第一通道思想在金融学中的应用

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摘要翻译：
金融中的许多问题都与首次通过时间有关。在所有这些文件中，我们选择了三个我们个人贡献的文件。我们的第一个例子将Kolmogorov-Smirnov与拟合优度测试联系起来，其修改方式是尾部事件和核心事件对测试的贡献相等（在标准的Kolmogorov-Smirnov中，尾部对拟合优度度量的贡献很小）。我们证明了这个问题可以映射到移动墙内的随机游动问题上。第二个例子是出售资产的最佳时间（建模为带有漂移的随机游动），使得出售时间尽可能接近资产达到其最大值的时间。最后一个例子涉及存在交易费用时的最优交易。在这种情况下，最优策略是等到预测器达到（正负）一个阈值后再买进或卖出。这个阈值的值是通过将问题映射到两个墙之间的随机游动问题来找到的。
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英文标题：
《Some applications of first-passage ideas to finance》
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作者：
R\\\'emy Chicheportiche and Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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英文摘要：
  Many problems in finance are related to first passage times. Among all of them, we chose three on which we contributed personally. Our first example relates Kolmogorov-Smirnov like goodness-of-fit tests, modified in such a way that tail events and core events contribute equally to the test (in the standard Kolmogorov-Smirnov, the tails contribute very little to the measure of goodness-of-fit). We show that this problem can be mapped onto that of a random walk inside moving walls. The second example is the optimal time to sell an asset (modelled as a random walk with drift) such that the sell time is as close as possible to the time at which the asset reaches its maximum value. The last example concerns optimal trading in the presence of transaction costs. In this case, the optimal strategy is to wait until the predictor reaches (plus or minus) a threshold value before buying or selling. The value of this threshold is found by mapping the problem onto that of a random walk between two walls.
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关键词：金融学 Applications Mathematical epidemiology Quantitative

2013年6月14日0:8世界科学综述卷-9 in x 6 in FPTinFinanceChapter 1对fangnancer米·奇切波尔蒂切，Jean-Philippe BouchaudCapital基金管理公司，23-25，ru e de l\'Universit\'e,75 007 parismance中的许多问题与fangerst t imes有关。在他们当中，我们选择了三个我们个人贡献的。我们的示例将Kolmogorov-Smirnov与goodness of-goodnition测试联系起来，其改进方式是尾部事件和核心事件对测试的贡献相等（在标准Kolmogorov-Smirnov中，尾部对goodnity-of-goodness度量的贡献非常小）。我们证明了这个问题可以映射到在移动的墙壁内跑步的问题上。第二个例子是出售一项资产的最优时间（m odeled为随机走动漂移），使得出售时间尽可能接近资产达到其最大值的时间。最后一个例子是在存在交易费用的情况下的最优交易。在th的情况下，最优策略是等到预测值达到（正负）阈值后再买进或卖出。这个阈值的值是通过将问题映射到两个问题之间的随机游动来找到的。6月14日，2013年0:8世界科学评论卷-9 in x 6 in FPTinFinance2 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaud1.1900年，巴切利尔提出将价格路径建模为随机行走，但这一惊人的创造性工作被遗忘，直到60年代，萨缪尔森、B·莱克和斯科尔斯复兴了布朗模型框架，这一框架现在是现代数学分析的基石。这很可能是不幸的，因为连续的时间，高斯随机游走忽略了大多数重要的“程式化事实”--脂肪（幂律）、间歇性和长记忆等。许多对高斯过程成立的结果在现实中都出错了--例如，著名的Black-Scholes完美对冲，它可以使人在没有任何风险的情况下出售期权合约，就是对模型假设的充分利用。人们很容易被数学模型的美丽冲昏了头脑，忘记了它与现实没有任何关系。在金融市场的情况下，这是特别令人担忧的，因为不充分的模型扫描导致（并且已经导致）系统性风险[1]。然而，这并不是说概率方法在这种情况下是无用的。恰恰相反，实证驱动的忠实模型有助于更好地控制风险和更准确地定价衍生品合约。许多实际应用中遇到的问题都可以得到解决，其中一些问题直接与通过时间问题有关，这也是本文的主题。对于ex ample，一个人可能有兴趣投资于有利润目标的市场，这将允许另一个项目获得利润。什么是一个应该等待的时间分配，直到达到这个profiret？相反，人们可能会担心acompany或一家银行的违约。这通常被建模为随机游走（资产价值）低于某个阈值（股权）的时间[2]。另一个例子是“障碍期权”，当标的价格达到某个预先确定的价值（障碍）时，它就消失了；与此相关的一个例子是所谓美式期权的早期行使，当期权达到一个最优的值，在这个值上，期权可以行使并兑现当前的支付，而不是让期权运行到到期[3]。我们在这里回顾了在期权中使用期权传递思想的例子：期权优度测试的设计，其定律是在遇到障碍之前a过程的生存概率，按规定出售a的最佳时间，以及预期收益超过线性交易成本的价格阈值的最佳值。

结论中讨论了与这三个问题有关的扩展和开放问题。2013年6月14日0：8世界科学综述卷-9 in x 6 in fptinancesome对第32条的应用。加权Kolmogorov-Smirnov测试和文章[4]我们的例子涉及到goodness of goodness（goodness of goodness）测试，它在科学和工程的所有领域中都是普遍存在的。这是检验一个空假设的理论概率分布是否与一个观测样本的经验概率分布相容的要点。GOF检验的目的是定量地检验一个N个观测样本在统计上是否可以看作是一个agiven概率定律的N个实现的集合，或者两个这样的样本是从这个hyp实际分布中提取出来的。最著名的理论结果是Kolmogorov和Smirnov(KS)[5,6]，并导致了对独立图的单变量样本的同名统计检验。这个检验的主要优点在于它的检验统计量的渐近分布与零假设无关。已经研究了几个具体的扩展（一个/或仍然被低估），包括：距离测度的二次选择、多变量抽样、分布域的二次部分的研究、连续图的依赖性（这对应用程序特别重要）等。自从Doob[7]和Khmaladze[8]的著作表明GoF检验是如何与随机过程相关联以来，这类问题对物理学家有特别的吸引力。找到一个测试的规律，就等于计算一个在一个独立的系统中的生存概率。在马尔可夫理论中，这通常是通过处理福克-普朗克问题来实现的，福克-普朗克问题在转化为一个薛定谔方程，用于粒子在一个由壁围成的势中。经验累积分布及其结果X是N个独立同分布变量的随机向量，边际累积分布函数(cdf)为F。经验累积分布函数fn(X)=nnxn=1{xn≤X}（1）2013年6月14日0：8世界科学评论卷-9in x6in FPTinFinance4 R.Chicheporticche,J.-p.Bouchaudd收敛到真实的CDF F当样本大小N趋于有限。对于N,FN(x)的期望值和结果为[FN(x)]=F(x),Cov(FN(x),FN(x\'))=N[F(min(x,x\'))-F(x\')]。对于给定的u∈[0,1],在u-分位数处求出的x的经验CDFYN(u)=√N[FN(f-1(u))-u(2)测度。当N→∞时，它不收缩到零，因此它是任何GoF检验统计量的量纲。极限性质现在将过程Y(u)定义为YN(u)的极限。根据中心极限定理，它是高斯的，它的covar函数由:I(u,v)=min(u,v)-uv,（3）给出，它刻画了所谓的布朗桥，即一个布朗运动(u)，使得Y(u=0)=Y(u=1)=0。有趣的是，函数F并不出现在EQ中。（3）因此，极限过程Y的任何泛函的定律都独立于潜在的参数大小样本的定律。这个性质对于通用GoF测试的设计是很重要的。过程上的范数为了测量分布之间的极限距离，一个范数。连续桥梁的超限空间需要选择。

典型的范数是范数-2（或Cramer-von Mises距离）Y=zy(u)du，因为桥总是可积的，或者norm-sup（也称为Kolmogorov距离）Y∞=supu∈[0,1]Y(u)，因为桥总是达到一个极值。2013年6月14日0:8世界科学综述卷-9in x6in fptinancest应用fangrst-passage思想到fangement 5不幸的是，这些规范机械地加重了核心值u≈1/2，而不支持尾部u≈0,1：由于Y(u)的方差在中心值的极值和最大值都为零，所以对Y的主要贡献确实来自中心区域，而不是尾部。为了缓解这种情况，特别是当GoF测试旨在研究域的特定区域时，最好引入附加权值并研究Y√,而不是Y本身。安德森和达林秀在裁判中。[10]通过对协方差核进行谱分解，得到了具有Cramer-vonMises范数和任意权函数的问题的解。他们设计了一个同名的检验[11]，其选择的条件是φ(u)=1/i(u，u)等于逆方差，它对待检验分布的所有分位数加权。因此，Y(u)是一个布朗桥，即中心高斯过程onu∈[0,1]，协方差函数I(u,v）在EQ中给出。（3）。特别地，Y(0)=Y(1)=0，概率等于1，无论F与核心值周围的样本cdf的关系如何。为了更多地强调区域的特殊性质，让我们对Brownian br idge进行如下加权：对于给定的a∈]0,1[和b∈[a,1]，我们定义~y(u)=y(u)·Pψ(u),a≤u≤b0,否则。（4）我们将刻画上确界K(a，b)SUPU∈[a,b]~y(u):P<(ka,b)P[K(a，b)≤K]=P[~y(u)≤K,±u∈[a,b]]].等权布朗桥：Kolmogorov-Smirnovin在权重不变的情况下，对应于经典的KS检验，概率P<(k；0,1）被充分地定义，并具有众所周知的KS形式[5]:P<(k；0,1)=1-2∞xn=1(-1)n-1e-2nk，(5)，如预期的那样，随着k的增加，它从0增长到1。这个概率为95%的值K*为K*≈1.358[6]。这可以解释为：对于一个siz e N的数据集，如果YN(u)的最大值大于≈1.358，那么pro po sed分布是“好分布”的假设可以以95%的可信度被拒绝。2013年6月14日0：8 World Scienti Review Volume-9in x6in FPTinFinance6 R.Chicheporticche,J.-P.布朗桥Y不是具有附加终端条件的布朗运动，可以写成Y(u)=X(u)-UX(1)，其中X是布朗运动。通过计算从Y(0)=0到Y(1)=0而不撞上栅栏的布朗运动路径的数目，可以得到Y在有吸收墙的笼子中的生存概率。更准确地说，在相同条件下，布朗运动的s urvival概率可以计算为f(0；k)/f(0；∞)，其中fu(Y；k）是布朗运动在允许区域[-k,k]内的transition核。它包含了简单的福克-普朗克方程（UFU（Y；k)=yfu(y；k)fu(±k；k)=0,±u∈[0,1]。通过拉普拉斯谱分解，得到了befu(y；k)=kxn∈ze-enucos p2eny,其中en=(2n-1)π2k,极限k→∞中的自由传播子r是常规的fu(y；当约束布朗桥的生存概率为isp<(k；0,1)=√2πkxn∈Zexp-(2n-1)π8k。（6）虽然从等式（5）看来，这两个表达式是完全相同的，但对我们来说，上述证明比正则证明容易得多[10]。在有移动壁的笼中的应用问题可以直接看。

当o fvariable和timeW(t)=(1+t)y t1+t,t=u1-u∈a1-a,b1-b,（7）变化时，该问题可转化为Brownian di-hi-usion在abox内以等速运动的壁面的问题。的确，可以检查COV w(t)，W(t\')=min(t，6月14日，2013年0：8世界科学综述卷-9 in x 6 in FPTinFinanceSome对第7章的应用和P<(k0,1）现在可以写成:p<(k0,）=p[W(t)≤k(1+t),±t∈[0,∞[]。由于壁的扩展速度比粒子的移动速度快(θ=t),所以生存概率收敛于一个正的值，即通常的Kolmogorov分布(5)[12-14]。0.00.20.40.60.81.0-1.0-0.50.00.50.00.51.0uy(u)'A(u)+k-ktw(t)=(1+t)yt1+t+k(1+t)-k(1+t)00∞图。1.等权布朗桥，ρ(u)=1。时间变化的重CaledProcess存在于边界以恒定速度后退的几何学中。方差加权布朗桥：考虑到上述尾部，当人们最关心的往往是尾部事件（对应于百周年纪念事件、毁灭性的耳震、尾部撞车等）时，cla ssical KS检验仅对分布尾部的鱼类质量弱敏感（参见文献[15])。仅对尾部进行简单而优雅的GoF检验，可以用数学加权的形式来表示，上下尾部的数字加权形式为φ(u；a)=1{u≥a}或φ(u；b)=1{u≤b}。corres po nding test律可用于EQ。（5.9）参考文献。[10].得到了对两个尾的考察，其条件为:θ(u；q)=1{u≤1-q}+1{u≥q}（其中q>)。在规定的边界之间，出现在那里的量M是正规二元表面下的体积，在单侧≤a≤u≤1和0≤u≤b≤，它的形式非常方便。注意交替（-1）因数中缺失的j幂。2013年6月14日0：8世界科学评论卷-9 in x 6 in FPTinFinance8 R.Chicheporticche,j.-P.Bouchaudhe这里我们更关注于一个大小为n1的单变量样本的GoF检验，它具有Kolmogorov距离，但对分布的所有区域都同样敏感。我们统一了两个早期的渐近解的尝试，一个是Anderson和Darling在1952年[10]的尝试，另一个是Krapivsky和Redner[12，16]的似乎无关的尝试，它处理了“膨胀笼中粒子的生死”。本文给出了相关随机问题的精确渐近解，并由此导出了GoF检验的公式，其性质与KS检验相比具有根本的不同。因此，为了扩大布朗尼安桥尾部的微小分布，我们按前面所述对其进行加权，其方差为φ(u)=u(1-u)。用NO研究了这种方差加权KolmogorovSmirnov统计量分布的解，得到了单侧[17]和双边[18]样本检验的定律。后来Niederhausen[19,20]对它们进行了归纳和数字表列。然而，尽管精确且适合于小样本，这些解决方案依赖于递归，并且不是封闭的形式。相反，我们提出了一个大样本的解析闭式解，它依赖于统计物理学的一个优雅的类比。在一个有移动壁的笼子中，在执行上述将布朗桥转换为布朗运动的变量（7）的变化后，P<(ka,b)可以写成P<(ka,b)=PhW(t)≤k√t,ut∈[a1-a,b1-b]i。初始时间为1-a=0,水平为n时间为1-b=Thas的问题由Kra pivsky和Redner在参考文献中处理。[12]作为布朗粒子的生存概率S(T；k=qa2d)在壁膨胀的笼中与constantD一起使用。对于大T,S(T；k)P<(k0,t1+T)üt-θ(k),他们得到了θ(k)在k→0和k→∞两个极限下的解析表达式。

对于相同的di internative pro blem的极限解决方案，通常会导致更难的问题。6月14日，2013年0:8World Scienti Review Volume-9in x 6in fptinfinancest对Turban早先为抛物线几何中有向自回避行走的临界行为发现的fournance9的应用[21]。在这里，我们采取了一条稍微di internent的路线，建议（但未建议）byAnderson和Darling在参考文献中。[10]。我们的具体贡献是：（一）wetreat一般情况下a>0对任何K；(ii)我们明确地给出了幂律衰减的指数和前因子的kdepe；(iii)我们提供了与GoF检验理论的联系，计算了加权KolmogorovSmirnov检验统计量的前渐近分布:]a，b[→]0，1[为0.00.20.40.60.81.0-1.5-1.00-0.50.00.51.01.5uy(u)'A(u)+k-ktw(t)=(1+t)yt1+t+kt-kt00∞。2.方差加权布朗桥，ψ(u)=1/[u(1-u)]。时变重标化过程存在于边界后退的几何学中，边界后退为```t.在有围栏的笼中的均值回复现在引入新的时变τ=lnq1-AAT,变量Z(τ)=w(t)/τt是[0,t]上的平稳Ornstein-Uhlenbeck过程，其中et=lnsb(1-a)a(1-b),(8)和Cov Z(τ),Z(τ\')=e-τ-τ\'。其动力学由随机二等式dz(t)=-Z(t)dT+√2dB(t)描述，(9)2013年6月14日0:8世界科学综述卷-9in x6in fptin Finance10 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaudwith B(T)是一个独立的Wiener过程。T=0（对应于b=a)的初始条件是Z(0)=Y(a)/pv[Y(a)]，一个零均值和单位方差的随机高斯变量。分布P<(ka，b)可以理解为一个平均回复粒子在有围栏的笼中的无条件生存概率:P<(kT)=P[-k≤Z(τ)≤k,±τ∈[0,T]]=Zk-kft(Z；k）dz，其中（z；k)dz=pz(T)∈[z,z+dz[{z(τ)}τ<T是当wallsar在±k时，在T时刻pa处于z的概率。它对k的依赖，尽管在右侧没有显式显示，是由于与吸收壁有关的边界条件（为了便于阅读，在下面将其称为droppe d）c。控制密度fT(z)演化的福克-普朗克方程为τfτ(z)=z[zfτ(z)]+z[fτ(z)],将HFP称为二阶二次算子-1+z z+z，则整个问题等于求出-τfτ(z)=HFP(z)fτ(z)fτ(±k)=0,±τ∈[0,T]的通解。由于我们期望在吸收问题中密度随时间衰减，所以我们显式地引入了负号。由于zz，hfpi不是埃尔米特的，因此不能对角化。然而，众所周知，可以将fτ(z)=e-zφτ(z)和Fokker-Planck方程变为-τφτ(z)=2-z+z-φτ(z)φτ(±k)=0,τ∈[0,它的格林函数，即在初始位置(zi，)上有条件的（可分）解，Ti)，是所有modesgφ(z)的叠加，T仔，Ti)=xüe-θ(t-ti)bív(z)bív(zi),cIn特异性，P<(k0)=ERF k√6月14日，2013年0：8世界科学综述卷-9 in x 6 in fptinancements-passage思想对第11章的应用，其中bs是定常Schr odinger方程的归一化解(ρ-z+z(z)=θv+Ⅴ(z)Ⅴ(±k)=0，每一个方程都随其自身的能量θ而衰减，其中，s标记了具有增加特征值的双解，以及HS(z)=ρ-z+z作用于其上的Hilbert空间的本征函数集{b}是反正交基。特别地，xbív(z)bí(z\')=δ(z-z\')，(10)so。Gφ(z,Ti zi,Ti）=δ(z-zi）,通解写（zt；k)=zk-kezi-ztgφ(zT,T zi,Ti)f(zi)dzi,其中Ti=0,对应于EQ中的ca se b=a。

（4）和初始值zi的分布，如上文所述，这里是具有单位方差的高斯。hs在宽度为2k的深井内构造出一个质量和频率ω=√的谐振子：其本征函数为抛物线柱函数[22,23]y+(θ；z)=e-zf-θ,，z y-(θ；z)=z e-zf1-θ,，z适当归一化。对于给定问题，唯一可接受的解是Y+和Y-的线性组合，它满足正交性（10）和边界条件：对于周期性的边界条件，只允许θ的整数值，而对于我们的Dirichlet边界条件Bív(k)=-Bív(-k)=0，则允许实非整数特征值θ。例如，基本能级Ⅴ=0被期望为对称解Bí(z)∞Y+(θ；z)，其中θ是与边界条件相容的最小可能值:θ(k)=INFθ>0θ:Y+(θ；k)=0。（11）在以下内容中，将更方便地使k-de pendence明确化，并用一个帽子表示与2013年6月14日0：8 World Scienti Review Volume-9In x6in FPTinFinance12 R.Chicheporticche,J.-P.相关的规范化解决方案。Bouchaudour问题，即bí(z；k)=y+(θ(k)；z)/y+k，其中Normy+kzk-ky+(θ(k)；z)dz，所以rk-kbíví(z；k)dz=1.渐近生存率为(k)[θ(k)-θ(k)]激发能级和基级之间的间隙，当t1时，高能模bí对格林函数的贡献就停止了，它们对上述函数的贡献呈指数衰减。最终，只有最低能量模式θ(k)保持不变，当T()-1时，解趋向于ft（z；k)=A(k)e-zbè(z；k)e-θ(k)T，且A(k)=zk-kezibè(zi)；k)f(zi)dzi。（12）让我们回到[a,b]中加权布朗桥取其极值的初始问题。如果我们对a任意接近于0，b接近于1的极限情形感兴趣，那么T→∞,其解析式为P<(kT)=a(k)e-θ(k)tzk-ke-zbí(z；k)dz=ea(k)e-θ(k)T,witheA(k)2πa(k)。我们现在明确地给出了θ(k)和dea(k)的极限行为。k→∞随着k的增加，abs吸附速率θ(k)期望收敛于0：直观地说，一个非常远的势垒是不会吸收的。同时，P<(kT)在该极限内必须趋向于1。SoeA(k)必然趋向于统一。确实，θ(k)k→∞--------→rπk e-k→0,(13)eA(k)k→∞--------→z∞----∞b∞（z；∞)dz=1。2013年6月14日0：8世界科学综述卷-9 in x 6 in fptinancementsoffestions-passage思想的应用原则上，我们从Eq中看到。（12）对后者修正来自解的泛函相对关系式π(z；k)=y+(θ(k)；z)/y+(0；z)-1和积分极限(±k而不是±∞)。然而，事实证明，figurrstkind的更正是按s econd顺序进行的，参见[4]。因此，对A(k)的校正受积分极限±k的支配，因此(k→∞)≈ERF k√。(14)k→0对于小k,由于二次势几乎在0附近，系统表现为锐阱和深阱中的自由粒子。基模为bà(z；k→0)=√kcosπz2k，因此θ(k)k→0-TM-→π4k-，(15)eA(k)k→0-TM-→π√2πk。（16）我们如图所示。3从精确解算出函数θ(k)和dea(k)的数值解，并给出它们的a征兆解析表达式。在k的中间值（大约在0.5-3之间），这些极限表达式不能再现精确的解。渐近(n1)解的高阶模态与有效性。1/T原则上必须是keptin预渐近计算。然而，这在实际中是不相关的，因为间隙θ-θ很小。实际上，它的能量θ(k)=infθ>θ(k)θ:y-(θ；k)=0与1+4θ(k)非常接近。特别是，Δ>1（如图1所示）。

4）因此，在有兴趣的情况下，总是要考虑T1。2013年6月14日0：8世界科学评论卷-9 in x 6 in FPTinFinance14 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaud2.3.1.回到GoF Testing，现在让我们回到GoF tes Ting。为了将上述计算转化为有意义的测试，必须指定a和b的值。由于F(min×n)≈FN(min×n)=n，因此，对应于采样的最小值，初始选择为a=1/n。式(8)ab对a=1/(N+1)和b=1-a的取值作了较轻的激励，从而相应地给出了T的取值byT=lnsb(1-a)a(1-b)=ln N。这就引出了在被测分布与真分布重合的假设下，加权马希马尔柯尔莫哥洛夫距离K(N+1,nn+1)的cdf的中心结论：s（N）；k)=p<(kln，N)=ea(k)n-θ(k)，(17)当n1时是有效的，因为正如我们上面所讨论的那样，能量间隙(N)大于1。图5中描述了样本大小N的双值累积分布函数（测试定律）。与标准情况相反，这个分布仍然取决于N：随着N向N增长，曲线向右移动，最终为S(∞；k）对任意k为零。特别是，达到95%的阈值k*（用水平灰线表示）随N增加。因为对于大的N，k*可以使用上面的渐近展开式，很快就会精确到mesquite,如图所示。5.这就得出:θ(k*)≈-Ln0.95LnN≈rπk*e-K*2，对于N=，10，10，10分别给出K*≈3.439，3.529，3.597，3.651。对于e×pernantic la rge N和对数精确度，有:Kóóp2Ln(LnN)。这种变化非常缓慢，但人们认为，作为一个原则问题，加权距离的“可接受”马希马尔值（对于大N）比KS情况下大得多。2013年6月14日0:8世界科学评论卷-9in x6in FPTinFinanceSome应用--通过思想到fangnance150.0010.010.1Kθ0 HKL 0.00.20.40.60.81.0K°HKLFIG。3.左：指数θ对k的依赖关系；类似于无花果。参考文献2。[12],butin Lin-对数尺度；请特别参见EQ。(9b)和（12）。右图：前病变对K的依赖性。红色实线说明了在k→0和k→∞情况下的分析行为。0.00.20.40.60.81.0K1~2D1HKLFIG。4.1/(k)饱和到1，所以条件N exp[1/(k)]实际上总是满足。0.00.20.40.60.81.0kshn；klfig。5.S（N；k）对kfor N=10,10,10,10的依赖关系（从左至右）。红色实线说明了k→0和k→∞限制情况下的分析行为。2013年6月14日0：8世界科学评论卷-9 in x 6 in FPTinFinance16 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaud3.出售股票的最优时间考虑在初始日期t=0持有一只股票的问题，并且在截止日期t=t之前的时间t=τ出售它。目标是找出最优销售时间τ，即在t=0时决定未来最优销售时间。如果（对数-）价格可以建模为一个平稳随机游动，这就不是g能量的限制，因为在任何以后的时间，这个问题都与一个缩减的水平相同。3.1。在技术术语中，我们的目标是使瞬时价格xτ与事后实现的最大超允许范围mt=max{Xt,T∈[0,T]}之间的expected（相对）spre adS(τ；T)=mt-xτmt=max{Xt,T∈[0,T]}最小化。为了解析地处理这个前瞻性问题，我们假定价格过程遵循一个（pos sibly friended）几何布朗运动Xt=extwithdxt=μdt+σdBtor^x=μ+ση，其中Btin随机di方程（左）是维纳过程，η=dbtdtin Langevin方程（右）是一个sta ndard白高斯噪声。我们将最大值改写为mt=emt，显然mt=max{xt,t∈[0,t]}。

该问题在XT和mT的移动下是明确的，因此我们可以任意设置X=0。然后将最优出售时间定义为最小化问题τ=arg minτ∈[0,T]e[ln S(τ；T)]=ar g minτ∈[0,T]e[S(τ；T)]的解，其中S(τ；T)=mt-xτ。该估计量具有明显的跨时性，s(τ；T）的概率分布函数pμ可以用(xτ,mT)aspμ(s；τ,T)=z∞z∞-∞fμ(x,m；τ,T)δ(M-x-s)dx dm=z∞fμ(m-s,m；τ,T)dm的联合密度fμ写成。（18）与s.Majumdar[24]联合工作，由Shiryaev,Xu和Zhou[25]的一篇论文推动。2013年6月14日0:8 World Scienti Review Volume-9 in x6 in fptinancements-passage思想的应用（financements-passage Idies）这相当于写pμ(s；τ,T)=rdfμ(m-s,m；τ,T)，用（部分）累积分布函数fμ(x,m；τ,T)=p[xτ=x,m≤m]计算在时间τ到达[x,x+dx]的路径在整个视界[0,T]上从未从下面穿过m的所有路径中的分数。Itis用因果关系表示，即在时间τ到达x而不碰到m的概率，然后在剩余时间t-τ到达m以下任何地方的概率:fμ(x,m；τ,T)=gμ(x,τ；m)zm-∞gμ(x\',t-τ；m-x)dx\'。（19）传播子gμ(x,τ；m）描述了接近于一个固定吸收边界的μ-漂移的双列结构，或者等效地描述了接近于一个以恒定速度运动的边界的纯双列结构（“re CedingCli”边缘的冒险家，[12])，见图。6.它可以用零漂移理论的传播子G=exp-Ω-2μx2σG(x，t；m)来写，其中G(x，t；m)可以用几种方法来计算--镜像法[16，26]，路径积分法[24，27]，福克-普朗克方程的解。该解写（直到一个归一化常数）为自由传播子G(x，t；∞)-G(x-2m，t；∞)=√2πσtexp-(x-x)2σt之间的dierenceg(x，t；∞)初始po筛在x=0和x=2m。当Gμ已知时，通过对EQ进行二次修正，得到了Xτ和mTis的联合分布Fμ。当Gμ已知时，m,T；m)=0时，边界上存在的概率为零，当Gμ已知时，Xτ和mTis的联合分布为fμ。（19）当re spe c t to m时，从eq中得到了扩展的分布。（18）至BEPμ(s；τ,T)=Aμ(s；τ)b-μ(s；t-τ)+A-μ(s；t-τ)bμ(s,τ)=μ2σexp-2sμσerfc s-ττ2σσexp-(s+μτ)2στbμ(s；τ)=-exp-2sμσerfc s-ττ2στ+erfc-s+ττ2σσ).2013年6月14日0：8世界科学评论卷-9 in x 6 in FPTinFinance18 R.Chicheporticche,J.-P.最后，本文给出了期望扩展Ise[S(τ，T)]=Z∞s Pμ(s；τ,T)ds=zz∞s fμ(m-s,m；τ,T）dm ds,（21）,通过最小化该函数，得到了最优的τ*,Respect为τ:τ*=(T,μ≥00,μ≤0）。（22）degener at在μ=0时，其中τ*=0和τ*=T都是最优的。这个结果用专业术语说明了一个非常直观的真理：每当预期平均价格上涨(μ>0)时，人们应该尽可能长时间地保留股票，反之，如果预期原木价格下跌(μ<0)，人们应该立即卖出。不足为奇的是，τ*没有被所谓的“波动性”参数σ值所代替，因为优化程序只关注“最大化收益”，而没有控制所遇到的风险，因此溶解度n仅适用于风险中性剂0.0.0.20.40.60.81.0-1.5-1.050.00.51.01.52.0T[单位T]x(T)[单位σ]Mμ0.0.0.0.0.0.60.81.0-1.5-1.050.00.51.01.5T[单位T]x(T)-μT[单位σ]M-μTFIG。6.正漂移(μ>0)图示。在μ<0的情况下，上位势垒线性移开。见教派。2.2第5页，适用于双边案件。

最大值的出现时间概率为了最小化最大值mT和对数价格xτ之间的差值s(τ；T)，人们可以尝试最大化2013年6月14日0:8《世界科学评论》卷9in x6in fptinfinancest应用到第19章，无论取什么值，在时间τ时mT将发生的概率pμ(τ；T)dτ=dp[xτ=mT]。但是，全局最大移动器[0,T]具有一个值mt=m，并且在T=τ的时间内（事实上仅是）达到这个最大值的联合概率是fμ(m,m；τ,T)。为了避免连续布朗运动[24,28,29]的内嵌问题，我们允许内嵌小扩展s=m-x，我们最终取到0:pμ(τ；T)∞z∞LIMS→0fμ(m-s,m；τ,T)dm=pμ(0+；τ,T)，其中pμ(0+；τ,T)。（20）。当s→0时，aμ收敛到一个参数值Eaμ(0,τ),且Bμ在s附近的一阶展开式为Bμ(s→0,τ)≈4s aμ(0,τ),我们有Pμ(s→0；τ,T)=8s aμ(0,τ)a-μ(0,t-τ),而用RTPμ(s；τ,T)dτ进行归一化，我们得到Pμ(τ；T)=2σaμ(0,τ)a-μ(0,t-τ)。（23）注意，当μ=0时，函数a(s，τ)是方差στ的中心正态分布。特别是a(0,τ)=1/√2πστ,并与L\'Evy的结果[30]:P(τ；T)=πPτ(t-τ)相比较，在τ=0和τ=T处有两个全局极大值。对于不为零的μ，在τ=0和τ=T时，该分布仍有反平方根的振型，但振幅不等。当μ<0时，τ=0奇异性的振幅大于τ=T奇异性的振幅，当μ>0时，反之亦然。由此得出结论:τm=arg maxτ∈[0,T]pμ(τ；T)=(T,μ≥00,μ≤0(24),因此等于τ*,见等式。（22）.尽管前面部分的最小化程序嵌入了所有可能的间隙s的信息（如方程（21）所揭示的那样），但最大化发生时间分布只关心最大值s=M-X→0的接近性。然而，尽管目标函数不相同（最小化传播或最大化概率），最优时间的解对选择并不敏感。2013年6月14日0：8世界科学评论卷-9 in x 6 in FPTinFinance20 R.Chicheporticche,J.-P.Bouchaud4.线性成本下的最优交易本节讨论的问题是，在存在“线性”交易成本（即每股费用，忽略任何价格影响）和对头寸最大规模（包括多头和空头）的限制的情况下，确定最优策略。这个问题在实践中非常棘手，至少对于小尺寸来说是这样。对于大尺寸，可以添加二次成本来模拟价格影响；然而，问题还没有（现在？）我们考虑一个代理人，他想通过在一个较长的周期[0,T]中交易一种当前价格的单一资产来最大化他/她的期望收益（稍后我们将考虑极限T→∞)。交易者在时间t的头寸（股票/合约的签名编号e r）为πt。我们假设agenthas某个信号PT，预测下一次价格变化rt=pricet+1-pricet，并面临以下约束:o他/她的风险控制系统只是他/她的绝对位置的上限:πt≤M，没有其他风险控制。o他/她无论何时交易一个量πtπt+1-π，都必须支付线性成本πt，我们假设预测者有许多“好”（但自然）的性质；特别地，pr可医性Lt(p)=E[RTPT=p]是p的一个连续严格增函数。我们还假定itis Markovian:αωt+1,p[ωt+1pt,pt-1,...]=p[ωt+1pt],其中ωt+1是t+1处的任意事件。在下面，我们将使用符号Pt(p\'p)dp\'=p[Pt+1=p\'Pt=p]dp\'。