有资金成本的场外合约估值和对冲， 抵押与交易对手信用风险：第1部分

递送或接收抵押品的机制被称为边际化。在第N2.5节中，我们在以下长期假设下工作：(a)贷款和转帐现金利率B0、+和B0，-可能是相同的，(b)每种风险资产的多头和空头资金利率是相同的:Bi，+=Bi，-=Bi。假设(b)意味着给定风险资产的多头和空头现金头寸的净额结算问题只与现金账户供资的资产相关（即，φit=0)，这种净额结算贯穿始终。当然，与抵押品融资相关的计算可以与任何关于现金头寸净额计算的惯例相结合。2.5.1通用保证金账户BC、+、BH、+、BC、-和BH-严格为正，且连续的变动范围。很容易看出，CES在财富过程的动态中考虑了与ma rgin ac计数的变化相关的额外收益或损失，这是对第2.1条的一个小扩展。为此，我们引入了一种抵押交易策略(\',a,C)，其中我们设置了‘,=,。..,ζd,ψ,...,ψd,⑵c,+,⑵c,-,⑵h,+,⑵h,⑵。（2.44）一个投资组合是由资产Si,i=1,2,组成的。..,d,无担保账户B,资金账户Bj,j=1,2,。.、d和抵押品帐户BC、+、BH、+、BC、-和BH、-。下一篇文章的目的仅仅是介绍分析、担保和再抵押时使用的附加符号。在后面的小节中，将会详细地讨论过程∑C、+、∑C、∑H、+和∑H、-的定义和它们的具体解释。为了简单起见，在第2.2条中，我们假定B0,+=B0,-=b。这个暂时的假定以后将被放宽。2当其财富过程V（“0”=dxi=1ζitsit+dxj=0ψjtbjt+ρC,+tbc,+t+ρC,-tbc,-t+ρh,+t+ρh,-tbh,-t，(2.45),对于每t∈[0,t]vt(|)=V(|)+dxi=1z(0,t]ζIUD(Siu+Aiu)+dxj=0z(0,t]ζJudbju+At(2.46),当其财富过程V（“0,A,C”）给定时，当其财富过程V（“）为自定义的（”2,4“）的时候，担保交易s（”A,C“）是自定义的）+Z(0,t]ψC,+UDBC,+U+Z(0,t]ψC,-UDBC,-U+Z(0,t]ψH,+UDBH,+U+Z(0,t]ψH,-UDBH,-U.定义2.2相当普遍，因此可以用来检验在实践中发生或可能发生的各种替代性市场约定。在命题2.2中，我们将对隔离下的财富动态得到更明确的描述，即当套期保值者是担保品接受者时，在现金担保品使用受限的假设下。随后，在命题2.3中，我们将讨论与再抵押有关的抵押品交易问题。2.2.5.2命题2.4，w hich处理部分再抵押的情况，涵盖了命题2.2和2.3作为特殊情况，因此省略了命题2.2和2.3的内容。2.5.2抵押品金额的替代规定在市场实践中，抵押品金额通常是根据套期保值ed合同的市值来计算的，其价值a t时间t从今以后被表示为mt。在这种情况下，我们可以写出=(1+δt)Mt{Mt>0}-(1+δt)Mt{Mt<0}=(1+δt)M+t-(1+δt)M-t(2.47)16T.R。Bielecki和M.Rutkowski，用于某些理发过程δ和δ。在我们的理论框架中，目标是通过套期保值来发展合约的估值，即似乎很自然地将mark-to-ma rket价值与合约的（但未知的）价值联系起来。由于财富过程V（）的目的是覆盖对冲者未来的可偿债性，对冲者所看到的合同的程式化的“市场价值”与他的财富的“值”是一致的。因此，从套期保值者的角度来看，用套期保值策略的财富过程的负值来正式确定按市价计算的价值是有意义的。如果我们设置M=-V(||),那么公式（2.47）变为=Ct(|||):=(1+δT)V-T(|||)-(1+δT)V+T(|||)。

（2.48）完全抵押合同的情况与所有t的等式δt=δt=0相关，这意味着等式C(||)=-V(|||)成立。在（2.48）中的c侧向量是从对冲者的角度来看的，因此它在这里取决于对冲者的交易策略。当然，可以对交易对手进行类比分析。然而，由于市场条件（特别是融资利率）通常对双方都有影响，他们对合同价值（因此也包括抵押品金额）的计算不太可能产生相同的结果。2.5.3隔离账户的抵押品交易目前的财务惯例通常要求将抵押品a挂在隔离的保证金账户中，因此作为抵押品接受者的套期保值者不能将其用于购买风险资产，而是要求将其放在账户BH,+中。此外，我们假设，如果套期保值者是一个担保者，那么他需要从一个预定的帐户BH，-中获得所需的金额。在这些条件下，(2.45)中的右端不应显式依赖于collatera l过程。形式上，我们假定对所有t∈[0,t],ψc,+tbc,+t+ψh,+tbh,+t=0,(2.49)和ψc,-tbc,-t+ψh,-tbh,-t=0,满足下列条件。（2.50）命题2.2中描述了一个充分满足上述条件的实际情况。从今以后，我们假设抵押品ac c ounts BC、+、BH、+、BC、-和BH-服从以下解释:o如果套期保值者收到抵押品，那么他向另一方支付由c+和账户BC++确定的利息，并且他将colla teral金额投资于账户BH，+。o如果要求套期保值者寄出抵押品，那么他以BH规定的利息借入collatera l金额，并且他获得由c-和账户BC++确定的利息支付。下一个命题是命题2.1相当直接的扩展。由于这一结果是由推论2.1和结论2.2相结合而成立的，所以我们省略了证明。注意，等式（2.51）-（2.52）确保条件（2.49）-（2.50）确实满足。命题2.2假设一个交易策略（？,a,C）（过程由（2.44）给出）是自适应的，并且对于每t∈[0,t]，ρC,+t=-(BC,+t)-1C+t，ρC,-t=(BC,-t)-1c-t，(2.51)ρh,+t=(BH,+t)-1C+t，ρh,-t=-(BH,-t)-1C+t，ρh,-t=-(BH,-t)-1C+t，ρh,-t=-(BH,-t)-1c-t。（2.52）则财富过程V(Ⅴ)等于，对于每t∈[0,t]，Vt(Ⅴ)=dxi=1ζitsit+dxj=0ψjtbjt(2.53)场外交易合约17的估值和对冲，并且它允许以下分解Vt(Ⅴ)=V(Ⅵ)+Gt(Ⅵ)+Ft(Ⅵ)+Ft(Ⅵ)+fct+At(2.54)其中Gt(Ⅵ)由(2.6)，Ft(Ⅵ)satis fires(2.23)给出，保证金账户的融资成本表示为FC,equalfct=z(0,t)c+u(BH,+u)-1dbh，+u-(BC,+u)-1dbc，+u-(BC，+u)-1 0,t]c-u(BH,-u)-1 dbh,-u-(BC,-u)-1 dbc,-u.更明确地说，财富过程的动力学V(|)是dvt(||)=evt(||)dbt+dxi=1ζitdkit+dxi=1ζit(eBit)-1 debit+dfct+dat。（2.55）特别地，在假设（2.14）下，我们得到dvt(8)=evt(8)dbt+dxi=1ζitdkit+dfct+dat。（2.56）让我们对经抵押品调整的现金输出ACby设置AC=A+FC，以便V(\\)=V(\\)+G(\\)+F(\\)+AC进行分析。虽然抵押品fcc的融资成本通常取决于对冲策略y的选择，但为了保持我们的符号简单，我们在fca和ac的符号中没有明确强调这一点。如果我们用AC放置A，则2.1节的定义和结果仍然有效，前提是财富过程V(}）满足(2.53)，即假设分离抵押品。因此，满足第2.2项的交易策略（？,A,C）以及符合抵押品要求的分离性，可以正式地被引申到满足第2.1项的对（？,AC）。特别是，累积财富过程Vcld（？）通过公式(2.8)Vcldt（？）的以下修正来定义:=Vt（？）-BtZ（0,t](Bu)-1 DACU。

（2.57）当附带过程C与aportfolio的选择无关时，这种缩减就派上了用场。例2.6我们将自己置于例2.1的设置中，此外，我们假定过程BC，+，BH，+，BC，-和BH，-是绝对连续的，因此dBC，+t=rC，+tbc，+tdt，+tdt，+tdt，-tbc，-tdt，-tdt，-tdt，-t=rC，-tbc，-tdt，-t=rH，-tbt，-tdt，-t=rH，-tbt，-tdt，-t=rH，-tdt，对于某些利率过程rC，+，+，rC，-和rH，-。thenfct=ZT(rH，+U-RC，+U)C+UDU-ZT(rH，-U-RC，-U)C-UDU。（2.58）假设条件（2.1 4）被满足。然后，从（2.56）中，我们o btaindVt((d))=rtVt((d)dt+dxi=1ζit dsit-ritsitdt+dait\\+dfct+dat。（2.59）在特殊情况下，当rH,+=rH,-=rand rC,+=rC,-=rC时，公式（2.58）简化tofct=zt(Ru-Rcu)Cudu(2.60)18 t.r。Bielecki和M.Rutkowskiand这样（2.59）就成了dvt(|)=rtVt(|)dt+dxi=1ζdsit-ritsitdt+dait+(rt-rct)Ctdt+dat。（2.61）回想一下，完全抵押合同的情况对应于等式C=C(μ)=-V(μ)。在此附加假设下，公式（2.61）减少了todVt(||)=rCtVt(||)dt+dxi=1ζdsit-ritsitdt+dait+dat。（2.62）因此，如套期保值者所见，融资成本包括完全抵押合同保证金a ccount的收益/损失，areFt(||)+FCt(||)=ztrcuvu(||)du-dxi=1ζiuriusiudu。（2.63）在更一般的情况下，当对于某个G适应过程α的C(|)=αV(||)时，我们obta（2.65）因此，一个自我投资交易策略的总融资成本(\',a,αv(\',））为ft(\',）+FCt(\',）=zt(1+αu)ru-αurcu\'vu(\',）du-dxi=1 ztζiuriusiudu。（2.66）请注意，本例中的设置缺点也可以很容易地与例2.2.2.5.4的抵押品交易和全额再抵押结合。再抵押是一种银行将其交易对手质押的抵押品再用作其自身借款的抵押品的做法。在我们为再抵押融资的程式化方法中，自然会假设套期保值者，当他是抵押品接受者时，被授予不受限制地使用全部抵押品担保C+。换句话说，所收到的担保品可以被看作是一个DGER交易策略的一个普通组成部分（当然，这只适用于交易对手的违约）。和以前一样，套期保值者向交易对手a支付金额C+的利息，利率由流程BC，+确定。此外，我们假设，当对冲r是抵押品提供者时，任何交易资产都可以获得抵押品，无论他获得抵押品，他都有权获得利益支付，如通过流程BC，-获得利益支付。没有人认为等式（2.6 8）确定了这样一个事实，即总金额VCt((a)):=Vt((a)+CT，现在可以被套期保值者用于风险资产的交易，其中V((a))代表不包括抵押品金额的财富过程。这一特性使得呈现情况与到目前为止考虑的建模假设无关。下面的结果可以从命题2.4中推导出来，因此我们省略了这个证明。命题2.3假设一个交易策略（？,a,C）（由（2.44）给出）是自定义的，并且下列等式成立:ψC,+t=-C+t(BC,+t)-1,ψC,-t=c-t(BC,-t)-1,ψh,+t=ψh,-t=0，(2.67)场外交易合约的估值和对冲19，因此财富过程V(}）满足以下条件:vt(}）=dxi=1ζitsit+dxj=0ψjtbjt-ct(2.68)或等价地VCt(}）=dxi=1ζitsit+dxj=0ζψjtbjt。

（2.69）则V(}）satifires,对于每t∈[0,t]，Vt(}）=V(}）+Gt(}）+Ft(}）+FCT+在（2.70）,其中Gt(}）由（2.6）给出，Ft(}）satifires（2.23）用EVC(}）=(B)-1 VC(}）代替，抵押品的融资成本由FCT=Z(0,t]C-U(BC，-U)-1 dBC，-U-Z(0,t]C+U(BC，+U)-1 dBC，+U，(2.71)或等效地，dVt(}）=EVCT(}）DBT+DBC，+U，(2.71)给出XI=1ζITDKIT+DXI=1ζIT(eBit)-1借方+DFCT+DAT。（2.72）特别地，在假设（2.14）下，动力学V(8)aredVt(8)=evct(8)dbt+dxi=1ζitdkit+dfct+dat。（2.73）例2.7我们在命题2.3的假设下工作。我们的目的是给出例2.3和2.6中得到的公式的扩展。因此，我们假定le ndingand bor划船率是不确定的（典型地，r0,-≥R≥r0,+)。我们还假定RI=rfori=1.k和条件n(2.15)对i=k+1,k+2,。...D.那么财富V(|)等于SVT(||)=kxi=1ζitsit+ψ0,+tb0,+t+ψ0,-tb0,-t-ct，其中，假设，ψ0,+t≥0和ψ0,-t≤0,它满足dvt(||)=evct(||)dbt+dFV,Ct(||)+dxi=kζitbitdesi,cldt+dxi=k+1ζitbitdbsi,cldt+dfct+dAt(2.74)其中fc依次由（2.71）和dFV给出VCT(Ⅵ)-KXI=1ζItsit-(r0,-t-rt)dt。（2.75）等价地，财富过程的动力学是dvt((di)=r0,+t vct((di)-kxi=1ζitsit+dt-R0,-t vct((di)-kxi=1ζitsit-dt(2.76)+kxi=1ζit dsit+daitin+dxi=k+1,it dsit-ritsitt+dfct+dAt20 t.r。Bielecki和M.Rutkowski，因此融资成本满足以下条件：dft(|)=r0,+t vct(|)-kxi=1ζitsit+dt-R0,-t vct(|)-kxi=1ζitsit-dt+dxi=k+1 ritψitbitdt。示例2.8我们在示例2.7的假设下工作，此外，我们假设我们处理的是一个完全抵押的合同，因此C=-v(||)。然后，我们得到以下等式:VCT(=)=KXI=1ζITSIT+ψ0,+TB0,+T+ψ0,-TB0,-T=0和DVT(=)=r0,+T-KXI=1ζITSIT+DT-R0,-T-KXI=1ζITSIT-DT+KXI=1ζITSIT+DIT+DXI=K+1ζITSIT+DIT+DXI=K+1ζITSIT+DIT+DFCT+dAt，因此，资金成本由以下等式DFT(=)=r0,+T-KXI=1ζITSIT+DIT+DIT+DFCT+dAt+决定。+dxi=k+1 ritψitbitdt。如果我们现在假定r0,+=r0,-=r，那么我们ge tkxi=1ζitsit+ψtbt=0anddvt(è)=kxi=1ζitsit+dait+dxi=k+1,it dsit-ritsitdt+dfct+dAtso dft(è)=-kxi=1ζitrtsitdt-dxi=k+1,ζitrtsitdt=rtψtbitdt+dxi=k+1 ritbitdt。在rC,+=rC,-=rC的条件假设下，我们得到如下表达式dvt(è)=rct=rC Vt(±)dt+kxi=1ζit dsit-rtsit+daiter+dxi=k+1ζit dsit-ritsitdt+daiter+dAt，这也可以从（2.62）中推导出来。最后，对于RC=r，我们g e tdVt(|)=rtVt(|)dt+kxi=1ζit dsit-rtsit+dait+dxi=k+1ζit dsit-ritsitdt+dait+dAt,这可以很容易地理解为（2.22）的一个特例。场外交易合约的估值与套期保值212.5.5部分再抵押的抵押品交易可再抵押的资产数量有时是有上限的；我们把这种情况称为部分再抵押。下一章讨论了在直接借贷现金利率下的部分分离的一般情况（等价于部分分离的情况）。因此，命题2.4涵盖了2.2a和2.3a的特殊c项。还请注意，公式（2.80）是等式（2.31）的一个相当直接的推广。命题2.4假设一个交易策略(\',a,C),其中‘,’是由‘,=,。..,ζd,ψ,...,ψd,ψ0,+,ψ0,-,ψc,+,ψc,-,ψh,+,ψh,-ε(2.77)是自定义的，对于所有t∈[0,t],下列等式成立:θt=0,ψc,+t=-(BC,+t)-1C+t,ψc,-t=(BC,-t)-1C-T,ψh,+t=(1-βt)(BH,+t)-1C+t,θh,-t=-(1-γt)(BH,-t)-1C-T,对于某些G适应的随机过程β和γ,使得财富过程V(|)相等svt(|)=dxi=1ζITSIT+DXI=1ψITBIT+ψ0,+Tb0,+t+ψ0,-Tb0,-T-(βTc+t-γTc-t)。

（2.78）我们假设对于所有t∈[0,t]来说，θ0,+t≥0,θ0,-t≤0和θ0,+tθ0,-t=0,而Vt(θ)=dxi=1ζITD(SIT+Ait)+dxi=1ζITDBit+ψ0,+tdB0，+t+ψ0,-tdB0，-tdB0，-tdB0，-t+At(2.79)+ψC,+tdBC，+t+ψC,+tdBC，+t+ψH,+tdBH,+t+ψH,-tdBH,-tdBH,-tdBH,则财富过程V(θ)满足以下条件：1 dbit+ψ0,+Tdb0,+t+Dat+ψ0,-Tdb0,-t-C+t(BC，+t)-1 dbc,+t+c-t(BC，-t)-1 dbc,-t(2.80)+(1-βt)C+t(BH，+t)-1 dbh,+t-(1-γt)c-t(BH，-t)-1 dbh,-t，其中，ζ0,+和ζ0,-由以下表达式给出:ζd+1t=ψ0,+Tb0，+t=Vt(è)-dxi=1ζitsit-dxi=1ζitbit+βtc+t-γt-t+(2.81)和ζd表示+2t=ζ0,-TB0,+t=-VT(Ⅵ)-DXI=1ζITSIT-DXI=1ζITBIT+βTC+T-γTC-t-。（2.82）证明。首先，我们使用（2.78）和我们的假设建立了等式（2.81）和（2.82）：对于allt∈[0,T]ψ0,+T≥0,ψ0,-T≤0,ψ0,+Tψ0,-T=0。接下来，我们回想一下（见(2.19))BitdbSi,cldt=dsit-bsitdbit+dait。公式（2.80）现在通过简单的计算从（2.79）得到。22 T.R.Bielecki和M.Rutkowskihe命题2.4的以下推论是直接的。Cor推论2.5处理了henrisky资产Sifor i=1,2,的情况。.k使用现金账户B0、+和B0、-进行交易，而风险资产i=k+1,k+2。..,d是使用各自的资金账户bi的tra de d。当然，将这个结果推广到市场模型的情况是无济于事的，在市场模型中，我们有两个融资账户，Bi，+和Bi，-，对于每个风险资产Sifor i=k+1，k+2，....,D.推论2。5在命题2.4的假设下，我们还假定，θi=0 fori=1,2,。且条件（2.15）对于i=k+1,k+2,成立。...K。则财富过程V(}）满足以下条件：dvt(}）=kxi=1ζit(dsit+dAit)+dxi=k+1例2.9我们在推论2.5的假设下工作。当账户处理绝对连续时，财富动态的更多信息技术参数是可用的。我们可以立即看到以下数据：dvt(|)=kxi=1ζit(|dsit+dAit)+dxi=k+1 it(|dsit|ritSitdt+dAit)+dat+r0,+t vt(||)-kxi=1ζitsit+βtc+t-γtc-t+-r0,-t vt(||)-kxi=1ζ我们注意到，当r0,+t=r0,-t=rt和βt=γt=0时，对于所有t∈[0,t]，该公式可导出方程(2.59)，其中fc由（2.58）给出。此外，当βt=γt=1时，对于所有t∈[0,t]，它与表达式（2.76）一致，而fc由（2.71）给出。可见，其他重要的情况也包括在公共关系表2.4中。特别地，我们现在可以对某些G适配随机过程α设置C=αv(Ⅵ)。回想一下，对于某个过程α，一个部分担保合同对应于eq ualityC(||)=αv(|||)，这样-1<α<0。我们还可以通过假定（见(2.48))Ct(||)=(1+δt)v-t(||)-(1+δt)v+t(||)来引入带有折减的完全担保契约。最后，有可能将命题2.4中考虑的设置与关于ne ting的一些conne结合起来（例如，在2.4.3节中考察的模式l）。不用说，大量的模型假设都将在个案的基础上进行研究。2.6在违约时提供资金的交易策略现在我们假设投资者可能会在考虑中的合约的特定日期之前或当天拖欠其合约义务。特别是，在他违约的情况下，他对场外交易合约的估价和套期保值23未能全额偿还他的未偿还债务，这是形式lly在未偿还现金账户B0，-中的负头寸所代表的。设θ是一个随机的缺省时间，设R∈[0,1]表示inve Stor的恢复率过程（假定是G-适应的）。现在可以很自然地确定，所有的tra ding活动都将在一个随机的地平线日期θT停止。

为了说明投资者对默认时间θ的需求，我们通过设置B0,-=1和dB0,-t=dB0,-t-b0,-t(1-Rt)dHt(2.83)，引入了调整后的bor划船a ccount B0,-，其中我们表示HT=1{t≥θ}。很明显，事件{θ>t}是B0,-t=B0,-ton。还请注意，在随机时间θ等于B0时，跳变为B0,-，θ=-(1-rθ)B0,-θ。我们还用动力学（2.4）中的ρtbyρt-来代替，以便使这个过程成为G-可预测的。然后，由随机时间θ下的过程S b0,-的跳变引起的财富过程V(Ⅵ)的非负跳变由以下表达式σθ-b0,-θ=-(1-rθ)θθ-b0,-θ给出。对这种跳跃的详细解释是对冲者在自己违约时的收益，因为他对e xternallender的债务没有全额偿还。2.7违约时亏损的交易策略最后一步是描述任何一方违约时的损失。如果交易对手一方在合同到期前或到期前违约，合同终止，并转移平仓款。由于终止付款（也就是违约损失）是许多文件的主题，我们决定在此不对合同的这一部分进行解释。本文的第二部分将详细研究与交易对手违约的具体情况、平仓付款以及违约时的收益对定价结果的影响有关的建模和套利定价问题。3无套利模型和鞅测度前一节的目标是在关于交易、净额结算和保证金规则的替代假设下，分析自我投资策略的财富动态。在ne xt步骤中，我们将为一个市场模型的无套利性质提供su-cient条件，考虑到上面考虑的各种不同的特殊情况。3.1融资成本特殊情况下的套利机会。我们将自己置于Sec TION2.2的基本设置中，使用一个单一的现金帐户B。然后，公式（2.20）得出:sevcldt(|)=evcld(||)+dxi=1z(0,t)ζiuebiudbsi,cldu+dxi=1z(0,t](ψiu+ζiubsiu)debiu。（3.1）注意processeVcld的动力学（2.20）不依赖于a。此外，我们假定a是允许的，因此折现的累积财富processeVcld（）是非负的（或者至少从下面以一个常数为界）。原则上，对于该模型的无套利性，我们可以考虑以下一般条件：对于任何自我调节的交易策略，存在一个概率度量EP（Ω,GT）,这样的概率度量EP（Ω,GT）等于P,并且processeVcld（μ）isa（EP,G）-loc al marting ale.当然，这个条件在一般情况下是很难检查的，因此实际上并不适用。因此，我们将寻找更多相对容易验证的特定条件，因为它们指的是对于给定的交易设置（也许也是对于手边的给定类别的合同）存在某种通用鞅测度。为此，我们将重新审视无套利模型和套利价格的概念，因为正如我们将在下文中讨论的那样，经典的概念不适用于目前的非线性T.R.Bielecki和M.Rutkowskiframework。特别地，我们证明了对市场模型的无套利性的研究离不开对给定合约类别的对冲策略的研究。注3.1显然，如果存在bk6=b，那么套利机会就会出现，因为我们可能会采取ζ=。..=ζd=0和ψj=0,对于每j,除了j=k。

因此，我们可以看出，一般情况下，对于evcldt(||)=evcld(|||)+z(0,t]ψkudebku，局部鞅的存在性是肯定的。因此，很明显，需要对交易策略和/或融资利率的类别施加一些额外的条件，以确保模型是无套利的。从注3.1可以清楚看出，在某种风险资产混合融资的情况下，研究自我融资交易的技巧是相当麻烦的，一般而言，我们需要逐案进行研究。然而，我们可以提出一个无套利市场模型的一般定义。我们现在处理一个模型，在这个模型中，借贷账户B0，+和B0，-aredi和erent。让我们观察一下，贴现净wealthprocesseVcld（,A）的显式sp ECI将取决于手头模型的其他特性。在目前的设置中，净财富通过对mula(2.8)Vcldt(\',A）的以下扩展来定义:=Vt(\',A）-B0,-T](B0,-u)-1da+u+B0,+tz(0,T](B0,+u)-1da-u(3.2),其中A=A+-a-是将A分解为其增减分量。本质上，我们说，如果具有初始资本x的套期保值者能够找到一个允许的策略，即在T时净财富是非负的且严格为正的概率，那么他就可以利用合约A产生套利机会。对时间T的净财富的解释如下：拥有初始资本x的套期保值者在时间0进入给定的合同a，并在同一合同中承担实际相反的头寸。特别是，由于premia抵消，额外的现金在时间0等于0。接下来，他为合同选择了对冲策略，同时，他利用外部贷款人为与oppos ite头寸相关的现金供应者提供资金。支持下一个定义的思想是将给定合同中动态对冲的“多头”头寸与相应的“空头”头寸进行比较，在此头寸中，所有流出或流入的ca sh馀额都被再投资于无担保账户B0，-和B0，+。定义3。1套期保值者与合约A相关的套利机会是任何交易策略，A）从下面以一个常数为界，并得到以下条件:VcldT(\',A)≥LT(V(}）和P(VcldT(\',A)>LT(V(}））>0，其中我们表示LT(x):=x+B0,+T-x-B 0,-T。注3.2折现净财富过程seVcld(\',A)从下面以一个常数为界的假设仅仅是一个可接受性的技术条件，它通常用于确保如果过程EVcld(\',A)在某种概率度量下是一个loc al marting ale，那么它是up ermartinga le。当然，即使在Black和Scholes模型中期权估值的最简单的情况下也会出现这个问题，所以在处理一般的连续时间框架时也不能避免这个问题，但它绝不是本文研究的非线性定价所特有的。备注3.3还注意贴现因子在这里有些未被详细说明。如果将constantin definition3.1设为ze ro,使净财富为非负，则考虑净财富而不进行任何贴现，从而解决了对3.1贴现的选择问题。否则，它将取决于手头的问题和模型（例如，见命题3.2）。场外交易合约的估值和套期保值25备注3.4为了简单说明，我们没有在（3.2）违约时间、平仓付款和违约时的收益的右边明确介绍。因此，这种自定义条件适用于衡量融资和抵押品的影响，但应略作修改，以涵盖违约时的现金短缺。一个合适的扩展是直接的，它将在本resea rch.comments的第二部分中完成。

由于第3.1条偏离了通常引入套利机会的方式，我们现在提出一些中肯的意见。设x=V(|)为套期保值者的初始资本。n不等式VcldT(\',A)>LT(\',A))读数svt(\',A)>x+B0,+t-x-b0,-T+B0,-tz(0,T](B0,-u)-1da+u-b0,+tz(0,T](B0,+u)-1da-u，现在很清楚，我们实际上是在分析仅基于无担保ac计数的ASEMI静态融资的完全动态he对冲的结果。因此，我们可以公平地承认，第3.1条只是对可能出现的套利机会的更普遍看法的一步，这些套利机会是在投资、融资成本和潜在对手池的信用质量的情况下出现的。它的自然扩展依赖于两个完全动态对冲的头寸的比较，因此我们最终会得出以下条件：一个套利oppo rtunity是一对（,对于套期保值者来说，允许的策略是V(θ)=V(θ)和VT(θ),A)-VT(ψ,-A)≥0和P(VT(=,A)-VT(ψ,-A)>0)>0。这种更普遍的观点意味着，通过利用两个具有充分信用资格的潜在交易对手的优势，可以创造套利机会。不用说，这种扩展需要引入至少一个更多的潜在交易对手，所以最小交易模型现在包括对冲者和他的两个对手。这似乎是未来可以追求的理论研究的一个有希望的途径。然而，这种扩展的确认要求在具有相同特征的anOTC合同中与两个独立的交易对手采取相反立场的可能性，从实际角度来看，这似乎不是一个合理的假设。支持3.1的论点可以概括如下：在市场模型的特定情况下，它的实现相对容易，它产生了明确的条件，使其具有一定的意义，最后但不是真正的，它澄清和公正地使用鞅度量的概念来建立一个具有融资成本、侧化和违约的市场。总括来说，虽然第3.1条规则受到批评，但它似乎是一个足够的工具来处理当前非线性交易环境中的套期保值和估值问题。3.2无套利财产无套利财产的conce pt现在可以针对可由特定模型涵盖的所有契约或通过选择我们感兴趣的特定a类契约来引入。原则上，无套利资产也取决于对冲者的初始资本x。回想一下，我们表示LT(x):=x+b0,+t-x-b0,-t。2我们说，当不存在与任何合约a∈a相关的rbitrage机会时，一个市场模型对于套期保值者来说是无套利的。换句话说，对于任何自适应策略和任何契约A∈A，如果被拒绝的Netted we althprocessevCLD(\',A）从下到下被一个常数限定，则p VCLDT(\',A）<LT(V(\'））>0。（3.3）注3.5当然，这里的情况是不对称的，即套期保值者不存在仲裁机会的模型仍可能允许交易对方进行套利交易。即使市场条件对双方完全对称，但交易双方的现金流也不对称，因此交易双方的价格可能是不对称的。Bielecki和M.RutkowskiRemark 3.6如果我们假定B0,+=B0,-=b，则我们得到以下等价条件p evcldt(\',A)<V(\'）\\>0。如果我们现在设置A=0，那么净财富过程Vcld（0,0）co inc与财富过程V（）相同，因此确认3.2正式地简化为无套利市场的经典确认。

因此，如果市场模型中没有摩擦（或者当摩擦不存在时），我们的定价方法与线性仲裁定价理论是一致的。3.3套期保值者的套利价格让我们假设市场是无套利的。下一个步骤是用c ash trainows a确定一个合约的套利价格范围。设x为套期保值者的任意初始资本，设p为套期保值者在0时刻的一个合约价格。实值o f p意味着套期保值者在时间0收到现金金额p，而负值p意味着他在时间0向交易对手支付-p。从下一个认识中可以清楚地看出，价格可能取决于套期保值者的初始资本x，而且通常不是唯一的。3我们说，对于任何初始财富为x+p的交易策略，无论何时，p是a的套期保值者的价格，并且使得折现财富过程seV(o，a)从下面以一个常数为界，我们有相应的p vt(o，a)<LT(x)>0(3.4)orp vt(o，a)=LT(x)=1。（3.5）对条件（3.4）的解释是，如果套期保值者拥有初始资本x，并以价格p进入合同A，那么他不应该能够构造一个V(Ⅵ)=x+p的可接受交易策略，且在此条件下，vt(Ⅵ，A)≥LT(x)=1，其中不等式严格服从正概率。换句话说，合约A中的对冲头寸在时间T时不应超过世界上所有国家的现金投资。在实践中，初始资本x<0可以解释为交易台从其内部融资台借入的现金数额，这些现金应在时间T时以利息B0偿还。因此，套利机会意味着价格p足够高，可以让套期保值者在没有任何r ISK的情况下进行套利。当然，条件（3.5）对应于合同可以复制的情况；通过求解非线性rBSDEs的非线性定价技术的这个特例在4.3.3.1鞅测度一节中进行了研究。对于第一个模型，我们的下一个目标是表明鞅测度的概念仍然可以使用d a s a工具，尽管现在应该如何选择鞅测度还不太清楚。在本小节中，我们将对第2.2节中介绍的市场模型进行研究。此外，我们假定自适应交易策略满足条件(2.14)，从而相等性（2.13）成立。如前所述（见备注2.6)，条件（2.14）意味着epo交易受到瞬时重新安置的影响，因此贴现财富等于sevt(\',A):=(Bt)-1 vt(\',A)。由于ceProcess A已被修改，我们将其从下面的记号fo reV中跳过。命题3.1假设存在一个关于(Ω，GT)的概率度量，使得过程BSI，cld,i=1,2。d是（eP,G）-局部鞅。第2.2节的模型是无套利的。场外合约的估价和套期保值27证明。我们可以观察到贴现的累积财富evcld(|)satis fiyesevcldt(|)=evcld(|)+z(0,t](Bu)-1dk|u=evcld(|)+dxi=1z(0,t](Bu)-1ζIudkiu=evcld(|)+dxi=1z(0,t](Bu)=1z(0,t](Bu)=1z)=1z(0,t](Bu)=1z)=dxi=1z(0,t](Bu)-1ζIubiudbsi,cldu。因此，这个命题来自标准参数，其运行如下：由于evcld(|)是非负局部鞅（或从下面以常数为界），它也为了描述a的套期保值者的价格集合，回想一下这里B0,±=B,a nd,V(}）=x+p。

经过简单的计算，我们得到了如下表达式(3.4)p+dxi=1z(0,T](Bu)-1ζIubiudbsi,cldu+z(0,T](Bu)-1dau<0>0，而(3.5)表示相等，概率1成立，即p+dxi=1z(0,T](Bu)-1ζIubiudbsi,cldu+z(0,T](Bu)-1dau=0=1。注意，在这个简单的集合中，套利价格集合p不依赖于套期保值者的初始财富x。假设T=-x1{T=T}和bi=b，对于每i=1,。...D.然后，我们得到套期保值R套利价格集合的如下特征:Eitherp p+dxi=1z(0,T]ζIudesi,cldu<b-1 tx>0 orp p+dxi=1z(0,T]ζIudesi,cldu=b-1 tx=1。这里我们认识到一个经典的情况，即套期保值者的套利价格的概念是价格p的任意水平，该价格p不允许为索赔xx创建超级套期保值策略。3.3.2鞅测度Se cond模型我们现在考虑2.4.3节中引入的带有空头现金头寸净额的设置。假设x≥0，我们通过设置ev+t(·A):=(B0，+t)-1vt(·A)来计算折现财富。命题3.2假设r0，+t≤r0，-t，而r0，+t≤ri，-t，对于i=1，2，....D.假设存在一个关于(Ω，GT)的概率测量值，使得过程si，+，cld，i=1，2，1sit+z(0，t](B0，+u)-1daiu。.d是（eP,G）-局部鞅，则2.4.3节的模型是无套利的。Bielecki和M.Rutkowskipropy。从推论2.4中，我们知道财富过程满足如下条件（见公式2.42)dVt(\',A)=kxi=1ζ它dsit+dait\\-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt+dat+r0,+t vt(\',A)+dxi=1(ζitsit)-dt。假设r0,+t≤r0,-t。ThendVt(\',A)≤kxi=1ζit dsit+daitTM-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt+dat+r0,+t vt(\',A)+dxi=1(ζitsit)-+dt=r0,+tvt(\',A)+dxi=1ri,+t(ζitsit)+dt+dxi=1ri,+tdxi=1(ζitsit)-dt=1ri,+tdxi=1(ζitsit)-dt≤r0,+tvt(\',A)dt+kxi=1ri DSIT-R0,+tsitdt+dait+dat，其中最后一个不等式成立，因为我们假设r0,+t≤ri,-t。因此，discountedWealtheV+t(\',A):=(B0,+t)–1 Vt(\',A)satis firesdev+t(\',A)≤kxi=1ζIT(B0,+t)–1 DSIT-R0,+TSITT+Dait+(B0,+t)–1 DAT。此外，Vcldt(\',A)≤Vt(\',A)–B0,+T](B0,+U)–1 DAU，因此净收入贴现WealtheV+,cldt(\',A):=(B0,+T)=(B0,+T):-1 Vcldt(\',A）satis foundesdev+,cldt(\',A）≤kxi=1ζitdesi,+,cldt。模型的无套利特性现在跟随usua l参数。具体而言，初始财富等于x≥0且thusVcldT(=,A)≤B0,+tx+B0,+tkxi=1 ztζitdesi,+,cldt，而LT(x)=B0,+tx。因此，无论VcldT（？,A)=LT(x)还是P(VcldT（？,A)<LT(x))>0，套利机会都被排除在外。套期保值者价格p的s et现在由以下条件表征：Eitherp x+p+kxi=1z(0,T]ζit dsit+dait-dxi=1z(0,T]ri,-T(ζitsit)+dt+at-a+z(0,T]r0,+T vt(+,A)+dxi=1(ζitsit)-dt-z(0,T]r0,-T vt(+,A)+dxi=1(ζitsit)+dxi=1(ζitsit)-dt<LT(x)>0或以上公式中的相等性与概率1成立。场外交易合约293.4交易策略的估值与套期保值保证金账户的存在。Wedenotel+T:=Z(0,T](BH,+U)-1 dbh,+U-（BC,+U)-1 dbc,+U-andl-T:=Z(0,T](BH,-U)-1 dbh,-U-（BC,-U)-1 dbc,-U.我们将自己置于第2.2节的设置中，我们考虑以下两种情况：(A)过程C与套期保值者的投资组合无关；(B)过程C取决于套期保值者的por tfolio.情况(A)。如果抵押品过程是预先确定的，因此它独立于套期保值者的交易策略，那么我们可以正式地认为过程AC=FC+A是所研究的合同的全部具体情况。换句话说，应该把估值和套期保值问题减少到ProcessAC给出的现金释放的无担保合同的情况下。