CoVaR的贝叶斯推理

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

摘要翻译：
最近的金融灾难强调了调查机构之间尾部合作的后果的必要性；传染的事件经常被观察到，并增加了影响市场参与者风险资本的巨大损失的可能性。通常使用的风险管理工具未能考虑到机构之间的潜在溢出效应，因为它们提供了个人风险评估。我们致力于分析极端事件的相互依赖效应，为评估条件风险价值(CoVaR)提供一个估计工具，条件风险价值定义为一个机构在另一个机构处于困境的条件下的风险价值。特别地，我们的方法依赖于贝叶斯分位数回归框架。我们提出了一种马尔可夫链蒙特卡罗算法，该算法利用了非对称拉普拉斯分布，并将其表示为法线的位置-尺度混合。此外，由于风险度量通常是在时间序列数据上评估的，回报通常随时间变化，我们扩展了CoVaR模型来考虑尾部行为的动力学。应用标准普尔综合指数(S&P500)对美国不同行业的公司进行评估，以评估各机构对整体系统风险的边际贡献
---
英文标题：
《Bayesian inference for CoVaR》
---
作者：
Mauro Bernardi, Ghislaine Gayraud, Lea Petrella
---
最新提交年份：
2013
---
分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
英文摘要：
  Recent financial disasters emphasised the need to investigate the consequence associated with the tail co-movements among institutions; episodes of contagion are frequently observed and increase the probability of large losses affecting market participants\' risk capital. Commonly used risk management tools fail to account for potential spillover effects among institutions because they provide individual risk assessment. We contribute to analyse the interdependence effects of extreme events providing an estimation tool for evaluating the Conditional Value-at-Risk (CoVaR) defined as the Value-at-Risk of an institution conditioned on another institution being under distress. In particular, our approach relies on Bayesian quantile regression framework. We propose a Markov chain Monte Carlo algorithm exploiting the Asymmetric Laplace distribution and its representation as a location-scale mixture of Normals. Moreover, since risk measures are usually evaluated on time series data and returns typically change over time, we extend the CoVaR model to account for the dynamics of the tail behaviour. Application on U.S. companies belonging to different sectors of the Standard and Poor\'s Composite Index (S&P500) is considered to evaluate the marginal contribution to the overall systemic risk of each individual institution
---
PDF下载：
--> English_Paper.pdf (1.38 MB)

2022-4-16 13:51:32 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：CoVar VaR 贝叶斯 Applications Institutions

Covarm的贝叶斯推理。Bernardi,意大利罗马Sapienza大学。Gayraud,Universitt\'e de Techno l ogie de Compi`Egne和CREST,FranceAndl。意大利罗马萨皮恩扎大学彼得雷拉2019月1号文摘最近的自然灾害强调了调查机构之间尾部共同运动相关后果的必要性；在市场参与者的风险资本增加的同时，频繁地观察到这种情况，并增加了巨大损失的可能性。通常使用的风险管理工具不能考虑到机构间潜在的溢出效应，因为它们提供了单独的风险评估。我们致力于分析极端风险的交互作用，为评估条件风险价值（CoVaR）提供了一个估计工具，该工具被定义为一个机构以另一个机构处于困境为条件的风险价值。特别是，我们的方法依赖于贝叶斯quantileregres sion框架。我们提出了一种Markov链Monte Carlo算法，该算法利用非对称Laplace分布表示法线的位置-尺度混合。此外，由于风险度量通常是在时间序列数据上评估的，回报通常随时间变化，我们扩展了CoVaR模型来考虑尾部行为的动力学。对属于标准普尔综合指数（Standard and Poor\'sComposite Index）各行业的美国公司的应用，被认为是为了评估每个单个机构对整体系统风险的边际贡献。指数术语贝叶斯分位数、时间分位数、状态分位数、VaR、Covar.1在过去几年中，人们特别关注衡量和量化一个投资组合或投资组合中的金融风险水平。风险价值（Value-at-Risk,VaR）是最具确定性的Userisk度量之一，它度量的是投资组合在给定的投资水平下，在预定的时间周期内的最大损失值。事实上，在当前的银行监管框架中，VaR已经成为一种重要的风险资本评估工具，在此基础上，金融机构被视为独立的实体，但这种风险度量方法没有将金融机构视为系统的一部分，它本身可能会经历不稳定，并传播新的系统风险源。关于VaR和相关风险度量的全面和最新概述，请参见示例Jorion[32]和McNeil等。[48]。最近的金融灾难强调了adeep对机构之间合作的调查的必要性，以评估它们之间的相互依赖关系。特别是在金融危机期间，机构间传染的ep指数不是r是，因此需要考虑，以便分析金融系统的总体健康水平：如果不考虑其他金融机构的潜在溢出，就不能单独适当地评估公司特定的风险。由于这个原因，文献中已经提出了一种新的系统性风险度量来分析尾部风险的相互依赖关系（参见Acharya等人[1]、Acharya等人[2]、Adams等人[3]、Brownlees和Engle[9]和Billio等人[8])。最近，Adrianand Brunnermeier[4]引入了所谓的条件风险价值(CoVaR)，它被定义为一个机构的总体风险值，以另一个机构处于困境为条件。在这种情况下，CoVaR n-OT只捕获了嵌入在每个机构中的系统风险，还重新发现了个体对系统风险的贡献，捕捉到了极端尾部风险的相互依赖。在VaR和CoVaR上引入fer有多种可能的方法。最常用的VaR估计方法有方差-协方差法、历史模拟法和MonteCarlo模拟法。关于生成VaR估计的替代参数和非参数方法和过程的概述，请参见Jorion[32]和Lee和Su[44]。Sealsh Chao等人。

[10]和Taylor[52]最近的发展。Bernardi[5]和Bernardi Etal。[6]提出用非对称m IXTUREDELS估计收益的无条件分布来估计VaR和相关的风险度量es。此外，Girardi和Erg-un[27]提出了利用条件收益的多元广义ARCH模型估计CoVaR的方法，Bernardi等人提出了这一方法。[7]考虑一类多元H-Idden马尔可夫模型，由于VaR和CoVaR都是分布分位数，本文利用分位数回归方法讨论了它们的估计问题。自从Koenker和Basset[34]和Koenker[33]的开创性工作以来，分位数回归作为一种简单、健壮和无分布的建模工具一直很受欢迎。它提供了一种方法来模拟一个响应变量对某些协变量的条件分位数，以便比传统的线性回归更完整地描述整个条件分布。事实上，有时问题特殊特征，如偏度、肥尾、离群值、截尾数据和异方差，会掩盖感兴趣变量和协变量之间依赖的性质，因此条件均值不足以理解这种依赖的性质。特别地，分位数回归方法不仅适用于非线性模型或新息项非高斯的情况，而且也适用于模拟低分布的尾部行为。在frequentist、Bayesian框架中，有许多关于分位数回归的论文涉及参数和非参数方法。关于详细的综述和参考文献，例如见Lum和Gelfand[47]和Koenker[33]。在分位数回归中，因变量Y的τ级分位数表示为协变量X的函数，例如qτ(X)。在文献中，分位点函数qτ(x)已被提出了具体的表示法；最常见的是以下采用的线性公式:qτ(x)=xtθ,(1.1)其中xt表示x的转置。从v IEW的频率点和贝叶斯点考虑了用分位数回归h估计qτ(x)的问题。在前一种情况下，Koenker和Basset[34]表明分位数估计问题由以下极小化问题求解:Argminqτtxt=1ρτ(yt-qτ(xt))，(1.2)其中(yt，xt)对于t=1，.T是对(Y，X)的观测值，ρτ(Y)=Y(τ-(Y<0))是q元损失函数。贝叶斯分位数回归方法（参见Yu andMoyeed[55]，Kottas and Gelfand[38]和Kottas and Krnjajic[39])认为Y x的分布属于非对称拉普拉斯分布族，用ALD(τ,qτ(x),σ)表示，且σ为正，其结论为:ALD(Y qτ(x),σ)=τ(1-τ)σexp-ρτ(y-qτ(x))σ(-∞,∞)(Y)。(1.3)th e ALD(τ,qτ(x),σ)分布的一个很好的特点是r函数qτ(x)与Y x的理论τ分位数完全对应。文献中广泛使用分位数回归方法来评估VaR（参见Huang[30],Schaumburg[51],Chernozhukov和Du[11],Kuester等人[42],Taylor[52]和Gerlach等人[24])；最近Chao等人。[10],Fan Etal。[20]，Hautsch等人。[29]和Chao等人。[10]考虑同样的方法计算COVAR。在本文中，我们提出了一种在分位数回归框架内铸造Covars的贝叶斯方法，并给出了如何将其建模和评估为一个机构k的条件分布的一个分位数，给定另一个机构J的一个特定分位数。贝叶斯方法是将数据与先验信息相结合以提供感兴趣参数的整个后验分布的非常有用和方便的工具。它还允许在进行预测时考虑参数的不确定性。

在pr esent论文的背景下，由于利息量是风险度量，了解整个分布变得更加重要，因为VaR和CoVaR是对社会损失的解释。在过去的几十年里，马尔可夫链蒙特卡罗方法(MCMC)的使用使贝叶斯推理变得非常有吸引力，允许对复杂的统计模型进行电子商务推理。在贝叶斯分位数回归框架中，对未知参数的推断在分析上是容易的，因为它依赖于所关心的q值的精确似然函数，见等式（1.3）。此外，对MCMC输出进行后处理，我们可以对VaR和CoVaR函数进行推断，并计算它们的后可信集，以评估估计的准确性。据我们所知，这是从贝叶斯的观点推断CoVaR的一次尝试。作为一个步骤，由于风险度量通常是在时间序列数据上评估的，而且回报通常随时间而变化，我们扩展了Adrian和Brunnermeier[4]的COVARprocess，以解释尾部行为的动力学。其思想是考虑时间度量分位数来将时间序列的未来尾部行为与其过去的运动联系起来，这在风险管理竞赛中是很重要的。特别是从De Rossi和Harvey[16]的ideastated出发，我们提出了一个dyn amic模型来描述VaR和Covar的演化过程。为了给分位数建模提供一个方便的解决方案，同时又保留对ious表示的parsim,应该适当地选择过程的时间演化。因此，在整个论文中，我们提出将分位数函数参数的dyn amics建模为局部线性趋势，这代表了所得分位数的平滑程度和模型捕捉随时间变化的能力之间的良好妥协。时变分位数代表了Engle和Manganelli[19]、Gerlach等人提出的条件分位数自回归的一种有效替代方法。[24]，Gourieroux和Jasiak[28]和Koenker和Shiao[35]。为了实现动态贝叶斯推理，我们将VaR和CoVaR模型转换成状态空间表示，并使用ALD分布的指数高斯混合表示运行Gib bs采样算法（Kotz e t Al.[40])。这种方法使我们可以得到一个条件性的高斯状态空间表示，从而使推论问题的数值解变得更加精确。根据De Rossi和Harveyresults[16]，我们利用最大后验总结准则证明了估计的分位数具有良好的样本性质。本文分析了美国标准普尔综合指数(S&P500)中几个部门的企业，以评估其所属的单个机构对整体系统风险的边际贡献。经验结果表明，所提出的模型提供了真实和信息的极端尾部共动特征。此外，我们的研究表明，我们提出的动态模型在处理金融时间序列时更为合适。在第二节中，我们给出了风险价值测度和条件风险价值测度的定义。第三节建立了时不变贝叶斯模型，并详细介绍了如何利用马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)算法进行推理。在第4节中，我们将先前的框架扩展到时变情况，允许边缘分位数和条件分位数的表示作为潜在过程的函数。在第5节中，我们将所提出的模型应用于实际数据，而第6节得出结论。2 VaR和CoVaR表示（Y,...

，Yd)是一个d维(d>1)随机向量，其中每个yji通过一些协变量X=(X，X，)表示。..,XM）,(M≥1)。我们认为，对于任意j∈{1,...,d}，Yj,制度j的感兴趣变量，依赖于某些协变量X；对于任意k∈{1,...,d}，k6=j，变量Yk与制度k或整个系统有关的行为，依赖于协变量X以及制度j,Yj的变量的行为。在不丧失一般性的前提下，我们对j6=k和(j，k)∈{1，(0，1)感兴趣，并假定我们对机构j和k感兴趣。..,d}×{1,.让我们回想一下，机构j的风险值，VaRx，τj，是随机变量Yj X=X的第τ级条件分位数，即ip Yj≤VaRx，τj X=X=τ。条件风险值CoVaRx，τkj是机构k的风险值，条件是Yj=VaRx，τjat水平τ，即CoVaRx，τkj满足以下方程ip yk≤CoVaRx，τkj X=X，Yj=VaRx，τj=τ。（2.1）注意，CoVaR对应于yk{X=X,yj=VaRx,τj}的条件分布的第e个τ个分位数。假设感兴趣的分位数的线性表示(1.1)，我们可以写:varx，τj=θτj，0+θτj，1x+θτj，2x+。.+θτj,MxM(2.2)CoVaRx,τkj=θτk,0+θτk,1x+θτk,2x+。.+θτk,mxm+βτvarx,τj,(2.3)其中θτl,mandβ是未知参数，且l∈{j,l},m=0,。为了简单起见，我们对VaR和CoVaR都给出了相同的τ，为了便于说明，我们从所有参数中去掉了dex中的τ。3时不变分位数模型在分位数回归竞赛中使用贝叶斯推理是相当标准的，尽管是最近的事。在接下来的工作中，我们采用了Yu和Moyeed[55]中使用的应用程序roach,其中数据来自非对称拉普拉斯分布，它是在贝叶斯框架中处理分位数回归问题的方便工具。假设我们观察到(y，x)=(yt,xt)t=1=(yj,t,yk,t,xt)t=1，t独立于(yj,yk,x)的实现。为了估计VaRx,τj和CoVaRx,τkj，我们考虑以下方程:yj,t=xttθj+\\j,t(3.1)yk,t=xttθk+βyj,t+k,t，(3.2)对于t=1,2,其中β，θj，θk分别是维数为1，(M+1)和(M+1)的未知参数，且xtis的firerst分量等于1，以便在回归函数中包含一个常项。这里，对于任意t∈{1,...,t},πj,tand k,分别按ALD(τ,0,σj)和ALD(τ,0,σk)分布，且σj和σk均为正。由于非对称Laplace分布的性质，函数xtθj和xtθk+βYj分别对应于Yj X=X和yk{X=X,Yj=Yj}的τ个分位数。对于完全贝叶斯模型，我们需要指定未知参数向量γ=(θ,β,σj,σk)上的p rior分布。我们假定与τ值无关的g个先验:π(γ)=π(θ)π(β)π(σj)π(σk)，(3.3),其中θ=(θj,θk)téN(2m+2)θ,∑-,βéNβ,σβ,σjéig aj,bj和σkéig ak,bk。其中∑=Diag∑j,∑k,θ=θj,θk t，β,σβ>0,aj>0,bj>0,ak>0和bk>0是超参数。符号N和IG分别表示高斯分布和逆伽马分布。由于σjandσk被认为是干扰参数，所以通常在σjandσk上提出模糊的pr iors，如Yu and Moyeed[55]和Tokdar和Kadan e[53]。正如Yu and Moyeed[55]中所讨论的，由于似然函数的复杂性，回归参数θ和β的后验密度不能以完全条件分布的形式表示，需要由基于MCMC的算法进行采样。根据Kozumi和Kobayashi[41]，我们还采用以下众所周知的表示法（参见Kotz等人）。

[40]和Park和Casella[49])的文献[1](τ，0，σ)作为高斯分布的位置-尺度混合:λ=λω+δ√σωz，(3.4)其中ωExpσ-1和zN(0,1）是独立的随机变量，Exp(·)表示指数分布。此外，参数λ和δ被修改为λ=1-2ττ(1-τ)，δ=τ(1-τ)，(3.5)，以确保τ-的q值等于零。前面的表示（3.4）允许我们使用下一小节详细描述的吉布斯采样算法。利用这一扩充的数据结构，由方程（3.1）和（3.2）组成的模型在w上有条件地允许f ollowing高斯表达式:yj,t=xttθj+λωj,t+δ√σjωj,tzj,t(3.6)yk,t=xttθk+βyj,t+λωk,t+δ√σkωk,tzk,t,（3.7）,对于t=1,2,.T，其中zj，T，zk，皮重独立于expσ-1j和expσ-1k，而ωj，T，ωk，皮重独立于expσ-1j和expσ-1k。由方程（3.6）和方程（3.7）得到了参数向量γ的Y分布，即外生变量x和增广变量ω=(ωj,t,ωk,t)tt=1为f(Yω,x,γ)=tyt=1n(yj,tωj,t,xt,θj,σj)tyt=1n(yk,tωk,t,yj,t,xt,β,θk,σk)。3.1计算量由于上面所示的高斯表示，我们可以实现一个基于数据增广的局部折叠Gibbs采样算法（参见Liu[46]和vanDyk和Park[54])。完全折叠Gibbs采样器的核心思想是通过对模型参数(θj，θk，β，σj，σk)的全条件分布进行分析边缘化，以避免s模拟。与系统采样相比，该方法具有许多优点，因为它减少了计算时间，提高了采样器的收敛速度。在我们的模型中，由于增加变量(ωj,t,ωk,t）的预测分布没有一个封闭的形式表达式，这种完全递归的方法是不可能的。相反，可以从标度参数(σj，σk)的全条件中积分出给定观测的变量(ωj，t，ωk，t)。我们实现的部分折叠Gibbs采样器是对以下全条件分布的迭代模拟。通过对扩展的潜因子(ωj,t,ωk,t)tt=1进行积分，得到了标度参数σj和σk=1的全条件分布，即:π(σl yl,θl)∞ig eal,eBl,yl=(yl,t)tt=1,πl∈{j,k},其中eAj=aj+t,eBj=bj+pt=1ρτyj,t-xttθj.eAk=ak+t,eBk=bk+pt=1ρτyk,t-xttθk-βyj,t_(3.8)2。πω-1j,t yj,t,xt,θj,σj∞IN(ψj,t,φj),πt=1,。.T,即I型逆高斯函数，其参数为φj,T=sλ+2δyj,t-xTTθj,φj=λ+2δδσj3。πω-1k,t yt,xt,θk,β,σk∞IN（φk,t,φk),πt=1,。..,T,参数为φk,T=sλ+2δyk,t-xttθk-βyj,Tθ,φk=λ+2δδσk4。π(θj yj,x,ωj,σj)∞nm+1 eθj,e∑j,其中ωj=(ωj,t)tt=1,withθj=θj+kj yj-xtθj-λωj e∑j=(im+1-Kjx)∑jkj=∑jxt wj+x∑jxt-1wj=diagωj,t×δ×σj^tt=1im+1表示尺寸(M+1)的单位矩阵。π(θk,β)T y,x,ωk,σkünm+2 eθk,eβ,e∑k,其中ωk=(ωk,T)tt=1,eθk,eβT=θk,βT+Kk yk-(x,yj)Tθk,βt-λωk e∑k=im+2-Kk(x,yj)∑k0σβKk=∑k0σβ(x,yj)∑k0σβ(x,yj)∑k0σβ(x,yj)twk+(x,yj)∑k0σβ(x,yj)t-1wk=diagωk,T×δ×σkT=1在Gibbs抽样算法中，我们根据EQUATION(3.3)中参数的联合先验分布来模拟一个ran dom,在此基础上，我们根据它们的指数分布来模拟增广变量(ωj,T,ωk,T)tt=1的初值。按此顺序更新参数保证了后验分布是生成的马尔可夫链的平稳分布。这是因为结合步骤1和步骤2本质上产生了条件后验分布π(σj,σk,ωj,ωkθk,θj,β,y,x）的结果。3.2从贝叶斯的观点看VaR和CoVaR后验估计一旦我们从后验分布中恢复模拟，我们可以选择更多的方法来对它们进行估计。

Lin和Chang[45]利用后验概率的极大值对分位数回归参数进行了推断，证明了这与频率论中的最小化pr ob lem(1.2)是等价的。这种二次化使我们把最大后验率(MaP)准则看作是对方程（3.1）和方程（3.2）中所有后验参数的估计，假定误差项为ALD分布，并假定回归参数的先验值。从边缘分位数和条件分位数所涉及的所有Mapp参数，如θMAPJ，θMAPK，βMAP，从方程（2.2）和（2.3）导出VaRx，τj和CoVaRx，τkj，如下:VaRx，τj MAP=xtθMAPJ CoVaRx，τkj MAP=xtθMAPK+βMAP VaRx，τj MAP=xtθMAPK+βMAP VaRx，τj MAP=xt。通过将尺度参数(σj,σk)和潜在变量(ωj,ωk)边缘化，利用MCMC算法的样本图，可以计算出VaRx，τkj和CoVaRx，τkj估计值在给定约束水平上的可信集。用πvarx,τj yj=ggxg=1πxtθjσg)j,ω(g)j,yj,πCovarx,τkj yk=ggxg=1πxtθk+βvarx,τj(g)σ(g)k,ω(g)k,yk给出了分位数函数边缘后验密度的蒙特卡罗估计，其中g表示老化后迭代次数。在给定当前信息的情况下，VaR和d CoVaR前面提到的时变分位点模型NXTθjσ(g)j,ω(g)j,YJOGG=1和XTθk+βVarx,τj(g)σ(g)k,ω(g)k,YK GG=1.4分别是无条件和有条件的未来e投资组合值的采样值，可以得到τ分位点95%的高后验可信区间HPD95%。通常情况下，回报会随着时间而变化，因此，为时变VaR和Covar建立合适的模型可能很有趣。特别是，当对时变分位数建模时，将时间序列的未来尾部行为与过去的运动联系起来，以考虑风险管理的论点，这是非常重要的。近年来，时变分位数问题受到越来越多的关注，并提出了较为完善的计量经济学模型：Engleand Manganelli的条件自回归风险值模型[19]、Koenker和Xiao的分位数自回归模型[35]、Gourieroux和Jasak的动态加分位数模型[28]。它们大多在建模中引入自回归模型，这在直觉上是有吸引力的，因为一系列的投资收益往往表现出时变的条件m项、加尾和波动性聚类。最近，Gerlach等人。[24]讨论了用贝叶斯方法估计条件动态VaR的问题。在本文中，我们提出了一种在分位数中引入动力学的方法，将VaR和CoVaR都建模为具有时间依赖性的潜在变量的函数。引入具有动态演化的潜在状态，使得模型分位数的未来行为可以很容易地依赖于它们过去的运动。特别地，从贝叶斯的观点，我们同时估计所需的分位数，并且我们允许分位数依赖于外生变量。因此，我们想到了De Rossi和Harvey[16]和Kurose andOmori[43]结果的推广，他们提出用光滑样条插值来模拟无条件分位数cu rve。更准确地说，我们将时间内每个点(yj，t，yk，t)上的观测向量建模为独立的潜在process(μj，t，μk，t)和回归项的函数，其方式如下:±t∈1，...,T,yj,T=μj,T+xttθj+πj,T(4.1)yk,T=μk,T+xttθk+βtyj,T+πk,T，(4.2)其中，πj,TπALD(τ,0,σj),πk,TπALD(τ,0,σk)是独立的随机变量。引入截距项sμl,twith l∈{j,k}来解释分位数函数的时间依赖性。

实际上，对于l∈{j,k}，我们给出了μl,t的时间变化动力学:μl,t+1=μl,t+μ*l,t+ηl,t(4.3)μ~l,t+1=μ~l,t+η~l,t，(4.4)其中μl,1,μ~l,1t~N(0,κI),κ>0 su明显大，(ηl,t,η~l,t)t~N(0,Sl)，Sl=slV=Sl，Sl>0允许分位数过程有一定程度的光滑性。由于我们的一个主要重点是分析两个机构的动态协同运动，我们也允许参数βtto随时间变化。为了反映机构间的关系，我们考虑了βt的如下g演化:βt+1=βt+β*t+ηβ,t(4.5)β*t+1=β*t+η*β,t，(4.6)μβ,1,μ*β，1téN(0,κi)和(ηβ,t,η*β，t)téN(0,Sβv)和κ.在本文中，我们假定th atλl∈{j,k,β},(ηL,t,η*L，t)与(θj,t,àk,t)无关（这里我们用β作为一个参数，没有歧义）.为了估计模型参数，我们重写了方程(4.5)βt+1=β*t+ηβ,t+ηβ,t).1）-（4.6）使用astate空间表示，使得Δt∈1。..,T,yt=ztζT+xttθ+tert(4.7)ζT+1=AζT+ηT(4.8)ζπN(0,κi)，(4.9)式中，oT=(θj,T,θk,T）是方程(3.1)-(3.2)中所示的独立的向量，ozt=1 0 0 0 0 00 0 1 0 yj,T是载荷因子的时变矩阵，oζT=μj,T,μ*j,T,μk,T,μ*k,T,βT,β*T是潜态的向量。软管动力由转移矩阵A给出，其中A=i B,B=1 10 1；表示Kronecker积，θ=(θj,θk)是一个(M×2)时不变矩阵，ηt=ηj,t,η*j,t,ηk,t,η*k,t,ηβ,t,η*β,t是按N(0,Ω)分布的时变误差向量，其中Ω=diag sj,sk,sβV。为了完成贝叶斯模型的规定，我们选择与第3节相同的参数θ作为先验分布；所有潜伏过程的方差协方差矩阵中的参数均按Ig rl，vl-分布，且为正rland vl^l∈{j,k,β}。此外，我们假定状态向量ζ按方程(4.9)分布，且κ>0su最大。在(4.7)-(4.9)中引入的用于建模随时间变化的g条件分位数的线性状态空间模型，由于对新息项的假设，是非高斯的。因此，在这种情况下，基于Kalman firefiglter递归的用于解析地边际化潜在状态的最优firefging techn iques是不适用的（参见Durbin andKoopman,[17])。考虑（4.7）中新息项s的（3.4）表示，很容易认识到非高斯状态空间模型允许条件高斯表示。更多的特殊方程（4.7）和（4.9）变成:Δt∈1,。..,T,yt=ct+ztζT+xttθ+gtcT,vtíN(0,I)(4.10)ζT+1=aζT+ηT,ηTíN(0,Ω)(4.11)ζíN(0,κI)，(4.12)其中时变向量ct和矩阵gta分别为ct=(λωj,T,λωk,T)tandgt=δτσjωj,t0δτσkωk,T；ωj,tandωk,皮重与ωl无关，téexpσ-1léforl∈(j,k）和σl>0；λ和δ在等式（3.5）中定义。非观测数据的完全数据似然性

..,T}(i)和{ωl,T,l∈j,k,T=1,2,.对于i=1,2,，T}(i)....通过以下吉布斯抽样方案得到：1.对于l∈{j,k,β}，从IG(erl，evl)生成SL，参数为Serl=rl+(t-1),evl=vl+t-1xt=1ζlt+1-bζlt-1ζlt+1-bζlt+1-lt,其中ζlt表示由元素μj，T，μ*j，T组成的向量，对于l=j，μk，T，μ*k，T，对于l=k，(βT，βT)组成的向量，对于l=β.2。对于l=j，k，从ig eal,ebl生成σl，参数为seal=al+T,ebl=bl+txt=1ρτ(yl,t-zl,Tζ）,其中，zl,T表示矩阵zt，对于l=j，表示矩阵zt的第1行，对于l=k，表示矩阵zt的第2行。对于l=j，k，表示yl=(yl,t)tt=1,zlμl=(zl,t×μj,t)tt=1,βyj=(βt×yj,t)tt=1。然后，生成θlénmeθl,e∑l,参数为θj=θj+kj yj-zjTMj-xtθj-λj e∑j=(im-kjx)∑jkj=∑jxt wj+x∑jxt-1wj=diagωj,t×δ×σjétt=1 andeθk=θk+kk yk-zkTMk-βyj-xtθk-λωk e∑k=(im-kkx)∑kkk=∑kxt wk+x∑kxt-1wk=diagωk,t×δ×σkθt=1,其中维数为M.4的Kare方阵。对于l=j，k和所有t∈{1,2,...,t}，生成ω-1l,téIN(ψl,t,φl),参数为φj,t=Sλ+2δyj,t-zj,tμj,t-xttθjé,φj=λ+2δδσj,φk,t=Sλ+2δyk,t-βtyj,t-zk,tμk,t-xttθké,φk=λ+2δδσk.5。由于方程(4.10)-(4.12)中的状态空间模型是线性的、高斯的，在au的潜在状态(ωj,t,ωk,t)tt=1的条件下，通过Kalman fyrighter平滑算法可以将潜在的动态扫描边缘化。利用Durbin和Koopman[18]的多步模拟平滑器，我们共同绘制(ζt,βt)tt=1。这需要运行一个Kalmanfirelter前进，状态方程被修改为asin（4.12）。正如Johannes和Polson[31]中，yk的方程（4.2）是一个具有时变Coe的测量方程，因为yj是已知的，并且repr是一个时变因子加载。当Kalman-flowiter向前运行时，我们向后运行Kalman-smoother以求得到潜在态的联合全cond分布的矩（4.13）。最后，我们通过绘制这个联合分布来模拟一个样本路径。4.2最大后验概率在时不变情况下，一旦我们从后验分布中检索模拟，为了进行后验推断，我们使用最大后验概率总结准则。在下文中，我们证明了利用这个判据，估计的分位数具有De Rossi和Harvey[16]P Rosition 3的样本性质，即“基本性质”的推广，其中样本q uantile具有适当的以上和以下的观测值数目。命题4.1对于方程(4.1)-(4.6)中的状态空间模型，具有第3和第4节中规定的优先分布，κ-足够大，并在θ上使用先验，分位数估计μmapj，t+xttθmapjandμmapk，t+xttθmapk+yj，tβmaptsatifyxt/∈C(xm,t+1)χτyj，t-μm apj,t+xttθmapj=0xt/∈C(yj,t+xm,t+1)χτyk,tyenmapk,t+xttθmapk+yj,tβmapt=0,±m∈{1,..,M}，其中cp{1,...,T}是所有点的集合，使得映射quantileestimate与观测值重合，且χτ:z→τ-1,如果z<0τ,如果z>0。（4.14）证明-对于T∈{1,。..,T}回想一下ζjt=μj,T,μ*j,T T和definiteζk,βT=μk,T,μ*k,T,βT,βtt,ζj=ζtt=1和ζk,β=ζk,βT tt=1。从方程(4.1)-(4.6)中，让我们写出与两部分P ostmargand P ostcondd的乘积成比例的完全后验分布Pθ，ζj，ζk,β,sj,sk,sβ,σj,σk(yt)tt=1,其中ep ostmarg=tyt=1 ald yj,Tμj,T+xttθj,σj s-1jexp-2κζj Tζj×exp(-2sjt-1xt=1ζjt+1-Bζjt tv-1ζjt+1-Bζjt)×exp(-(θj-θj)T(∑j)-1(θj-θj))×IG(rj，vj)×IG(aj，bj)postcond=tyt=1ald yk,Tμk,T+xttθk+βtyj,T,σk exp-2κk,βTζk,β(Sksβ)-1×exp(-t-1xt=1ζk,βT+1 T sk,βT+1 T sk 0sβv-1@ζk,βT+1)×exp-θk-θk-θk-θT∑k-1-θk-θk-×IG rk,vk-×IG ak,bk-×IG rβ,vβ-,其中，k，βT+1=ζk,βT+1-（i B）ζk,βT。

通过分别对θj,(μj,t)tt=1,(μk,t)tt=1和θk,(μk,t)tt=1,(βt)tt=1求最大P ostmargin和P ostcond，得到了θ,(μj,t)tt=1中Pθ,ζ,ζ,ζ,β,sj,sk,Sβ,σj,σk(yt)tt=1的映射。还注意，非对称拉普拉斯分布的检验函数ρτ(·)除零点外在任何地方都是可导的，其导数响应于方程（4.14）中的函数χτ(·)。..,T}\\{C}，我们获得:log(postmarg)μj，1=yenj，1-yen*j，1κ+σjχτyj，1-TMj，1-xTθj+SjTMj，2-TMj，1-TM*j，1-TM*j，1-TM*j，1log(postmarg)μj，T=σjχτyj，TTMj，t-xTTθj-SjTMj，TTMj，t-1-TMj，t-1j，t-1j，T+1-1j，T+1-1j，T+1-1j，T+1-22*j,T+**j,t-1 T∈2,...,T-1}，以及log(postmarg)μj，T=σjχτyj，t-μj，t-xttθj+sj-2μj，t-μj，t-1-μ*j，t-1èj，t-1‰log(postmarg)θj=σjtxt=1xtχτyj，t-μj，t-xttθj+∑jà-1θj-θj，(4.15)其中我们使用s-1j=sjv-1=sj1-1/2-1/2 1/3。结果是xt log(postmarg））μj，T=-μj，1-μ*j，1κ+σjxtχτyj，t-μj，t-xttθj，它结合了w ith方程(4.15)和选择κsu-ciently large，并使用先验参数θj，意味着P ostmargsatis的最大值为以下等式xt/∈C(xm,T+1）χτ(yj,t-μj,t-xttθj)=0,πm∈{1,2,2,）。对数（P ostcond）关于θk,(μk,t)tt=1的导数可作为对数（P ostmarg）的导数，导出对数（P ostcond）关于(βt)tt=1,t={1,2,）的导数。..,T}\\{C}，引出:log(postcond)β=-β-β*κ+yj,1σkχτyk,1-TMk，1-xtθk-yj,1β+sβ{2(β-β-β-β*)-(β*-β*)}log(postcond)βT=yj,Tσkχτyk,t-TMk,t-xttθk-yj,Tβt-ββt-1-β*t-1+sβ2(βT+1-βt-β*t-1+sβ2(βT+1-β-t-2β*T+2β*T+β*t-1+t-2β*T+2β*T+β*t-1,..,t-1}，以及log(postcond)βT=yj,Tσkχτyk,TTMk，t-xttθk-yj,TβT+sβ-2βt-βt-1-β*t-1，+β*t-β*t-1.结果是xt log(postcond)βT=-β-β*κ+σkxtyj,Tχτyk,TTMk，t-xttθk-yj,TβT。在θk上选择一个较大的κ，并使用先验值，意味着P ostconds的最大值满足以下等式xt/∈C(y)j,T+xm,T+1)χτyk,Tyenk,t-xttθk-yj,TβT=0,πm∈{1,2,.推论4.1映射分位数估计(qτt(xt))MaP=μmapj,t+xttθmapj和(qτt(xt,yj,t))MaP=μmapk,t+xttθmapk+yj,tβ映射是样本时变分位数基本性质的推广，即:xt∈Aht≤(1-τ)txt=1HT-xt∈c-htandxt∈bht≤τtxt=1HT-xt∈c-ht,(4.16),其中ht=xm,t+1对于VaRyj,对于CoVaR,(4.17),t+xm,t+1和aüBüC={1,。..,T}。在这里，A和B表示一组指数，使得观测量分别（严格）高于和（严格）低于地图分位数估计，在De Rossi和Harvey[16]的命题3的证明基础上，利用命题4.1和下列不等式-τxt∈C+HT+(1-τ)xt∈C-HT<xt/∈CHTχτyj,t-(qτt(xt))Map<(1-τ)xt∈C+HT-τxt∈C-HT，(4.18),其中HT=xm,t+1,通过将（4.18）中的中心项重写如下，得到了（4.1）中的结果：t/∈chtχτyj,t-(qτt(xt))map=τxt∈Aht+(τ-1)xt∈BHT。（4.19）同样的情况也发生在COVAR。注4.1如果ht>0？t=1,2,.如果(Yj，T，Yk，T)的分布连续，则不等式（4.16）与De Rossi和Harvey[16]的命题3一致。5经验应用在本节中，我们将前面讨论的方法应用于实际数据，特别是我们分别分析了第3节提出的CoVaR的时不变特性和第4节考虑的时变版本。其思想是研究一个单独的制度j与它所属的整个制度k之间的相互作用。