动态评价指标

通过对F(-1，l)和F的局部性的认识，显然F(-1，l)(s)=-∞在集合ccs={s=-∞}上。现在考虑DS=csyen{F(∞)≥s}={s>-∞}请注意，DS表示任何es使得DS<s。用s表示那些es≤s使得DS上es<s的集合。请注意s6=。设es∈S，并假定EssSUPES∈SF(-1,l)(es)<em<F(-1,l)(S)。通过对F的左逆性和局部性的认识，得到了对于每一个es∈s,在D上es<F(em)<s,如果P[D]=0,这是不可能的。因此，在DS上，ess SUPES∈SF(-1，l)(es)=F(-1，l)(s)。从这里，利用F的局部性，我们还得到了在DS上ess SUPES<SF(-1，l)(es)=F(-1，l)(s)。接下来，让我们考虑集合Es:=CSyen{F(∞)<s}。由于Es上的F(∞)<s,因此，通过对F(-1，l)的认识，我们得出对于es=Ees上的任何es<s，F(-1，l)(es)=F(-1，l)(s)，这表明F(-1，l)在es上是左连续的。最后，由于Ccs，Ds，es形成了一个Ω的划分，而F(-1，l)在划分的每个集合上都是左连续的，结合F(1-，l)的局部性，我们推导出F(-1，l)是左连续的。F(-1，r)的情况与此类似。注a.8。这些集合As,Bsa分别用来保证右逆和左逆的局部性。实际上，假设我们将F(-1,l)(s)=ess inf{m∈l:F(m)≥s}。那么就有可能得到一个非局部逆。例如，设A∈G，其中0<P[A]<1且F(m):=1A2M+1AC，它是增的且局部的。那么，F(-1，l)(1a2)=1a-1ac∞,而F(-1，l)(2)=ess inf=+∞,thusAF(-1，l)(1a2)=1a6=1a∞=1af(-1，l)(2)，这意味着F(-1，l)不是局域的。设F:l→lbe为局部递增函数。然后，下列性质成立:(i)F满足F(-1，l)=G-≤G≤G+=F(-1，r)的任意条件逆G；(a.13)(ii)F（-1,l）和F（-1,r）也都是F的条件逆；(iii)F是其任何条件逆的条件逆；(iv)对于任何m,s∈l，我们有F-(m)≤s∑m≤F(-1,r）(s)(a.14)F+(m)≥s。yenm≥F(-1,l）(s)。(A.15)备注A.10。注意，由于F是其任何条件逆的条件逆，(a.13)意味着f-=F(-1，l)(-1，l)=G(-1，l)=F(-1，r)(-1，l)，F+=F(-1，r)(-1，r)=G(-1，r)=F(-1，l)(-1，r)。(a.16)证明。考虑一个局部增函数F:l l→l是F的条件逆G。第1步：让我们证明F(-1,l)≤g-≤G≤G+≤F(-1,r）。(A.17)g-≤G≤G+的事实来自于对左连续和右连续版本的认识，以及G在增加的事实。通过引理A.7，我们得到了F(-1，l)和F(-1，r)分别是局部的、递增的和左右连续的。现在让我们证明F(-1，l)≤G-。由于F（-1,l）是左连续的，并且F（-1,l）和G都是递增的，所以对于每s∈l,可以证明F（-1,l）(s)≤G(s)。假设s∈L。对（-1,l）的识别表明，在{s≤F(-∞)}上F(-1,l)(s)=-∞≤G(s)。由于G是F的逆，因此在{s>F(∞)}上G(s)=∞≥F(-1，l)(s)。在{F(-∞)<s<F(∞)}上，假定在某个集合A{F(-∞)<s<F(∞)}上存在F(-1，l)(s)>em>G(s)的SEM∈l.一方面，通过F(-1，l)可知A上的s>F(em)；另一方面，由于A上的em>G(s)，通过(A.4)可知F(em)≥F-(em)≥F+(G(s))。因此，在{F(-∞)<s<F(∞)}上s>F+(G(s))，这与G是F的逆这一事实相矛盾。因此，A的概率为0，因此，我们证明了{F(-∞)<s<F(∞)}上的F(-1，l)≤G。最后，注意，由于F(-1，l)是左连续的，且对于任意s′<F(∞)的F(-1，l)(s′)≤G(F(F∞))，我们得到F(-1，l)(F(F∞)≤G(F(F∞))。后者与F(-1，l)和G的局部性一起，意味着F(-1，l)(s)≤G(s)在集合{s=F(∞)}上。

因此，我们得出F(-1，l)≤G的结论。类似的论证表明G+≤F(-1，r)，因此(A.17)成立。步骤2：让我们证明(F(-1，l))+=F(-1，r)(A.18)(F(-1，r))-=F(-1，l)。(A.19)由于F(-1，l)≤F(-1，r)且后者是右连续的，因此(F(-1，l))+≤F(-1，r)。另一方面，对于任何s<es，我们有F(-1，r)(s)≤F(-1，l)(es)。事实上，在Aces上，它保持F(-1，l)(es)=∞≥F(-1，r)(s)。在Bcs上，它保持F(-1,r)(es)=-∞≤F(-1,l)(s)。最后，在C=(ACES/Bcs)C=AESTMBs上，取F(-∞)≤s<es≤F(∞)。用现在的s<es和F(-1,l）和F(-1,r）的定义，由于C aes和C Bs，它在C1C m∈l:1cf(m)≥1ces上得到sc m∈l:F(m)>s:1cf(m)≥1ces。取两边的本质in说明对于任何s<es，1cf(-1,r）(s)≤1cf(-1,l）+≤F(-1,r）通过右连续版本的定义意味着C(F(-1,l）)+=1cf(-1,r）。由于P[CACETMBcs]=1，因此(F(-1，l))+=F(-1，r)。类似的论证得出(F(-1，r))-=F(-1，l)。步骤3：我们从(A.17)、(A.18)和(A.19)中推导出F(-1，l)=G-和F(-1，r)=G+。因此，(a.13)如下。让我们证明F(-1，l)和F(-1，r)都是F的条件逆。为此，我们观察到(A.17)和引理A.7一起得出G-和G+是局部增函数。由于{s<F(-∞)}上的G(s)=-∞和{s>F(∞)}上的G(s)=∞,紧接着，同样的情况也适用于G的右连续和右连续版本，利用G是一个条件逆的事实，{F(-∞)<s<F(∞)}上F±yieldsf-(G-(s))≤f-(G(s))≤s≤F+(G(s))≤F+(G+(s))的单调性。这里要考虑的集合是{s>F(∞)}而不是{s≥F(∞)}。另一方面，由于f-、F+、G是递增的，且G是条件逆，我们在{F(-∞)<s<F(∞)}上推导出f-(G+(s))=f-(ess)>SG(es))≤ess Infes>SF-(G(es))≤ess Infes>SES=s；F+(G-(s))=F+(ess)<SG(es))≥ess SUPs<SF+(G(es))≥ess SUPs<SES=s。因此F(-1，l)=G-和F(-1，r)=G+都是F的条件逆。步骤4：让我们证明F是它的任何一个条件逆的条件逆。设G是F的一个条件逆，设s,m∈L。首先，我们认为>F(m)意味着G(s)≥m。(A.20)的确，在{s>F(∞)}上，G(s)=∞≥m。其次，请注意，假设s>F(m)意味着{s<F(∞)}={F(-∞)<s<F(∞)}。因此，在{s<F(∞)}上，我们有F+(G(s))≥s>F(m)，这意味着G(s)≥m。最后，在{s=F(∞)}上，得到F(∞)=s>F(m)。因此，由于F(∞)>F(m)，G(F(∞))≥F(-1,l)(F(∞))=ess inf{n∈l:F(n)≥F(∞)}≥m。因此，(a.20)。通过(a.20)和右连续版本的发现，得到了g+(F(m)≥m。一个类似的论证表明g-(F(m))≤m。因此，在{G(-∞)<m<G(∞)}上，得到了g-(F(m))≤m≤G+(F(m))。(A.21)在集合{m>G(∞)}上明确G(∞)<∞。通过对条件逆的认识，得到了{m>G(∞)}上的atf(∞)=∞。因此，通过(A.5)的第1条线，我们得出了{m>G(∞)}上F+(G(∞))=∞的结论，从而暗示了{m>G(∞)}上F(m)=∞的结论。类似地，我们得到集合{m<G(-∞)}上的f(m)=-∞。从这里和(a.21)，我们得出F是它的条件逆的任意一个条件逆。步骤5：最后，让我们证明(a.14)和(a.15)是充分的。考虑m,s∈L。通过对F(-1,l）的认识，我们得到了在集合{m>-∞}上，F(m)≤m≤F(-1,r）(s)的单形。显然，这个蕴涵在集合{m=-∞}上也成立。同样地，我们推导出F+(m)≥s蕴涵m≥F(-1，l)(s)。转换蕴涵是将后两个蕴涵应用于G,然后使用命题2.10证明的注释A.10.A.3证明(A.13)。让我们来看看命题a.9意味着局部的、递增的和右连续的函数F:l→l与其条件右逆之间存在一一对应关系，换句话说，条件右逆算子是这类函数集合之间的双射。

由此我们推导出，如果π:Kut+×l→l在第二个参数中是局部的，并且如果它满足(b)，那么，它的条件右逆，比如R:Kut+×l→l在第二个参数中是局部的，并且满足(ii)；“如果π:Kut+×l→l在第二个参数中是局部的，如果π:Kut+×l→l在第二个参数中是局部的，那么，π:Kut+×l→l在第二个参数中是局部的，那么，π:Kut+×l→l在第二个参数中是局部的；另外，R的条件右逆等于π。注意，通过对左连续版本的认识，{m>-∞}上的F(-∞)≤f-(m)≤s在其余的证明中，我们将表明，π的附加性质是充分的当且仅当R的相应附加性质是充分的，例如(a)-(b)(i)-(ii)、(a)-(b)、(c)(i)-(ii)、(iii)等。我们首先证明当π是联合局部时，R是联合局部的。取xutolutilities xutolities,s∈land A∈G。通过与命题A.9的局部性证明类似的论证，并通过π的联合局部性，我们推导出tatar(xutolities,s)=1ar(xutolities,1as)=1abasess supnm∈l:1basπ(xutolities,m)≤1basaso-1abcas∞=1abasessupnm∈l:1abasπ(xutolities,m)≤1basaso-1abcas∞=1abasessupnm∈l:1abasπ(xutolities,这表明了R的联合局部性。假定R是联合局部性的，同样地证明了π的联合局部性。对条件情形作相应的调整后，同样地证明了(c)-(e)和(iii)-(v)之间的等价性。的确，在条件(a)下，π(·,m）对每个m∈L是上连续且凹的事实等价于π(x*,s)∈Kut×L:π(x*,m)≥s对每个m∈L是闭凸的事实。利用(A.15)，这等价于集合(X*,s)∈K=×L:m≥R_(X*,s）对于每个m∈L是闭凸的，这意味着R-是下半连续和拟凸的。此外，R-是联合拟凸当且仅当R是联合拟凸。类似地，我们可以证明π是正齐次的当且仅当R(λX*,s)=R(X*,s/λ)在λ∈L++之前。最后，我们将在假设(a)、(b)和(i)、(ii)分别被证明的情况下，证明(d)和(iv)之间的等价性。注意，条件(d)等价于下面的条件π(x*),对于某个m∈1，m)=∞,xututurikutu=yenπ(y*,m)=∞对于所有yututu∈K，其中，因此，等于π(x*，对于所有的s∈L，m)≥s，对于某些m∈L，xututurikutu=yenπ(y*,对于所有的s∈L，m)≥s，通过(A.15)，后一个蕴涵对于所有的s∈L，对于某些m∈L,xut∈Kut=m≥r-(x*,s）对于所有的s∈L，以及对于所有的yut∈K，都等价于m≥r-(x*,∞)=ess s UPS∈LR(x*,s）。注意到r-(x*,∞)=ess s UPS∈LR(x*,s）对于某些m∈L,x*∈Kut='Am≥r-(x*,∞)=ess s UPS∈LR(x*,s）等价于m≥r-(x*,∞)=ess s UPS∈LR(x*,s）,X*,s)=LR(x*,s）嗯。(A.22)考虑最后一个蕴涵m=r-(x*,∞),我们得到对于任意y*的r-(x*,∞)≥r-(y*,∞)。因此，将该等价性应用于m=r-(y*,∞),我们得出对于所有x*,y*,k=的r-(x*,∞)=r-(y*,∞)。(A.23)显然，如果(A.23)成立，那么蕴涵(A.22)也成立，因此(A.22)等价于(A.22)。因此，π满足(d)当且仅当R满足(iv)完成证明。A.4证明命题2.11在证明命题2.11之前，我们先给出条件特征函数的证明，然后给出包含条件特征函数的一些相关性质的命题A.12。设C是X的σ-稳定子集。对于X∈X我们定义A(X)=ess sup{B∈G:1bx∈1bc}。由χC(X)=-1Ac(X)∞=(0上A(X)-∞上Ac(X),X∈X,(A.24)给出的函数χC:X→l，称为C的条件特征函数。注意，条件特征函数是从X到L的映射。命题A.12。设C是σ-稳定集。然后，χCI是局部函数。此外，oC是非空的当且仅当χ顺为适当的；oC是单调的当且仅当χ顺为单调的；oC是凸的当且仅当χ顺为凹的；oC是锥的当且仅当χ顺为正齐次的；oC是闭的当且仅当χ顺为上半的。证明。

对于B∈G和X∈C，由于C是σ-稳定的，所以它符合Sb"eA(X)=ess sup{eBTMB:eB∈G和1EBx∈1EBC}=B"eES supneB∈G:1EBBx∈1EBBCO=B"eA(1BX),这意味着B"eAc(X)=B"eAc(1BX),因此1BχC(1BX)=1BχC(X),因此χC(X)是顺局部的。经检验，χC<+∞。另一方面，当且仅当C是空集时，A(X)对everyX是测度为零，因此χCI是正确的当且仅当ifC是非空的。C的单调性意味着χC1的单调性与A(X)，X∈X的识别直接相关。由于X∈C当且仅当χC(X)=0，因此也有相应的逆蕴涵。利用C的σ-稳定性，可以证明A(λX+(1-λ)Y)(A(X)'AA(Y))当且仅当C是凸的，因此χC1是凹函数当且仅当C是凸的。同样地，一个证明C是锥当且仅当χ-c-正齐次。最后，当C=，显然χ-c-上半连续。否则，请注意{X∈X:χC(X)≥m}=（{m>-∞}C+1{m=-∞}X如果m≤0，否则，它对于每个m∈_lif是闭集，且仅当C是闭集。命题2.11的证明。若C=，则π∞满足所有必要条件。因此，我们将考虑c6=.第1步：我们假定K={0}，因此kut=x*。我们从π的存在性开始。根据命题a.12，条件特征函数χCi是局部的、真的、凹的、上半连续函数。利用χC的定义，我们推导出它的凹共轭χC(X~*):=ess infx∈X{hx~*,xi-χC(X)}也可以表示为χC(X~*)=ess infx∈CHx~*,Xi,X~∈X*。(A.25)事实上，由于X∈C当且仅当χC(X)=0，显然如下：χC(X*)≤ess infx∈CHX*,Xi。假设现在在某个集合A上存在X∈X这样的AHX*,XI-1 AχC(X)<1AESS infchX*,Xi(A.26)。注意，根据局部性，对χC的认识和C6=，我们有1AχC(X*)=AχC(1Ax*)，1AESS infx∈1ACH1Ax*，Xi=ess infx∈1ACH1Ax*，Xi和1AχC(X)=χAC(1Ax)。然而，(a.26)中的严格不等式意味着1aχc(X)=χac(1ax)>-∞,即χac(1ax)=0。Henceahx*,xi-1aχC(X)=1ahx*,1axi-χac(1ax)≥1aess infx∈1achx*,Xi=1aess infx∈chx*,Xishowing与(A.26)一起证明A是一个零测度集。注意，由命题A.2,χcs是上半连续的凹且明显正齐次的。此外，由于c6=，从(A.26)的观点出发，得到χC<∞因而是极大不变量。由条件Fenchel-Moreau定理（CF.[24，定理3.8]或命题A.2(3))，我们有χC(X)=χC(X):=ess infxututurix*{hx*,因此，通过对χcand(a.25)的认识，它得到了X∈Cà0≤χC(X)=ess INFX(R)∈X*{HX*,XI-χC(X*)=ess INFFY∈CHX*,Y i，对于所有的X*∈X*。(a.27)因此，函数π(X*):=ess INFX∈CHX*,Xi,X*∈X*,fullls关系式（2.6）和条件(a)至(C)。步骤2：关于π的唯一性，设π，π:X*→lfullls条件(a)至(C)和关系式（2.6）。我们仍然假定K={0}。如果π(x*)=∞对于某些x*∈X*,那么通过关系式(2.6)，可以得到C=é,它蕴涵π(y*)=∞对于某些y*∈X*。由于两者都是极大不变量，因此π=π=∞。现在假设πi<∞。我们声称，对于i=1,2,bπi(x~*)=-1b∞对于所有x~∈x~*1bc=1bx。(A.28)注意，由于πii是最大不变量，所以我们只需要考虑两种情况:πi=∞和πi<∞,i=1,2。的确，如果1bπi(X*)=-1b∞,对于所有Xπ∈X，thenBhX，X*i≥1bπi(X*)，(a.29)对于所有X∈X和所有Xπ∈X*。由于C6=，我们取任意Y∈C，(2.6),我们得到1bchy,X*i≥bcπi(X*),对于所有X*∈X*,它与(A.29)结合，并且通过局部性，给出了ush1BX+1bcy,X*i≥πi(X*),对于所有X*∈X*,因此Z=1bx+1bcy，1bx=1bz，因此由于X在X中是任意的，所以我们可以得到1bx1bc。包含1bx1bc是明显的，因此1bx=1bc。假定1bx=1bc且存在xututurix*，bb使得1Bπi(x*)>-1B∞onb。取X∈X，使得B上hX，X*i<0。

然后，对于一个非常大的λ∈L++，我们在B上有thathλx,x*i<πi(x*),因此1Bλx/∈1bc。然而，1bλx∈1bx=1bc，这是一个矛盾。由此，建立了等价性(A.28)。其次，对所有x~∈x~*,i=1,2,求出Setsai:=ess SUP B∈F:1Bπi(x~)=-1B∞。通过(A.28)，我们得到A=A。注意，在集合A=A上，函数π和π重合且都等于-∞。取EπI=1AπI，其中A:=(A)C=(A)C。这些函数是凹的、上连续的和局部的，因为π是这样的，并且通过A的认识是正确的。由于条件Fenchel-Moreau定理，我们Obtaineπi(X*)=ess infx∈X hx*,xi-eπi,(X),X*∈X*,(a.30),其中πi，(X)=ess infx∈X*Hx*,xi-eπi(X*),X∈X。(A.31)由于eπii是正齐次的，而eπi是适当的，我们得到eπi，只能取0或-∞值。因此，对于所有的X^∈X^^，Xi≥πi(X)。因此eπ，1=eπ2，与方程(A.30)一起意味着eπi=eπ。步骤3：最后，让我们考虑一下k6={0}的情况，即K=6=x*。正如我们在步骤1中已经说明的，函数π:x*→l由π(x*)=ess infx∈CHx*,Xi,x*∈X*,(a.32)给定，满足条件(a)-(c)，因此它对k的限制条件(a)-(c)。考虑到步骤2中所证明的唯一性，如果我们证明π:kà→lful lls(2.6)，则证明是完整的。首先，我们将证明对于任意xà∈x，我们在ACxé上有π(xà)=-∞,其中axà=essup{B∈G:1bxààké}。的确，通过对极锥和ax*的认识，我们可以得到在acx*上存在Y∈K这样的x*,Y i<0。取x∈C；通过C的单调性，我们得到了对于λ>0的x+λy∈C。因此，对于每λ>0,π(x*)=ess infx∈chx*,Xi≤hx*,Xi+λhx*,Y i。因此，让λ去∞,并考虑到在ACx*上的hx*,Y i<0,我们得出π(x*)等于ACx*上的-∞。其次，解x*:=1ax*，并注意，通过解ax*,我们得到了ex*∈k′。由于在ACX*上π(x*)=-∞,根据局部性和π(0)=0的事实，它遵循X*,Xi≥π(x*)hex*,Xi=1ax*hx*,Xi≥1ax*π(x*)=π(ex*)。(A.33)注意，通过局部性和对axéandexé的认识，我们得到了K=={yé∈xé:存在xé∈xé=1axéxé}。利用这一点和(A.33)，我们得出结论，对于所有的xéàkó，我们得到了x∈Chxé，Xi≥π(xé)。这就完成了证明。确认Stomasz R.Bielecki和Igor Cialenco确认NSF grant DMS-0908099和DMS1211256的支持。Samuel Drapeau的工作得到MATHEON项目E.11的部分支持。Martin Karliczeknowledge Konsul Karl和Gabriele Sandmann博士Stiftung Grant的支持。作者要感谢Michael Kupper教授激发的讨论和有益的评论。参考文献[1]B.Acciaio和I.Penner。动态风险度量。在G.Di Nunno和B.Oksendal（编辑）《金融学数学方法进阶》:1-34,2011。[2]B.Acciaio,H.F.Ollmer,I.Penner。不确定现金流的风险评估：模型模糊性、贴现模糊性和泡沫的作用。金融与随机，16:669-709,2012.[3]P.Artzner,F.Delbaen,J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。数学。Financial,9（3）：203-228,1999.[4]A.Ben-Tal和M.Teboulle.随机非线性规划中的期望效用、罚函数和对偶性。管理科学，32:1445-1466，1986。凸风险度量的一个新旧概念：最优化的确定性度量。数学金融，17(3):449-476,2007。动态准凹性能测度。预印本，2012年。[7]T.R.Bielecki、I.Cialenco、I.Iyigunler和R.Rodriguez。动态圆锥曲线：通过具有交易费用的动态相干可接受性指数进行定价和套期保值。《国际理论与应用金融杂志》，16(1)，2013。[8]T.R.Bielecki、I.Cialenco和Z.Zhang。动态相干可接受性指标及其应用。即将到来的数学。Finance,2013。[9]J.Bion-Nadal。

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