的每一项。（2019）（见他们对引理A.2)的证明，以及log p/t=o(1).lp(bθ-θ)(bm-m)/p≤bθ-θkbm-mkmax=op%tdtk3/2st·rlog pt。(a.8)lp(bθ-θ)m/p≤bθ-θ=OP%TDTK3/2st。(A.9)lpθ（bm-m）/p≤θkBm-mkmax=OP DTK 3/2·Rlog Pt。(A.10)(d)首先，重写感兴趣的表达式:BD-D=[(bm-m)(bθ-θ)(bm-m)]/P+[(bm-m)θ(bm-m)]/P+[2(bm-m)θm]/P+[2m(bθ-θ)(bm-m)]/P+[m(bθ-θ)m]/P。(A.11)我们现在使用Callot et al.(2019)中导出的表达式（参见他们对引理A.3)的证明）和log p/t=o(1).(Bm-m)(Bθ-θ)(Bm-m)/p≤kBm-mkmaxBθ-θ=op log pt·%tdtk3/2 st(A.12)(Bm-m)θ(Bm-m)/p≤kBm-mkmaxθ=op log pt·dtk3/2的事实来约束(A.11)中的每个项。(A.13)(bm-m)θm/p≤kbm-mkmaxθ=op rlog pt·dtk3/2。(A.14)m(bθ-θ)(bm-m)/p≤kbm-mkmax bθ-θ=op rlog pt·%tdtk3/2 st。(a.15)m(bθ-θ)m/p≤bθ-θ=OP%TDTK3/2 ST。(a.16)(e)这是(d)部分的直接后果，而且首先是PBD-d≥PBD-√d。(f),重写感兴趣的表达式:(babd-bb)-(ad-b)=[(ba-a)+a][(bd-d)+d]-[(bb-b)+b]，因此，使用引理11，我们有(babd-bb)-(ad-b)≤hba-a bd-d+ba-ad+a bd-d+(bb-b)+2b bb-b i=oP%tdtk3/2st=oP(1).(g)这是(a)部分的直接结果:ad-b≤ad=O(1).定理4的证明让我们导出每个投资组合权重公式的收敛速度就像一个接一个。我们从GMV公式开始，KBWGMV-WGMVK≤AK(Bθ-θ)PKP+A-BAKθPKPBAA=oP%TDTKST=oP(1)，其中的不等式在Callot等人中得到。（2019）（见他们的表达式A.50)，引理11和10。我们现在继续MWC权重公式。首先，让我们将权重表达式简化如下:WMWC=κ(θóp/p)+κ(θm/p),其中κ=dTMbad-bκ=μa-bad-b.letBWMWC=bκ(bθóp/p)+bκ(bθbm/p)，其中Bκ、Bκ分别是κ、κ2的估计量，如Callot等人所示。（2019）（见他们的方程A.57)，我们可以将关系的数量确定为:Kbwmwc-Wmwck≤(bκ-κ)(bθ-θ)lp/p+(bκ-κ)(bθ-θ)(bm-m)/p+(bκ-κ)(bθ-θ)m/p+(bκ-κ)(bθ-θ)m/p+(bκ-κ)(bθ-θ)m/p+(bκ-κ)kθm/p+κ(bθ-θ)(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)kθm/p+(bκ-κ)κ(Bθ-θ)m/P。(A.17)为了便于表示，用y=AD-B表示。然后，使用与Callot Etal相似的技术。（2019）我们得到(bκ-κ)≤y bd-d+yμbb-b+by-yd-μbbyy=oP%tdtk3/2 st=oP(1)，其中速率基本遵循引理11。类似地，我们得到(bκ-κ)=oP%tdtk3/2 st=oP(1).Callot et al.（2019）表明:κ=O(1)和κ=O(1)。因此，我们可以得到的速率为(A.17):KBWMWC-WMWCK=oP%TDTKST=oP(1).我们现在继续进行MRC权重公式:KBWMRC-WMRCK≤gpH(Bθ-θ)(BM-M)+(Bθ-θ)m+Kθ(BM-M)Ki+BG-GKθMKBGG≤GPHP Bθ-θK(BM-M)Kmax+PBθ-θKMKmax+PK(BM-M)Kmax+PK(BM-M)Kmax Xi+Pbg-gθkmkmaxbgg=oP%tdtk3/2st·rlog pt+oP%tdtk3/2st+opdtk3/2·rlog pt+oP[%tdtk3/2st]1/2·dtk3/2=oP(1)，这里我们使用引理10-11.A.9定理5的证明我们从GMV公式开始。使用引理11(a)-(b)，我们得到了A-1a-1-1=a-a=OP(%TDTK3/2ST)=OP(1)。

(2019)，并引入以下符号:x=Aμ-2Bμ+d和x=Aμ-2Bμ+d以重写BΦMWC=PTM1(x/Y)。如inCallot等人所示。(2019)，y/x=O(1)（见他们的方程式A.42)。再者，通过引理11(b)-(d)x-x≤a-a(R)+2b-b(R)+d-d=OP(%tdtk3/2st)=OP(1)，以及通过引理11(f):y-y=a d-b-(ad-b)=OP(%tdtk3/2st)=OP(1)。利用上述和y=O(1)和x=O(1)的事实（由Callot等人（2019）在A.45和A.46中导出），我们有bΦmwc-ΦmwcΦmwc=(x-x)y+x(y-y)yy O(1)OP(%tdtk3/2st)=OP(1)。最后，到约束MRC风险暴露，我们使用引理11(e)和重写g-g g=oP[%tdtk3/2st]1/2)=oP(1)。附录B附加模拟sb.1验证理论速率将经验速率与定理3-5中导出的理论表达式进行比较，利用定理2中ω3tKplog p/t+k/√p和%-1 tω3tp-→0的事实，导出了在经验条件下参数选择与理论速率相对应的函数:f·=C+C·log(st%t)g·=C+C·log(dtk3/2st%t)forbθ(b.1)h=C+C·log(%tdtkst)forbwGMV,bwMWC(b.2)h=C+C·log([%tst]1/2d3/2tk)forbwMRC(b.3)h=C+C·log(dtk3/2st%t)forbΦgmv,bwmwv,bwmwv MWC(b.4)H=C+C·log(dtk3/2st%t)forbΦMRC(b.5)，其中C，..C>C（定理4)，C>C（定理5）。图B.1显示了在对数尺度（基数2）中，θ，w和Φ的估计量对样本容量T的平均误差（在蒙特卡罗模拟上）。为了补充定理3-5的理论结果，我们还绘制了由(b.1)-(b.5)中的函数给出的理论收敛速度。我们验证了经验率和理论率是匹配的。由于GMV和MWC组合权重w和风险敞口Φ的收敛速度非常相似，我们只报告前者。注意，正如定理3所预言的，精度矩阵在·-范数下的收敛速度快于在·-范数下的收敛速度。此外，GMV、MWC和MRC组合权重与风险敞口的收敛速度接近于精度矩阵θ在·-范数中的收敛速度，定理4证明了这一点。如图B.1所示，MRC风险暴露的收敛速度慢于GMV和MWC暴露的速度。这符合定理5，也与表明MRC投资组合相关的总体风险较高的经验数据一致。图B.1:对数尺度上的平均经验误差（实线）和理论收敛速度（虚线）:p=t0.85,K=2(log T)0.5,st=O(t0.05)。B.2结果对于情况1我们将FGL的性能与第5节开头列出的替代模型相比较。FGL被严格控制但略占优势的唯一例子发生在B.2:Point在谱范数中的精度矩阵收敛性方面优于FGL。这是从图1中的情况2中得出的结论，其中FGL的性能优于所有竞争模型。图B.2:对数尺度上情况1的θ估计量的平均误差:p=t0.85,K=2(log T)0.5,st=O(t0.05)。图B.3:对数尺度上情况1的wGMV（左）和wMRC（右）估计量的平均误差:p=t0.85,K=2(log T)0.5,st=O(t0.05)。图B.4:对数尺度上情况1的ΦGMV（左）和ΦMRC估计量的平均误差:p=t0.85,K=2(log T)0.5,st=O(t0.05)。B.3鲁棒FGL椭圆分布的DGP类似于Fan等人。（2018）：让（3.1）中的(ft，εt)联合遵循多变量t-分布，且自由度为。当v=∞时，这与多元正态分布相对应，较小的v值与较厚的尾巴有关。从协方差矩阵∑=diag(∑f,∑ε)的零均值多元T-分布中提取T个独立样本(ft，εT)，其中∑f=ik。

为了构造∑ε，我们使用参数化ρ=0.5的Toeplitz结构，从而得到稀疏的θε=∑-1ε。B的行是从n(0，IK)中提取的。我们设p=t0.85,K=2(log T)0.5,T=[2h],对于h∈{7,7.5,8,...,9.5}。图B.5B.6报告了使用FGL和Robust FGL（Monte Carlo模拟）对θ和两个投资组合权重（GMV和MRC）的平均估计误差（在对数标度下，基数为2）,对§=4.2使用FGL和Robust FGL。值得注意的是，FGL在估计精度矩阵方面的性能与FGL相当：这表明我们的FGL算法即使没有额外的调整也对重尾分布不敏感。此外，如图B.6所示，FGL在估计投资组合权重方面优于其稳健对应方。我们进一步比较了FGL和Robust FGL在不同自由度下的性能：图B.7给出了v=4.2,v=7和v=∞的平均估计误差（在Monte Carlo模拟上）的对数比（基2）。图B.7给出的θ估计结果与Fanet al的结果一致。（2018年）：对于较厚的尾部，稳健的FGL比非稳健的FGL表现更好。图B.5:对数标度上θ估计量的平均误差；p=t0.85,K=2(log T)0.5,§=4.2。图B.6:wGMV（左）和wMRC（右）对数标度估计量的平均误差；p=t0.85,K=2(log T)0.5,v=4.2。图B.7:FGL和稳健FGLestimators的平均误差对数比（基2）：log bθ-θbθr-θ（左）,log bθ-θbθr-θ（右）:p=t0.85,K=2(log T)0.5。b.4放宽普遍假设正如Onatski(2013)所指出的，100个工业投资组合的数据表明，除了i=1之外，样本协方差数据的特征值i和i+1之间没有很大的差距。然而，正如人们通常认为的那样，此类数据至少包含三个因素。因此，因子渗透假设表明，当i≥3时，存在一个很大的缺口。为了检验投资组合对普遍假设的敏感性并量化普遍程度，我们使用了与（5.3）-（5.4）中相同的DGP，但使用σε，ij=ρi-j，K=3。我们考虑ρ∈0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}对应于λ/λ∈3.1,2.7,2.6,2.2,1.5,1.1}。换句话说，随着ρ的增加，用λ/λ度量的系统-特性间隙减小。表B.1-B.2报告了投资组合权重和风险在100次重复下的估计量的平均质量，T=300，p∈300，400}。样本大小和回归数的选择是为了与经验应用中的值密切匹配。诗人和投影诗人对引导特征值和有界特征值之间的差距最敏感，这从这些估计量的质量急剧恶化中可以看出。其余的方法，包括FGL，都具有稳健的性能。由于投资组合权重估计量的行为与精度矩阵估计量的行为相似，为了便于表示，我们只报告前者。对于(T，p)=(300，300),FClime表现最好，其次是FGL和FLW，而对于(T，p)=(300，400),FGL表现最好。