使均值-方差套期保值在部分可观察的情况下实现 市场

但选择是自由的，只对Z的动力学有影响的是(δδ)∈Rn×n。具有不同初始资本的投资组合，对V的估计具有相同的路径数和步长。投资组合模拟的标准误差小于4×10-4。可以看出，对BSDEs的预测与直接模拟被套期投资组合的结果很好地匹配。我们还可以研究被套期投资组合的分布:(yit-wπ*t)。2,我们绘制了初始资本w={0,0.5,1,1.5,2}的选择(yit-wπ*t)的最终分布。这些图是通过将40万个场景样本的直方图连接起来获得的，这些直方图的参数与获得FIG所用的参数相同。1.可以看到被套期投资组合的分布随图的变化而变化。9渐近展开法虽然不可能得到V(t)=a(t，t)eath(XT)gt(9.1)的闭式解，但它的评估显然相当于解决一个欧盟罗盘未定索赔。因此，可以从现有的大量文献中借用各种为金融衍生品定价而开发的技术。在这里，我们采用一种渐近展开式m ethod来得到显式的近似表达式。例如，请参见[22,21,23]和ReferencesIthern以获得该方法的详细信息。在这些工作中，估计了潜在过程的终端probab性分布，然后将其应用于一个泛型Payo函数，该泛型函数涉及一个有兴趣的未定权益。在本文中，我们采用了一种稍微简单的方法，即假定h(x)是x的光滑函数，将渐近展开式直接应用到端点p Ayo。如果需要，我们也可以将[22,21,23]中的原始方法应用于当前问题，但由此产生的形式la和r等价计算将涉及更多。为了简化，我们还假定时间均匀的挥发结构γ(Xt)不显式依赖于t。9.1近似图式：首先，我们引入一个辅助参数，一个与d相关的过程:dx^s=πγ(x^s)1(0,m)z^sds+γ(x^s)dnATs+γ(x^s)[ψ(s)+e"e(s)z^s]ds(9.2)dz^s=φ(s)-Φ(s)z^s+∑(s)dnATs，(9.3)其中ee(s):=∑(s)C[2](s)-1(d，0)∑(s)a[2](s)(9.4)是一个确定的过程ISTIC函数。这种设置背后的思想是假设∑(s)、γ(x)、μ、F(9.5)在理论上，由于Z已经具有线性动力学，所以不需要通过内插来扩展Z。然而，如果精确地处理Z，由于Z在其漂移过程中的存在，与X相关的计算变得非常复杂，很可能只有很小的精确度提高。相对于1有足够小的尺寸。然后，引入辅助参数来计算展开中出现的小数量的顺序。假定我们将依赖于参数的过程x_3展开为一个幂级数:x_s=X(0)s+^X(1)s+^X(2)s+···(9.6)，其中X(k)s:=k！kx_s^k^=0(9.7)，由于X(k)项包含了（9.5）中的k阶p个小数量的分支，为了近似的目的，(9.6)中的高阶项自然可以忽略。在计算末尾放置θ=1，可以为原始处理x提供一个近似的估值。在目前的工作中，我们将(V，Z)的公式推广到第三阶。近似的精确度当然是由（9.5）中给出的量的大小决定的。

正如我们在本文后面提供的数值例子中所看到的，该方案似乎与现实的参数很好地工作，下层过程的渐近展开式让我们考虑(x，l，s)的展开式，对于(s>t),在给定的条件下，我们有x(0)Sx(9.8)Z(0)SZ(9.9)与x:=X3和Z:=Z3的约定，假设γ(x)足够光滑，人们可以很容易地得出ivedX(1)s=γ(x)1(0,m)zds+γ(x)dnATs(9.10)dX(2)s=nxi,(1)s iγ(x)1(0,m)z+γ(x)1(0,m)z(1)s+γ(x)[ψ(s)+e"e(s)z]ods+xi,(1)s iγ(x)dnATs(9.11)dX(3)s=nàxi,(2)s iγ(x)+xi,(1)si,jγ(x)(0,m)z(9.12)+xi,(1)s i,jγ(x)(0,m)z(9.12)+xi,(1)s i（0,m)z(1)s+γ(x)1(0,m)z(2)s+xi,(1)s iγ(x)[ψ(s)+e"e(s)z]+γ(x)e"e(s)z(1)sods+πxi,(2)s iγ(x)+i,jγ(x)dnATs(9.13)More准确地说，我们需要把时间积分的e和ect结合起来考虑，初始条件X(i)t=0，i∈{1,2,3}。我是无名的，对于Z(i)s，一个得到SD Z(1)s=[φ(s)-Φ(s)Z]Ds+∑(s)dnATs(9.14)D Z(2)s=-Φ(s)Z(1)sds(9.15)D Z(3)s=-Φ(s)Z(2)sds(9.16),其中Z(i)T=0,2,3}.9.2.1近似在H(x)光滑的假设下，可以将其展开为eateT=H(x)+πiH(x)eat-xi,(1)TGT(9.17)+dniH(x)eat-xi,(2)TGT+i,jH(x)eat-xi,(1)TXj，(1)TGTO(9.18)+πniH(x)eat-xi,(3)TGT+i,jH(x)eat-xi,(2)TGT+i,(1)TGT+i,j,kH(x)eat-xi,(1)TGT+i,j,kH(x)eat-xi,(1)TGT+i,jH(x)(1)TXk,(1)TGT O+O(Ⅵ)。（9.19）由于A(t，t)已经可以作为ODEs的一个解，人们只需期望{X(i)t}及其交叉积就可以得到V(t)的一个解析表达式。这实际上是可以计算的，因为所有的{X(i)}都具有线性动力学，这要归功于我们在（9.2）和d(9.3)中引入的方法。如果这样做了，Z(t)就可以很容易地通过公式的应用而得到。让我们把g(x，Z):=γ(x)1(0，m)Z∈Rn(9.20)和一个时间积分的速记法，如[f]tt:=zttf(s)ds[f]st tt:=zttzstf(u)du ds···(9.21)来简化表达式。从IT O公式的应用来看，我们可以得到以下所有的基本期望：Eat thux(1)tgt=(t-t)g(x，z）Eat thux(2)tgt=(t-t)ig（x,z)gi(x，Z)+γ(x)[ψ]tt+1(0,m)[φ]st tt+γ(x)[e"e]tt-1(0,m)[Φ]st tt zeat-xi,（1）TXj,（1）tgt=(t-t)gi(x,Z)gj(x，Z)+(t-t)(γγ)i,j(x)eat.x(3)tgt=(t-t)n ig（x,z)JGI(x，Z)gj(x，Z)+i,jg(x,z)gi(x，Z)gj(x，Z)O+(t-t)I,jg(x，Z)(γγ)i,j(x)+iγ(x)1(0,m)[∑]st ttγ(x)i+ig（x,Z)γi(x)[ρ]st]tt+1(0,m)[φ]ut st tt+ig（x,z)γi(x)[e"e]st]tT-1(0,m)[Φ]ut st tt z+gi(x,Z)Iγ(x)n[(s-t)'A]tt+1(0,m)[φ]ut stt+[(u-t)φ]st tt o+gi(x,Z)Iγ(x)n[(S-t)E"e]Tt-1(0,m)[Φ]ut sttt+[(U-t)Φ]st tt o z+γ(x)E[φ]st tt-1(0,m)Φ[Φ]ut stt+γ(x)E[Φ]st tt+1(0,m)Φ[Φ]ut stt tt zeat xi,(2)TXj,(1)tgt=(t-t)gk(x),z)KGI(x，Z)gj(x，Z)+γ(x)1(0,m)[∑]st ttγ(x)i,J+(t-t)ngk(x,Z)((kγ)γ)i,j(x)+kgi(x,Z)(γγ)k,JO+gj(x，z)γi(x)n[ρ]st tt+[(S-T)ψ]tt+1(0，m)[φ]ut stt tt+[(U-T)φ]st tt o+gj(x，z)γi(x)n[e]st tt+[(S-T)e]tt-1(0，m)[Φ]ut stt tt+[(U-T)Φ]st tt o zeatxi,(1)TXj,(1)TXk,(1)tgt=(t-t)ngi(x，x),z)(γγ)j,k(x)+gj(x,z)(γγ)k,i(x)+gk(x,z)(γγ)i,j(x)O+(t-t)gi(x,z)gj(x,z)gk(x,z)(9.22)虽然对于高阶修正来说表达式相当长，但有一个重要的因素使我们的方法有用。从上述结果可以看出，随机变量(x=x_t，z=z_t)与所有必要的时间积分分离，因此，可以预先进行所需的积分并将其存储在存储器中，从而使V(t)在模拟中只需通常更新底层状态过程(x_t，z_t)即可。我们将在下面看到，这个性质继续适用于Z(t).9.2.2（Z,γ)的近似我们现在试着将ζπ(t):=Zπ(t)'Aπ(t)(9.23)展开为ζπ(t)=ζζ(1)(t)+ζζ(2)(t)+ζζ(3)(t)+···(9.24)直到三阶修正。

由于已经得到了Vπ(t)=A(t，t)eat[H(x^t)gt](9.25)的展开式，所以只需简单地应用Ito公式即可。因为它将π-阶数增加了1，我们只需要u p对vπ的二阶修正，通过从下列条件期望的SDEs中提取n-次的纵布朗运动的coe cients（作为行向量），Xi,(1)t,t(x),(z):=eat[Xi,(1)tgt]Xi,(2)t,t(x),(z):=eat[Xi,(2)tgt]x(i,j）,（1,1)t,t(x,(z):=eat[Xi,（1）TXj,（1）tgt](9.26)一个得到σi,（1）t,t(x,Z):=(t-t)n JGI(x,z)γj(x)+γi(x)1(0,m)∑(t)o(9.27)σi,(2)t,t(x),Z):=(t-t)h j,kgi（x,Z)gj(x，Z)+JGI(x，Z)KGJ(x，Z)IγK(x)+(t-t)hgj(x,z)jγi(x)+jgi(x，z)γj(x)i(0，m)∑(t)+jγi(x)n['A]tt+1(0，m)[φ]st tt-1(0，m)[Φ]st tt zoγj(x)+γi(x)[e"e]tt-1(0，m)[Φ]st tt∑(t)(9.28)σ(i,j)，(1，1)t，t(x，z)=(t-t)h j(x，z)iγK(x)+(t-t)h(kγγ)i,j(x)+(kγγ)j,i(x)iγK(x)+(t-t)hgj(x，z)γi(x)+gi(x，z)γj(x)i(0，m)∑(t)，(9.29)。利用这个结果，可以证明展开式由ζ(1)(t)=A(t)，T)H(x)HC[1](T)+Z C[2](T)I∑(T)+A(T),T)IH(x)γI(x)ζ(2)(T)=A(T),T)IH(x)Xi,(1)T,T(x),Z)HC[1](t)+Z C[2](t)I∑(t)+A(t),T)H I,jH(x)Xi,(1)T,T(x),z)γj(x)+ih(x)σi,(1)t,t(x),z)iζ(3)(t)=A(t，t)πih(x)Xi,(2)t,t(x，z)+i,jH(x)x(i，j)，(1,1)t,t(x，z)[c[1](t)+z c[2](t)]∑(t)+A(t，t)h i,j(x，z)γj(x)+ih(x)~σi,(2)t,t(x，z)i+A(t，t)h i,j,kH(x)x(i，j)，(1,1)t,t(x)x(i,j)，(1,1)t，z)γk(x)+i,jH(x)σ(i,j）,（1,1)t,t(x,z)i(9.30)9.3数值例子作为渐近展开式的一个简单应用，让我们考虑h(XT)=YIT(9.31)。8,但现在对其波动项来说γi(Xt)=(YIt)βσy(9.32)。这里，β∈[0,1]为常数，σy∈Rnis为常数矢量，在这种情况下，许多交叉项在渐近展开中消失，得到了一些简单的公式。该模型的渐近展开式的结果归纳如下:V(0)V(1)V(2)V(3)V(0)V(1)V(2)V(3)β=0.250.872060.895600.902160.904090.90521.00951.01161.0088β=0.50.872060.895600.902240.905960.91061.01421.01641.0160。V（i）是基于包括对i阶的所有贡献的渐近展开式计算的。通过对（8.10）进行模拟，得到相应的近似顺序为（V,Z）。图3:V(0,w)wV(0)-2wV(3)(0)+V(3)(0)和E(yit-Wπ~t)的直接模拟的比较，每个近似顺序为（V,Z）。实线b在V(0，w)的二次型上，其他符号是由财富的直方图得到的，每个近似顺序是er。横轴表示初始资本的规模W，我们研究了β=0.25和β=0.5两种情况下T=1年到期的情况。其余的参数(z，μ，F，δ，∑)和σ是我们在SEC中使用过的参数。8.1.我们还为这两个模型设置了yi=1。V(0)与Yian模型无关，通过数值求解得到V(0)=0.8721。在表1中，我们给出了V(0)和V(0)的数值结果，其中{V(i)}的结果是基于包括所有i阶的渐近展开式，{V(i)}是用(V，Z)的相应逼近阶模拟（8.10）计算的。仿真路径数和步长与SEC中使用的相同。8.1.两种模型的标准误差均在7×10-4左右。3、我们做了与SEC相同的一致性测试。8.1,我们给出了V(0,w）的二次型和E(yit-wπ*t)的直接模拟。实线对应于用3阶近似对V(0，w)的预测，其他符号表示用(V，Z)的每一阶近似对E(yit-wπ*t)直接s模拟的结果。

人们可以发现我们的近似一致性，而且即使是一阶近似也实现了方差减少的大部分对冲好处。图4：使用三阶渐近展开对终端分布(yit-wπ*t)与初始资本额w=1的比较。这些图是在抽样40万条路径后，将直方图连接起来得到的。这可能令人惊讶的是，两种选择β之间的结果非常接近，但实际上，这是自然预期的结果。实际上，人们可以很容易地推断出，在这种情况下，(V(0)(0),V(1)(0))应该与任意β∈[0,1]具有完全相同的值。另外，σy、yi=1的初始值表明，对于r个短期的模型，β∈[0,1]的方差几乎相同，这自然导致套期保值误差的方差相似。然而，从无花果可以看出。4.被套期投资组合的分布存在一个偏差，在此基础上，我们对β={1,0.5,0.25,0}的四个m个odels下的终端分布(yit-wπ~t)与初始资本金w=1进行了比较。通过对40万条路径的采样，将直方图连接起来，得到了d分布图。从风险管理的角度来看，这些因素对于制定一项经济政策是很重要的。10随机利率的扩展10.1利率的未来在结束本文之前，我们讨论了如何处理有随机因素的情况。尽管贴现与长期合约无关，但最终负债对利率指数（如LIBORs）远期曲线变化的敏感性可能非常重要。为此，我们强调我们的方法可以直接应用于期货市场，如CME集团提出的Eurodollarfutures：引入d维“基准”期货价格F=(Fi)1≤i≤dasdf(t)=σF(t,Ft,Yt)dwt+θtdt；在（P,F）下F=0(10.1)。这里，假定σf(t,Ft,Yt)∈rd×d，Y满足第2节所述的相同条件。利用基准期货价格，我们假定“真”期货价格(Li)I≥1的动力学条件为：byL(t)=L(0)+Zt"etdf(s)L(t)=L(0)+Ztàtdf(s)+Ztàtdf(s)+···+Ztàtdtàtd-1df(s)...Ld(t)=L(0)+ZtàTk)+ZtàTk+1tótkdf(s)+···+ZtàTk+Ztàtd+kttd+kt+kf(s)...Ld(t)=L(0)+Ztàtd(s).（10.2）这里，(Ti)I≥1；(TI<TI+1)表示期货合约的到期日。我们认为d是指在任何时间点t上交易所可交易的期货的数量，而交易标的的到期日是大于t的{Ti}中最小的d。很容易检查，在任何时间点t上，(Fi(t))1≤i≤dare是可观察的，因此可以像我们在EquityMarket上那样采用线性调整方案。我们注意到布朗运动W和相应的MPRsθ注意到，在雷曼违约后的抵押时代，LIBORs与合约贴现率没有直接关系。对于现金抵押合同，隔夜相关利率通常用作抵押品利率，因此用作贴现利率。与已确定到期日的合同无关，而与已确定到期的合同有关。这种设置似乎很自然，因为投资者对风险的感知通常与到期时间相关联，而不是特定的到期时间。在（Li）的可交易集合上采取头寸的财富动力学可以等价地写出新d个滚动合约集合的财富动力学，(Fi)1≤i≤d:wπft(s,w)=w+ztsπf(u)dF(u)。（10.3）请注意，进入和/或退出期货合约并不需要现金。从表达式（10.2）中，可交易期货（Li）上的头寸可以直接从(Fi)1≤i≤da上的头寸中得到。

在不考虑贴现等因素的情况下，可以完全并行地处理期货市场和股票市场。10.2随机卖空率，只要是完全可观察的，那么简单的随机s hort-rateprocess(r(t))t≥0就不是绝对的。例如，假设r上的货币市场账户除了股票之外还可以交易。在这种情况下，财富动力学由wπt(s，w)=w+ztsnπudsu+wπu(s，w)-πusu-r(u)duo给出。（10.4）在（P,F）条件下，对sdst=r(t)Stdt+σ(t,St,Yt)[dwt+θtdt](10.5)进行了修正。利用上述财富动力学，It O-Ventzell f ormula得到dsv(t)=1-ZTT(Z(s)+V(s)θs)-2V(s)r(s))DS-ZTZ(s)DNS-ZTTγ(s)DMS(10.6)V(t)=H-ZTT([Z(s)+V(s)θs][Z(s)+V(s)θs]V(s)-V(s)r(s))DS-ZTTZ(s)DNS-ZTT'A(s)DMS(10.7)，其中VS的BSDE不变。因此，它只对V、V的驱动器分别导出附加的线性项_V(s)r(s)，V(s)r(s))。如果sh ort速率过程本身是高斯的，那么可以根据新的状态过程(θt，αt，r(t))应用同样的技术。当二次高斯模型(t)=a(t)+B(t)Xt+x tc(t)Xt(10.8)具有确定性函数a(t)∈R，B(t)∈Rk，C(t)∈Rk×k，k维完全可观测高斯过程(Xt)t≥0时，可以用(θt,αt,Xt)代替。对这些投资者来说，将零息债券作为可交易的风险资产也很简单。尽管假设短期利率是完全可以观察到的是不现实的，但在大多数发达国家，短期利率仍然受到中央银行的严格控制。只要我们在相对较短的时间内工作，11结论本文通过研究由Mania&Tevzadze[13]导出的三个BSDEs集合，研究了可观测市场中的均值-方差对冲(MVH)p roblem，在Bayesian和K-Alman-Bucy框架下，我们发现其中一个BS通过一组简单的ODEs得到了一个半封闭解，该解允许快速计算。我们提出了一种用粒子方法求解两个BSDE嵌套模拟的蒙特卡罗格式。对于最优套期保值头寸，我们只需要在一个新的测度（PAT,G）下对负债及其对状态过程的Delta敏感性进行标准模拟。我们给出了一个特殊的套期保值头寸半封闭形式的例子，并通过直接模拟最优投资组合给出了有趣的一致性检验。对于更一般的情况，我们用渐近展开方法给出了近似套期保值投资组合的显式表达式，并通过几个数值例子证明了这一过程。将所得的渐近展开式应用于Payo函数H是非线性的或同时依赖于S和Y的更复杂的情况将是一个有趣的工作。尽管对(P，F)中的MPR动力学的简化假设是非常限制性的，但推广到非线性动力学仍然是一个非常具有挑战性的问题。也许值得考虑使用类似的渐近展开技术（例如见Fujii(2013)[2])为了这个问题。如果MPR过程是完全可观测的，原则上我们可以用文[3]中提出的方法扰动地考虑非线性的E值。BSDES的一个推导在本节中，我们将为感兴趣的读者解释Mania和Tevzadze导致BSDES s-y茎的主要思想。

由于V（t,w）由（4.2）定义，给定t处的初始资本w通常是一个{Gt}适应的半鞅，因此，利用“表示定理”（参见[19]引理4.1)，我们可以将它分解为V(t,w)=V(s,w)+ZTSA(u,w)du+ZTSZ(u,w)dnu+ZTS'A(u,w)dMU(a.1)并用一个适当的{Gt}适应的三元组(a，Z，γ)。然后，回想dsu=σu[dnu+θudu],σuσ(u,Su,Yu）,必须假定物理测量中提供了指导，并假定使用I-Ventzell公式[11]的适当条件，得到sv(t,wπt)=V(s,w)+ztsa(u,wπu)du+ztsz(u,wπu)dnu+zts'A(u,wπu)dmu+ztsvw(u,wπu)πuσu[dnu+θudu]+ztsπuσu(u,wπu)du+ztsvww(u,wπu)du+ztsvw(u,在这里，为了简单起见，我们把wπt(s，w)写成wπt。很容易看出，对于最优s矩阵π*,V(t，wπt)应该是a(P，G)-鞅（否则是下鞅）。然后，得到sa(s，w)=-infπ∈π(Vww(s，w)σ(s)πs+zw(s，w)+Vw(s，w)θsvww(s，w))+zw(s，w)+Vw(s，w)θs2vww(s，w)(a.3)作为漂移条件，假设使该项为零的π是可允许的，因此对应于π*，得到sa(s，w)=zw(s，w)+Vw(s，w)θs2vww(s，w)。(a.4)将上述结果代入(a.1)得到一个BSPDEV(t，w)=h-w-zttzw(s，w)+Vw(s，w)θsvww(s，w)ds-zttz(s，w)dns-ztt'A(s，w)dms。(a.5)最佳财富动态也可以理解为:wπ*t(t,w)=w-ztt[zw(s,wπ*s)+Vw(s,wπ*s)θs]vww(s,wπ*s)[dns+θsds]。(a.6)(π*(u))dsui由随机积分闭子空间上H-w∈L(P)的正交投影给出，最优s函数π*与初始资本w是线性的。因此，人们可以假定下面的分解成立。（详见[7]的定理1.4和[13]的定理4.1)V(t,w)=wV(t)-2wV(t)+V(t)(a.7)其中{Vi}不依赖于w。此分解osition需要对任意W保持。然后，插入回(A.5)导致所需的BSDE集。文[13]解释了VIAREARE的经济意义。B.SEC中模型的渐近展开式。9.3首先，让我们按照y:=YI,t,t(y，z):=吃[YI，(1)tgt]YI，(2)t，t(y，z):=吃[YI，(2)tgt]YI，(3)t，t(y，z):=吃[YI，(3)tgt](b.1)。(b.2)从证券交易委员会的结果。9.2.1和9.2.2，一个获得，(1)t，t(y，z)=(t-t)yβ(σy(0,m)z)YI,(2)T,T(y,z)=(t-t)βy2β-1(σy(0,m)z)+yβσy['A]tt+1(0,m)[φ]st tt+yβσy[e]tt-1(0,m)[Φ]st ttzyi,(3)T,T(y,z)=(t-t)(2β-β)y3β-2(σy(0,m)z)+(t-t)(β-β)y3β-2(σy(0,m)z)y3β-2(σy(0,m)z)σy+βy2β-1(σy(0,m)z)σyn\\['A]st tt+[(S-t)'A]tt+[(U-t)φ]st tt o+βy2β-1(σy(0,m)z)σy\\[e]st tt+[(S-t)e]tt-1(0,m)[Φ]ut st tt+[(U-t)Φ]st tt oz+yβσy\\[e]st tt+[φ]st tt+[(0，m)φ]st tt-1(0，m)φ]st tt-1(0，m)φ]st tt+[φ]st tt+yβσy(0,ST TT+yβσy-utoe[Φ]ST TT+1(0,m)Φ[Φ]ut ST TT Z+βy2β-1σy(0,m)[∑]ST TTσy.(b.3)利用上述结果，我们可以证明Vut(t)=A(t,t)ny+-yi,(1)t,t(y,z)+-yi,(2)t,t(y,z)+-yi,(3)t,t(y,z)+o(^)o可以展开为vut(t)=A(t,t)ny+-yi,(1)t=A(t,t)ny+-yi,(1)t=A(t,t)ny+-yi,(1)t=A(t,t)ny+-yi。(b.4)同样简单地得到ζ(1)(t)=A(t),T)ny[c[1](T)+z c[2](T)]∑(T)+yβσyoζ(2)(T)=A(T,T)nYI，(1)T，T(y，z)[C[1](t)+Z C[2](t)]∑(t)+σi,(1)t,t(y),Z)Oζ(3)(t)=A(t,T)nYI,(2)T,T(y，z)[C[1](t)+Z C[2](t)]∑(t)+σi,(2)t,t(y,z)o,(b.5)的定义为:=(t-t)nβy2β-1(σy(0,m)z)σy+yβ(σy(0,m)∑(t))oσi,(2)t，t(y,z)=(t-t)(2β-β)y3β-2(σy(0,m)z)σy+(t-t)βy2β-1(σy(0,m)z)z)(σy(0,m)∑(t))+βy2β-1σyh['A]tt+1(0,m)[φ]st tt+[e"e]tt-1(0,m)[Φ]st tt ziσy+yβσy[e"e]tt-1(0,m)[Φ]st tt∑(t)。(B.6)承认本研究部分由金融高级研究中心(CARF)支持。参考文献[1]Bain,A.,Crisan,D.,2008。随机滤波原理。纽约。[2]Fujii,M,2013,“渐近展开f或随机化的动量空间方法”，即将发表于《统计数学研究所年鉴》。[3]Fujii,M.

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