第一通道思想在金融学中的应用

本文给出了一个在t=∞下的积分可预测性，即pt:p∞(pt)=e[price∞-Pricetpt]=∞xn=0e[rt+npt]，这个量表示了如果一个人保持一个给定的p=πt′≥t=π，那么他的期望增益是p∞(pt)π.4.1。最优策略解决方案在看来，这个问题的解决方案似乎很简单：如果预期的未来收益（由集成的可预测性给出）e xceeds与J.de Lataillade，C.Deremble和M.Potters联合工作[31]。2013年6月14日0:8World Scienti Review Volume-9in x6 in FPTinFinanceSome应用festionst-passage思想到festionance21Trading cost for contract of contract of contract of contract of contract of contract of contract of contract of contract of contract of contract of contract of contract这种解决方案产生了一个正的平均增益，但它没有理由是最优解。实际上，因为预测器在时间上是自动相关的，所以等待预测器r的较大值可能是值得的（通常情况下也是值得的），以便抓住最有可能实现的机会，而放弃其他的机会。正如我们将看到的，这种方法的错误在于没有将未来收益与成本进行比较，但它来自于对未来收益的错误认识，这不包括未来的交易决策。Bellman方法：一般解决方法解决这个问题的工作是Bellman的最优控制理论y或动态规划[32]，它在于反向解决这个问题：假设一个人在未来的所有时间都遵循最优策略，那么他就可以在时间t找到最优解。在动态编程中，通常有一个需要优化的控制变量πt，和一个参数化解的状态变量pt。优化是通过一个值函数Vt(π，p)来完成的，该值函数给出了时间t之间的最大期望增益，考虑到t-1处的po值为π，t处的预测值为p。系统的最优解表示为(π*T)T∈[0,T]，在最后一个时间步长T=T时，期望的未来收益是p∞(p)πT，其中p=pT，因为超过这个时间就不允许交易。任何交易Δπt都会产生成本ππt，所以：如果p∞(p)≥+'A，那么π*t=+M，而VT(π,p)=+p∞(p)m-à(m-π)，如果p∞(p)≤-，那么π*t=-M，而VT(π,p)=-p∞(p)m-(M+π)，如果p∞(p)<，那么π*t=π，而VT(π,p)=p∞(p)π。因此，在这种情况下，人们可以精确地恢复出最优解，但这仅仅是因为在t=t之外没有交易。现在在t<t，要最大化的数量包括立即的g ains，cos ts和未来的收益。由此导出如下递归关系式:vt(π,p)=maxπ′≤m lt(p)·π′-'Aπ′-π+zvt+1(π′，p′)Pt(p′)dp′，(25)和π′，当π=π′t-1和p=Pt时，实现此最大值的π′值。一般解决方案由以下结构给出[31]:6月14日2013-0:8《世界科学评论》卷-9in x 6in FPTinFinance22 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaudoπ*t=(π*t-1,如果pt<qtsign(pt)·M,如果pt≥qt(π-1=0)·qtis,使得qt≥0和g(t,qt)=γ,其中g(t,p）是p的连续严格增函数，对于t<t:g(t,p)=Lt(p)+z∞qt+1-z-qt+1-∞#pt(p\'p)dp\'(26)+zqt+1-qt+1g(t+1,p\')pt(p\'p)dp\',上述方法提供的解在t中表现出一般的优点。我们考虑T→∞的情形，假定预测子是平稳的，即Pt(P\'P)=P(P\'P)与T无关。然后我们得到了一维函数g的一个伸缩（自洽）方程，得到了阈值q~*:g(P)=L(P)+'A\"z∞q~*-z-q~*-∞#P(P\'P)dp\'+zq~*-q~*g(P\')P(P\')dp\'(27)g(q~*)='A(28)的解，该系统的最优解π~T，与一般解相似，但阈值q~*不变。因此，我们得到了一个非常简单的系统，总是在±m处饱和，每一步都有一个阈值来决定我们是否应该恢复位置。

当然，这看起来有点像第20页的解决方案。唯一的差别在于阈值q*=g-1(Ω)的值，由EQs修正。（27,28）,而不是na-ve解的qna-ve=p-1∞(Ω)。直觉上，这些方程考虑了我们未来的交易，而我们的解没有。如果我们仔细观察情商。(27)，其解释是透明的：2m g(p)等于π=+m的情形与π=-m的情形之间的预期未来总收益。此di erence由以下部分组成：如果当前位置为-m，且在下一个时间步中，预测器超过正态q*（因此π将变为+m)，6月14日，则表示立即增益中的di erence....πγp[pt+1>q*pt=p]w hich repr e sen损失，2013年0:8世界科学综述卷-9 in x 6 in fptinfinancest festions-passion思想的应用于festionascion 23oπγp[pt+1<-q*pt=p]，如果当前位置为+m，在ne xt时间步长中，预测值低于负阈值-q*（因此π将g o to-m)orq*-q*p(p\'p)2mg(p\')dp\'，这是如果未来总预测值的最大值，则该值表示损失，如果当前位置为+m，ne xt时间步长为+m，ne xt时间步长为+m，ne xt时间步长为+m，ne xt时间步长为+m。在下一个步骤中，预测器r在两个阈值之间移动（保持π不变），由于在-m和+m之间位置的变化需要2m~n，因此需要将2mg(p)与之比较，只有当g(p)大于μ时才进行交易。因此，g(p)可以看作是“每交易批次的收益”。（27）,g(p)≥L(p),且具有EQ。（28）这具体地意味着L(q*)≤γ。这个性质实际上是相当直观的：事实上，如果立即预期的ga in高于交易成本，那么就没有理由不交易最大可能的金额。从这里开始，我们只考虑一个线ar预测器，Lt(p)=p.reformation作为一个路径积分，尽管EQ。（27）很容易解释，它证明对解决不具体的案件很有帮助。通过展开函数g:g(p)=p+zq^-q^-q^pp(pp)dp+zq^-q^zq^-q^pp(pp)p(pp)dpdp+。...+'A·“Z+∞QπP(pp)dp+Z+∞Qπzqπ-QπP(pp)P(pp)dpdp+...#Ω·”ZΩqπ-∞P(pp)dpp+ZΩqπ-∞Zqπ-QπP(pp)P(pp)dpdp+。#=G(p)+'A[p+(p)-P-(p)]，(29)，因此可以理解为路径积分：G(p)c可以解释为累积预测PN-1 i=0pi的所有可能退出时间n上的平均值，其中期望仅在[-q*,q*]中直到n的所有路径上取。类似地，p+(p)和p-(p)分别是从p=p开始的路径退出（在以后的任何时间）高于q*或低-q*的概率。现在使用g(q*)=yen和p+(q*)+p-(q*)=1的事实，我们得到:g(q*)-2'Ap-(q*)=0。（30）在某些情况下，这个方程的两边都趋向于小，因此，我们将sk等于2'A，而是ratio limp→qóg(p)/p-(p)。图7，2013年6月14日0:8世界科学评论卷-9英寸x 6英寸FPTinFinance24 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaud，我们以通过时间属性说明了我们对这个问题的重新表述。-20φφ12Ω**-qqfig。7.方程的路径积分表示。（30）。q*的值是这样的，即所有通过-q*退出的路径上的“惩罚”2'A，等于所有通过q*（例如，φ，blue)或通过-q*（例如，φ，red)退出的路径上的平均增益。（30）是完全通用的，只要第20页的假设是肯定的，它不依赖于预测器的任何spe c I统计。在下一节中，当预测器是高斯的并且遵循自回归演化时，我们将显式地这样定义这个方程。

对自回归线性预测器的应用我们假定预测器遵循离散自回归动力学:pt+1=ρ·pt+β·ζt,（31）其中(ζt)t∈ris是一组独立的N(0,1）高斯随机变量。这类预测器的一个典型例子是价格收益的N个指数移动平均值:pemat=kxt′<tρt′-t-1rt。如果我们像往常一样假定收益rta是N(0,σr)随机变量，那么pemata遵循eq中的动力学。（31）当β=kσr时。然而，RT必须有一些小的相关性才能被预测！因此，在这种情况下，关于自回归过程的讨论仅在极限k1中是一致的。2013年6月14日0:8World Scienti Review Volume-9 in x6 in fptinancest financiest-passage思想的应用到25当ρ=0时，预测器是时间上的白噪声:e[ptpt+1]=0。由于我们有一个完美的p<->-p对称性，自一致的eq值变成了简单的g(p)=p，这就意味着在这种情况下q*=γ。这个阈值就是我们从这样一个系统中导出的：在没有任何自相关的情况下，最好的策略是一旦瞬时可交易性高于交易成本就进行交易。注意，在这种情况下p∞=pt,所以这个阈值也与na-ve解相一致。在另一个极端，当π1-ρ1时，我们有E[pt+npt]≈e-énpt,所以τ=1/10是预测器pt的自相关时间。预测器的标准偏差，即其平均可预测性为σp=pe[pt]=β/√2。积分可预测性由p∞(p)=∞xn=0e[pt+npt]≈∞xn=0eàànpt≈p/é给出，这意味着na-ve阈值由qna-ve='Aé给出，而积分平均可预测性为σ∞=β/√2。在下文中，我们将通过区分两种情况来研究这个问题:βγ:预测者可以很容易地在每一个步骤中击败它的交易成本。这种情况（不太现实）要求对这个问题保持离散时间的方法。βγ:pre-dic tor通常需要大量的步骤来击败它。离散情形:βγ我们在第23页已经用一个线性预测器解释过qπ≤γ。因此，无论何时，我们也有βq*。他的意思是，从p=q*开始，一个人通常只需一步就会跳过q*或-q*。因此:G(q~*)=q~*和p~(q~*)=z+∞x~*e~x/2√2πdx，其中x~*=(2-π)q~*/β。由于βq~*，一个有x~*1，因此p~(q~*)≈1/2。E引文（30）充分地给出:q^='A.因此，如果预测器变化的波动性与交易成本相比非常大，那么就需要尽可能有选择性。连续情况:βγ如果阈值是预测器的惊喜Q*≈β的顺序，预测器将有一个显著的pr obitability s从Q*6月14日，2013年0:8世界科学评论卷-9in x6in FPTinFinance26 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaudto在下面-q*只需一步。这时，最优的策略将要求以2γ的成本转售一切，而眼前的收益仅为β的数量级。因此，当β时，我们必然有q*β，而预测器从q*β到-q*-β需要许多s teps。这是连续极限，其中预测器在每个时间步长的变化与q*相比是非常小的。我们可以用Ornstein-Uhlenbeckdrift-di-usion过程来近似预测器的动力学:dpt=-πptdt+βdXt，(32)，其中(Xt)是Wiener过程。在这样一个连续的设置中，由于di-usion pr是在吸收边界上开始的，所以G(q^)和p-(q^)实际上是不合适的。这是一个经典问题，由s tarting in figurnitesimallyclose to q*处理。我们考虑了G(p)和p-(p)对p=q＇-δ<q＇，可以证明，这两个函数服从两个Kolmogorov反求，即:βG p＇p G p=-p和βp p＇p p=0,(33)，边界条件:G(±q＇)=0和p＇(q＇)=0,p＇(-q＇)=1。

因此，我们又遇到了在两个墙之间安装布朗谐振子的问题，已经在教派中使用了圆盘。2.3.这些方程组的解是:p(p)=φp∑I(p∑a)I(q∑a)和p∑(p)=1-I(p∑a)I(q∑∑a)，其中I(x)=zxevdv和a=πβ，顺序为δ→0,eq。（30）beco mes-δ+δq:/-π·a·I\'(q:/‰a)I(q:/‰a)≈γδ‰ai\'(q:/‰a)I(q:/‰a)。不出所料，δ从等式中消失，从而给出阈值q:/:q:/=≉f-13/2β，其中F(x)=x-i(x)/I\'(x)。（34）2013年6月14日0:8世界科学评论卷-9in x 6in fptinancest financest fangiongs思想的应用注意，当第1条时，这个方程可以完全用综合可预测性来表示:p∞(q~*)=σ∞√2·f-1σ∞。这意味着我们可以通过只研究一个预测器的总预测能力（当然，如果我们假设它满足了所有所需的性质）来确定它的最佳阈值。现在可以研究EQ的极限。（34）对于仅存的高维nal参数η=yen3/2/β的大小值。有趣的是，η≈1是实际感兴趣的制度，其中Predicability是ats成本，只要pr医嘱的值是其均方根的数量级。F(x)的乘积如下:o如果x1，则rxevdv ex,所以F(x)≈x.o如果x1，则F(x)x-(1-x)Rx(1-v)dv≈2x/3。因此，当η1时，阈值简单地由q^=.这个结果是很直观的：如果β很小，那么与交易成本相比，预测者的可预测性很弱。因此，在不考虑未来交易的情况下，抓住任何可能的机会是有意义的。这就是为什么我们恢复了第20页的解决方案。另一方面，如果βγπ3/2，则η1,f-1(η)≈p3η/2,即ldsqπ=r·γβ。这说明，如果β足够大，最优阈值与mea n-反演参数无关。然而，令人惊讶的是，阈值q*与交易cos ts的1/3次方之间的依赖关系。这个结果在以前的文献中得到，在这里考虑连续时间随机游动的限制下，见参考文献。[33-35]。然而，我们的公式是非常通用的，并允许人们处理非高斯和非平稳的情况。2013年6月14日0：8世界科学评论卷-9in x 6in FPTinFinance28 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaud5.一些公开的问题我们给出了三个非常直观的例子，说明了来自定量测量的“通过时间”问题。让我们讨论一下关于这三个问题的一些扩展和开放问题。就Kolmogorov-Smirnov优度检验而言，我们相信将该检验扩展到高维的多变量设置将是非常有趣的。更确切地说，“copulas”（描述因变量之间的相关结构）的概念是近年来理论研究中的一个重要概念。对于因变量对，copula C(u,v）是一个n inc,它是从[0,1]×[0,1]到[0,1]的两个自变量的泛函。与独立变量相对应的平凡的co pula是这样的:C(u，v)=uv。结果表明，只要适当地改变变量(u，v)→(s，t)[36，37],就可以把任意一个共脉冲转化为独立的共脉冲。然后，Onecan本着KS的精神，以copula独立的方式测试GoF。问题归结为估计gener将上面描述的布朗桥定义为固定的“布朗单”的最大值的分布。这仍然是一个未解决的公关问题，但有希望找到一个确切的解决方案。对强调系词“尾部”的权重的扩展，类似于我们上面的一个dimens问题，也很有趣。第二个问题，关于最佳销售时间，从数学/教育学的角度来看很有趣，但从统计学的角度来看，结果转化率相当微不足道。

一个更有趣的问题是在收益中增加一些相关性，考虑趋势或均值回复，例如，用滞后的指数递减相关函数使问题成为马尔可夫问题。最后，在交易成本存在的情况下的最优策略问题值得更多的关注。一个特别相关的努力将是解决同时存在线性和二次代价的问题，即当位置变化的代价是λπ+γ′ππ的形式时。本文讨论的c ase对应于γ\'=0，但在实践中，价格影响非常重要：当一个人购买时，价格往往会上升，当一个人出售时，价格会下降。2013年6月14日0：8世界科学文献综述卷-9 in x 6 in FPTinFinanceSome应用--通过对文献29参考的想法[1]E.Derman和P.Wilmott。商业建模者的宣言。在线博客[2]R.C.默顿，关于公司债务定价：内部风险结构，金融杂志。29（2）,449-470（1974）。[3]J.C.Hull,O.Prentice Hall Angynanceseries，Prentice Hall高等教育(2009).[4]R.Chicheporticche an d.J.-P.Bouchaud,加权Kolmogorov-Smirnov检验：th e tails的核算，Physical Review e.86,041115（Oct，2012).[5]A.N.Kolmogorov,Sulla determinazione emp irica di una legge di distribuzione,Giornale dell\'Istituto Italiano degli Attuari.4（1）,83-91（1933）。[6]N.斯米尔诺夫，《估计经验分布的奇异性表》，数理统计年鉴。19（2）,279-281（1948）。[7]J.L.Do ob,Kolmogorov-Smirnov定理的启发式方法，数理统计年鉴。20（3）,393-403（1949）。[8]E.V.Khmaladze,优检验理论中的鞅方法，概率论及其应用。26,240（1982）.[9]R.Chicheporticche和J.-P.Bouchaud,depen dent观测的优度检验，统计力学学报：理论与实验。2011（09）,P09003（2011）。[10]T.W.Anderson和D.A.Darling,基于随机过程的某些“拟合优度”准则的渐近理论，数理统计年鉴。23（2）,193-212（1952）。[11]D.A.Darling,Kolmogorov-Smirnov,Cramer-von Mises检验，数理统计年鉴。28（4）,823-838（1957）。[12]P.L.Krapivsky和S.Redner,《在膨胀的笼子里和后退的笼子边缘的生与死》，美国物理学杂志。64（5）,546-551（1996）。[13]a.J.Bray和R.Smith,用两个移动的吸收边界作用的分块进行分离的超维数概率，物理学杂志a：数学与理论。40（10）,F235(2007)。[14]a.J.Bray和R.Smith,粒子在膨胀笼中的生存，物理学报a：数学与理论。40（36）,10965（2007）。[15]A.Clauset,C.R.Shalizi,M.E.J.Newman,幂律分布非经验数据，SIAM评论。51(4)，661-703(2009).[16]S.Redner,鱼类通过过程指南。剑桥大学出版社，剑桥，英国（2001）。[17]M.No\'e和G.Vandewiele,KolmogorovSmirnov型统计分布的计算，包括一个特殊情况的标志点表，数理统计年鉴。39（1）,233-241（1968）。[18]M.No\'e,双边Kolmogorov-Smirnovtype统计量分布的计算，数理统计年鉴。43（1）,58-64（1972）。方差加权Kolmogorov-Smirnov统计量的标志点表。技术报告，斯坦福大学统计系（1981年2月），2013年6月14日0:8世界科学评论卷-9英寸x 6英寸FPTinFinance30 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaud[20]R.R.Wilcox,加权Kolmogorov-Smirnov统计量的百分点，统计通信-模拟与计算。18（1）,237-244（1989）.

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