CoVaR的贝叶斯推理

我们所依赖的其他数据是指美国市场的标准普尔综合指数(k)，其中包括了独立行业(j)。对于这些机构和整个系统，我们既考虑了微观变量，又考虑了宏观变量，分别考虑了个体信息和全球经济的影响。T healysis是基于每周的观察；鉴于数据在相同频率下是不可观测的，我们建立了一个平滑状态空间模型来弥补丢失的值。实证应用的重点是展示CoVaR如何提供关于这种风险相互依赖的有趣见解。此外，为了更好地捕捉单个机构对系统风险演化的贡献，我们还证明了在极端分位数中引入动力学的相关性。在Bayesianframework中接近VaR和CoVaR估计，可以计算它们的可信集合，从而评估估计的准确性。5.1数据实证分析基于表1所列的美国上市公司，它们属于标准普尔综合指数(S&P500)的主要部门。考虑的对象有：工业、消费品、能源、工业、技术和工业。金融服务包括银行、潜水员服务和消费者服务。消费品包括食品和饮料工业、初级食品工业以及个人和家庭用品生产者。能源部门包括生产或供应能源的公司，包括从事石油或天然气储量勘探和开发、石油和天然气钻探或综合能源的公司。工业包括建筑和重型设备等工业，工业货物和服务包括集装箱、包装和工业运输，而技术与基于技术的货物和服务的研究、开发和/或分销有关。公用事业包括天然气和电力供应。每日股票价格数据转换为每周对数回报（以百分点为单位），以2004年1月2日至2012年12月28日为样本期间，涵盖最近的全球金融危机。表2提供了每周回报的统计数据。除少数公司外，在估计每iod期间的平均回报是正的。ods和能源的平均回报率最高，银行和金融服务的平均回报率最低。从样本与市场指数收益率的相关性来看，在不同的年龄阶段，涉及渔业和工业的样本与市场指数收益率的相关性最大。与市场指数回报的相关性在不同行业之间差异很大，从0.553(PEG)到0.772(AXP)不等。像消费和公用事业这样的领头羊行业显示出惊人的高相关性。对这一经验证据的一个可能解释是，在动荡时期，尤其是在2008年末，随着全球金融危机的加剧，股票之间的相关性急剧增加。最后，表2的最后一栏提供了样本1%压力水平的每个机构的回报评估在整个时间周期。通过将这些值与均值的标准差数进行比较，我们可以看到资产收益分布并没有出现高度倾斜。

表2中总结的数据的特征促使我们通过CoVaR工具来研究风险的相互依赖。为了控制一般经济条件，我们使用Adrian和Brunnermeier[4]和Chao建议的下列宏观经济回归模型的观察，[10]:(i)波动率指数(VIX)，测量由CBOE评估的无模型隐含股票m arket波动率。(ii)短期流动性spr ead(LIQSPR)，以3个月抵押品回购利率和3个月国库券利率之间的贴现率计算。(iii)3个月国库券利率的每周变化(3MTB)。(iv)收益率曲线斜率的变化，以10年期国库券利率和3个月国库券利率的贴现率衡量。(v)10年期BAA评级债券和10年期国库券利率之间的信用息差(CREDSPR)。(vi)道琼斯美国房地产指数(DJUSRE)的每周回报。股票代码为SectorCITIGROUP Inc.。C美国金融银行公司。BAC FinancialCOMERICA公司。CMA FinancialJPMORGAN CHASE&Co.JPM FinancialKEYCORP KEY FinancialGOLDMAN SACHS集团公司。GS FinancialMORGAN STANLEY MS FinancialMoody\'s Corp.MCO金融美国运通公司。AXP FinancialMcDonald\'s Corp.MCD ConsumerNIKE公司。NKE ConsumerCHEVRON公司。埃克森美孚公司。XOM能源波音公司。英航工业通用电气公司。GE IndustrialINTEL公司。INTC技术公司。ORCL TechnologyAMEREN公司。利用公共服务企业公司。PEG Uptiestable 1：包含的c ompanies列表。所有上市公司在2013年2月15日交易日开始时都属于标准普尔综合指数(S&P500)。上一篇专栏文章报道了每家公司所属的证交会数据。波动率指数(VIX)的历史数据可以从芝加哥期权交易所的网站上下载，而剩余的变量是联邦储备委员会H.15数据库的数据。数据可以在一个频率上获得，然后转换成一个周频率。为了捕捉单个鱼类的特征，我们包括以下微观经济回归数据的观察结果：（一）杠杆率(LEV)，以总资产价值除以总权益（以帐面价值计量）计算。(ii)市场对帐面价值(MK2BK)，以总权益的帐面价值除以总市值的r atio计算。(iii)规模(size)，以总资产的总市值的对数转换计算。(iv)期限错配(MM)，以短期债务除以现金除以总负债计算。微观经济变量从Bloomber g数据库下载，只按季度提供。由于我们的分析建立在周频率上，我们选择用平滑样条插值来估计missin g观测值。

详细情况见附录A.2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年-100-5002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-40-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-40-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2006年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-20-根据方程（3.1）-（3.2）中的模型对以下a集进行修正，得到了在约束水平τ=0.02 5的VaRx,τj（红线）和CoVaRx,τkj（灰线）的时间序列图，以及HPD95%可信集：festrst panel（festnancial）：C（左）,GS（右）；第二面板（消费者）：MCD（左）和NKE（右）；第三面板（能源）：CVX（左），XOM（右）；fourthpanel（工业）：BA（左）、GE（右）；第3页（技术）：INTC（左）、ORCL（右）；5.2时不变风险betaIn以下我们对第3节中所述的时不变CoVaRmodel提供贝叶斯emp irical分析。为了实现这一推论，我们为其中所包含的每个先验分布指定了超参数值。我们将外生回归子参数θ的动量设为零，并设它们的方差协方差矩阵为对角线，即∑l=100×I，对于l=j，K。假定β参数具有以β=0为中心的高斯先验，且方差较大，σβ=100。对于l=j，k的干扰参数σl,通过设置al=BL=0.0001来施加模糊先验，它对应于一个有in变化的逆伽马分布。第3节中说明的MCMC算法运行f或20万次，同相燃烧10万次迭代。对于所有被考虑的机构，表4-5报告了估计的系统风险β和外生参数以及HPD95%，τ=(0.025，0.05)可信集。为了检验MCMC的收敛性，我们还计算了Geweke的收敛诊断（参见Geweke[25]，[26])未向save2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2007年2008年2009年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-20-1002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年-20-1002004年CoVaRx的时间序列图，τkjat confectivity水平τ=0.025（灰线）和τ=0.1（红线）以及HPD95%可信集，通过对以下资产的模型修正不等式（3.1）-（3.2）获得：figurrst panel（figurnancial）：C（左），GS（右）；secondpanel（消费者）：MCD（左）和NKE（右）；第三面板（能源）：CVX（左）、XOM（右）；第四面板（工业）：B A（左）、GE（右）；FTH面板（技术）：INTC（左）、ORCL（右）；最后一个面板（实用）：AEE（左）、PEG（rig ht）。空间但限制了链的收敛性。对于所有报告的机构，β参数都是正的，明显不同于零。注意，正β表明VaRx的减少，τj（表示为更大的负值）产生更大的负CoVaRx，τkj，即系统损失的风险更高。此外，通过对β参数HPD95%的比较，还可以看出，在不同的机构中，疾病风险贡献的程度是有显著差异的。

因此，这一结果突出了个体损失对整体系统风险影响的部门特征的经验证据。我们还观察到，平均而言，金融部门的系统β值较低，而消费部门和能源部门的系统β值较高。这一证据给出了存在对风险暴露具有直接影响的部门的观点。另外，值得注意的是，有时β参数在同一扇区内也表现出巨大的变化。例如，对于工业企业来说，其中，GE的估计βCOE是指从BA的一个可信的集合是2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-100102004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-30-20-100102004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年-40-2002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-40-2002004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年-40-2002004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-60-40-2002004年2005年2006年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-60-40-2002004年2005年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-60-40-2002004年20052010-2011-40-200图3：VaRx,τj（红线）和CoVaRx,τkj（灰线）在约束水平τ=0.02 5以及HPD95%可信集的时间序列图，通过对下列a集的方程（4.1）-（4.6）中的模型进行修改获得：festrst panel（festnancial）：C（左）,GS（右）；第二面板（消费者）：MCD（左）和NKE（右）；第三面板（能源）：CVX（左），XOM（右）；forthpanel（工业）：BA（左）、GE（右）；第3页（技术）：INTC（左）、ORCL（右）；lastpanel（实用工具）：AEE（左），PEG（右）。不重叠。最后，通过比较两个τ值的βs，我们注意到，平均而言，较高的参数值往往与较小的τ值相关，这意味着在极端收益率下，资产与市场之间的协同运动更强。我们现在把注意力集中在宏观经济变量的相关性上。从表4-5中我们发现了资产之间的一些显著差异，特别是我们观察到：-除了波动率指数和美国房地产指数之外，当我们从一种资产转移到另一种资产时，剩余变量的imp行为在幅度上发生了变化。这种异质性行为似乎是横向的，在某些情况下，如流动性利差(LIQSPRD)。不出所料，VIX指数估计的参数总是显著为负值，而美国房地产指数则相反。

VaR和CoVaR回归都是如此，所有考虑的τ.2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011-0.5000.512004年2005年20062007年2008年2009年2010年2011-0.5000.512004年2005年20062007年2008年2009年2010年2011-0.5000.512004年2005年20062007年2008年2009年2010年2011-0.5000.512004年2005年20062007年2008年2009年2010年2011-0.5000.512004年2005年20062007年2008年2009年2010年2011-0.5000.512004年2005年20062007年2008年2009年2010年2011-0.5000.512004年2005年20062007年2008年2009年2010年2011-0.5000.512004年2005年20062007年2008年2009年2010年2011-0.5000.512004年2005 2011-0.500.51图4：动态β在三个控制水平τ=0.025,（dar k线）,τ=0.05,（蓝线）和τ=0.5（红线）的时间序列图，通过对下列资产（用j表示）的方程（4.1）-（4.6）中的模型进行调整：第一个面板（nantificial）：C（左）,GS（右）；第二个面板（消费者）：MCD（左）和NKE（右）；第三面板（能源）：CVX（左），XOM（右）；第四面板（工业）：BA（左）、GE（右）；技术：INTC（左）、ORCL（右）；最后一个面板（公用事业）：AEE（左），PEG（右）。-一些宏观经济变量，如三个月国债收益率(3MTB)或期限利差(TERMSPR)的变化，显示了对经济价值和风险价值的直接影响，在第一种情况下，这些影响总是为正或不显著，在后一种情况下，对一些行业（金融和公用事业）是相同的。这意味着，十年期国债利率和三分之三国债利率之间的利差(CREDSPR)的增加导致了CoVaR的下降，同时在金融和公用事业部门引发了个体风险。这意味着，从原则上讲，大量的交易收益来自于cr宽松的利率，因为这增加了投资策略的机会成本。不出所料，信用利差的变化对利率的风险有负面影响。-对于利率水平τ的直接值，宏观经济变量显示，随着τ水平的incr变得容易，adi对边际和条件分位数的影响通常变得不那么明显。对于微观外生回归者，我们注意到：-杠杆回归(LEV)对于VaR总是为负值（当信号时），表明在高杠杆公司中，个人风险大大增加，而对于CoVaR回归，它对AXP（属于消费者细分行业）是正的，但对f或GS、MS和MCO（属于细分行业服务细分行业）是负的；-市值(SIZE)对VaR有显著的正影响，而对于CoVaR回归，属于同一行业的机构之间的符号也有所不同。这一证据表明，如果孤立地考虑，大型机构的风险更大。此外，大公司对过度风险的贡献程度尚不清楚，这取决于机构之间的“联系程度”和其投资组合的差异；-到期日错配Coe-Cient(MM)对VaR回归总是负的，而对CoVaR回归是正的。正如我们所期望的那样，这表明金融失衡与个人风险之间存在正相关关系（用theVaR来衡量）；-市场账面比率(MK2BK)仅在两种情况下从零开始显著地变化：CMA和d KEY属于银行部门，而且对于CoVaR回归一直是正的。为了完整地了解个人和系统的贡献，我们将表1中列出的一些资产的估计VaR和CoVaR及其HPD95%一起绘制出来。从单个风险评估入手，我们清楚地发现，各机构的VaR表现相对相似，并在2008年、2010年金融危机和2012年主权债务危机中表现出较强的负面影响。

然而，CoVaR测度的系统风险边际贡献的时间序列演化分析揭示了被考虑资产的行为特征。特别是，同属银行部门的Citygroup（Citygroup）似乎比其他资产对整体风险的贡献更大。通过查看图1和表4-5，我们注意到，低βCOE的机构对2008年金融危机做出了主要贡献。相反，同属消费行业的麦当劳(MCD)具有较大的估计β值，其对整体系统风险的贡献远低于金融机构。对于所选择的公司，图2给出了两个风险水平τ=0.025和τ=0.1的估计β值。从这方面来看，我们可以强调行业间危机的直接影响。例如，对于金融市场，我们注意到，金融市场中0.025J和0.1J之间的风险比属于其他行业的资产要大得多，这意味着金融市场在2008年危机期间会对极端风险产生巨大影响，就像巨大的损失一样。5.3时变风险贝塔我们使用5.1节中描述的相同外生变量，根据dy namic模型估计时变系统风险贝塔（4.1）-（4.6）中的不等式（4.1）-（4.6）。表6和表7分别列出了varτ、xj、covarτ、xkjregressions的外生回归参数θ在约束水平τ=0.025和τ=0.05下的后验估计。我们观察到所有的宏观经济变量，除了挥发物2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年-10-502004年2005年2007年2008年2009年2010年2011年-8-6-4-202004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年-4-202004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-10-502004年2005年2007年2008年2009年2010年2011年-10-502004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年-3-2-202004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-3-2-202004年2005年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-3-2-202004年2005年2006年2007年2007年2008年2009年2010年2011年-10-502004年2005年2007年2007年2008通过对下列资产（用j表示）的方程（3.2）中的模型进行筛选，获得了静态σcovarx,τkjat confectivence水平τ=0.02 5以及HPD95%可信集的时间序列图：面板（nancial）：C（左）,GS（右）；第二面板（消费者）：MCD（左）和NKE（右）；第三面板（能源）：CVX（左），XOM（右）；第四位（工业）：BA（左）、GE（右）；第3页（技术）：INTC（左）、ORCL（右）；最后一个面板（公用事业）：AEE（左）、PEG（右）。指数(VIX)和流动性利差(LIQSPR)要么对VaRand CoVaR都有正面影响，要么没有显著影响。这意味着利率期限结构的上行为个人和sy stemic风险提供了边际正贡献。有趣的是，美国运通公司(AXP)是唯一一家在个人变量回归中显示可变信用利差（C R EDSPR）为负的金融机构。这实质上意味着信用利差的增加会增加该机构的个人风险。这一结果似乎与AmericanExpress的机构活动相一致，因为它是一家全球性的金融服务机构，其主要业务是收费和信用卡。道琼斯美国房地产指数(DJUSRE)的波动性指数(VIX)和波动性指数(DJUSRE)不出所料地存在着个体和整体风险。在个体变量方面，对所有被考虑的机构都有明显的实证结果，只有对规模的实证结果是明显的，而对回归的实证结果是明显的。

在VaR和CoVaR回归中，到期日错配(MM)几乎对所有报告的机构都没有意义，虽然市净率(MK2BK)和杠杆率(LEV)变量揭示了一个不同的部门--具体情况对风险的影响2004年2005年2006年2007年2007年2008年2009年2010年2011-10-502004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011-15-10-5052004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011-15-10-5052004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011-15-10-5052004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011-15-10-5052004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011-10-5052004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011-10-5052004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011-202007-2008-2009-2010-2011-20-100图6：动态曲线的时间序列图，covarx,τkjat confestionence levelτ=0.025和HPD95%可信集合，通过对下列资产（用j表示）的方程（4.1）-（4.6）中的模型进行修改获得：figurrst panel（figurnancial）：C（左）,GS（右）；第二面板（消费者）：MCD（左）和NKE（右）；第三面板（能源）：CVX（左），XOM（右）；forthpanel（工业）：BA（左）、GE（右）；第3页（技术）：INTC（左）、ORCL（右）；lastpanel（utilities）：AEE（左）、PEG（右）。在这方面，分析并不详尽，部门特定风险因素的情况值得使用更多的机构进行进一步调查。图3是图1的动态对应图，它表明d y namic CoVaRrisk度量突然适应于捕捉极端负损失，尤其是在2008年金融危机期间。将这一证据与图1所示的证据进行比较，可以清楚地看出，当处理时间序列数据时，dy namic模型提供了一个更好的关于极端尾部协同运动的描述。将注意力转向随时间变化的β，图4描绘了theMaP估计在τ=0.025，τ=0.05和τ=0.5三个不同水平下的演变。对于τ=0.025（暗线）和τ=0.05（蓝线）的β值的演化，所有报告的机构几乎都是一致的。此外，系统风险贝塔斯行为表现出胡歌横截面异质性。例如，能源机构的系统风险β（图4中的第三个面板）随着时间的推移而增加，显示出它们在2008年底和2011年金融危机期间的最高值。C相反，在同一时期，我们观察到通用电气公司的βTOF大幅下降（图4中的第四个面板）。5.4测量系统风险的边际贡献他们的论文Adrian和Brun nermeier[4]介绍了作为对系统风险边际贡献的度量，ΔCoVaRx，τkj=CoVaRx，τkyj=VaRx，τj-covarx，τkyj=VaRx，τj=CoVaRx，τkj=CoVaRx，τkj=CoVaRx，τkj=VaRx，τkj=VaRx，τkj=VaRx，0.5j，其中为了说明δcovarx的行为，τkjin我们的应用程序在图5中描绘了时间不变的一个，而在图6中描绘了它的动态版本。不出所料，对于所有被考虑的公司来说，在市场动荡期间对系统性风险的边际贡献都在增加，在2008年金融危机期间出现了最低值。此外，属于金融行业的公司中的一些相关金融行业也很明显：特别是金融行业（图5-6的第1个面板）、能源行业（图5-6的第3个面板）和公用事业行业（图5-6的第2个面板）出现了最大的跌幅。反之亦然，在2008年经济衰退期间，科技行业的covar指数变化最小。

灰色区域对应于与covar贡献相关联的hpd95%，提供了关于给定控制级别的风险贡献大小的信息。我们发现可信集合行为具有巨大的横截面异质性，其中消费者、工业和技术等部门的covar估计具有很大的不确定性。比较这两种估计，很明显，动态covar估计不同于相应的时不变估计，从而导致对政策制定者有用的噪声破坏较少的信号。此外，图6清楚地表明了动态模型的高度可预测性，暗示了风险度量对经济和渔业衰退的公平性反应。最后，我们考虑了VaR与CoVaR或CoVaR之间的时间关系，这可能是Adrian和Brun nermeier[4]的关键结果，他们发现即使两个机构的VaR相似，它们的CoVaR也可能是显著的。在此基础上，他们建议政策制定者在制定有关机构风险的政策时，应采用VaR（Covar）风险度量作为VaR的有效替代。用我们的模型得到的结果支持他们的论点。事实上，对每个机构建立了以下简单的回归模型:JCOVARτ，xkj=δ+δVARτ，XK+'A，(5.1)或ΔCOVARτ，xkj=δ+δVARτ，XK+'A，(5.2),其中E'AVARτ，XK=0,其中k是Stand ard和Poor\'s指数，我们检验了H:δ=1,表明COVARτ，xkj(COVARτ，xkj)，XKARτ，xkj=δ+δVARτ，xkj=δ+δVARτ，xkj=δ+δVARτ。表3中粗体编号表示对应的coe-cientδ与1之间没有明显关系的情况。此外，在很少情况下，无效假设被拒绝，这在动态模型中比在时不变模型中更明显。特别是，对于c-回归，有足够的证据表明估计的δ参数与机构所属的部门有关，对于财政、经济和公共事业来说，这些参数更高。有趣的是，科技部门的回归系数几乎为零。6结论政策制定者在金融危机期间处理的主要问题之一是评估风险尾部事件在金融机构中传播的程度。事实上，在金融危机期间，资产收益之间的相关性往往会上升，这一现象在经济学和金融文献中被称为传染病。从统计学的角度来看，这种传染本质上意味着，在衰退期间，观察到大损失的联合概率会增加。公共监管机构（巴塞尔委员会针对银行业）最近实施的常见风险措施，如风险值，未能解释机构之间的这种风险溢出。最近由Adrian And Brunnermeier[4]提出的CoVaR风险度量克服了这一问题，能够解释机构极端事件之间的相关性。本文利用分位数回归研究了在贝叶斯框架下估计CoVaR的问题。我们考虑的是一个只考虑同时变量之间相互作用的时不变模型。该模型随后在一个时变框架中扩展，其中常数部分和CoVaR参数β被建模为具有自身动力学的未观测pr信号的函数。

为了进行后验推断，我们使用最大后验总结准则，证明了根据DeRossi和Harvey的结果[16]估计的分位数具有良好的样本性质，并考虑了两个模型的基于数据增强的Gibbs采样算法。本文使用的贝叶斯方法可以推断出对评价th e点估计的准确性非常重要的感兴趣量及其可信集的全时域分布。由于这场竞赛的利益数量是风险度量，由于将VaR和CoVaR解释为基金损失，对整个分布的了解变得越来越高。为了验证所建模型的可靠性，我们分析了2004年1月2日至2012年12月31日期间标准普尔500综合指数6个主要行业的19家机构的每周时间序列。我们用微观外生变量和宏观外生变量来表征分位数函数。从实证结果可以看出，该模型和pr oposed方法能够清晰地估计边缘分位数和条件分位数，为极端尾部共动提供了更加真实和信息的描述。特别地，当基于时间序列数据的分析时，我们提出的模型的动态版本优于时不变特性。据我们所知，这不是实现阿巴叶斯推理的尝试，也不是实现阿巴叶斯推理的尝试。该研究得到了意大利研究部2013-2015年“多元统计方法或风险评估”(MISURA)、“卡罗·贾尼尼研究奖学金”、“经济研究中心”（CIdE）和“联合信贷基金会”的支持。作者感谢ANR-Blanc的“乐队成员”，让他们有机会在巴黎合作撰写这篇论文。第二个auth或也感谢“Memotef”部门于2012年秋季授予h era在Sap ienza University为期三个月的访问奖学金。我们也非常感谢Roberto C asarin和Monica Billio提供的有益的意见和建议。A缺失值处理2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011-202468101214 x 1042000 2001 2002 2003 2004 2002002002002002002002002002002002002002012011-10123456789 x 1042000 2002002002002002002002002002002012011-10123456789 x 1042000 2002002002002002002002002002012011-500005000100001500020000图7：使用大小变量的平滑样条对AXP（上，左）、MCD（上，右）、BA（下，左）和AEE（下，右）进行缺失值估算。在每个图中显示预测值（灰色线）以及95%HPD可信集（灰色区域）。暗交叉表示观测值。在本附录中，我们给出了用于归因于缺失观测的pr ocedure的详细信息。特别是对于每个变量，从仅以季度为基础的eets数据开始，我们实现了一个非参数平滑三次样条，参见示例Koopman[36]和Koopman等。[37]。形式上，假设我们有一个单变量的时间序列yτ，yτ，。.，yτ不一定在时间上等间隔，且取δt=τt-τt-1,fort=1,2,。T作为两个连续观测之间的差值，假设时间序列不完全被观测，我们用一个su_ciently光滑函数s(τT)来逼近序列。对于给定的惩罚项λ，标准方法通过使以下惩罚最小二乘准则最小化来选择s(τt):L(λ)=txi=1[yτt-s(τi)]+λtxi=1[ms(τi)],(a.1)相对于s(τt)。函数s(τt),πt=1,2,。...

,当m=2时，为m+1阶多项式样条，我们给出了一个平滑的三次splin模型。估计平滑参数λ和预测缺失观测的模型(a.1)可以用状态空间的形式来表示，对于m=2:y(τt)=s(τt)+ut(τt)s(τt+1)=s(τt)+δT(τt)+ζ(τt)(τt+1)=ut(τt)+ζ(τt)+ζ(τt)+ζ(τt)+ζ(τt)+ζ(τt)+ζ(τt)，其中[s(τ),ρ(τ)]t'AN(0,κi)，且κsu较大，以确保潜在态的二次初始化，跃迁方程新息向量为[ζ(τt),ζ(τt)]t'AN(0,κi),且sζ=σζtδtδtδt,测量新息λ(τt)n0,σ_和惩罚p参数λ与信=σζ/σé。在一个贝叶斯框架中，我们将参数σ_1转化为1,并在一个反γ先验分布下估计λ=σζ,即λ=σζ.igαλ,βλ.我们使用MCMC技术，特别是Gibbs采样器进行数据增强（参见Gemanand Geman[23]，Tanner and Won g[50]和Gelfand and Smith[22])。Gibbs采样包括以下两个步骤:S1。模拟潜伏过程ζ(i+1)t=[s(τt),π(τt)]t,πt=1,2,。.T,使用d.e.Jong和Shephard[15]的干扰模拟平滑算法来处理丢失的观测，并使用状态器的初始化（另见de Jong的增广Kalman firefillter和平滑器，[14]).S2。从完全全条件分布中模拟λ(i+1)参数，其为逆伽马分布λ(i+1)=ig eα(i+1)λ,eβ(i+1)λ=αλ+t-1eβ(i+1)λ=βλ+t-1xt=1ζ(i+1)t+1-aζ(i+1)t-1ζ(i+1)t+1-aζ(i+1)t,对于i=1,2,.，G，其中G等于平局的次数。该算法通过模拟λ参数的先验分布来初始化ati=0。为了估计missingobservations，我们对s(τt)在Gibbs采样图上的simu lated点进行了平均，B表名平均最小最大std。戴夫。科尔。1%STR。列夫C-0.490-92.632 78.797 9.756 0.673-26.267 BAC-0.212-59.287 60.672 7.990 0.705-27.2 31cma-0.072-31.744 33.104 5.945 0.718-19.794 JPM 0.086-41.684 39.938 5.826 0.711-12.785key-0.210-61.427 40.976 7.428 0.694-24.231 gs 0.071-36.564 39.320 5.641-0.719-16.850 ms-0.170-90.465 69.931 8.342-0.699-19.706 mco 0.125-27.561 28.300 5.615 0.688-20.7 19axp 0.091-28.779 24.360 5.104 0.772-16.1 08mcd 0.20-12.130 878 2.606 0.554-4.978 NKE 0.260-18.462 18.723 3.746 0.655-11.5 96CVX 0.254-31.674 15.467 3.585 0.745-8.275 XOM 0.197-22.301 8.717 3.081 0.696-7.123 BA 0.164-25.294 16.034 4.258 0.727-12.468 GE-0.023-18.680 30.940 4.311 0.715-15.578 INTC-0.052-17.038 16.935 4.117-0.671-12.533 ORCL 0.203-15.518 12.135 3.762 0.632-9.986 AEE 0.015-29.528 9.485 3.118 0.682-8.172 PEG 0.143-26.492 10.568 3.318 0.553-8.191 S&P500 0.052-20.083 11.355 2.637 1.000-7.258表2：公司收益和市场指数(S&P500)收益汇总统计百分比）。第六列用“corr”表示，是与市场回报率的相关性，而最后一列用“1%str”表示。列夫“是thereturns分布的1%经验分位数。COVAR(R)COVARNAME时不变时不变时不变时间VaryingC 1.325 1.035 0.401 0.325 BAC 1.084 0.983 0.230 0.298 CMA 1.109 1.264 0.109 0.177 JPM 1.259 0.573 0.136 0.165 GS 1.085 1.276 0.234 0.188 ms 1.003 0.604 0.275 0.132 MCO 1.085-4.1 39 0.130 0.052 AXP 1.110 18.352 0.171 0.205 MCD 0.933 3.500 0.062 0.192 NKE 0.842 1.251 0.095 0.222 CVX 0.986 2.376 0.29 1 0.354 XOM 1.099 1.280 0.276 0.365 BA 1.017 2.666 0.169 0.156 GE 1.179 21.24 5 0.078-0.039 INTC 0.874 5.928 0.060 0.097 ORCL 0.998 3.985 0.066 0.229 AEE 1.054 1.441 0.346 0.296 PEG 1.001 5.1 23 0.205 0.271表3：时不变和时变模型方程(5.1)-(5.2)中回归方程的δ估计。粗体数字表明cor响应COE与cients不符合1.参考文献[1]Acharya,V.V,,Engle,R.F.和M.理查森（2012年）。