有资金成本的场外合约估值和对冲， 抵押与交易对手信用风险：第1部分

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摘要翻译：
本文的研究是由最近一些关于金融证券的套期保值和估值的论文所推动的，这些论文涉及融资成本、担保和交易对手信用风险。我们的目标是通过发展一个统一的鞅框架，为场外金融合约套期保值和定价的非线性方法提供一个坚实的理论基础。研究了不同融资基础和保证金契约对场外交易合约价值和套期保值策略的影响。
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英文标题：
《Valuation and hedging of OTC contracts with funding costs,
  collateralization and counterparty credit risk: Part 1》
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作者：
Tomasz R. Bielecki and Marek Rutkowski
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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英文摘要：
  The research presented in this work is motivated by some recent papers regarding hedging and valuation of financial securities subject to funding costs, collateralization and counterparty credit risk. Our goal is to provide a sound theoretical underpinning for some results presented in these papers by developing a unified martingale framework for the non-linear approach to hedging and pricing of OTC financial contracts. The impact that various funding bases and margin covenants exert on the values and hedging strategies for OTC contracts is examined.
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关键词：信用风险 counterparty Quantitative credit risk derivatives

有融资成本、抵押品和交易对手信用风险的OT C合同的估值和套期保值：第1部分：Tomasz R.Bielecki*应用数学系伊利诺伊技术研究所芝加哥，IL 60616,USAMarek Rutkowski_数学和统计学院SydneySydney Sydney,NSW 2006,AustraliaVersion 2013年6月21日。[9,10,11]，Cr\'Epey[12,13]，Burgard和Kjaer[3]，Fujii和Takahashi[16]，Piterbarg[29]和Pallaviciniet al.[28]。我们的目标是通过建立一个u-ni鞅框架，为这些论文中的一些结果提供一个坚实的理论基础，为场外交易合约的n-线性对冲和定价方法提供一个可靠的理论基础。研究了不同融资基础和保证金契约对场外交易合约价值和套期保值策略的影响。除Piterbarg[29]和Pallavicini等人外，我们的研究与其他作者的文献之间存在一定的相关性。[28]，都不在本研究的第一部分讨论。对这些关系和建模问题的更详细的研究将在后续第2部分进行审查。*Tomasz R.Bielecki的研究得到了NSF赠款DMS-1211256的支持。*Marek Rutkowski的研究得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划(DP120100895)的支持。Bielecki和M.RutkowskiContents1导言32交易策略和财富动态42.1交易策略和融资成本。.........................42.2初级市场模型。................................62.2.1财富过程的动态。......................82.2.2普通无抵押帐户。...........................92.3直接投资维持借贷现金利率。.....................102.4各种净额结算形式下的交易策略。..................112.4.1案件(a)。......................................122.4.2案件(b)。......................................122.4.3案例(c)。......................................132.5有抵押的交易策略。........................142.5.1一般保证金账户。.............................152.5.2抵押品金额的备选规定。................152.5.3以独立账户进行抵押品交易。.................162.5.4全额再抵押的抵押品交易。.................182.5.5部份再抵押的抵押品交易。...............212.6在违约情况下提供资金的交易策略。..................222.7亏损交易策略

........304.1.2第二个模型中的BSDE方法。.....................314.2Piterbarg[29]模型。..................................324.2.1无套利性和鞅测度。...............324.2.2抵押衍生证券的估值。...............334.2.3 a延期。..................................364.3 Pallavicini et al.[28]方法。.............................36场外交易合约的估值及对冲31导言我们的研究目的是建立一个框架，在存在融资成本、抵押及净额的情况下，对两个（或从长远来看，更多是两个）违约交易对手之间的场外交易合约进行估值及对冲。在本文的第四部分，在融资成本对每一方都有规定的市场模型中，g oal导出了交易策略财富动力学的一般结果。此外，我们还讨论了违约情况下的收益和损失、头寸净额以及在抵押合同情况下关于保证金账户的各种契约的问题。因此，我们开发了一个相当通用的框架，它可以应用于广泛的模型和实践中的问题。在本文的第二部分，我们将把我们的一般结果应用于市场实践中，特别是对违约交易方的直接融资成本下的合同进行估值。按照现有的术语惯例，valuationproblem从今以后简称为FCVA（funding and c redit valuation Advision）,尽管我们有理由认为，在这里我们只是根据特定的、有时相当复杂的交易规则来处理合同的公平估值。我们经常使用的术语“调整”指的是通过至少两种不同的方法来解决估值问题，而这并不一定是我们的目标。因此，我们想强调，我们的方法应与启发式的“附加调整方法”相区别，后者取决于附加价格dec omp OSitionbπ=π+CVA+DVA+FVA+a传统调整（如有需要）(1.1)，其中π是非无缺陷交易对手之间的无抵押合同的公允价值，而Bπ是两个违约方之间的合同投资者的“价值”，该合同具有特定的融资成本、抵押品和其他相关成本和/或风险。在现有的大多数文献中，作者试图通过三种工具来获得价格分解（1.1）的显式表示：(a)对合约未来现金流的彻底分析，(b)对期货现金流贴现的一些（相当任意的）选择，(c)假设可以应用r isk中性估值，以便将价格计算为贴现现金流的（条件）期望。尽管这种技术在最近的一些著作中使用，但在这一领域中仍然不常见。当我们处理一个合同时，将一个合同简单分解为一个现金释放序列，其中现金释放本身与对冲策略无关，或者等价于合同的未知价值过程无关。当一个人处理一个担保合同时，这个公设显然是错误的，在这个合同中，担保金额是以合同的“公平”（或市场）价值的形式给出的。同样，一种特殊的折扣形式通常被作为一个似乎合理的公设而被采用，而不是作为一个从某种基本论点出发的严格的推理而导出。显然，任何临时选择的折扣都是值得怀疑的。

因此，上面所总结的实用方法显然在许多方面都有缺陷，尽管它有时仍可能产生正确的答案，前提是公关标志足够简单，所以无论如何，对于熟练的定量者来说，明智的解决方案是容易获得的。首先，只有在ris无K债券交易时，使用无风险贴现才是合理的。否则，当存在多个收益率曲线时，贴现因子的选择不是任意的，因此这个问题需要小心解决。其次，风险中性估值只有当套保策略的财富在一定概率度量下是一个鞅时，才是正确的，因此分析财富动力学中的漂移项是另一个关键步骤，只有考虑交易双方的交易策略才能做到这一点。此外，众所周知，在非线性ar定价规则（或等价于非线性ba ckward随机方程(BSDE)的解）的情况下，贴现的wea lth过程不是一个问题，因此经典的套利定价方法也不是一个问题。第三，虽然对一个非真实资产的选择是不合理的任意性，但在统计概率度量下，折现系数的选择应该与财富的实际动态相一致。即使我们坚持选择无风险利率作为贴现因子，在相关鞅测度下获取财富动态的问题仍然是一个需要详细分析的问题。如前所述，财富动态将随意地依赖于对冲策略的选择，因此，不计算条件expectation，而是求解非线性bsde.4t.r。Bielecki和M.Rutkowski2交易策略和财富动态为我们的交易市场模型的交易地平线T在整篇论文中被发现。下面所介绍的所有过程都隐含地假定是在潜在的概率空间(Ω，G，G，P)上给出的，其中G=(Gt)T∈[0，T]对所有交易者可用的信息的序列进行建模。我们用Sithe除息价格（或简单地说，价格）表示，时间0后的累积股利流由过程AI表示。让我们站在Ecorres ponding资金账户上，代表为ith ass e t提供的无担保或有担保资金。稍后将讨论对这些帐户的详细解释。我们还介绍了现金账户B，它用于无担保贷款或借入现金。在借款和借款现金利率不确定的情况下，我们将分别使用符号B0、+和B0、-来表示建模无担保借款和借款现金账户的过程。类似约定将应用于处理ses Bi，+和Bi，-。对于任何随机变量χ，等式χ=χ+-χ-通常是将随机变量χ分解为正负两部分。然而，请注意，这一结论不适用于双指数，如s0、+或0、-。假设2.1我们假设:(i)Sifor i=1,2,。d是C`adl`ag se mimartingales,(ii)Aifor i=1,2,。d是ai=0,(iii)bj=0,1..d是严格正的连续变化过程，且bj=1。cu的多红利价格Si,clds给定asSi,cldt:=sit+BitZ(0,t](Biu)-1daiu,t∈[0,t]，(2.1),因此贴现的累积红利价格ebsi,cld:=(Bi)-1Si,cldsatis fiesbsi,cldt=bsit+z(0,t](Biu)-1daiu,t∈[0,t]，(2.2),其中我们表示bsi:=(Bi)-1Si。如果该交易资产在此之前没有支付任何股利，则等于Si,cldt=Sitholds,对于每t∈[0,t]。注意，过程Si，cld以及相应的pro c essesbSi，cld都是c\'adl\'a g。注意，公式（2.1）是一个隐含的假设，假设是肯定的（Resp.

负）来自第ith资产的股息被投资于（resp.资金来自）ith资金账户BI。由于本节所获得的衍生证券的定价和对冲结果是以原始过程ses Si、BI、Ai而不是Si、cld表示的，所以我们选择与资产Siis相关的股息再投资的特定惯例是不重要的。2.1交易策略和融资成本我们可以根据上文所介绍的一系列交易资产来介绍交易策略。在这一初步的y节中，我们讨论了在下面的情况下所使用的定义和符号。假设2.2我们假设ζi=1,2,。..,d（对于j=0,1,...,d）是一个可预测的（r e sp.G-适应的）随机积分，使得d在下面得到很好的解释。在2.1和2.2节中，我们考虑了一个由风险证券Si,i=1,2,2,构成的动态投资组合。.d，用于无担保贷款/借款的现金账户，以及资金账户Bi，i=1,2,。..,d,用于（无担保或有担保）第ith项资产的融资。此外，我们还引入了一个变量的C`ADL`AG过程a，a=0，其目的是表示外部的现金流，即与某些OTC合约相关的现金流。OTC合约的估值与套期保值5注2.1在市场解释中，过程a旨在从套期保值者（另一方称为交易对手）的角度对所有从财富中支付或添加到财富中的合约现金流进行建模。合同现金流的名称是用来强调，过程A将典型地模拟由一个交易策略直接产生的所有现金流，并通过一个交易策略来复制。一个交易策略的财富依赖于一个交易策略和一个交易策略，从下一个交易策略中可以看出这一点。重要的是要强调，套期保值交易和外部现金流A不能完全被sepa评级，因为财富将以非线性的方式依赖于一个交易策略中的两个交易策略。1我们说一个交易策略（,A）随着现金的减少，当财富过程V时，A）,它由公式t(\',A）给出:=dxi=1ζitsit+dxj=0ψjtbjt，(2.3),对于每t∈[0,t],Vt(\',A)=V(\',A)+dxi=1z(0,t)+iud(Siu+Aiu)+dxj=0z(0,t]ψjudbju+At(2.4),其中V(\',A）是一个任意实数。注2.2使rve(2.4)产生以下财富解算区Vt(\',A)=V(\',A)+Gt(\',A)+Ft(\',A)+At(2.5),其中Gt(\',A)：=DXI=1Z(0,t]ζIU(DSIU+dAiu)(2.6)表示持有风险资产S的多/空头寸所产生的收益（或损失）。..,SdandFt（,A）:=dxj=0z(0,t]ψjudbju(2.7)代表投资组合的融资成本。当对交易施加更多的限制时，财富过程的这种额外的附加条件将不再成立。备注2.3有时（参见[29])，由γt=V(\',a)+Ft(\',a)+dxi=1z(0,t]ζiudaiu+Atfor t∈[0,t]给出的过程essγ被称为现金过程。在这种情况下，重要的是要强调等价性vt(\',A)=dxi=1z(0,t]ζIudsiu+γt,holds,但是，一般而言，我们有vt(\',A)6=dxi=1ζitsit+γt。6 t.r.Bielecki和m.rutkowski2.2基本市场模型通过基本市场模型我们指的是一个初步的工作，在这个工作中，资金账户和风险资产的交易是不受约束的。这确实是一个相当简单的设置，因此它的分析应该仅仅被看作是对交易约束下更现实的模型的一个尝试。

我们将从命题2.1的基本结果出发，通过重新定义涉及财富过程和资金来源的计算，得到各种类型的财富动态的显式公式。设VCLDT(\',A）b e为一个交易策略(\',A）的净财富，如下等式VCLDT(\',A）=Vt(\',A）-BtZ(0,T](Bu)-1DAU。（2.8）值得注意的是，净财富Vcld（？,A）是一个有用的理论结构，而不是一个无用的概念。一方面，现金流A包含在财富V中（？,A）；另一方面，相同的现金流被正式再投资于V（,A）减去的波段。我们将认为（2.8）（或该公式的某些扩展）给出的折现净财富将成为融资和担保下交易的无套利财产的方便工具。注2.4显然，财富过程取决于策略和合同现金，因此符号V（,a）是有意义的。但是，为了方便起见，在第2.1节的其余部分使用了简记法V(Ⅵ)。我们引入了以下Notationkit:=Z(0,T]BIUDBSiu+AIT=Z(0,T]BIUDBSIU，cldu(2.9)和K\\T:=Z(0,T]BUDEVU(Ⅴ)-AT=Z(0,T]BUDEVCLDU(Ⅵ)(2.10)，其中我们设置EVCLD(Ⅵ):=(B)-1VCLD(Ⅵ)和DEV(Ⅵ):=(B)-1VCLD(Ⅵ)。显然，eVcldt(|)=V(||)+Z(|0,T](Bu)|1 DK||U.（2.11）备注2.5过程Kiis等于风险证券SIN中的融资策略的融资账户Bi贴现的财富，以及在时间t持有的ith资产的c变动股利价格的Bitunits的相关融资账户Biin。以下命题相当抽象，主要是为涵盖无担保金融衍生工具的估值和对冲而量身定做的。因此，我们在这里主要关注与风险资产交易相关的融资成本。关于担保合同的研究将推迟到下一节。我们将在后面指出，这个结果是一个很好的起点，可以用来分析许多实际的有吸引力的情况（特别是命题2.2、2.3和2.4）。为了实现我们的go als，对交易策略施加特定的限制是不够的，它将影响套期保值者面临的特定市场条件（如直接贷款、借款和融资利率）和/或正在研究的合同的风险（如因违约而产生的抵押品或平仓付款）。命题2.1(i)对于任何自我融资策略，我们有以下结论：对于场外交易合同7的每一个t∈[0,t]kàt=dxi=1z(0,t]ζiudkiu+dxi=1z(0,t](ζiubiu+ζiusiu)(eBiu)-1debiu(2.12)估值和套期保值，其中我们设置bi:=(B)-1bi。(ii)均衡性kàt=dxi=1z(0,t]ζiudkiu+dxi=1z(0,t])Iudkiu,t∈[0,t]，(2.13)成立当且仅成立Ifdxi=1z(0,t](ψiubiu+ζiusiu)(eBiu)-1debiu=0,t∈[0,t]。(2.14)(iii)特别是，如果每一个i=1,2。我们有:bit=bt，对于所有t∈[0,t]，或者σitbit+ζitsit=0,t∈[0,t]，(2.15)那么（2.14）是有效的，因此（2.13）成立。(iv)假设bi=b，对于每一个i=1,2,。.d和denoteeSi,cld=(B)-1 si,cld。ThendeVcldt(±)=dxi=1ζitdesi,cldt。（2.16）证明。回想一下（参见(2.4))dVt(è)=dxi=1ζitd(Sit+Ait)+dxj=0ψjtdbjt+dat.使用(2.3)，我们得到devt(è)=dxi=1ζitd((Bt)-1Sit)+dxi=1ζitd((Bt)-1Sit)+dxi=1ψitd((Bt)-1bit)+(Bt)-1dat=1ζitdesi，Cldt+dxi=1ψitdesi，Cldt+dxi=1ψitdesi+(Bt)-1datwhereBi=(B)-1biandesi，Cldt=Sit(Bt)-1+z(0,（Bu）-1 daiu=esit+z(0,t]（Bu）-1 daiu。因此，dk=t=BtdeVt(}）-dat=dxi=1 Btζitdd=1 Btζitbsitdebit+dxi=1 Btζitbsitdebit+dxi=1ζitddait+dxi=1ζITDKIT+DXI=1Bt(ζIT+ζITBSIT)debit，这就完成了第(i)部分的证明。第(ii)和(iii)部分现在很容易理解。通过结合公式（2.9）和（2.12）我们得到第(iv)部分。

请注意，(2.16)是一个有少量储蓄的市场的经典条件。Bielecki和M.Rutkowskiremark2.6指出，平等性BI=B（第e部分质量(2.15))对应于设定的ith的无担保（resp.securited）融资（无担保融资意味着风险证券不作为抵押品张贴）。在金融解释中，c值（2.15）指在任何一个大值时，风险证券中的长期或短期保单的价值应由该担保的融资账户的价值确定。尽管这一条件旨在涵盖使用相应回购利率为ith risk y资产提供完全安全融资的情况，但公平地承认，这是一种强制性的做法，因此并非总是不切实际。它适用于DailyRetainment的回购合同，但不包括长期回购合同的情况。请注意，如果条件（2.15）对所有i=1,2,都成立。..,d则投资组合的财富对于每t∈[0,t]，则为Vt(|)=ψtbt.这与所有收益/损失立即计入储蓄acc ount B的解释是一致的。为了使这种设置更加现实，我们特别需要引入直接借贷利率和更严格的交易。备注2.7更一般地说，ith风险证券可以部分使用BI，另一部分使用B，因此条件（2.15）可能不成立。然而，这种情况也可以由模型来涵盖，在该模型中，条件（2.15）通过巧妙地将第ith资产分成两个“子资产”，这两个“子资产”是受直接融资规则约束的。不用说，衍生证券的估值和套期保值结果将取决于用于套期保值的风险资产的融资方式。2.2.1财富过程的动态为了获得财富动态的更多的表达式，我们证明了一个辅助引理。从等式（2.17）中，我们可以推导出增量dkiti代表了ith资产价格扣除融资成本的变化。由于缺乏更好的术语，我们建议将Kithenetted实现的现金称为ith Asset.Lemma 2。1对于所有t∈[0,t]，Kit=sit-si+ait-z(0,t]bsiudbiu(2.17)和kít=Vt(}）-V(}）-at-z(0,t]vu(}）dbu成立以下等式。（2.18）证明。It o公式，(2.2)和（2.9）产率z(0,t]Biudbsi,cldu=z(0,t]Biudbsiu+Ait=bitbsit-Bibsi-z(0,t]Bsiudbiu+Ait(2.19)=sit-Si+ait-z(0,t)Bsiudbiu。第二个公式的证明类似。根据引理2.1，命题2.1的以下推论是直接的。场外交易合约的估价和套期保值9推论2。1公式（2.12）等价于以下表达式:sdevcldt(θ)=dxi=1ζitebitdbsi,cldt+dxi=1ζitbitbit-1 debit,(2.20)dVt(θ)=evt(θ)dbt+dxi=1ζitbitdbisi,cldt+dxi=1ζitbitdbit+dAt+dAt，(2.21)dVt(θ)=evt(θ)dbt+dxi=1ζitdkit+dxi=1ζitdkit+dxi=1ζitbit+ζitsit。因此，提供资金的成本是：datisfyft(||)=z(0,t]evu(||)dbu+z(0,t]dxi=1ζIu(eBiu)–1 debit–dxi=1z(0,t]ζIubsiudbiu。（2.23）由于供资费用尤其取决于供资账户B、。..,Bd,我们有时会通过编写F(||)=F(|||；B,...,Bd)来强调这种依赖性。示例2.1假设进程Bj,j=0,1,.d是绝对同连续的，因此对于某些G适应过程rj,j=0,1,它们可以表示为DBJT=rjtBjtdt。...D.然后(2.21)yieldsdVt(|)=rtVt(|)dt+dxi=1ζit(Rit-rt)dt+dxi=1ζitdsit-ritsitdt+dait+dat。（2.24）最后一个公式意味着atdvt(θ)=dxj=0rjtψjtbjtdt+dxi=1ζ它dsit+dait+dAt，(2.25)，这也可以看作是（2.4）的直接结果。特别地，通过dft(Ⅵ)=dxj=0rjtψjtbjtdt给出了资金成本的动态。（2.26）2.2.2普通无担保考虑到本节的其他部分，我们将研究各种实际利益案件的一般结果的后果。我们假定bi=b，对于i=1,2,。...

,k表示某些k≤d。这意味着所有无担保账户B，...,bk折叠成一个现金账户，名为B，但担保账户bk+1，....债券回购利率可能因资产不同而异。在形式上，现在可以很方便地假定te,对于i=1,2,来说，ψi=0。..，k，因此po rtfolio可以被表示为(do=(ζ,...,ζd,ψ,ψk+1,...,ψd）。因此，公式（2.3）将Vt(8)=dxi=1ζitsit+dxi=k+1ψitbit+ψtbt，其自适应条件（2.4）变为Vt(8)=V(8)+dxi=1z(0,t]ζIUD(SIU+Aiu)+z(0,t]ψudbu+dxi=k+1z(0,t]ψIUdbiu+。Bielecki和M.Rutkowskic，等式（2.21）取如下fo rmdVt(|)=evt(|)dbt+kxi=1ζitbtdesi,cldt+dxi=k+1ζitbitdbsi,cldt+dxi=k+1,cldt+dxi=k+1,itbitdbsi,cldt+dxi=k+1,it(eBit)-1 debit+dAt(2.27),其中我们denoteeSi,cldt:=esit+z(0,t](Bu)-1daiu,t∈[0,t]，其中在turnesi中:=(B)-1si。.d是绝对连续的，因此，在par ticular中，ri=r，对于i=1,2,。..,k,thendVt(|)=rtψtbt+dxi=k+1 ritψitbit dt+dxi=1ζit dsit+dait+dat。（2.28）如果，在一个dditio n中，ζIt=0,对于i=k+1,。..,d则Vt(|)=PKI=1ζitsit+ψtbtand(2.28)收益率sdft(||)=rt Vt(||)-kxi=1ζitsit dt-dxi=k+1ζitritsitdt.2.3贷款和借款现金率我们现在通过假设无担保的贷款和借款现金率是直接的来修改我们的模型。回想一下，我们用B0、+和B0表示的-分别对应于借贷利率的账户流程。现在很自然地把一个投资组合表示为：=(ζ,...,ζd,ζ0,+,ζ0,-,ζ,..,ζd,）,其中，对于ll t∈[0,t],假定，ζ0,+t≥0和ζ0,-t≤0。此外，由于同时借贷现金被排除或不被排除(ifr0,-≥r0,+),我们假定对于所有t∈[0,t],ζ0,+tyen0,-t=0。一个投资组合的财富过程现在等于svt((do)=dxi=1ζitsit+dxi=1ζitsit+ψ0,+tb0,+t+ψ0,-t，(2.29)和自定义条件readsVt((do)=V((di)+dxi=1z(0,t]ζIud(SIU+Aiu)+dxi=1z(0,t]ψIudbiu(2.30)+z(0,t]ψ0,+Udb0，+u+z(0,t]ψ0,-Udb0,-u+at)。值得注意的是，θ0,+tand Vt((di)-dxi=1ζitsit-dxi=1ζitbit+和ψ0,-t=-(B0,-t)-1 Vt((di)-dxi=1ζitsit-dxi=1ψitbit-。以下推论提供了当前设置中的财富动态。场外交易合约的估值和套期保值11推论2。2(i)假设B0、+和B0、-是与借贷利率相对应的账户过程。设“i”是任意一个自定义策略，使得对所有t∈[0,t]而言，φ0,+t≥0,φ0,-t≤0,以及φ0,+tφ0,-t=0。则由（2.29）给出的财富过程V(Ⅵ)具有以下动态SDVT(Ⅵ)=DXI=1ζITBIT+DAT+VT(Ⅴ)-DXI=1ζITSIT-DXI=1ψITBIT+(B0,+T)-1dB0,+T(2.31)-VT(Ⅵ)-DXI=1ζITSIT-DXI=1ψITBIT-(B0,-T)-1dB0,-T。.，k和ζit=0和i=1。..,d对于所有t∈[0,t],则vt(∑)=kxi=1ζitd(SIT+Ait)+dxi=k+1ζitbitdbsi,cldt+dAt(2.32)+vt(∑)-kxi=1ζitsit+(B0,+t)-1db0,+t-vt(∑)-kxi=1ζitsit-(B0,-t)-1db0,-t.证明。公式（2.31）可以从（2.30）中导出，也可以使用等式（见(2.19))BitdbSi，CLDT=DSIT-BSITDBIT+DAIT，我们省略了deta。例2.3在推论2.2中第(ii)部分的假设下，另外，如果所有会计处理i=1，k+2，....d+2是绝对连续的，则（2.3 2）变为dvt((di)=kxi=1ζit dsit+dait.+dxi=k+1,it dsit-ritsitdt+dait+dAt(2.33)+r0,+t vt((di)-kxi=1ζitsit+dt-r0,-t vt((di)-kxi=1ζitsit+dt-r0,-t vt((di)-kxi=1ζitsit+dt-r0,-t vt((di)-kxi=k+1 ritζitsitdt.设置k=0，我们得到dvt((a)=dxi=1ζ它dsit-ritsitdt+dait persi+dAt+r0,+t vt((a))persi+dt-r0,-t vt((a))persi-dt。（2.34）2.4各种净额形式下的交易策略到目前为止，资金账户中的多头和空头头寸Bj,j=0,1,。..,d被归结为利息。

这一假设现在将被放松，因此我们现在将处理扩展框架，在该框架中，风险资产中的长短交易问题变得至关重要。请就头寸和/或风险净额结算的概念发表一些评论。在ge ne ral,12 T.R.Bielecki和M.Rutkowskithe多空头寸净额结算的概念可以在不同的包容性水平上引入，从完全没有净额结算到所有头寸净额结算的最全面情况。为了我们的目的，只要考虑以下情况就足够了：(a)不对多头/空头头寸进行任何净额计算，(b)只对每种特定风险资产及其资金账户进行多头/空头头寸净额计算，(c)此外，对来自givenfunding账户供资的ll风险资产的多头/空头现金头寸进行净额计算，(d)此外，对与交易对手之间的所有合同相关的风险敞口（因此也包括ma rgin账户）进行净额计算。2.4.1情况(a)为了涵盖任何资产Si中完全不存在任何多头和空头头寸净额计算的情况，可以假设对于所有i=1，...,d和t∈[0,t],ζi,-tsit+ζi,+tbi,+t=0,ζi,+tsit+ζi,-tbi,-t=0,其中ζi,-tsit:=-(ζitsit)-≤0,ζi,+tsit:=(ζitsit)+≥0,使得对所有t∈[0,t]来说，ζi,+t≥0和ζi,-t≤0。特别是，即使对于所有t来说，ζi,+t+ζi,-t=0，这意味着在任何时候，ith资产的净头寸为空，由于账户Bi，+和Bi，-之间的价差，e仍然是持有两个未平仓头寸的增量成本。这种情况非常严格，不实用。因此，下文将不对其进行分析。2.4.2案例(b)，现在让我们研究案例(b)。为了使这一设置不是简单的，我们引入了两个di,+和Bi,-,它们的目的是为了增加ith Asset的资金成本。我们现在假定Vt(|)=ψ0,+Tb0,+t+ψ0,-Tb0,-Tb0,-Tb0,-Tb0,-Tt)=ψ0,+Tb0,+t+ψ0,-Tb0,-Tt，其中，θi,+t≥0和，θi,-t≤0,对于t∈[0,t]和，i=1,2。..,d和t∈[0,t],ζitsit+ψi,+Tbi,+t+ψi,-Tbi,-t=0。（2.35）净额结算机制c在这里可以解释为：为了对冲的目的，它是指在任何资产I中同时持有多空pos；在ith资产中取净位置就足够了。例如，如果一家银行已经持有某项资产的空头头寸，而需要持有相同规模的多头头寸，我们可以推断空头头寸已经平仓。然而，从总融资成本最小化的角度来看，这种交易方式并不总是最优的。还请注意，条件（2.35）防止在多头资金账户和空头资金账户重合的资产中对空头多头现金头寸进行净额结算。关于条件（2.15）的一般性评论，也适用于条件（2.35）。由于不允许从资金账户i中非法借贷现金（或者如果ri,-≥ri,+)则不允许），我们还假定对于所有t∈[0,t]来说，φi,+tφi,-t=0。这意味着，θ0,+t=(B0,+t)-1(Vt(||))+，θ0,-t=-(B0,-t)-1(Vt(|||))-(2.36)，并且，对于每i=1,2。..,d,ψi,+t=(Bi,+t)-1(ζitsit)-,ψi,-t=-(Bi,-t)-1(ζitsit)+。（2.37）场外交易合约的估值与套期保值13自定义条件为（2.35）对所有i=1,2,...,d成立。

则财富过程等于，对于allt∈[0,T]，Vt(í)=ψ0,+Tb0,+T+ψ0,-Tb0,-T，财富动态为dVt(í)=dxi=1ζit(DSIT+dAit)+dxi=1(ζITSIT)-(Bi，+T)-1dBi，+T-Dxi=1(ζITSIT)+(Bi，+T)-1dBi，-T(2.38)+(Vt(í))+(B0，+T)-1dBi，-T+dA。当等式Bi，+=Bi，-=Bi对所有i成立时，注2.8=1,2,.则公式（2.38）可以被视为公式（2.31）的一个特例，对于所有i来说ζIt=0（另见动力学（2.34））。例2.4在推论2.3的假设下，如果另外，所有计算过程Bi，+和Bi，-对于i=0，1，....,d ar e绝对连续，则（2.38）变为（没有（2.39）扩展（2.34）的te）dVt(è)=kxi=1ζ它dsit+dait+dxi=1ri,+t(ζitsit)-dt-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt(2.39)+r0,+t(Vt((di)))+dt-r0,-t(Vt((di)))-dt+dt+dat，因此资金成本满足dft((di)=r0,+t(Vt((di)))+dt-r0,在这里，我们将是约定(c)的一个特殊情况，这似乎在实践中很有意义。我们现在假定Bi，+=B0,+对于所有i=1,2,。.d和我们p证明所有的空头现金头寸都有风险。...,Sdare聚合。这意味着所有可用的正现金，包括风险资产卖空收益，都包括在财富中，并投资于账户B0、+或B0、-。B y相反，风险资产中的长期cas h头寸假定由各自的资金账户Bi，-提供资金。因此，我们在这里讨论了风险资产的部分ne TINTING的情况，为了正式地描述目前的设置，我们假定Vt(|)=ψ0,+Tb0,+T+ψ0,-Tb0,-T+DXi=1(ζitsit+ψi,-Tbi,-t)，其中，对于每i=1,2,。.，d和t∈[0,t]，过程ψi,-tatis fiesψi,-t=-（Bi,-t)-1(ζitsit)+≤0。（2.40）14 T.R.Bielecki和M.Rutkowskiso的结论是：alsoVt(θ)=ψ0,+tb0,+t+ψ0,-t-dxi=1(ζitsit)-。由于作为我们的一个假设，ψ0,+t≥0和ψ0,-t≤0,我们在下列等式中obta,+t=(B0,+t)-1vt(θ)+dxi=1(ζitsit)-+,ψ0,-t=-(B0,-t)-1vt(θ)+dxi=1(ζitsit)-+。最后，自定义条件由以下表达式给出:vt(θ)=V(θ)+dxi=1(ζitsit)--。1Z(0,T]ζIUD(SIU+Aiu)+DXI=0Z(0,T]ψi,-Udbi,-U+Z(0,T]ψ0,+Udb0,+U+Z(0,T]ψ0,-Udb0,-U+at）。4根据上述假设，财富动态为DVT(Ω)=DXI=1ζIT(DSIT+dAit)-DXI=1(ζITSIT)+(Bi,-t)-1dBI，-t+dAt(2.41)+VT(Ω)+DXI=1(ζITSIT)-+(B0,+t)-1dB0,+T-VT(Ω)+DXI=1(ζITSIT)--TM(B0,-t)-1dB0,-t。请注意，即使我们另外假设Bi，-=B0,-对于所有i=1,2,）。..d,表达式（2.41）不会还原为(2.31)，因为条件（2.40）排除了长c灰位置acro ss风险的网。例2.5在推论2.4的假设下，如果，此外，所有帐户过程Bi，+和B0，-是绝对连续的，则(2.41)变为dvt((di)=kxi=1ζit dsit+dit-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt+dAt(2.42)+r0,+t vt((di)+dxi=1(ζitsit)-+dt-r0,-t vt((di)+dxi=1(ζitsit)-+dt-r0,-t vt((di))+dxi=1(ζitsit)-+dt-r0,-t vt((di)+dxi=1(ζitsit)-+dt-r0,-t Ri,-t(ζitsit)+dt.2.5有担保的交易策略，我们将进一步讨论套期保值者与ContracttualCash签订合同，并收回或张贴现金抵押品的情况，我们假设这些抵押品是通过一些特定的过程c.letct=Ct{Ct≥0}-Ct{Ct<0}=c+t-c-t(2.43)场外交易合同的估价和套期保值15是Ct≥0的通常分解。按照惯例，c+ts表示收到的担保品的现金价值，而c-tres表示担保品的现金价值。