贝叶斯结构时间序列模型的发展趋势 生长

最后，为了检验一个状态方差是否等于零，我们使用了在στ,α=0:DS=p(στ,α=0)p(στ,α=0y)(18)下的Dickey-Savagedrensity ratio检验。可以证明，对于嵌套模型，DS统计量等价于在零处感兴趣参数的先验分布和后验分布之间的Bayes因子（Verdinelliand Wasserman,1995）。检验的直观性很简单：如果先验概率密度函数(PDF)在0处分配的质量比后验概率密度函数在0处分配的质量更多，则无限制模型有明显的错误，即στ,α6=0。虽然状态方差的先验有众所周知的形式，因此可以用分析的方法来评估，我们通过蒙特卡罗积分估计所有模型的分母。我们不报告校准测试，尽管CRPS是一个对称的评分函数，但它对异常值的惩罚不如对数评分那么积极，对数评分在小的预测样本中是有利的，如我们。4.1样本内结果图（2）显示了proposedpriors的样本内累积提前一步预测误差，其中信息集涉及整个样本内周期，没有粗糙的边缘。从图（2）可以看出，马蹄形先验BSTS（HS-BSTS）在所有时间段都提供了最好的样本内预测。HS-BSTS-SAVS和SSVS-BSTS最初提供了类似的性能，但在性能危机前后存在差异。值得注意的是，与前两个相比，HS-BSTS提供了非常稳定的性能，在整个估计样本中误差几乎线性增加。同样明显的是，SAVSalgorithm不能单独保留HS prior的特性，其中，正如我们在下一小节中所展示的，与样例外的结果形成对比。图2：前一步累积预测误差：（1）SSVS-BSTS,（2）HS-BSTS和（3）HS-SAVS-BSTS。SSVS和HS-SAVS之间的后验边缘包含概率表示哪些变量驱动FIGHGURE,并为FIGHGURE（3）中绘制最多的前十个变量绘制。条形的颜色表示该变量在包含在模型中时的白色（正关系）到黑色（负关系）的连续尺度上的符号，前一个“GT”表示该变量是否是谷歌趋势。附加在变量上的数字[0,1,2]表示给定季度的位置，0是最近的一个月。很明显，与SSVS先验相比，SAVS扩展HS先验允许更大的模型，因为有更多的变量具有更大的后验包含概率。这是由后图3所决定的：（左）SSVS-BSTS和（右）HS-SAVSBSTS优先级的后验包含概率。模型大小的分布（见图（4））。除了模型选择的不确定性之外，给定的跳采样变量在给定的四分之一内的包含概率也表明了它们处理相关数据的不确定性。SSVS先验倾向于只选择跳过采样信息中的最主要信息，而SAVS将HS先验分配信息的包含概率扩展到四分之一内的所有月份。例如，当SSVSprior选择变量“pce2”，即给定季度中第一个月的PCE，而hs-savs prior将几乎相同的包含概率分配给所有构造开始变量(\'const0\'-\'const2\')。因此，它允许更大的模型不确定性，这是我们希望从相关宏观数据中得到的，正如Cross等人所讨论的那样。（2020年）；吉安诺内等人。（2017年）。与詹诺内等人形成鲜明对比。

(2017)，与数据集的整体大小相比，两个SAVSand SSVS算法的后验模型大小分布都相对稀疏。此外，在谷歌趋势中，两个先验都选择根项“实际GDP增长”作为mostimportant。虽然，先验地，目前还不清楚这个词根是指关于GDP增长的积极还是消极消息，figurure(3)中条线颜色所示的后验符号明显为负数，这证实了figurure(9)中的图形研究。这给出了初步证据，表明这个搜索项作为导言中提到的GDP增长下降的警告信号。最后，我们从figurure(5)中看到，数据支持局部趋势，但不支持局部线性趋势模型:στ的后验数据明显是双模态，零质量比先验数据小，而σα的后验数据在零质量上比先验数据大得多。状态标准差的贝叶斯因子分别为3.74和0.29。图4：（左）SSVS-BSTS（右）HS-SAVS-BSTS模型大小的后验分布。图5：（左）HS-BSTS模型的趋势状态标准差和（右）斜率标准差的分布。4.2临近预报评估我们现在转向样本外临近预报性能，其中临近预报是按照第2节中解释的实时数据发布日历生成的。我们先评估点-然后是密度。RT-RMSFE在figurgure(6)中为竞争的非中心BSTSestimators绘制，以及AR(2)基准和原始BSTS模型。请注意，在allnowcast中，我们表示了grey verticalbars发布谷歌趋势的年份，并在右轴上绘制了原始BSTS模型的结果，以提高可读性。从文献（6）中可以看出以下几点：很明显，所有基于非中心状态空间的BSTS模型都比原来的BSTS模型具有更大的性能增益。其次，随着更多数据的发布，所有模型的精度几乎单调地提高，正如所料，BSTS模型最终优于AR(2)基准。第三，在非中心BSTS模型中，HS-BSTS做得最好，但紧随其后的是HSSavS-BSTS。因此，HS-SAVS-BSTS在很大程度上能够保持firet，这是预期的，因为SAVS算法将噪声变量阈值为零，马蹄形之前已经缩小到接近零。与SSVS-BSTS相比，基于马蹄形先验的BSTS模型在RT-RMSFE方面有15-20%的改进。最后，Google Trends只在点临近预报精度方面提供了适度的改进，只有在Google Trendsare发布的第一个版本中，估计器才显示出Firegit的轻微改进。图6：所有竞争模型的实时RMSFE。BSTS的RT-RMSFE在右轴上绘制。灰色竖条表示GT发布的年份。与实时点预测相似，我们在（7）和（8）中绘制了实时LPDS（RT-LPDS）和CRPS（RT-CRPS）。RT-LPDS和RT-CRPS主要是针对point Nowcasts找到的功能。随着更多信息的到来，密度现在的铸型变得更加准确，从（7）中增加的线条和（8）中减少的线条可以看出。与RT-RMSFE类似，非中心BSTS模型比斯科特和瓦里安（2014）的原始BSTS模型有了很大的改进，马蹄形早期模型提供了最好的性能，但HS-BSTS模型略有优势。基于HS模型的改进SSVS-BSTS的幅度与point Nowcasts相似。与pointnowcasts相比，所有非中心BSTS模型的性能都快于基准AR(2)模型。图7：所有竞争模型的实时日志预测密度分数（RT-LPDS）。BSTS的TERT-LPD标绘在右轴上。灰色竖条表示GT发布的年份。图8：所有竞争模型的实时CRPS分数（RT-CRPS）。

右轴上绘制了BSTS的RT-CRPS。5模拟研究实证应用表明，与Scott和Varian(2014)的原始模型相比，所提出的BSTS模型在点和密度预测方面表现更好，并且SAVS增强马蹄先验和SSVS-BSTS都选择了相对于回归集维数稀疏的模型。这一发现与以前使用宏观经济数据的研究（如Giannone et al）形成鲜明对比。（2017）和Cross等人（2020）发现，能够容纳密集模型的先验通常优于支持稀疏模型的先验。与以往的工作相比，本文的创新之处在于对潜在的局部线性趋势的估计，这可能会发现与宏观数据的协同运动，因此，我们对Scott和Varian(2014)的原始BSTS模型在捕捉稀疏和稠密环境方面的能力进行了研究。进一步地，为了使我们的经验应用的模拟scloser，我们额外地测试先验的能力，以检测实际的状态方差。具体来说，我们将局部线性趋势模型模拟为(14)，其中要么具有趋势方差，要么具有局部趋势方差，要么都不等于零。我们为denseand稀疏DGP生成20个(στ,σα)={(0.5,0)，(0,0.5)，(0,0)，(0.5,0.5）}样本，其中稀疏Coe_cient向量定义为:β稀疏=(1,1/2,1/3,1/4,1/5,0 k-6)(19)，而密集Coe_cient向量定义为:β密集=1/3，概率为pd0，概率为1-pd(20)，其中pdis设置为2/3。对于这两个Coe-cient向量，维数K被设置为300，与观察次数T=150相比，这是高维的。我们通过根据均值为0的多元正态分布生成协变量矩阵和其(i，j)元素为0.5i-jan的协方差矩阵，然后在如（2）所示的U-MIDAS方法之后分别跳过对每个协变量的采样，来显式地说明形式化频率。在模拟中，我们知道了真实的回归Coe-cient值和状态方差，并通过Coe-cient偏差对回归Coe-cient和Dickey Savage密度比在零状态方差下的性能进行了分析。偏差计算为根均值Coe？cient偏差=rβ-β，(21)，其中β指后验分布的均值。从表（2）中可以看出，Scott和Varian(2014)的非中心BSTS模型和原始BSTS模型在稀疏DGPs中比在密集DGPs中做得更好，这类似于Cross等人的foungning。（2020年）。然而，与Scott和Varian(2014)相比，ProposedDBSTS模型在估计精度上的最大增益可以在密集DGPs中找到，其中proposedestimators在精度上的增益远远超过50%。然而，在稀疏设计中，Lattery略优于前者。这是预期的，因为尖峰和板优先于一个点质量在零之前，并使用真实的预期模型尺寸。令人鼓舞的是，在所提出的密集设计估计量中，HS先验BSTS版本比SSVS-BSTS版本的估计量高出30-40%，符合经验应用。因此，这些结果表明，在具有潜在局部线性趋势分量的密集DGPs中，连续收缩先验信息显然是首选的过峰和板状模型。Dickey-Savage密度比检验表明，即使在高维回归设置中，非中心状态空间模型也能正确识别哪些状态方差是有用的，哪些不是。

值得注意的是，Dickey-Savage检验对正确确定回归向量是敏感的：在密集设计中，当SSVS先验比马蹄先验表现更差时，在(0，0.5)和(0，0)情况下的DS检验显示错误支持信号στ9.6结论在本文中，我们通过改进的贝叶斯结构时间序列(BSTS)模型研究了一系列谷歌趋势搜索词在美国实际GDP增长中的附加收益。我们将Scott和Varian(2014)的BSTS扩展为一个非中心公式，该公式允许将状态方差缩小到零，以避免过度配置状态，从而让数据说明潜在结构。我们进一步扩展和比较了用于回归部分的先验，这些先验允许底层模型维度的不可知性，以适应稀疏和稠密解，以及Carvalho等人的广泛成功的horseshoe先验。（2010）。我们发现谷歌趋势改善点和密度现在实时播报，但我们不报告原始BSTS模型的DS测试。这是由于状态方差的先验在零上没有质量，因此是不可测的。稀疏稠密(στ，σα)(0.5,0)(0.0.5)(0.5,0.5)(0,0)(0.5,0)(0,0.5)(0.5,0.5)(0.5,0.5)(0.5,0.5)(0,0)(0.5,0)(0.5,0.5)(0,0)(0.5,0)(0.5,0)(0,0.5)(0.5,0)(0,0.5)(0.5,0.5)(0.5,0)(0,0.5)(0.5,0.5)(0.5,0.5)(0,0.5)(0.5,0.5)(0,0.5)(0.5,0.5)(0,0.5)(0.5,0.5)(0,0.5)(0.5,0.5)(0,0.5)(0.5,0.5)(0,0.5)(0.5,0.5)(0,0.5)(0.5,0.5)(0,0.5)(0.5,0.5)(0.5 3.804 1.402 DS(σα=0)DS(σα=0)HS 0.062 41.587 722.319 0.026 0.112 1772.907 96.015 0.068 SSVS 0.058 4.63E+10 1.05E+08 0.005 0.071 1.29E+10 7.56E+04 0.021表2：平均Dickey-Savage密度比和偏差结果。由于SAVS算法是在推论后的迭代基础上进行的，因此στ，α余数的后验值被插上，因此得到了与HS-BSTS模型相同的结果。在宏观信息滴入之前，所研究的样本可以期望有最大的改进。在所有模型中，后验包含概率最高的搜索词与GDP增长负相关，我们认为这源于它们发出的信号，可能是由于预期的大低谷而引起的特别关注。这一主张尤其应该通过更大的谷歌趋势样本和其他国家进行调查。仿真结果表明，在密集DGPS情况下，马蹄形先验BSTS模型在估计精度上有最大的提高。它进一步发现，非中心状态先验能够正确识别潜在结构，无论在从噪声中检测信号之前对回归的敏感性如何。本研究中尚未探讨的一个方面是，谷歌趋势可能在与Koop和Onorante(2019)所研究的宏观变量的关系中具有时间推算的重要性。搜索词可能高度符合上下文，因此可能能够预测某些时期的转折点，但不能预测其他时期的转折点。鉴于对谷歌趋势的有限的四分之四观察，这个研究问题的重要性将随着时间的推移而提高。参考Alexopoulos,M.和J.Cohen（2015）。印刷的力量：不确定性冲击，市场和经济。国际经济与金融评论40,8-28.Antolin-Diaz,J.,T.Drechsel,I.Petrella（2017）.跟踪长期GDP增长放缓。《经济学与统计学评论》99(2)，343-356，Askitas,N.和K.F.Zimmermann（2009）。谷歌计量经济学和失业预测。贝克，S.R，N.布鲁姆和S.J.戴维斯（2016）。衡量经济政策的不确定性。经济学季刊131（4）,1593-1636。Ba\'nbura,M.,D.Giannone,M.Modugno,L.

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由于xζ是一个稀疏矩阵，因此在使用稀疏矩阵运算的程序中的操作将非常快。类似的计算结果是隐式先验~τN(0,(HH)-1)。现在，由于假定τ和~a是独立的，所以对ζ的组合是:ζN(0,p-1ζ）,(28)，其中pζ=diag(HH,HH）。因此，后验是标准的:p(ζy,σy)'AN(ζ,a-1ζ）（29）,其中kζ=pζ+σyxζxζ和ζ=k-1ζ(σyxζ(y-τt-α1:t))。在ζ的条件下，起始值β=(τ,α)由简单线性回归结果绘制，其中我们指定一个一般的先验协方差为vβ=diag(0.1,0.1）。a.2.2预测以方程（1）为起点，已知预测密度p(ytyt-1,β,θ,σy)，其中yt-1=(y,···,yt-1)可由Kalman法生成。由于方程（14）是通过精确抽样估计的，因此没有Kalman递归，文献提出了（1）条件最优Kalman混合近似（Bitto and fréuhwirthschnatter，2019)，(2)基于纯模拟的方法来近似（1）（Belmonte et al.，2014)，[在这里将firmrst di i-erence矩阵作为第81页，Chan(2017)]和（3）Bitto and fréuhwirth-Schnatter(2019)所称的朴素高斯混合近似（参见Bitto and fréuhwirth-Schnatter(2019)的A.1.2.2)。在模拟和经验例子中，我们发现结果是非常相似的，与抽样技术无关。为了简化计算，我们在这里提出了方法（2）。从非中心态中提取预测的步进分布p(ytyt-1)，该非中心态与其他模型参数的提取一起产生预测的结果。更详细的说明是，对于后验图m=1,···,m:1。分别从N(～τ(m)t-1,1）和N(～α(m)t-1,1）中提取(～τ(m)t，～α(m)t)。生成αt=α(m)+σ(m)α～α(m)t，和τ(m)=τ(m)+σ(m)τ～τ(m)t+tα(m)+σ(m)αpts=1αms3。生成xtβ(m)+τ(m)+σ(m)yu,其中，u~nN(0，1）获得对p(ytyt-1)的连续近似的近似，然后可以使用内核密度平滑器，如Matlab.b图中的“kdensity”。1示例中的结果图9：斯科特和瓦里安（2014）的原始BSTS模型的后验包含概率。c数据谷歌趋势均值最小最大std.bankdefault 0.03-21.50 38.61 8.94破产0.03-15.23 27.60 5.10违约0.07-36.96 40.32 12.44衍生品0.01-13.64 22.48 4.55道琼斯-0.16-17.03 45.58 7.13经济状况-0.01-39.17 46.58 11.82美联储贷款0.02-13.63 23.25 7.52美联储0.02-21.63 23.25 7.52美联储0.03-21.50 38.61 8.94美联储系统0.01-8.13 19.99 4.12金融危机0.03-20.66 33.55 6.32止赎0.00-20.69 60.62 6.73实际国内生产总值增长6.87-20.69 60.62 7.89房价0.01-11.82 44.03工业生产0.02-8.04 15.60 3.41破产0.15-6.5 22.78 6.34失业0.29-7.9 13.01 5.34申请失业0.59-8.99 5.97 2.74工作0.81-4.99 14.46 6.91贷款0.01-14.59 20.97 5.92实际国内生产总值增长-0.03-17.31 31.40 8.22股票市场-0.05-15.66 8.41 7.69美国经济-0.09-36.90 26.58 8.74美国违约-38.39 0.00 19.17 5.22衰退0.00-12.29 24.01 3.10股票市场0.01-6.48 27.50 6.14失业0.01-34.60 29.98 7.38美国违约-0.01-20.09 35.51 8.02美国增长-0.06-23.86 61.20 7.90表3：谷歌趋势汇总统计-gdp

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