使均值-方差套期保值在部分可观察的情况下实现 市场

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

摘要翻译：
研究了部分可观测市场中的均值-方差套期保值(MVH)问题，其中漂移过程只能通过对资产或指数过程的观测来推断。虽然大多数文献都是用对偶方法来处理MVH问题，但这里我们研究了由Mania and Tevzadze(2003)和Mania et.al.(2008)导出的三个BSDE组成的系统，并试图提供更明确的表达式，供实践者直接实现。在Bayesian和Kalman-Bucy框架下，我们发现相关的BSDE通过一组简单的ODE得到一个半封闭解，该解允许快速的数值计算。这使得剩余问题等价于在一个新的前瞻性测度下解决欧式未定权益，并且很容易得到一个前瞻性的非序贯蒙特卡罗模拟方案。我们还给出了套期保值头寸以半封闭形式可用的特殊例子。对于更一般的构造，我们通过渐近展开给出了近似套期保值投资组合的显式表达式。这些解析表达式不仅可以使套期保值者实时更新套期保值头寸，而且可以通过标准的蒙特卡罗模拟直接分析被套期保值组合的最终分布。
---
英文标题：
《Making Mean-Variance Hedging Implementable in a Partially Observable
  Market》
---
作者：
Masaaki Fujii, Akihiko Takahashi
---
最新提交年份：
2013
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
英文摘要：
  The mean-variance hedging (MVH) problem is studied in a partially observable market where the drift processes can only be inferred through the observation of asset or index processes. Although most of the literatures treat the MVH problem by the duality method, here we study a system consisting of three BSDEs derived by Mania and Tevzadze (2003) and Mania et.al.(2008) and try to provide more explicit expressions directly implementable by practitioners. Under the Bayesian and Kalman-Bucy frameworks, we find that a relevant BSDE yields a semi-closed solution via a simple set of ODEs which allow a quick numerical evaluation. This renders remaining problems equivalent to solving European contingent claims under a new forward measure, and it is straightforward to obtain a forward looking non-sequential Monte Carlo simulation scheme. We also give a special example where the hedging position is available in a semi-closed form. For more generic setups, we provide explicit expressions of approximate hedging portfolio by an asymptotic expansion. These analytic expressions not only allow the hedgers to update the hedging positions in real time but also make a direct analysis of the terminal distribution of the hedged portfolio feasible by standard Monte Carlo simulation.
---
PDF下载：
--> English_Paper.pdf (407.66 KB)

2022-4-16 13:55:37 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：套期保值 Quantitative Optimization distribution Practitioner

在部分可观测市场中实现均值-方差套期保值--随机利率补充内容*Masaaki Fujii,Akihiko Takahashi.第一版：2013年6月14日，本版：2013年11月15日。摘要在部分可观测市场中研究均值-方差套期保值(MVH)问题，其中漂移过程只能通过对资产或指数过程的观察来推断。虽然大多数文献都是用对偶的方法来处理MVH问题，但我们研究了由byMania and Tevzadz e(2003)和Mania et.al.(2008)派生的三个BSDE组成的系统，并试图提供更多可由实践者直接实现的明确表达式。在Bayesian和KalmanBucy框架下，我们发现一个相关的BSDE c a得到了一个se MI闭解，这是一个简单的ODE w hich集，允许快速的数值计算。这使得剩馀问题在一个新的前向测度下等价于欧洲未定权益，并且很容易得到一个前瞻性的非SE quential MonteCarlo模拟方案。我们给出了一个特殊的例子，其中套期保值p ositione是以半c losed形式可用的。对于更一般的构造，我们通过一个渐近展开给出了近似套期保值的显式导出。这些分析表达式不仅可以使套期保值者实时更新套期保值头寸，而且可以通过标准的蒙特卡罗模拟直接分析被套期保值组合的最终分布。我们在被量化金融公开接受的原始版本的基础上，增加了一个关于随机短期利率和利率期货的简要说明。关键词：均值-方差套期保值、BSDE、贝叶斯分析、Kalman-Bucyter、渐近展开、粒子m ethod*本研究所涉及的内容仅为作者所述，不代表任何机构的观点或意见。作者不对因使用本研究中的任何内容而造成的任何损失和/或损害承担任何责任。东京大学经济研究生院。电邮:mfujii@e.u-tokyo.ac.JP.The U niversity of Tokyo经济研究生院。电子邮件:Akihikot@e.u-tokyo.ac.jp1介绍自上一次金融信息披露以来，这些信息披露产品的标准化是全市场的，以便它们可以通过证券交易所或中央对手进行交易。这预计将使它们更加灵活、透明、远离对手信用风险，并在很大程度上降低了金融信息披露的监管成本。对于这些产品来说，电子交易的理想化局面正在出现，许多公司正在大力投资建立复杂的电子交易系统，以保持它们在未来几年的可预期性。乍一看，它可能会让市场更接近理想的“完整”环境。然而，另一方面，剩余未清算的场外交易合约将在监管成本方面受到严重惩罚，因此这给了投资者退出这些合约的强烈动机。这不可避免地使证券领域的一部分流动性降低，交易成本增加，并可能使从业者不愿使用它们，即使它们是危机前最重要的对冲工具。上一次危机还造成了另一个复杂局面，迫使所有th e从业者进入一个新的抵押合同定价机制。越来越多的人认识到选择抵押品及其融资成本的重要性，使得即使是非常简单的现金套期保值也不可能，除非人们能够很容易地获得相关的抵押品资产或存在流动性很强的基础市场。考虑到上述情况，我们自然预计越来越需要系统的h边缘方法，使投资者能够根据自己的监管和可获得性条件来选择套期保值工具。

均值-方差对冲(MVH)是解决这一问题的一种可能方法。许多学者通过对偶方法对MVH进行了研究，相关的文献也非常丰富。参见recentworks,Laurent&Pham(1999)[12],Pham(2001)[18]及其中的参考文献。尽管采用对偶理论对MVH问题的数学理解有了很大的进步，但与套期保值计划的实际实施有关的更实际的问题迄今尚未引起足够的重视，仅有一些特例报道，并给出了明确的表达式。本文通过对Mania、Tevzadze(2003)[13]等人的方程组的研究，试图在这一方向上取得进展。在Mania&Tevzadze(2003)[13]中，作者研究了凸成本函数的一个极小化问题，认为最优值函数服从倒向随机偏微分方程(BSPDE)。他们利用Ventzell公式导出的值函数的Curnow动力学，结合最优值函数的鞅性质，得到最优值函数的BSPDE作为最优性条件。对于MVH问题，他们证明了在BSPDE下的th可以分解为三个倒向随机微分方程(BSDE)。Mania et.al.(2008)[15]、Mania和Santacroce(2010)[16]以及JeanBlancet.al将该方法推广到了一般半马集的MVH问题。(2012)[7].在以下的研究中，我们考虑了部分可观察市场中的MVH问题，其中漂移过程可以被推知为股票或任何由布朗运动驱动的指数过程，可能具有s个随机波动。本文还根据Pham&Quenez(2001)[19]作为对偶性在可观察市场效用最大化中的应用。Bayesian和Kalman-Bucy框架，我们发现相关的BSDE通过一组简单的ODEs得到半封闭解，允许快速的数值评估。这使得遗留问题等价于解决欧式未定权益问题，并且使用simpleparticle方法得到一个前瞻性的蒙特卡罗模拟方案是很简单的[4]。就最优套期保值头寸而言，只需对终端负债及其对状态过程的Delta敏感度进行标准模拟，就可以得到最优套期保值头寸。本文还用渐近展开的方法给出了一个solvab le情形的显式证明，并给出了更多一般情况下的近似套期保值组合。这些明确的形式使得套期保值者可以实时更新套期保值头寸，也使得用标准蒙特卡罗模拟法直接分析被套期保值组合的最终分布变得可行。2市场集合(Ω，F，p)是一个具有F={Ft,0≤T≤T}的完全概率空间，其中T是一个固定的时间范围。我们考虑一个具有无风险资产的金融市场，即d trad ab le股票或ind ex S={Si}1≤i≤d,m:=(n-d)非交易指数或与随机波动相关的其他状态过程Y={Yj}d+1≤j≤n。在本文的主体中，我们假设利率为零。在第10节中，我们将讨论随机利率的一些可能的扩展，如果套期保值目标对收益率曲线的变化敏感，那么这些扩展是相关的。我们用向量符号S和Y写出了下标asdst=σ(t,St,Yt)dwt+θtdt(2.1)dyt=σ(t,St,Yt)dwt+θtdt+ρ(t,St,Yt)dbt+αtdt(2.2)的动力学。这里，(W，B)是维数为d和m的独立的（P,F）-布朗运动。θ和α是W和B的{Ft}适应的市场风险价格(MPR)过程。σ(t,s,y)、σ(t,s,y）和ρ(t,s,y）是取rd×d、rm×d、rm×m值的已知光滑函数。

我们假设它们都满足技术条件，从而为S和Y提供唯一的强解决方案。我们用一个子σ-field gt2.ft表示投资者可用的信息集。假定G={Gt,0≤t≤t}是所有股票S和一个子集{Y}Obsb{Yj}d+1≤j≤n，这些股票是可持续观察的资产或指数，但由于监管或其他原因投资者不能交易。虽然S和{Y}波是连续观测的，但我们假设投资者不能独立地识别它们的漂移和布朗冲击，这很可能是现实市场中的情况。因此，θ和α都不是{Gt}自适应的。通过观察S和{Y}Obst的二次协变，我们可以恢复出σtσt、σobstσt、(σt~σt+ρtρt)obsat每次的值。我们假定映射(σ，σ，ρ)是这样构造的，即它们允许在每次t时从st,Yobst，σtσt，σobstσt，(σt，σt+ρtρt)obs的值中唯一地找出所有剩下的yk∈{Y}d+1≤j≤n\\{Y}的值。因此，在上述构造下，{Y}d+1≤j≤n\\n的全部元素实际上是适应的。我们进一步假定σ和ρ总是非奇异的，thusfwt:=ztσ-1(u,Su,Yu)dsu=wt+ztθudu(2.3)eBt:=ztρ-1(u,Su,Yu)dyu-σ(u,Su,Yu)σ-1(u,Su,Yu)dsu=bt+ztαudu(2.4)实际上是{Gt}适应的过程。3从经验（2.3）和（2.4）的线性滤波和（fW,eB）都是可观测的事实出发，我们有一个关于MPR过程的线性观测系统。如果我们进一步假定MPRs在(P，F)中要么是常数，要么是线性高斯过程，那么系统就变成了众所周知的贝叶斯模型或卡尔曼模型。关于随机规则的d尾，请参见教科书w rittenby Bain&Crisan(2008)[1]。为了符号上的简单性，让我们用λtezt:=θtαt,ωt=WTBT(3.1)表示，然后我们用λt=exp-ztzsdωs-ztzsds表示。（3.2）对于我们下面讨论的线性配置模型，λ实际上是一个true(P，F)鞅。我们可以通过depdp ft=λt(3.3)得到一个新的度量。这样，就可以很容易地检验ωt:=fwtebt！（3.4）是一个n维（eP,F）-布朗运动。通过（2.1）和（2.2）我们可以看出G实际上是由（fW,eB）生成的增广公式（详见参考文献[19]。）。（eP,F）鞅λt=1/λt，给出了测量值dpdep ft=eλt之间的反比关系。（3.5）我们用zt:=θtαt:=e[θtgt]e[αtgt]表示了MPRs条件下的期望。（3.6）利用Kallianpur-Striebel公式，给出了ZT=EE[Zteλgt]EE[Eλtgt]。(3.7)wheree[]是预期低值度量。该方程对于Bayes ian和线性高斯模型都是显式可解的。注意nt=fwt-ztθsds(3.8)mt=ebt-ztαsds(3.9)所定义的过程称为新息过程，它们是（P,G）-布朗m次。3.1贝叶斯模型在本节中，我们考虑一个贝叶斯模型，假设MPR在已知先验分布下是可测的。常数vectorz=θα(3.10)表示MPR的一个值。对于一个具体的计算，让我们假定在z处的th具有一个具有均值z，且其协方差由一个正的反对称矩阵∑.表示的先验高斯分布。我们将相应的密度函数用多(z)表示，在这个设置中，一个haseλt=exp z eωt-tz(3.11)和henceF（t,eωt):=ee[eλtgt]=zrnexp eωtz-tzπ(z)dnz。（3.12）得到ZT=WF(t,Eωt)F(t,Eωt)。（3.13）对于高斯先验分布，Z可以显式求值。可以表明:f(t，eωt)=(2π)n/2∑1/2zexp eωtz-tz-(z-z)∑-1(z-z)dnz。（3.14）用∑(t)=[∑-1+tI]-1(3.15)和x:=z-z的新的正解矩阵∑(t)得到f(t,eωt)=exp eωtz-tz(2π)n/2∑1/2zexp[eωt-tz]x-x∑(t)-1×DNX。（3.16）然后，简单计算得出F(t,eωt)=S∑(t)∑exp-tz+eωtz+[eωt-tz]∑(t)[eωt-tz]。

（3.17）因此，MPR的条件期望由zt=z+∑(t)[eωt-tz](3.18)给出，使用一个简单的事实:ddt(∑(t)∑(t)-1)=0(3.19)可以很容易地确定为ddt∑(t)=-∑(t)。（3.20）因此，Z的动力学可以写成asd zt=-∑(t)ztdt+∑(t)deωt(3.21)，即d zt=∑(t)dnt。（3.22）我们使用了速记符号nt:=ntmt。3.2 Kalman-Bucy模型在这个模型中，我们假定zt（或“信号”）在（P,F）中遵循线性高斯过程:dZt=[μ-F zt]dt+δdvt(3.24),其中μ∈Rnandδ∈Rn×P,F∈Rn×n是常数。V表示与(W，B)无关的P维(P，F)布朗运动。假设MPR具有均值Z和协方差矩阵σ的先验高斯分布，通过deωt=ztdt+dωt进行观测。（3.25）在这种情况下，我们得到了一个众所周知的结果：d zt=[μ-F zt]dt+∑(t)dnt,z=z(3.26),其中∑(t)∈rn×nis是一个确定函数，它是以下函数的解:d∑(t)dt=δδ-F∑(t)-∑(t)f-∑(t)(3.27)，初始条件∑(0)=∑.我们假定∑(t)对于allt∈[0,t]是正的。在本文中，我们只给出了这个Kalman-Bucy模型的详细计算。对于Bayesian情况，通过简化μ=F=0并利用（3.15）中给出的相关∑(t)在相应公式中得到等价的结果，Kalman-Bucy格式在时间依赖的确定性条件下仍以相同的方式工作(μ(t),F(t),δ(t))。方程（3.26）和（3.27）只要用相应的随时间变化的函数代替常数就成立了。本文所有的讨论也都可以很好地推广到这种情况下。然而，在本文中，我们只处理Constant-Coe-Cients的情况。本文对Pham(2001)[18]中的有关文献进行了评述，作者也在贝叶斯和Kalman-Bucy框架下研究了MVH问题。本文考虑了市场可观测量仅为可交易股票，其中波动率函数σ(t，St)与不可交易指数无关的情况。此外，到期日T的套期保值目标可以用一个STand Y的函数给出，其中Y在测度p下是ft可测的，并且与stt无关。在我们的符号中，这也意味着θ与M无关，而α是不存在的。4一个均值方差对冲的BSDEs系统由于我们假设利率为零，所以在s<t处初始资本w的财富动态由wπt(s,w)=w+ztsπudsu(4.1)给出，其中π∈π是一个投资组合策略。这里，π表示满足适当可积条件的一组D维G-预测过程。我们的问题是solveV(t，w)=ess infπ∈ewπt(t，w)-h gt。（4.2）在本文中，我们假设H是一个GT可测的平方可积随机变量（因此投资者可以准确地知道最终负债），即H∈L(P，Mania&Tevzadze[13，15]证明了（使用更一般的设置）上述问题的解是由V(t)给出的，w)=wV(t)-2wV(t)+V(t)(4.3)其中V，Vand va是以下g BSDEs的解:V(t)=1-ZTTZ(s)+V(s)θSV(s)DS-ZTZ(s)DNS-ZTT(4.4)V(t)=H-ZTTT[Z(s)+V(s)θs]V(s)DS-ZTT(s)DNS-ZTT(4.5)V(t)=H-ZTTZ(s)+V(s)θs)DS-ZTT(4.5)s)dns-ztt'A(s)dms(4.6)，具有一定的正常数c，使得c<V，在等价鞅的存在性和一些温和的条件下。

这里，所有的{Zi,γi}都是具有适当维数的{Gt}适应过程，相应的最优财富过程由wπ*t(t,w)=w+ztt[z(s)+V(s)θs]V(s)[dns+θsds]-zttwπ*s(t,w)[z(s)+V(s)θs]V(s)[dns+θsds]给出。（4.7）使用关系式shipdns+θsds=σ-1(s，Ss，Ys)dSs(4.8)，可以很容易地从(4.7)中读出最佳套期保值位置为π*s=(σ-1)(s，Ss，Ys)V(s)n[z(s)+V(s)θs]-wπ*s[z(s)+V(s)θs]o。（4.9）在我们的Br ownian运动的设置中，利用It-Ventzell公式和V(t，wπ*t)的鞅性质，对最优策略进行了简单的推导。主要思想是附录a中解释的Brie City，关于It-Ventzell公式的详细解释可以在教科书[11]的3.3节中得到，作为一个广义的It-O公式。很有趣的是，在BSPDE和通常的HJB方程之间存在着直接的联系。关于这一点，请参见Mania&Tevzadze(2008)[14]中给出的讨论。5解Vby ODEsWe现在尝试为我们的Kalman-Bucyging模型解Vby。首先，利用0<c<V这一事实，我们将V,Zand进行如下变换:VL(t)=log V(t),ZL(t)=Z(t)/V(t),γL(t)='A(t)/V(t)。（5.1）简单的计算给出了一个二次增长BSDEVL(t)=-ZTT(ZL(s)-γL(s))+2θSZL(s)+θs DS-ZTTZL(s)DNS-ZTTγL(s)DMS。（5.2）二次增长BSDE(5.2)的唯一成分是Z，它具有线性高斯形式。不幸的是，二次增长BSDE(5.2)的存在性和唯一性的证明目前尚不清楚。这特别是由于其d河中存在无界MPR过程。对于有界MPRprocess的情形，我们可以借用Kobylansk I(2000)[9]中给出的p顶，也可以像Kohlmann&Tang(2002)[10]那样巧妙地处理（V,Z）的BSDE。下面我们将看到，我们至少可以通过在相应的区间t∈[0,t]上对一个普通的二次方程的有界解的存在性进行数值检验来证明它的存在性，我们假定该解具有以下形式:VL(t)=z ta[2](t)zt+a[1](t)zt+a[0](t)(5.3)其中{a[i]}是取值于a[2](t)∈rn×n,a[1](t)∈rnanda[0](t)∈R的确定性函数。我们可以把a[2]取为s y metric形式。然后，给出了它的应用公式:ZL(t)'AL(t)=∑(t)[A[1](t)+A[2](t)ZT]。（5.4）将此结果代入（5.2）,得到SDVL(t)=Na[1](t)(t)a[1](t)+H a[2](t)(t)+21(d，0)∑(t)a[2](t)+21(d，0)∑(t)a[2](t)+2a[2](t)∑(t)1(d，0)i ztodt+zl(t)dnt+'Al(t)dmt。（5.5）这里，我们定义了∑(t):=(∑d∑d)(t)-(∑m∑m)(t)(5.6)和∑d(∑m)是通过限制在∑(t)的最后d（最后m）行得到的d×n(m×n)矩阵，1(d，0)是对角矩阵，其中t d元素为1，其余元素为0。另一方面，zin(3.26)和it o公式的d y namics ddvl(t)=nàa[0](t)+μa[1](t)+tr(a[2](t)∑(t))+hàa[1](t)-f 2](t)μi ZT+Z

然而，a[2](t)在t附近的某一区间内仍然是清楚的。只要∑(t)有一个实际的大小，非吹升间隔似乎足够宽，适合实际应用。在任何情况下，A[2]的行为都可以很容易地用数值来检验。一旦我们将A[2]（因此也对(A[1],A[0]))的有界性限定为相关区间t∈[0,t]，我们可以看到（5.3）实际上是通过它在Ormula上的标准应用来满足BSDE的。然后保证了BSDE(5.2)解的存在性。实际上，Schroder&Skiadas(1999)[20]在递归效用的应用中已经讨论过这种方法，但就我们所知，Mania&Tevzadze方法在MVH问题上的应用是刚刚开始的。注：Fujii&Takahashi(2012)[3]到（5.2）提出的FBSDEs的微扰解方法的应用是有益的。在任意阶的扰动展开式下，我们可以发现VL=Z，(ZL，γL)具有线性形式Z，这就是我们注意到一个qu ad ratic形式解的存在的原因。6 Vas一个简单的前向期望，因为对于Vis线性dv(t)=[ZL(t)+θt][Z(t)+V(t)θt]dt+Z(t)dnt+'A(t)dmt(6.1),V(t)=H,我们有V(t)=ea H exp-ztt±θs+θszl(s)ds，很明显，我们有V(t)=ea H exp-ztt±θs+θszl(s)ds gt。（6.2）将μ=F=0并使用对应的∑(t)作为我们的贝叶斯m ODEL。这里，测度PAis由dPADP gt=ηt(6.3)确定，其中ηt=exp-Zt[ZL(s)+θs]dns-ZTZL(s)+θsds。（6.4）由p revious部分的结果，ZL+θ是线性高斯过程，因此上述测度变化可以由文[1]引理3.9得到，现在我们来求Ea（t,t):=Ea exp-Zttθs+θszl(s)ds gt。(6.5)exp()的变元具有二次高斯形式，并给出byA(t,t)=ea exp-zttn z sb[2](s)zs+b[1](s)zsods gt(6.6),其中b[2](t)∈rn×nand b[1](t)∈rn是确定函数:asb[2](t)=21(d，0)+1(d，0)∑(t)a[2](t)+a[2](t)∑(t)1(d，0)(6.7)b[1](t)=1(d，0)∑(t)a[1](t)=1(d，0)∑(t)a[1](t).（6.8）大家可能会注意到，这个问题等价于零息债券在二次高斯短期利率模型下的定价，我们实际上在下面借用了同样的技术。让我们集中讨论K alman-Bucy模型。贝叶斯模型的结果可以通过参数替换得到。在测度PA中，mprfollsd zt=[i(t)+κ(t)zt]dt+∑(t)dnAt(6.9),其中i(t):=μ-(∑d∑d)(t)a[1](t)κ(t):=-Hf+(∑d∑d)(t)a[2](t)+∑(t)1(d,0)i(6.10),nat=nt+zt(d,0)h∑(s)[a[1](s)+a[2](s)zs]+zsids与nts有关的（PA,G）布朗运动。（6.11）假设A的形式如下:A(t，t)=exp z tc[2](t)zt+c[1](t)zt+c[0](t)。（6.12）在{C[i]}中为了表示上的简单性而省略了参数T，当确定性f函数{C[i]}取C[2](T)∈Rn×n中的值时，C[1](t)∈Rn,C[0](t)∈R.from（6.6）,我们可以看到A的动力学是由da（t）给出的，T)=A(T，T)n z tb[2](T)zt+b[1](T)ztodt+(···)dnAt,（6.13）但是从（6.12）和Z的动力学告诉我们，T)=A(T，T)n z Tπ·c[2](T)+c[2](T)κ(T)+c[2](T)∑(T)c[2](T)T)+κ(T)c[1](T)+c[2](T)∑(T)c[1](T)zt+πc[0](T)+π(T)c[2](T)∑(T)+c[1](T)+tr）因此，可以看出，A的解由形式(6.12)给出，当且仅当{C[i]}解出以下代码1](t)∑(t)C[1](t)(6.17)，终端条件为C[2](t)=C[1](t)=C[0](t)=0。数值计算可以按(C[2]→C[1]→C[0])顺序进行。

由于C[2]的二次项，ODEs的解具有与A[2]的th e情况相同的th eir存在性问题。对于这个方程，当b[2](t)为正半未定时，非爆破条件就满足了（见[8,6])。当∑(t)很小时，s总是可能的，而b[2](t)为正半未定条件时，b[2](t)为正半未定条件时，b[8](t)为正半未定条件时，b[2](t)为正半未定条件。当条件不满足时，解的存在性一般依赖于成熟度。若{C[i]}存在解，则我们可以得到一个非常有用的正向测度patbydpatdpa gt=a(T，T)a(0，T)exp rt±θs+θszl(s)ds(6.18)，在该测度下，标准布朗运动由关系式natt=nt+zt(d，0)n∑(s)[a[1](s)+a[2](s)zs]+zsods-zt∑(s)[c给出。在该测度下，标准布朗运动由natt=nt+zt(d，0)n∑(s)[a[1](s)+a[2](s)zs][c Girsanov定理[1](s)+C[2](s)ZS]DS(6.19)。使用这个度量，我们现在可以把Vin表示成一个非常简单的表达式:v(t)=a(t，t)eathh gti。（6.20）一旦我们得到Vand V，在初始时刻t达到最小对冲误差的最优资本W*由W*=V(t)V(t)给出。（6.21）7蒙特卡罗方法在本节中，我们考虑如何通过蒙特卡罗模拟来评估（V,Z）和V，虽然ve对于确定最优套期保值头寸byeq.(4.9)并不是必需的，但需要获得最优值函数V(t,w）。为简化计算，我们设putxt:=styt(7.1)γ(t,Xt):=σ(t,Xt)0~σ(t,Xt)ρ(t,Xt)，(7.2)，则（P,G）下的相关动力学可以是w ritten asdxt=γ(t,Xt)[DNT+ztdt]。（7.3）在正向测度（PAT,G）中，它是dxt=γ(t,Xt)ndnatt+ρρ(t)+ρ(t)ztdto(7.4),其中，ρ(t):=∑(t)c[1](t)-1(d，0)∑(t)a[1](t)(7.5)∑(t):=1(0,m)+∑(t)c[2](t)-1(d，0)∑(t)a[2](t)(t)。（7.6）类似地，给出了在（PAT,G）中Z的动力学方程BYDZT=tφ(t)-Φ(t)ZT dT+∑(t)dnATt(7.7),具有确定性函数(φ，Φ):φ(t):=μ-(∑d∑d)(t)A[1](t)+∑(t)C[1](t)(7.8)Φ(t):=F+(∑d∑d)(t)A[2](t)+∑(t)1(d，0)-∑(t)C[2](t)(t)。（7.9）在其余部分，我们考虑了终端负债H由XT的某个函数给出的情形，即H=H(XT)。（7.10）7.1对（V,Z）的评估当然，在标准模拟中，对V(t)=A(t,t)eath(XT)gti(7.11)的评估可以通过在（PAT,G）下运行（XT,zt）来进行。对于Z的评估，我们需要引入三个随机变量(ζt,u,χt,u,eχt,u）,它们与在未来某一时刻(>t)的值Zu和Xu对其初始值在t时刻的微小变化的敏感性有关。对于1≤i,j≤n,(ζt,u)i,j:=zju(t,z)zi(7.12),它实际上是由以下ODE的解给出的:dζt,udu=-ζt,uΦ(u),(ζt,t)i,j=δi,j。（7.13）这里，符号ZU(t，z)强调ZU(t，z)是从时间t的值Z开始的。接下来的两个q元类似地被定义为(χt，u)i,J:=XJU(t，x，z)xi,(Eχt，u)i,J:=XJU(t，x，z)zi。（7.14）三个参数(t，x，z)表明x在时间t从x开始陈述，但它的未来值也取决于在时间t时z的值。我们可以证明它们分别遵循SDEsd(χt,u)i,j=(χt,u)i,k kγj(u,Xu)ndnatu+[ψ(u)+"e(u)zu]duu+(γ(u,Xu)㈡(u))j,k(ζ,u)k,idu(7.16),初始条件(χt,t)i,j=δi,j,eχt,t=0。在上述方程中，以及在本文的提醒中，我们经常使用所谓的爱因斯坦约定，它假定重复指标的总和。

例如，(7.15)应理解为invervePnk=1。利用上述随机序列，我们得到了z(t)'A(t)=V(t)∑(t)[c[1](t)+c[2](t)zt]+a(t，t)neatà(χt,t)i,j jh(XT)gtγi(t,XT)+eatà(eχt,t)i,j jh(XT)gt∑i(t)o(7.17)。这样，这些随机序列的模拟就提供了我们所需要的数量。注：从Delta敏感度计算z，在前面的公式中，我们得到了我们所需要的数量。引入了随机序列。为了使一次蒙特卡罗模拟成为可能，这个复杂性是不可避免的，这将在下一节中解释。然而，如果一个人只需要在时间t的对冲头寸（如果维数n不太大），我们可以采取一个简单的方法。正如我们可以从s tochastic temows的定义中想象的那样，(7.17)的第二条线也可以用通常的“delta”敏感性来估计:eat[(χT,T)i,j jh(XT)gt]=xieat[h(XT)gt]eat[(EχT,T)i,j jh(XT)gt]=zieat[h(XT)gt]。（7.18）因此，获得（V,Z）所需的模拟仅是用于估计（PAT,G）测量中的终端负债H(XT)及其对下垫物（X,Z）的D elta敏感性的模拟。7.2对(t<s<t)和(1≤r≤n),Zs(XT，χs，t，eχs，t):=A(s，t)H(XT)n∑(s)[C[1](s)+c[2](s)Zs]+zso+A(s，t)n(χs，t)i,j jh(XT)γi(s，Xs)+(eχs，t)i,j jh(XT)∑i(s)o。（7.19）我们还把ζ(s):=Z(s)'A(s)(7.20)作为一个较轻的记号。然后，很容易得到ζ(s)+V(s)zs=EAThZs(XT,χs,T,eχs,T)gsi。（7.21）注意，在给定bylt=dpatdp gt=exp zt[G(s)+K(s)zs]dns-ztg(s)+K(s)zsds(7.22)，其中G和K是确定函数asG(t):=∑(t)c[1](t)-1(d，0)∑(t)a[1](t)(7.23)K(t):=∑(t)c[2](t)-1(d，0)∑(t)a[2](t)-1(d，0)∑(t)a[2](t)-1(d，0)∑(t)a[2](t)-1(d，0)∑(t)a[2](t)-1(d，0).（7.24）则给出反关系式byl-1t=dpdpat gt=exp-zt[g(s)+K(s)zs]dnats-ztg(s)+K(s)zsds。（7.25）由于V遵循线性BSDE，因此很容易得出以下结论:V(t)=E H(XT)-ZTTE-VL(s)[ζ(s)+V(s)ZS](d，0)[ζ(s)+V(s)ZS]DS GT。（7.26）将测度改为PAT,可表示为:V(t)=Lteathl-1 th(XT)-Zttl-1 se-VL(s)eatut^zs(XT,χs,t,eχs,t)gs×1(d，0)eat^zs(XT,χs,t,eχs,t)gs ds gti。（7.27）不幸的是，上述表达式的简单计算需要顺序的MonteCarlo模拟，在数值上似乎过于繁琐，在实际中没有用处。然而，有一种很好的方法叫做粒子方法来计算复杂的期望。该方法描述了一个物理的s-y杆，其中多个粒子拷贝在遵循g泊松定律的随机相互作用时间内重新生成。创建后，属于一个共同物种的粒子遵循相同的概率定律，但被驱动byindepen dent Brownian运动。这一思想是McKean(1975)[17]在求解一类半线性偏微分方程时引入的，并在以后的许多研究领域得到了应用。对于目前的问题(7.27)，我们引入一个确定性强度λt，并用τ来表示与随机相互作用时间相关的关系。则V(t)可表示为V(t)=lteathl-1 th(XT)gti-1{τ>t}LtEATh{t<τ<t}l-1τe-vl(τ)+rτtλudu×λτzτ(XT,χτ,t,eχτ,t)p=1(d，0)zτ(XT,χτ,t,eχτ,t)p=2gti。（7.28）这里的底物（或“粒子”）(X，z，χ，eχ)属于(p=1)或(p=2)，它们遵循的SDEs分别具有相同的f orm(7.4)、(7.7)、(7.15)和（7.16）,但由两个独立的n维布朗运动nAT(p=1)和nAT(p=2)驱动。这篇文章的表示允许一次非顺序的MonteCarlo模拟。

关于粒子方法作为BSDEs求解技术的详细情况，见Fujii&Takahashi(2012)[4]，以及Fujii等人(2012)[5]作为美国期权定价的具体应用。只要存在{a[i]}和{C[i]}的解，所解释的过程允许usto获得解f或SEC中给出的三个BSDEs。然而，在一个非常普遍的设置下，在一个挥发市场中及时更新套期保值头寸可能是困难的，此外，似乎几乎不可能通过当前方法中的模拟（4.7）来分析被套期保值投资组合的分布，从风险管理的角度来看，这对套期保值投资组合可能是重要的。在本文的其余部分，我们给出了一个显式可解的例子和一个渐近展开的方法来回答这个问题。8一个简单的可解的例子在本节中，我们考虑了一个可解的情形，其中项inal负债只依赖于非可交易指数yi∈{Y}obsH(XT)=yit。（8.1）设γi(t,Xt)=yitσy，其中σy∈Rnis是一个n维常数向量，则从（7.4）出发，(PAT,G）下指数的动力学可以是:yis=yisσyρρ(s)+θ(s)zs ds+yisσydnats。（8.2）为了求出V，只需计算eeat voryitgt=yiteat exp zttσyρρ(s)+(s)zs ds gt即可。（8.3）由于它有一个A-ne结构，人们可以用评估A(t，t)所用的the e samemethod来评估上述期望。一个人可以表明，T):=eat exp zttσy(θs)+θ(s)zs ds gt(8.4)可由deterministic函数(β[1](T)∈Rn,β[0](T)∈R)和ztasp(T,T)=expβ[1](T)zt+β[0](T)(8.5)表示，其中{β[i]}解下列方程:πβ[1](T)=Φ(T)β[1](T)-(T)σy(8.6)πβ[0](T)=Φ(T)β[1](T)-φ(T)β[1](T)∑(T)β(T)=φ(T)β[1](T)∑(T)β[1](T)-ψ(T)σy(8.7)，终端条件β[1](T)=β[0](T)=0。现在，从上述论证中，我们得到Sv(T)=YItA(T,T)P(T,T）。(8.8)Ito公式的一个简单应用给出了Z(t)'A(t)=V(t)nσy+∑(t)ut+β[1](t)+C[2](t)Zto。（8.9）一旦我们计算并存储了所有相关的确定性函数，就可以通过标准蒙特卡罗模拟直接求出VfromV(t)=E“(YIT)-ZTTZ(s)+V(s)θSV(s)ds gt#(8.10)。8.1使用可解例题的数值试验我们提供了一个有趣的数值例子来检验我们的程序的一致性。在这个可解的例子中，我们可以直接运行（4.7）中给出的最优财富过程wπ*t.因此，可以比较V(0,w)=wV(0)-2wV(0)+V(0)（由ODEs获得）和(8.10)的标准蒙特卡罗模拟，Wi[(yit-Wπ*t)]通过对YI和wπ*运行s模拟直接获得）。图1:V(0,w)=wV(0)-2wV(0)+V(0)和直接模拟E(yit-Wπ*t)的比较。实线是基于V(0，w)和{*}的二次型，而{*}是直接模拟财富得到的。横轴表示初始资本的大小。图2：初始资本w={0,0.5,1,1.5,2}的适当选择下(yit-wπ*t)的分布。我们使用以下参数(n=3,d=2):z=0.30.30.1,μ=0.060.060.02,F=0.2 0.07 0.050.07 0.2 0.030.05 0.03 0.2δ=0.3 0.15-0.10.15 0.3-0.08-0.03-0.07 0.3,∑=0.2 0.1-0.010.1 0.2-0.05-0.05 0.2（8.11）和σy=(-0.07,-0.12,0.27)(8.12)，初始值yi=1。对于T=0.5，我们得到V（8.12）。0)=0.9263,V(0)=0.9399，通过数值溶剂化，在（100,000+100,000反向）路径后，V(0)=0.9974,步长sizedt=2×10-3。Vsimu的标准误差约为4×10-4。在无花果。1.将V(0，w)的二次型与直接模拟的结果进行了比较，在（3.24）中取p=3。