关于折射L\'evy风险过程在红色中的花费时间

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摘要翻译：
本文引入了一个具有自适应保险费率的保险破产模型，并将其称为重组/折射模型，在此模型中区分了经典破产和破产。在该模型中，当财富过程跌入红区时，保险费率就会提高，当过程恢复时，保险费率就会恢复到正常水平。分析主要集中在一个折射的L\\\'evy风险过程在红区花费的时间（类似于负盈余的持续时间）。基于Kyprianou和Loeffen(2010)和Loeffen等人的结果。(2012)，我们确定了与折射谱负L\\\'evy过程占据时间有关的各种函数的分布。例如，这些结果被用来计算重组模型的破产概率和巴黎破产概率。
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英文标题：
《On the time spent in the red by a refracted L\\\'evy risk process》
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作者：
Jean-Fran\\c{c}ois Renaud
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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英文摘要：
  In this paper, we introduce an insurance ruin model with adaptive premium rate, thereafter refered to as restructuring/refraction, in which classical ruin and bankruptcy are distinguished. In this model, the premium rate is increased as soon as the wealth process falls into the red zone and is brought back to its regular level when the process recovers. The analysis is mainly focused on the time a refracted L\\\'evy risk process spends in the red zone (analogous to the duration of the negative surplus). Building on results from Kyprianou and Loeffen (2010) and Loeffen et al. (2012), we identify the distribution of various functionals related to occupation times of refracted spectrally negative L\\\'evy processes. For example, these results are used to compute the probability of bankruptcy and the probability of Parisian ruin in this model with restructuring.
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PDF下载：
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关键词：花费时间 Applications Differential Quantitative distribution

关于一个折射的Lévy RiskProcessJean-Francois Renaudabract在红色中度过的时间。本文介绍了一种具有自适应保险费率的保险破产模型，并将其称为重组/折射模型，在此模型中区分了经典破产和破产。在这个模型中，当财富过程跌入红区时，保险费率就会增加，当过程恢复时，保险费率就会恢复到正常水平。分析主要集中在折射Lévy风险过程在红区的时间（类似于负盈余的持续时间）。在[10]和[15]结果的基础上，我们确定了与折射光谱负过程占据时间有关的各种泛函的分布。例如，这些结果被用来计算该模型的破产概率和巴黎破产概率。引言在经典的破产精算理论中，当剩余过程在一段时间内低于某一阈值时，违约的时间被归结为发生的时间。在不丧失一般性的情况下，由于大多数剩余过程的空间同质性，这个阈值水平通常被假定为艺术水平0。出于偿付能力的目的，将这一门槛水平视为由监管机构设定的保险公司偿付能力资本要求(SCR)更为合适。因此，最近引入了新的风险概念和模型：巴黎破产（见[4]、[14]、[13])、随机观测（见[1])和欧米茄模型（见[2]、[6]和[3])，我们的目标是引入一个将违约和破产分离并考虑重组的保险破产模型。事实上，当企业陷入财务困境时，即当盈余过程低于临界水平时，似乎很有可能会进行某种重组。我们提出了一个具有自适应保费的模型，即当盈余过程进入相应区域时，保费就会增加，当情况好转时，保费就会恢复到正常水平；人们认为这种危急的情况是由于暂时的运气不好。因此，我们将用Kyprianou和Loe\'en[10]研究的RefractedLévy风险过程作为我们的盈余过程。最后，我们建议在一个具有重组的Lévy风险模型（一个refracted Lévy risk mo del）中研究破产/违约的与占用时间相关的di。由于使用Lévy过程作为潜在剩余过程的一般性，我们的模型是非常可处理的，这要归功于Kyprianou和Loe en[10]的工作和他们所获得的结果恒等式。这种类型的风险过程传统上被用来建立具有恒定阈值股利策略的模型；参见[10]和[11]中的参考文献。最近，载于[12]，日期：2018年8月4日。关键词和短语。光谱负Lévy过程，折射，占用时间，破产，巴黎人破产。给出了折射Lévy过程直到通过次数的占用时间分布的若干恒等式。我们不是直接借用[12]的结果，而是使用[15]的结果和技术来推导（更一般的）只表示底层过程的尺度函数的结果。因此，我们关于折射LévyProcesses占用时间分布的新恒等式可以构成理论基础，进一步发展Recreturing/Refraction1.1.1的LévyRisk模型中的一组风险度量。模特。让你成为利益的剩余过程。我们选择b>0作为代表保险公司偿付能力资本要求的阈值水平。一旦低于这一临界水平，重组将进行，即大型企业的保费将（暂时）增加。

当U恢复时，也就是当U再次超过b时，事情就会恢复到最初的状态。换句话说，我们认为能级b是电平，区间(-∞,b）是红区；当盈余过程U低于b时，业务的结构化就开始了，并通过过程漂移的增加来实现。直观地说，我们对以下动态感兴趣:dut=dyt+α1{ut<b}dt，或者等效地，ut=yt+αzt{us<b}ds，其中Y是s tandard业务期间的潜在（不受控制的）风险过程。然而，为了便于表述，也就是为了使我们的论文在符号上更接近于[10]，我们将转而使用以下等价的观点：我们将剩余过程的动态设置在thered区域，当它超过b时将其折射。在数学上，设X是一个风险过程，并将U定义为:α<E[X],dut=dxt-α1{ut>b}dt.例如，如果X的形式为xt=ct-st,其中c>α代表保险费率，无漂移的从属者S=(St)t≥0代表索赔总额，则U在红区（b下方）有一个漂移值c，在b上方有一个漂移值c-α。这包括作为特例的克拉梅尔-伦德伯格风险过程。我们的主要结果给出了κ-a,Zκ-a{Us<b}ds！和κ+c,Zκ+c{Us<b}ds！的联合拉普拉斯变换，其中a≤X,b≤c,以及κ-a和κ+考虑通过时间，用所谓的潜在Lévy过程X和Y的标度函数表示。这些量将用于研究U的破产概率和巴黎破产概率。其次，我们介绍了谱负Lévy过程和折射Lévy过程，包括一些涉及尺度函数的有用恒等式。第3节给出了本文的主要结果，第4节和第5节分别给出了推论，并将其应用于破产概率和巴黎破产概率的计算。谱负Lévy过程在给定概率空间(Ω,(Ft)t≥0,P）上，设X=(Xt)t≥0为谱负Lévy过程(SNLP),即具有s个独立增量且无正跳的过程。因此，我们排除了X是从属子的负数的情况，即我们排除了X具有递减路径的情形。X定律，使得X=X用px表示，ex表示期望。当x=0时，我们写P和E。由于Lévy pro cess X没有正跳跃，它的Laplace变换存在：对于λ，t≥0,Eheλxti=etψ(λ),其中φ(λ)=γλ+σλ+z∞e-λz-1+λz1(0,1](z)π(dz),对于γ∈R和σ≥0,其中π是(0，∞)上的一个σ-测度，如z∞(1z)π(dz)<∞,这个测度称为X的Lévy测度，而(γ，σ，π)称为X的Lévy三元组。注意，为了方便起见，我们对Lévy测度的定义是，它是在正半线上的测度，而不是在负半线上的测度。另外，注意E[X]=ψ\'(0+)。过程X有界变差路径当且仅当σ=0 andrzπ(dz)<∞。在这种情况下，我们用c:=γ+Rzπ(dz)>0表示X的所谓漂移，现在可以写成xt=ct-st，其中S=(St)t≥0是一个无漂移的从属子（例如一个带有正跳跃的伽马过程或复合泊松过程）。当S为复合Poisson过程，E[X]=ψ\'(0+)>0时，我们恢复了经典的Cramér-Lundberg风险过程。最后，如果π(dz)0是布朗运动Risk pro,即X可以写成asxt=ct+σBt,因为c=γ,其中B=(Bt)t≥0是一个标准布朗运动。在精算风险理论文献中，SNLPs被称为一般莱维保险风险过程。标度函数和用益恒等式。对于任意SNLP,Laplace指数φ是严格凸的,且Limλ→∞φ(λ)=∞。

因此，存在一个函数Φ:[0,∞)→[0,∞)由Φ(q)=sup{λ≥0Φ(λ)=q}（它的右逆）所定义，使得Φ(Φ(q))=q,q≥0。我们有Φ(q)=0当且仅当q=0且Φ\'(0+)≥0。现在我们回想起q尺度函数W(q)的定义。对于q≥0,过程X的q尺度函数可以定义为具有拉普拉斯变换的连续函数Z∞e-λyw(q)(y)dy=ρ(λ)-q,对于λ>Φ(q).4j-f。RENAUDThis函数在x≥0时是唯一的、正的和严格递增的，在q≥0时是进一步连续的。通过对x<0设置W(q)(x)=0，我们将W(q)推广到整条实线。当q=0时，我们写W=W(0)。当σ=0和rzπ(dz)<∞,0时，W(q)的初值已知为beW(q)(0)=(1/c),否则，我们使用了以下知识:W(q)(0)=limx↓0 W(q)(x)。我们还经常使用以下函数z(q)(x)=1+qZxW(q)(y)dy,x∈r.将α>0固定下来，y=(Yt)t≥0由Yt=xt-αt。下面，如果X有界变分路径，则假定(1)0<α<c=γ+z(0,1)zπ(dz)，这个条件是非常直观的。事实上，回想一下，当过程X有边界变化路径时，我们可以写xt=ct-st，其中S=(St)t≥0是一个无漂移的从属子。条件（1）说我们不想去除所有的漂移。显然，Y也是一个光谱负Lévy过程；实际上，它具有与X相同的高斯Coe cientσ和Lévy测度π，它的Laplace指数由λ7→ψ(λ)-αλ给出，右反式λ(q)=sup{λ≥0:ψ(λ)-αλ=q}。Y的定律使得Y=Y用py，相应的期望用ey表示。当q≥0时，我们对与Y有关的标度函数写出W(q)和Z(q)。现在，对于任意a,c∈R,根据inf=∞的约定，求出下列停止时间τ-a=inf{t>0:xt<a}和τ+c=inf{t>0:xt>c},ρ-a=inf{t>0:yt<a}和Ⅴ+c=inf{t>0:yt>c}。众所周知，如果a≤x≤c，则x的双边退出问题的解由(2)exhe-qτ+c给出；τ+c<τ-AI=W(q)(x-a)W(q)(c-a)，(3)exhe-qτ-a；τ-a<τ+ci=Z(q)(x-a)-Z(q)(c-a)W(q)(c-a)W(q)(x-a)，其中，对于随机变量Z和事件a，e[Z；a]:=e[Z1A]。最后，一般情况下，破产的经典概率由(4)pxτ-<∞=1-(E[X]ü0)W(X)给出，其中E[X]=ρ′(0+),当然，对于Y也有同样的结果；例如，EXHE-Q'A+C；v+c<v-ai=W(q)(x-a)W(q)(c-a).2.2。折射Lévy过程。固定b>0，并考虑以下随机二元方程:(5)dut=dxt-α1{ut>b}dt，t≥0。定理1（Kyprianou和Loe[10])。对于x=x∈R，方程（5）存在唯一的强解U=(Ut)t≥0。另外，U是一个强马尔可夫过程，我们给出了折射过程的证明恒等式。首先，我们定义了以下与U（以及与底层SNLPs X和Y的尺度函数）有关的函数：forx,a∈R和q≥0,定义新(q)(X；a)=W(q)(x-a)+α1{x≥b}ZxbW(q)(x-y)W(q)′(y-a)d y,z(q)(x；a)=Z(q)(x-a)+αq1{x≥b}ZxbW(q)(x-y)W(q)(y-a)dy。注意当x<b时，W(q)(x；a)=W(q)(x-a),z(q)(x；a)=Z(q)(x-a)，h(q)(x)=EΦ(q)x。大部分符号遵循[9]。正如我们现在所看到的，我们可以把这些函数看作是分形过程u的标度函数。首先，f或任一个a，c∈R，求出f的ollowing停止时间κ-a=inf{t>0:ut<a}和κ+c=inf{t>0:ut>c}。下一个结果给出了u的双边退出问题的解。它实质上是[10]中定理4（另见[9])的重述，并推广了方程（2）和（3）中对应于α=0情形的表达式。定理2（Kyprianou和Loe en[10])。对于q≥0，a≤x，b≤c，我们有-qκ+c；κ+C<κ-AI=w(q)(x；a)w(q)(c；a)，和exhe-qκ-a；κ-a<κ+CI=z(q)(x；a)-z(q)(c；a)w(q)(c；a)w(q)(x；a）.证明。文[10]已经证明了a=0的情形。

对于a≤x,b≤c的a∈R，我们利用u:exhe-qκ+c的水空间齐性；κ+C<κ-AI=ex-Ahe-Q～κ+C-A；～κ+c-a<～κ-i，其中～κ+c-a、～κ-表示与溶液Ofut=xt-αzt{us>b-a}ds相关的停止时间，t≥0.6j.-f。利用文献[10]中的定理4，改变变量，我们得到ex-ahe-q～κ+c-a；～κ+c-a<～κ-i=W(q)(x-a)+α1{x-a≥b-a}zx-ab-aw(q)(x-a-y)W(q)\'(y)dy=W(q)(x-a)+α1{x≥b}ZxbW(q)(x-y)W(q)\'(y-a)d y，结果如下。第二个标识也是以同样的方式导出的。最后，给出了折射Lévy过程的经典破产概率bypxκ-<∞=1-E[Y]ü01-αw(b)w(0)(X；0)，其中E[Y]=E[X]-α。在我们的例子中，由于假定α<e[X]（净条件），我们有(6)pxκ-<∞=1-e[X]-α1-αw(b)w(0)(X；0)=1-e[X]-α1-αw(b)w(X)+α1{X≥b}ZxbW(x-y)w′(y)dy。如果不进行重组，即如果α=0，则U=X=Y，模型中只有一个过程。那么，破产的概率就是（4）中给出的概率。注2.2。值得注意的是，U以及{w(q),q≥0}和{z(q),q≥0}都依赖于α和b的规定值。在说明本文的主要结果之前，我们给出了几个与二阶函数有关的恒等式。我们可以（通过在方程两边进行拉普拉斯变换）证明，对于p,q,x≥0,αzxw(p)(x-y)W(q)(y)dy+(p-q)ZxZyW(p)(y-z)W(q)(z)dzdy=zxw(p)(y)dy-zxw(q)(y)dy，这是文[10]第8节所示方程的推广。关于x的di-herentiation得到如下恒等式(7)(q-p)ZxW(p)(x-y)W(q)(y)dy=W(q)(x)-W(p)(x)+αW(q)(0)W(p)(x)+ZxW(p)(x-y)W(q)′(y)dy，它是[15]中方程（5）的推广。进一步，我们推导出，对于x>b，(8)w(q)(x；0)=1-αw(q)(0)w(q)(x)-αzbw(q)(x-y)w(q)′(y)dy.2.3。一个例子。SNLPs有许多例子，其中标度函数W(q)有一个显式公式。例如，当X是具有两个多项式之比的跳跃分布的复合Poisson过程风险过程时，标度函数1/(ρ(λ)-q)的拉普拉斯变换也是有理函数，且标度函数W(q)的非显式表达式已知。换言之，xt=ct+σbt-ntxi=1ζi,其中σ>0,c∈R,B=(Bt)t≥0是布朗运动，N=(Nt)t≥0是强度η>0的泊松过程，{ζ,ζ,...}是具有公共概率密度函数的iid（正）随机变量，其给定函数为fζ(y)=nxi=1aiαi-αiy！{y>0}，其中n为正整数，0<α<α<。.<αnandpni=1ai=1,其中alli=1的ai>0。...N.对于λ>-α的情况，X的拉普拉斯指数可由φ(λ)=Cλ+σλ+ηnxi=1aiαiλ+αi-1！清楚地给出。在这种情况下，E[X]=ψ\'(0+)=c-ηnxi=1aiαi。对于q>0或ψ\'(0+)6=0，可以写（参见例如[15])ψ(λ)-q=n+2xi=1ψ\'θ(q)iλ-θ(q)i-1，对于λ∈R\\nθ(q)，..，θ(q)n+2oé{α,....,αn}，其中θ(q)>θ(q)>。>θ(q)n+2是λ7→ψ(λ)-q的根，且θ(q)=Φ(q)和θ(q)n+2<-αn<θ(q)n+1<-αn-1<θ(q)n。.。<-α<θ(q)<θ(q)，因为这里假定σ是严格正的。总之，通过拉普拉斯反演，对于q>0或对于q=0和θ′(0)6=0，我们得到了对于x≥0w(q)(x)=n+2xi=1eθ(q)ixθ′θ(q)i，Z(q)(x)=qpn+2i=1eθ(q)ixθ′θ(q)iθ(q)ii，如果q=0.8j.-f。当然，W(q)和Z(q)看起来是一样的（我们只需要在上述过程开始时将c改为c-α)。因此，计算这些标度函数的导数和积分，特别是w(q)和z(q)的表达式，将是非常容易的，这要归功于所有这些标度函数的形式。

我们也可以有相位型分布的随机变量，而不是指数的混合，并且仍然得到标度函数f是指数函数的和。参见[5]。另一方面（当考虑到其他不知道q-s凯尔函数显式形式的例子时），有很好的数值方法来处理拉普拉斯反演（CF。[7,5节]详细讨论了标度函数的Laplace反演。最后，关于谱负Lévy过程及其在破产理论中的应用，可参阅[8,9]。对于与尺度函数计算有关的例子和数值技术，我们建议看[7]。我们导出了κ-a,Zκ-a{Us<b}ds！和κ+c,Zκ+c{Us<b}ds！的联合拉普拉斯变换，其中a≤x,b≤c,由此导出所有后续结果。例如，请注意，随机变量κ-a{Us<b}ds是U在b（红区的占据时间）以下所花费的时间，直到到达层a为止。由于U的马尔可夫性质，我们的主要结果的结构与[15]相同（见定理1）。注意，我们将自己限制在红区中的时间，而不是任何间隔；我们的方法将适用于任何区间，代价是更复杂的表达式，即额外的卷积项。定理3。对于a≤x,b≤c,p,q≥0,ex e-pκ+c-qrκ+c{us<b}ds；κ+c<κ-a=w(p+Q)(x；a)-qRxbW(p)(x-Y)w(p+Q)(y；a）dyw(p+Q)(c；a)-qRcbW(p)(c-Y)w(p+Q)(y；a）DY。ANDEX E-Pκ-A-QRκ-a{US<B}DS；κ-a<κ+c=z(p+q)(x；a)-qZxbW(p)(x-y)z(p+q)(y；a)DY+z(p+q)(c；a)-qRcbW(p)(c-y)z(p+q)(y；a)-qRcbW(p)(c-y)w(p+q)(y；a)DY×w(p+q)(x；a)-qZxbW(p)(x-y)w(p+q)(y；a)-qZxbW(p)(x-y)w(p+q)(y；a)DY×w(p+q)(x；a)-qZxbW(p)(x-y)w(p+q)(y；例如，我们将推导出计算该模型中的破产概率和巴黎破产概率所需的几个结果。对于α=0的情形，它们是文[15]中所得结果的推广。另外，我们的结果改进了文[12]的结果，因为我们处理的是p>0的情况，并且我们考虑了一般的起点X。在证明定理3之前，我们需要下面的技术定理3.1。技术引理。这里是[10]中定理16的一个推广，其精神是[15]中的引理2.1。回想一下，W(q)和Z(q)是与X有关的尺度函数，而W(q)和Z(q)是与Y有关的尺度函数。引理3.1。对于所有p，q≥0和x，c，使得b≤x≤c，exhe-p'A-bw(q)(y'A-b)；§b<'A+ci=w(q)(x；0)-(q-p)ZxbW(p)(x-y)w(q)(y；0)dy-w(p)(x-b)w(p)(c-b)w(q)(c；0)-(q-p)ZcbW(p)(c-y)w(q)(y；0)dy。和exhe-p'A-bz(q)(y'Ab)；§b<'A+ci=z(q)(x；0)-(q-p)ZxbW(p)(x-y)z(q)(y；0)dy-w(p)(x-b)W(p)(c-b)z(q)(c；0)-(q-p)ZcbW(p)(c-y)z(q)(y；0)dy。当x≥b时，由于px下的{Yt,t<'A-b}与px下的{Ut,t<κ-b}具有相同的规律，我们得到了-p'A-bw(q)(y'A-b)；§b<§+ci=exhe-qκ-bw(q)(Uκ-b)；κ-b<κ+ci。因此，根据[15]中引理2.1,它可以表明exhe-qκ-bw(q)(uκ-b；0）；κ-b<κ+CI=w(q)(x；0)-w(q)(x-b)w(q)(c-b)w(q)(c；0）。后者很容易利用U的强马尔可夫性质（见定理1）和对U的双边退出问题的推导（见定理2）得到：实际上，对于b≤x≤c，我们可以写w(q)(x；0)w(q)(c；0)=exhe-qκ+c；κ+C<κ-I=exhe-qκ+C；κ+C<κ-Bi+EXHE-Qκ+C；κ-b<κ+c<κ-I=W(q)(x-b)W(q)(c-b)+ex e-q'A-bey'A-bhe-qτ+b；τ+b<τ-i；§b<§+c=W(q)(x-b)W(q)(c-b)+eBhe-qκ+c；κ+C<κ-Iex“E-Q'A-BW(q)(y'A-b)W(q)(b)；'A-b<'A+C#,其中我们再次使用了当x≥b时Px下的{Yt,t<b}和Px下的{Ut,t<κ-b}具有相同的规律，但当j.-f.RENAUDx≤b时{Xt,t<τ+b}和{Ut,t<κ+b}在Px下具有相同的规律。

从w(q)(·)的认识出发；0)，我们知道W(q)(·)和W(q)(·；0）与(-∞,b]重合，所以我们有W(q)(y'A-b)=W(q)(y'A-b；0).如文[15]所示，对于q≥0，我们可以将V(q)b(Y)定义为与由正的可测函数V(q)(x),x∈(-∞,∞)组成的SNLPY相关联的函数空间，该函数空间满足:(9)exhe-q'A-BV(q)(Y'A-b)；'A-b<V+ci=V(q)(x)-W(q)(x-b)W(q)(x-b)W(q)(c-b)V(q)(c)，b≤x≤c。由上述计算可知，W(q)(·；0)satis firegesproperty(9)，因此w(q)(·；0)∈V(q)b(Y),对于所有q，b≥0。这一结果与文[15]引理2.1一致，同样可以证明z(q)(·；0)∈V(q)b(Y),对于所有q，b≥0。3.2.定理3的证明。固定a≤b≤c，对于p，q≥0。对于x∈[a,c],defunneV(x)=ex e-pκ+c-qrκ+c{us<b}ds；κ+C<κ-a。利用X的强马尔可夫性质，证明X向上是s无KIP的，(2)我们可以写出：对于a≤X<b,v(X)=v(b)exhe-(P+Q)κ+b；κ+b<κ-AI=v(b)exhe-(P+q)τ+b；τ+b<τ-ai=v(b)W(p+q)(x-a)W(p+q)(b-a)。类似地，对于b≤x≤c，我们有v(x)=exhe-pκ+c；κ+C<κ-Bi+EXHE-Pκ-BV Uκ-B；κ-b<κ+CI=W(p)(x-b)W(p)(C-b)+V(b)W(p+q)(B-a)EXHE-Pκ-BW(p+q)Uκ-B-A；κ-B<κ+CI.(10)我们现在假定X具有有界变化的路径。在这种情况下，我们有W(p)(0)6=0，因此在（10）产量(11)v(b)=W(p)(0)/W(p)(c-b)1-W(p+q)(b-a)eBHe-pκ-bw(p+q)uκ-b-a中设置x=b；κ-b<κ+ci。由于px下的{Yt,t<'A-b}和px下的{Ut,t<κ-b}在x≥b时具有相同的规律，并且根据Y的空间均匀性，我们得到了-pκ-bw(p+q)uκ-b-a；κ-B<κ+CI=Ebhe-P'A-BW(P+Q)Y'A-B^aA；§b<§+ci=EbTMAHETMP§B-AW(p+q)y§B-A；使用引理3.1，我们得到了bhe-pκ-bw(p+q)uκ-b-a；κ-b<κ+CI=w(p+Q)(B-A；B-A)-w(p)(0)w(p)(C-B)w(p+Q)(c；a)-qZcbW(p)(C-Y)w(p+Q)(y；a)DY，其中w(p+Q)(B-A；B-A)=w(p+Q)(B-A)。将此插入（11）产量sv(b)=w(P+q)(b-a)w(P+q)(c)；a)-qRcbW(p)(c-y)w(p+q)(y；a）dy。把刚刚得到的v(b)的值插入到（10）中，再用引理3.1得到a≤x≤c,v(x)=w(p+q)(x；a)-qRxbW(p)(x-y)w(p+q)(y；a）dyw(p+q)(c；a)-qRcbW(p)(c-y)w(p+q)(y；a）dy。使用与[15]相同的近似过程（另见[12])得到X有无界变差路径的情形。定理第二部分的证明与[15]相似。为了简洁起见，细节留给读者。破产概率我们现在应用我们的主要结果来计算破产概率。如前所述，我们认为水平b是偿付能力资本要求水平，区间(-∞,b）是红区。对于破产，我们选择以下判断：如果你在红区花费了太多时间，或者如果你跌落得太深，那么就宣布破产。更准确地说，当q>0时，将函数ω:R→[0,∞)定义为ω(x)=0,当x≥b,当0≤x<b,当x<0时q,当x<0时∞。而相应的破产时间ρω定义为ρω=inf t>0:ztω(Us)ds>e,其中ee是一个独立的指数分布随机变量，速率为1。因此，当U在0和b之间时，破产以q率发生，当U低于0时，破产立即发生。选择0作为最终可接受的盈余水平是任意的，不受限制。这种对破产的认识是从欧米茄模型中借来的，在欧米茄模型中，函数ω被称为破产率f。通常，比率函数被选择为在临界水平之上等于零的递减函数（在我们的例子中是b)，这样在这种情况下就不会发生破产。在[2]中引入了这一族模型，并在[6]中进一步研究了带漂移的布朗运动，[15]中研究了谱负Lévy过程，[3]中研究了复合泊松过程和更一般的破产率函数。所有这些论文都是讨论α=0.12J.-F的情况。

RENAUDSupp认为正加载条件成立，在我们的模型中，这意味着E[X]>α.这意味着破产几乎肯定不会发生（见等式(6))，如果破产发生了，我们认为要么破产发生在盈余介于0和b之间，要么破产是由于thesurplus过程下降到0以下。数学上，对于任意初始盈余x∈R，wecleary有如下关系:1=Px(0≤uρω<b,ρω<∞)+Px(uρω<0,ρω<∞)+Px(ρω=∞)。当盈余在0和b之间时发生破产的概率为byPx(0≤uρω<b,ρω<∞)=pxzκ-ω(Us)ds>e！=1-ex e-qrκ-{Us<b}ds。同样，由于盈余过程下降到0以下而发生破产的概率为byPx(uρω<0,ρω<∞)=pxzκ-ω(Us)ds≤e,κ-<∞！=ex e-qrκ-{Us<b}ds。ds；κ-<∞。总之，答案包含在以下推论中：推论1。假设净性能条件E[X]>α被验证。(i)对于X,b,q≥0,ex e-qrκ-{Us<b}ds；κ-<∞=z(q)(x；0)-qZxbW(x-y)z(q)(y；0)dy+(E[x]-α)+qrb z(q)(y)-αw(q)(y)z(q)(b)-αw(q)(b)×w(q)(x；0)-qZxbW(x-y)w(q)(y；0)dy.(ii)对于x,b,q≥0,ex e-qrκ-{us<b}ds；κ-=∞=(E[X]-α)w(q)(X；0)-qRxbW(x-y)w(q)(y；0)dyZ(q)(b)-αw(q)(b)证明。对于第（一）部分，我们显然有e-qrκ-{us<b}ds；κ-<∞=limc→∞ex e-qrκ-{us<b}ds；κ-<κ+C.从定理3我们知道E-qrκ-{Us<b}ds；κ-<κ+C=z(q)(x；0)-qZxbW（x-y）z(q)（y）；0)dy+z(q)(c；0)-qRcbW（c-y）z(q)（y）；0)dyw(q)(c；0)-qRcbW（c-y）w(q)（y）；0)dy×w(q)(x；0)-qZxbW（x-y）w(q)（y）；0)dy。当c>b时，w(q)(c；0)-qZcbW（c-y）w(q)（y）；0)dy=1-αW(q)(0)W(c)+qZbW(c-y)W(q)(y)dy-αzbw(q)\'(z)W(c-z)+qzb-zw(c-z-y)W(q)(y)dy。为了证明最后一个恒等式，我们使用方程（7）和（8）；细节留给读者。因此，由于假设α<e[X]我们有limc→∞W(c)=(ρ′(0+)-α)-1=(E[X]-α)-1，然后我们得到（利用单调收敛定理）limc→∞W(q)(c；0)-qRcbW（c-y）w(q)（y）；0)dyW(c)=1-αw(q)(0)z(q)(b)-αzbw(q)′(z)z(q)(b-z)dz.通过部分积分（或在两边进行拉普拉斯变换）得到z(q)(x)-αw(q)(x)=1-αw(q)(0)z(q)(x)-αzxw(q)′(y)z(q)(x-y)dy。我们还可以证明，对于c>b，z(q)(c；0)-qZcbW（c-y）z(q)（y）；0)dy=1+qZbW(c-y)Z(q)(y)dy-αqZbW(q)(Z)W(c-z)+qzb-zw(c-z-y)W(q)(y)dy dz.14 j.-f.再次重复，细节留给读者。然后，如上所述，我们得到mc→∞Z(q)(c；0)-qRcbW（c-y）z(q)（y）；0)dyW(c)=(E[X]-α)+qzbz(q)(y)-αw(q)(y)Z(q)(b-y)dy,结果如下。对于(ii)部分，我们还得到了ex e-qrκ-{Us<b}ds；κ-=∞=limc→∞ex e-qrκ+c{Us<b}ds；κ+c<κ-。从定理3我们知道ex e-qrκ+c{Us<b}ds；κ+c<κ-=w(q)(X；0)-qRxbW（x-y）w(q)（y）；0)dyw(q)(c；0)-qRcbW（c-y）w(q)（y）；0）dyand，通过上面的，结果如下。5.巴黎破产概率[13]提出了巴黎破产的一个认识。对于破产的这种认识，盈余过程U在临界水平b以下的每一次漂移都伴随着一个独立的随机变量的独立拷贝。它被称为实现时钟。如果低于b的给定漂移的持续时间小于其相关的实现时钟，那么破产就不会发生。破产发生在实现时钟在其相应的漂移结束之前敲响的第一个时间τq，低于b。可以证明，如果实现时钟按速率q依次分布，则巴黎破产的概率是给定的byPx(τq<∞)=1-exhe-qr∞i{us<b}dsi。推论2。

假设净性能条件E[X]>α被验证。(i)对于X,b≤c,q≥0,ex e-qrκ+c{Us<b}ds；κ+C<∞=EΦ(q)(x-b)1-(q-αΦ(q))Rx-be-Φ(q)yW(y)dy EΦ(q)(c-b)1-(q-αΦ(q))Rc-be-Φ(q)yW(y)dy。(ii)对于q≥0和x∈R我们得到了He-qr∞{Us<b}DSI=(E[x]-α)Φ(q)q-αΦ(q)EΦ(q)(x-b)1-(q-αΦ(q))Zx-be-Φ(q)yW(y)dy。此外，我们得到了Px z∞{Us<b}(e[x]-α)w(x-b)δ(dr)+z∞yrw′(y+x-b)P(xr∈dy)证明。对于第(i)部分，我们显然有e-qrκ+c{us<b}ds；κ+C<∞=LIMM→∞ex e-qrκ+C{us<b}ds；κ+C<κ--M。从定理3我们得到了e-qrκ+C{Us<b}ds；κ+C<κ^a-M=W(q)(x；-m)-qRxbW（x-y）w(q)（y）；-m)dyw(q)（c）；-m)-qRcbW（c-y）w(q)（y）；由于对任意x,limm→∞W(q)(x+m)W(q)(m)=EΦ(q)Xandlim→∞W(q)′(x+m)W(q)(m)=Φ(q)EΦ(q)x,我们得到limm→∞W(q)(x；-m)W(q)(m)=eΦ(q)x+αΦ(q)zxbeΦ(q)yW(q)(x-y)dy。因此，Limm→∞W(q)(x；-m)-qRxbW（x-y）w(q)（y）；-m)dyW(q)(m)=eΦ(q)x+αΦ(q)zxbeΦ(q)yW(q)(x-y)dy-qzxbw(x-y)eΦ(q)y+αΦ(q)zybeΦ(q)zW(q)(y-z)dz dy。使用等式（7）和其他参数，可以证明Zxbw(x-y)eΦ(q)y+αΦ(q)zybeΦ(q)zW(q)(y-z)dz dy=1-αΦ(q)qzxbeΦ(q)yW(x-y)dy+αΦ(q)qzxbeΦ(q)yW(x-y)dy，结果如下。对于第二部分，由于假定了净条件，对于任何c我们几乎肯定有κ+c<∞,我们有limx→∞w(x)=(E[x]-α)-1.16j-f。因此，我们可以写出He-qr∞{us<b}dsi=limc→∞ex e-qrκ+c{us<b}ds；κ+C<∞。根据第(i)部分的结果，我们得到如下公式:exhe-qr∞{us<b}DSI=eΦ(q)(x-b)1-(q-αΦ(q))rx-be-Φ(q)yW(y)dy limc→∞eΦ(q)(c-b)1-(q-αΦ(q))rc-be-Φ(q)yW(y)dy。实际上，对于c>b，我们可以给出Φ(q)C1-(q-αΦ(q))Zc-be-Φ(q)yW(y)dy=(q-αΦ(q))Z∞-be-Φ(q)yW(y+c)dy，在Celimc→∞(q-αΦ(q))R∞-be-Φ(q)yW(y+c)dyW(c)=q-αΦ(q)Φ(q)EΦ(q)b中，我们对已有的表达式进行了修正，以求从Laplace变换中提取概率分布。Setv(x)=exhe-qr∞{us<b}dsi.经过几次操作（对0尺度函数的认识和分段积分），一个canwritev(x)=(E[x]-α)w(x-b)+z∞e-Φ(q)yw′(y+x-b)dy。因此，v(x)=(E[x]-α)w(x-b)+z∞z∞e-qspτ+y∈ds^w′(y+x-b)dy。注意，根据Kendall恒等式，我们有(0，∞)×(0，∞)dypτ+y∈dr=yrp(xr∈dy)dr,结果如下如果我们在最后一个推论(i)中设置α=0，我们就恢复[15]中的推论2(ii)。另外，最后一个推论(ii)比[12]中的推论2稍有改进：考虑任意初始值x=x∈R；并给出了相应的证明。请注意，我们已经获得了U在B.6级以下所花费的总时间密度的ADI表达式。加拿大自然科学与工程研究委员会(NSERC)、魁北克自然与技术研究基金会(FRQNT)和蒙特雷数学研究所(IFM2)提供了支持这项工作的资金。参考文献[1]H.Albrecher,E.C.K.Cheung,S.Thonhauser,复合泊松风险模型的随机化观察期：红利，Astin Bull。41（2011）,No.[2]H.Albrecher,H.U.Gerber,E.S.W.Shiu,Gamma-Omega模型中的最优红利屏障，EUR.精算师。J.1(2011)，No.1,43-55.[3]H.Albrecher和V.Laut scham,复合Poisson剩余过程的从破产到破产，Astinbull。[4]I.Czarna和Z.Palmowski,谱负Lévy风险过程的巴黎时滞破产概率，J.Ap PL。普罗巴布。48（2011）,No.[5]M.Egami和K.Yamazaki,关于具有相位型跳跃的谱负Lévy过程的标度函数，ARXIV:1005.0064v3[Math.PR](2010).[6]H.U.Gerber,E.S.W.Shiu,H.Yang,The Model：从破产到占领的时间，EUR.精算师。J.2(2012)，No.[7]A.Kuznetsov,A.E.Kyprianou,V.Rivero,谱负Lévyprocess的尺度函数理论，2011。Arxiv:1104.1280 v1[Math.pr].[8]A.E.

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