动态评价指标

因此，利用α的标度不变性，我们得出结论:Atc(X)≤0，而相应的结论是:C(X)=ess inf m∈L:m≤0，α(m)≥α(X)，X∈X。再次利用α的标度不变性，我们得出结论:C(X)只取值0和-∞。考虑到(2.26)，因此我们需要对指数α进行定义条件，以确保（2.26）具有确定性等价。注意，这陈述了双极定理的条件版本。条件评价指标α是oκ-有界的，如果对任意X∈X，存在满足α(mκ)<α(X)≤α(mκ)的m,m∈L.(2.27)oκ-严格递增，若α(mκ)>α(m′κ)在A上，当m,m′∈A.上的m>m′时，若对于A∈G上的m∈Y∈X且α(mκ)>α(Y),则A上存在ε>0的ε∈L+,使得α(m-ε)κ)≥α(Y),命题2.19。设α:X→LBE为κ-敏感和κ-有界的上半连续条件评价指标。然后，(2.26)中定义的C是κ-条件确定性等价且α(X)≥α(Y)∑C(X)≥C(Y)，X，Y∈X。（2.28）在这种情况下，C本身是一个κ-敏感和κ-有界的条件评价指标，如果另外α是κ-严格递增的，则（2.26）是上半连续的，唯一的κ-条件确定性等价于α。注2.20。关系式（2.28）表明C和α再现了相同的等级，因此在这个意义上它们是等价的。请注意，(2.26)中定义的泛函包含以下性质C(C(X)κ)=C(X)，X∈X，(2.29)，这意味着C是其自身的确定性等价证明。设C如（2.26）所示。因此，(2.27)意味着C在L中取值。接下来我们将说明C满足（2.25）。根据α的局部性，集合C(X):={m∈L:α(mκ)≥α(X)}是向下定向的。因此，存在一个递减序列(mn)C(X)几乎完全收敛于C(X)P-。α的上半连续性意味着α(C(X)κ)=αlimnMnκ≥ess lim supnα(mnκ)≥α(X)。（2.30）现在假定α(C(X)κ)>α(X)在某个A∈G+上。通过α的κ-敏感性，得到α上α((C(X)-ε)κ)≥α(X),对于A上的ε>0,在Ac上取ε=0,通过α的局部性和(2.30)，得到α(C(X)κ-ε)≥α(X)。因此，C(X)-ε∈C(X)，所以C(X)-ε≥C(X)，这是一个矛盾。接下来，让我们证明C是局部的。通过对C的认识，和α的局部性，我们有VEC(1ax+1acy)=ess INF m∈L:1aα(Mκ)+1acα(Mκ)≥1aα(X)+1acα(Y)=ess inf{1am+1acm∈L:1aα((1am+1acn)κ)≥1aα(X),acα((1an+1acm)κ)≥1acα(Y),其中n，n∈L}=1aess inf am+1acn∈L:1aα((1am+1acn)κ)≥1aα(X)+1acess inf{1acm+1 an∈L:1acα((1an+1acm)κ)≥1acα(Y)}=1ac(X)+1acc(Y),其中在第二等式中我们用κ-有界性假设保证了n，n∈L的存在性，使得1acα(1am+1acn)κ)≥1acα(X)和1aα(X)≥1acα(X)1an+1acm)κ)≥1aα(Y)。因此，C是局部性的，因而C是κ-条件确定性等价的。接下来，我们将证明（2.28）是full的。显然，α(X)≥α(Y)意味着C(X)≥C(Y)。假定在A∈G+上α(X)≥α(Y),α(X)>α(Y)。由于C是α的κ-条件确定性的等价，因此在a上α(C(X)κ)>α(Y)。通过类似的论证，由于α是κ-敏感的，在a上存在ε∈L+且ε>0,在Ac上存在ε=0,使得α((C(X)-ε)κ)≥α(Y)。因此，C(X)-ε∈C(Y)，从而C(X)-ε≥C(Y)，这意味着在A上C(X)>C(Y)。因此（2.28）是成立的。注意，通过关系式(2.28)，α和C在X上具有相同的条件优先顺序。因此，Cis本身是一个条件评价指标。通过（2.28）我们还得出结论，α是κ-有界的，意味着Cis是κ-有界的。接下来我们将说明C是κ-敏感的。取m∈Land X∈X，使得C(mκ)>C(X)在某个集合A∈G上。利用α和C的局部性，通过(2.28)，得到A上α(mκ)>α(X)。因此，通过α的κ-敏感性，在A上存在ε>0的ε∈L+，使得A上α(m-ε)κ)≥α(X)。再利用局部性和(2.28)，我们得出A上C(m-ε)κ)≥C(X)。这表明C是κ-敏感性的。让我们假定α另外是κ-严格递增的。

我们声称C(mκ)=m,m∈L。事实上，通过第2.26条，我们得到C(mκ)≤m。设C(mκ)<m在某个集合A∈G+上。由于α是κ-严格递增的，因此a上的α(C(Mκ))<α(Mκ)。然而，α(C(Mκ))=α(Mκ)是一个矛盾。接下来我们将证明α的任一κ-确定性确定性等价ec等于C GivenX∈X，我们注意到ec(X)∈C(X)，因此C(X)≤ec(X)。假定a上的C(X)<eC(X),由于α是κ-严格增且局部的，因此a上的α(X)=α(C(X)κ)<α(eC(X)κ)=α(X)是一个矛盾。ThuseC=C，最后证明C是上半连续的。对于agiven m∈L，利用上面证明的陈述，我们推导出{X∈X:C(X)≥m}={X∈X:C(X)≥C(mκ)}={X∈X:α(X)≥α(mκ)}。由于α是上半连续的，后者是闭的，因此C的上水平集也是闭的，从而C是上半连续的。注2.21。注意，如果α是一个κ-有界和κ-现金的可加性可接受指数，那么，直到α(0)平移，α是其自身的必然等价。换句话说，C(X):=α(X)-α(0)是α的确定性等价。确实，κ-有界性和κ-Cash可加性意味着α只在L中取值，因此C也只在L中取值。此外，由于α(mκ)=α(0)+m，我们有α(C(X)κ)=α(0)+C(X)=α(X).3随机过程的评价指标。我们现在将应用第二节中发展的理论来研究离散时间重值随机过程的评价指标。3.1随机过程的条件评价指标在本节中我们遵循Acciaio等人[2]提出的方法和符号。给定一个时间范围T∈N，设(Ω，F，P)是一个具有Fs的概率空间，其中s在{0,...,T}中。已知t∈{0,...,t}，我们用Otthe可选σ-代数表示乘积spaceeΩ:=Ω×{0,...,t}上直到时间t的可选σ-代数，该乘积等于toot=σ({as×{s},at×{t,...,t}:s<t,at∈Fsandat∈Ft}）。（3.1）我们定义O:=OT。我们表示byeP一个概率测度，它由预期值Ep[X]:=Ep“txs=0xsμs#来定义，C的单调性和准同腔都是由α的相应性质和关系式（2.28）得到的，其中μ是一些适应的过程，如pts=0μs=1和μs>0。weshall有时冒着略有滥用记号的风险写EP=Pμ.注意，随机变量X属于L(Ot)当且仅当被视为过程X=(Xs)时，它是(Fs)适应的，直到时间t并且在以后是常数。特别地，任何X∈L(O)，被视为过程，是(Fs)适应的，并且很明显，对于任何t，t∈0,L(Ot)L(Ot)。..,T}，且T≤T。对于任何X∈L(O)，我们用Δxs:=(xs-xs-1)表示，约定x-1=0，因此xs=PSK=0xs。注3.1。在下面的过程中，X∈L(O)将被解释为贴现累积现金布诺（贴现累积股利）过程，或贴现现金布诺过程（贴现分红过程）。如果X是贴现累积现金布诺，则ΔX表示贴现股利过程。从现在起到本小节结束，我们将X T∈{0,1,...,T}。对于q∈[1,+∞],我们用FMQ,t表示O上关于toeP绝对连续的概率测度的集合，使得OT上deq/dep∈Lq(O)andeQ=ep。在q=1的情况下，如果不引起混淆，我们将把q从记号中删除。类似地，我们用MT来表示FT上绝对连续的概率测度的集合q，使得FT上的dq/dp∈L(FT)和q=P。给定Q∈MT，我们分别用γt(Q)和Dt(Q)表示从时间t开始的可选随机测度和可预测折扣过程的集合，即γt(Q):=((γS)∈L+(O):γ=..=γT-1=0和TXS=tγS=1,Q-几乎肯定）,Dt(Q):=(Dt)∈L+(O):D=。=dt=1，q-几乎肯定，D是可预测的，并且是递减的。引理3.2。设Q∈MT。

当D=1,ds=1-s-1 xk=0γk,(3.2)γs=ds-ds+1,0≤s<T,γT=1-t-1 xk=0γk=Dt时，γ∈γT=1-t-1 xk=0γk=Dt之间存在一一对应的关系。（3.3）此外，对于任意X∈L(O),它是holdshγ,xit：=txs=tγsxs=xt+txs=t+1 ds,xs=:(DoX)t(3.4),且约定DT+1=0。最后，eQ∈Fmtif且仅当存在Q∈mt和γ∈γt(Q)或相应的D∈DT(Q)使得eQ=QγoreQ=qD.这在[2]中得到了证明。请注意，[2]中缺少了按部分集成的附加项Xtin(3.4)。其次，我们得到了setsM td:={Q D:Q∈Mand D∈Dt(Q)}；(3.5)M Q,tD:=nq D:Q∈Mt,D∈Dt(Q),和Q D∈FMQ,to,Q∈(1，+∞)。（3.6）我们所说的“事后常数”是指对于s≥t，xs=xt，重要的是要强调，过程D并不代表一个充分的折扣因子。对于这个过程的意义和作用，我们参考定理3.4。其中，Qγ必须被理解为与密度的乘积测度(ZtγTμt)，其中Zt=dq/dp ft和Q D是与密度的乘积测度(Zt(dt-dt+1)μt)。类似地，我们定义集合M tà，和M Q，tà，Q∈(1，∞)。注3.3。根据引理3.2,它包含Seq∈Fmq，tif且只有ifeQ=Q D∈M Q,tD,oreQ=Qγ∈M Q,tà，Q∈[1,∞]。在[32]之后，我们推导出条件p-范数kXkt,p:=eephxp oti1/p,如果p<∞且infζ,L(Ot):X≤ζ,如果p=∞,在此基础上我们推导出空间lt,p(O):=nx∈L(O):kXkt,p∈lOT。根据[32,命题4.4],它证明了lt,p(O)=L(Ot):L(Ot):kXkt=L(Ot)=lOT lp(O)，1≤p≤∞。（3.7）文[32]证明了（Lt,p(O),K·KT,p）是一个具有几乎肯定占优阶的L(Ot)-诺模格。对于0≤t≤t和1≤p≤∞,设X=Lt,p(O)。对于1≤p<∞我们用K·kt，p(O)来装备X=Lt，p-拓扑；对于p=∞我们用条件弱π-拓扑σ(X，Lt，1)来装备X=Lt，p(O)。当X≥YeP时，当α(X)≥α(Y)时，我们说泛函α:X→l(Ot)是单调的。定理3.4。设α:X→L(Ot)是一个上半连续的条件评价指标。对于唯一的极小风险函数R:fmq,t×l(Ot)→l(Ot),α具有形式α(X)=ess infeq∈Fmq,tr eq,eeq"eX Ot,(3.8)的鲁棒表示。该鲁棒表示可写成以下形式αs(X)=fs(Xs),s≤t-1,(3.9)和，αs(X)=αt(X)=ess infqγ∈M q,t'Arnt qγ,eq“txk=tγkxk Ft#！(3.10)=ess infqd∈M q,tdr nt q D,xt+eq”txk=t+1 dkxk对于唯一的右连续增函数fs:Ls→L(fs)和最小风险函数R not：m q,t'A×L(Ft)→L(Ft),s≥t,（3.11）。从理论上看，如果X是一个离散现金流（贴现股利过程），则表示式（3.10）是有意义的；如果X是一个离散累积现金流（贴现累积股利过程），则表示式（3.11）是有意义的。在这种情况下，单调性与锥K={X≥0}证明的单调性是一致的。由于α对累积现金馀量是单调的，所以它成立X<Y当且仅当x-y∈K:={U∈X:U≥0},所以K=={Z∈Lt,q(O):Z≥0}。我们将利用可与FMQ,T等价的极锥K=:={Z∈Lt,q(O):Z≥0和EEP[ZOT]=1}。应用定理2.12和注记2.13，存在一个唯一的最小条件风险函数r:FMQ，T×1(Ot)→1(Ot)，使得表示式（3.8）成立。为了证明定理的第二个主张，假定p=∞。首先注意ateeqhx oti=x\'，...,x not-1,eqhhγ,xit fti,..eqhhγ,xit fti,（3.12）对所有X∈Lt，∞(O)和alleQ=Qγ,其中Q∈Mt，γ∑T(Q),且X′是L(O)的任意元素。实际上，假定X∈Lt，∞(O)，并用Y表示（3.12）右边的随机变量。设A=(A,A,...,At,At,...,At）,使得对于任意s≤T来说是∈FS.然后，E～q[X1A]=t-1xs=0eq[xsasγs]+txs=teq[xsatγs]=0+eq“eq”txs=txsγsft#at#=e～q[y1a]，从而证明了（3.12）。

为了方便起见，我们将取X′=X如下：通过注释3.3，对于Q∈Mt，γ∈T(Q),eQ∈FMTIF和只有ifeQ=Qγ。对于s≤t-1，我们使用A=Ω×{s}∈Ot，由于1A=1{s}，因此得到1{s}α(1{s}X)=1{s}α(X)。因此，αs(X)=αs(0,..,Xs,0,...）=:αs(Xs)。由于{s}(Qγ)=1{s}，对于任意Q∈Mt,γ∈γT(Q),利用R的局部性和(3.12)，我们推导出αs(X)=αs(Xs)=ess infqγ∈M T~nRS(1{s}(Qγ),(0,..,Xs,0,...））=:fs(Xs),s≤t-1,从而建立（3.9）。在s≥t的情况下，我们将局部性应用于集合Ω×{t,...,t}。因此，我们认为对于所有s≥t，αs(X)等于αt(X)，利用(3.12)，我们得到αt(X)=ess infqγ∈Mt'Arnt Qγ,eqhhγ,xit fti,(3.13)，其中not(Qγ，st):=Rt(Qγ，(0,...,0,st，..,st)),st∈L(Ft)是唯一确定的风险函数。这证明了表象（3.10）。对于1≤p<+∞的情形，根据注记3.3和类似的方法，我们得到了注记3.2和（3.10）的结论，(3.10)和（3.11）是正确的。这里有必要指出，本小节中考虑的评估指数α对应于规定的t。因此，把它表示为αt=(αt，..，αtt)是合适的。关于动态评估指数，我们将参考集合{αt,t=0,1,...,t}。通过1{s}(Qγ)，我们自然地表示Qγ在时间s.3.2路径相关动态评估指数时相对于toeP的密度。在本节中，我们将X解释为贴现的累积现金量。从表示式（3.10）中可以看出，αtt（参见注3.6）只评估过程X的未来，也就是说，它只评估Xt。.，XT，而αts，s<t，只是xs的函数。这是一个缺点，因为当通过αtt评估时间t的X时，没有考虑X的过去演化，对于某些应用来说，这可能是一个不想要的特征。在本节中，我们提出了一个替代方法，在时间t评估X来解释X时间t的病理演化。给定0≤s≤～s≤T，我们用1[s，～s]表示一个过程，使得对于s≤u≤～s，1[s，～s](u)=1，否则1[s，～s](u)=0。因此，我们对随机向量x1[s，～s]=(0，.，0，Xs，.，x～s，0，.，0)使用符号x[s，～s]。在时间t停止的进程X被写成Xt，即Xt=X·t。我们回想对空间L(Ot)的认识（参见(3.1))，我们推导出(O[s,～s]):=X[s,～s]:X∈L(O)。我们注意到O[s,～s]被理解为由进程X[s,～s]生成的可选σ-代数。因此，对于一个给定的t，我们可以将任意过程X∈L(O)分解为X=X[0,t-1]+X[t,t]=xt-1+(X[t,t]-xt-1[t,t])，(3.14)其中X[0,t-1]∈L(O[0,t-1])，X[t,t]∈L(O[t,t])和xt-1∈L(Ot-1)。很明显，L(O[t,t])是一个L(Ft)-模。我们进一步定义了Mq,T:=n q:q在Ω×{0,...,T}上的测度，q P:=Pμ,d q/d P∈Lq(o[T,T])o,其中μ是{T,...,T}上的测度，使得对于每个s∈{T,...,T}，μs>0。我们进一步将M Q,T D:=nq D:Q∈Mt,D∈Dt(Q),Q D∈Mq表示为注3.7。在此设置中，设q∈M1,t,并用λ=d q/d p∈L(O[t,t])表示。证明了U=(Us)TS=t，其中对于s∈t,...,t}，Us=EP[PTK=sλKμKFS]是一个超鞅加法。YEP[UT+1Ft]=UT=1。因此，利用It-O-Watanbe分解U=ZD，其中D是一个可预测递减过程，Z是一个鞅，得到Dt=1和ZTis是一个概率度量的密度q∈MT。反过来，对于每k=t，λk=Zk(dk-dk+1)/μk..,t-1,和λT=Ztdt/μT,其中Z是鞅，D是dt=1的可预测递减过程，对某些q∈M1,T,定义了一个密度过程。因此，对于每X[t，t]∈Lt，p(O[t，t])，它如下:qhx[t，t]FTI=E pHλX[t，t]FTI=ep“txk=tλkxkμk ft#=eq”t-1xk=t(dk-dk+1)xk+dtxt=t+1 dk@xk ft#。（3.15）我们将xpt:={X∈L(O):X[t，t]∈Lt，p(O[t，t])}。（3.16）注意xpt=xpt+xpt+1.对于乘法λX[t,t]=(0,...,0,λxt,..

与Lt,p(O)=L(Ot)Lp(O)类似，我们有Lt,p(O[t,t])=L(Ft)Lp(O[t,t])。函数α:xpt→L(Ft)称为上半连续路径相关评估指数，如果对于每条路径x∈L(Ot-1)，函数x[t，t]7-→αx[0，t-1]+x[t，t]，x[t，t]∈Lt，p(O[t，t])，(3.17)是上半连续评估指数。定理3.9。设α为上半连续路径相关评价指标。然后，它具有α(X)=ess infq d∈M q,t drx[0,t-1]的稳健表示；Q D；对于唯一函数R:L(O[0,t-1])×m q,t d×L(Ft)→L(Ft)，其中R(x[0,t-1],·,·):m q,t d×L(Ft)→L(Ft)是每x[0,t-1]∈L(O[0,t-1])的最大风险函数。首先，我们将定理2.12以类似于定理3.4证明的方式应用于α(x+·)，得到如下表示αx[0,t-1]+x[t,t]=ess inf q∈Mq,tr x[0,t-1],q,e q^x[t,t]ft。（3.19）与注释3.3类似，我们也有Q∈Mq，tif且仅当Q=qd∈Mq，td。因此，利用表示式（3.19）中的（3.15）我们得出了证明。注意，在Ω×{0,...,T}上α不再是关于OT-1的局部。现在让我们考虑下面的示例。示例3.10。我们考虑一个函数α:xpt→l(Ft)，由下式α(X)=t-1xk=0D\'kxk+esinfq D∈m q,t dr\'q D,xt+eq“txk=t+1dkxk Ft#！(3.20)给出，其中D′是一个适应过程，r′(·,·):m q,t D×l(Ft)→l(Ft)是一个最大风险函数，则该α是一个上半连续路径相关评价指标。.，dnot-1,1,dt+1,。.....可能被解释为权衡现金流失的过去和未来，相对于当前时间t，根据d\'k的特性，我们得到：如果所有d\'k=0，则路径独立评估指数的表示。o如果所有d\'k=1，则pt-1k=0xk=xt-1，这意味着α只依赖于从以前的财富水平xt-1开始对未来回报的评估。o改变d\'kin之间的参数，人们或多或少地将权重放在回报的过去演变上。这种过去的依赖性表明，贴现累积现金的过去演变如何影响整个投资过程的当前评估。一方面，这样一个指数提供了一个模型，解释了由于最近一段时间的好/坏表现而产生的乐观/悲观评估。另一方面，这样一个指数可以为监管者实施反周期监管提供一些指导。事实上，他们可能要求D\'依赖于过去的回报，在最近表现过高的情况下惩罚更多，而在最近缩编的情况下要求更低。这种反映这一特征的加权系数可以取形式D\'k=exp0.08-xkxk，其中8%是银行机构的合理年回报率。与注释3.6类似，我们注意到本小节中考虑的评估指数α对应于规定的t。那么，把它表示为αT是合适的。4动态一致性评价指标在本节中，我们讨论了关于评价指标的动态一致性的关键概念。这里，我们只关注路径依赖评价指标的强动态一致性问题。对于时间一致性的其他概念，我们参考例如Acciaio等人。[2]，Acciaio和Penner[1]以及其中的参考文献，关于动态风险度量，我们参考了Bielecki等人。[8]和Biagini和Bion-Nadal[6]关于可接受性指标，我们考虑了一个动态路径相关的评价指标α={αt,t=0,...,t}（参见注释3.11）。

我们说α是强时间一致的，如果对任意X，Y∈xpt，且t，使得X[0,t]=Y[0,t]，下面的蕴涵是真的αt+1(X)≥αt+1(Y)蕴涵αt(X)≥αt(Y)。注4.2。人们需要注意到，在标度不变评估指数的情况下，强时间一致性的概念似乎是不合适的。的确，设α是尺度不变且强时间相容的，假定X[0,t]Y[0,t]≥0且αt+1(X)≥αt+1(Y)。然后，存在λ∈L++(Ot)，使得λX[0,t]=Y[0,t]，从α的尺度不变性的角度，我们得到αt(X)≥αt(Y)。因此，在这种情况下，条件x[0,t]=y[0,t]似乎与强时间一致性无关，这从风险管理的角度来看是不合理的。因此，在标度不变评估指标的情况下，需要一个不同的时间一致性概念。在文献[8]中引入并研究了这样一个可能的概念。此外，如下文所示，强时间一致性与确定性的存在密切相关，而对于标度不变的评估指标来说，确定性是不存在的（见注释2.17)。为了导出所谓Bellman原理的一个版本，必须做一些额外的假设。在本节中，我们假定x[t，t]7→αt(x[0，t-1]+x[t，t])是命题2.19的假设，其有界性假设是对m,m∈Lp(Ft)而不是对L(Ft)给出的，让我们对t=0,1,定义一族函数ct:xpt→L(Ft)。..,T,byCt(X):=ess inf mt∈Lp(Ft):αT(X[0,t-1]+mt[T,T])≥αT(X)。根据命题2.19,对于每一个T，X[T,T]7→Ct(X[0,t-1]+X[T,T])是一个上半连续（依赖于路径的）评估指标，使得αT(X)≥αT(Y)当且仅当Ct(X)≥Ct(Y)。特别是Ct(X[0,t-1]+Ct(X)1[T,T])=Ct(X)。此外，只有当族C:=(Ct)是强时间一致时，族α才是强时间一致的。有了这一点，我们可以制定出著名的Bellman原理的以下版本。回想一下xpt cob xpt+1。命题4.3。在本节所采用的假设下，如果α是强时间一致的，那么对于每一个t=0，相应的确定性族C就等于satis。.,t-1,Ct(X)=Ct(X[0,T]+Ct+1(X)1[T+1,T]),X∈XPT。（4.1）证明。由于ct+1是确定性等价，因此ct+1(X)=ct+1(X[0,T]+ct+1(X)1[T+1,T])。通过有界性假设，ct+1(X)∈Lp(Ft),从而对Y=X[0,T]+ct+1(X)1[T+1,T]进行修正，得到Y∈Xptand Y[0,T]=X[0,T]。因此，应用于C的强时间一致性得到了（4.1）。从现在起，我们考虑对应于包含命题4.3的条件的评价指标的确定性等价。注意，对于x[0,T]∈L(Ot),函数Ct:lpt+1(Ft)→Lp(Ft),y7→Ct(x[0,T]+y1[T+1,T])是一个上半连续的评价指标，我们用Rt,T+1表示它对应的最小风险函数，它包含sct(x[0,T]+y1[T+1,T])=ess infq D∈mdt+1trt,T+1 x[0,t-1],Q D,Xt+EQhD(y-xt)fti,(4.2),其中dt+1T:=Q D:Q∈mt+1T,0≤D≤1,D为Ft-可测量的，其中mt+1T表示在Ft+1上的概率测度Q的集合，使得Q P和Q=P在Ft上。Asa约定，由于CT(X)=xt，我们设置MDT+1t={1}。定理4.4。若α=(αt)是一个强时间一致的路径依赖评价指标序列，且满足命题2.19的假设，则t(X)=ess infq D∈mdt+1tft(Q D,X）；X∈Xpt,（4.3）,其中eft(Q D,X)=ESS INF qd∈MDT+2t+1rt,t+1 X[0,t-1],Q D,eqhd ft+1(qd,X)-XT+XT fti,（4.4）,对于t≤t-1和ft(Q D,X)=XT,Q D∈MDT+1t={1}。（4.5）证明。我们来证明t=t-1,t-2的定理；证明的其余部分是向后递归。显然，CT(X)=xt。

对于t=t-1，由于MDT-1=MDTT-1且RT-1=RT-1，T，它holdsct-1(X)=ess infq d∈Mdtt-1 rt-1,tx[0,t-2],Q D,EQHD XT鄄XT鄄1+XT鄄1 fT鄄1 i=ess INFQ D∈MDTT鄄1 fT鄄1（Q D,X）,（4.6）其中eft-1(q-d)=ESS INF Q D∈MDT+1Trt-1，tx[0,t-1]，Q D,EQHD ft（q d,X)-xt-1+xt-1 ft-1I，因为FT((q)d,X)=XTfor all(q_d∈MDT+1t。对于t=t-2，通过时间一致性，并且由于ct-1(X)是ft-1可测量的，我们推导出ct-2(X)=ct-2x[0,t-2]+ct-1(X)1[t-1,T]=ess infq D∈mdt-1t-2rt-2，t-1x[0,t-3]，Q D,eqhd ct-1(X)-xt-2+xt-2ft-2i。由于s7→rt-2，t-1x[0,t-3]，Q D,s是右连续的，通过（4.6）它遵循rt-2，t-1x[0,t-3]，Q D,eqhd ct-1(X)-xt-2+XT-2 FT-2 i=ess inf qd∈mdtt-1 RT-2,t-1 X[0,t-3],Q D,eqhd FT-1(qd,X)-XT-2+XT-2 FT-2 i=FT-2（Q D,X)，证明结束。假设α如例3.10所示由αt(X)=t-1xk=1D\'k)xk+βt(X[t,t])给出，其中D\'=(D，..，D\'t-1)是一个强时间一致的路径无关评价指标。然后，很容易得到α本身是一个强时间一致性的AI.5例5.1动态增益损耗比在这里讨论一个重要的评估指标的例子，即动态增益损耗比(dGLR)。事实上，这个指数提供了一个动态可接受性指数的例子，因为它是标度不变的。它是在[8]中以稍微不同的形式引入的。在下面的定义5.1中给出的dGLR版本在定义（4.1）的意义上不是强烈的时间一致的，但在[8]的意义上是时间一致的。下面定义的原型是性能损失比(GLR)的经典度量：给定一个可积的实值随机变量X，GLR被定义为GLR(X):=E(X)/E(x-)，IFE[X]>0，GLR(0)=+∞,否则为零，其中x-:=max{-X,0}。在本节的其余部分，我们使用第3节的设置。特别地，我们取X=Lt,p(O),并且我们认为X是一个L(Ot)-模。回想一下，在这种情况下，锥面K是byK={X∈X:X≥0}。这里，任何元素X∈X都被认为是一个贴现的红利过程，下一个定义给出了DGLR的相关公式。定义5.1。这里X代表贴现的股利过程。我们将dGLR定义为sdGLRs(X)=(G(X),s≥T+∞,s≤T-1,（5.1）其中G(X)=E[PTS=TXS Ft]E[(PTS=TXS)-Ft],在Bx+∞上，在BX0上，在BX上。当BX:={e[pts=txs Ft]>0},BX:=ess sup{A∈Ft:1apts=txs=0},BX:=(BXüBX)c.注意，对于任意X∈X,我们有P(BXàBX)=0,因此G是好的。我们将证明上述Glr是单调的、拟凹的、局部的、标度不变的和上半连续的。显然，对于函数G,我们将使用notationeX:=pts=txs。单调性：设X,Y∈X是这样的。在本节的其余部分中，我们将使用X∈X的notationeX:=pts=txs x-y∈K。因此，eX≥EY。我们将需要考虑以下所有情况ω∈BXITMBYj,i,j=1,2,3。首先，注意对于ωbxiTMBYj，其中i=1,j=3；i=j=2；i=2,j=3；当i=j=3时，不等式G(X)(ω)≥G(Y)(ω)显然是成立的。接下来，我们考虑i=j=1的情形。注意BXTMBY=BY。因此，在BY集合上，我们有E[eXFt]≥E[eyft]>0，这立即意味着G(X)=E[eXFt]/E[ex-ft]≥E[eyft]/E[ey-ft]=G(Y)。由于1BXTMBXex-=0，我们得到BXTMBY上的E[ex-ft]=0，这因此意味着BXTMBY上的G(X)=+∞=G(Y)。还要注意P[BXTMBY]=0。的确，对于任何C-DrobyTMFt，我们有E[1Cexft]≥0。另外，如果C coubbx，则e[1cexft]≤0，从而1cex0，这意味着C coubbx。从bxTMbx=开始，我们有P[C]=0。类似地，对于i=2,j=1，我们可以证明P[BXITMBYj]=0；i=3,j=1。这证明了单调性。拟凹性：设X，Y∈X，λ∈L(Ot)和λ∈[0,1]。只要证明，对于任意x∈L(Ft)，使得G(x)≥x和G(Y)≥x，我们有G(λx+(1-λ)Y)≥x就足够了。

首先，我们考虑了ω∈BxTMBy的情形。然后，在BX"aBY上，我们得到了[eX Ft]≥xe[eX Ft]e[eY Ft]≥xe[eY Ft]，从这里，因为，λt=λt+1=。..=λT，通过x→x-的凸性，我们得到Xe[(λtex+(1-λtey))-Ft]≤Xe[λtex-+(1-λt)ey-ft]≤xλte[ex-ft]+x(1-λt)e[ey-ft]≤λte[ex-ft]+(1-λt)e[ey-ft]=e[λtex+(1-λt)ey-ft]。从这里，由于bxàBY=bλx+(1-λ)Y，我们得出G(λx+(1-λ)Y)≥x，如果ω/∈bxàBY，则x(ω)≤0或x(ω)=+∞,因此明显地G(λx+(1-λ)Y)(ω)≥x(ω),因此dGLR的拟凹性遵循。局部性：对于任意A∈ft，x∈x,使得x=(0,...,0,Xt,...,Xt),证明Ag(x)=1Ag(1ax)，(5.2)就足够了。显然，(5.2)对于ω∈ac是等式的。由于Aübx=AüBAX，通过条件期望的局部性，我们得出结论：（5.2）在Aübx上成立。还要注意Aübx=AüBAX，因此（5.2）是在Aübx上得到的。而且，上面的暗示是Aübx=AüBAX，由此表明（5.2）在Aübx上成立。标度不变性：注意，对于任意λ∈L++(Ot),X∈Xt,我们有λx-=(λX)-,bxi=bλxifori=1,2,3,因此标度不变性立即得到。上半连续性：我们将证明，对于任意m∈L(Ft),我们的上水平集AM={X∈X:G(X)≥m}是闭的。如果m≤0，则AM=X，它明显是封闭的。接下来，假设m>0。然后，注意atam=(X∈X:1bxe[eXFt]e[ex-ft]+1BX∞≥m)。接下来，考虑setbm=nx∈X:e[eXFt]-me[ex-ft]≥0o。观察如果X∈Bm，则P(BX)=0。因此，我们得到AM=BM。根据上述等式和函数h(X)=E[eXFt]-ME[ex-ft]的连续性，我们得到了GLR的封闭性。最后，我们用局部化的方法处理了一般m的情形。接着，我们将利用第2.3节的结果给出GLR的一个鲁棒表示，命题5.2。GLR表示式（2.7）中唯一的最小风险函数R具有如下形式R(Z,s)=+∞,如果s≥0bzaz-1,如果-∞<s<0,-∞,如果s=-∞。其中AZ:=sup{R∈R:R≤Z}和BZ:=inf{R∈R:Z≤R}。设α为GLR。那么，从[17]开始，我们知道α(X)=supm≥0:infq∈qmeq[X]≥0,其中α的支持核系{Qm}m∈R+由（见[17],命题4])qm={c(1+Y)c∈r+,0≤Y≤m,e[c(1+Y)]=1},m∈r+。利用这一点，可以证明对于某些c∈r+o,atam,=nz∈L∞c≤Z≤c(m+1)。显然，inf{m∈r:Z∈Am,}=bz/az-1,因此，利用命题2.15我们得出了证明。类似地，我们可以建立DGLR的鲁棒表示。5.2优化确定性等价在这里我们勾勒出优化确定性等价经典版本的条件版本。具体的研究可以按照我们对DGLR的研究思路进行。优化的确定性等价（见[4,5]）是一个评价指标，给定的条件是:cet(X)=esssupm∈L∞(Ft)nm+e～phut X[t,t]-m1[t,t]\\ftio，(5.3)，其中ut:R→Rà{-∞}是一个凹效用函数，使得u(0)=0和1∈u(0)。根据文献[5,23]中的论证，鲁棒表示是形式R(Q D,m)=m+ep“txk=t+1”txk=t+1 tmkγkmtμkft,Q D∈m td,其中-u(-·)的凸共轭，m是Q和Qγ=Q D的密度过程，关系式为（3.3）。至于OCE的动力学，如果ut(x)=(1-e-γx)/γ，对于给定的γ，则OCE是熵且时间一致，见[2]。否则，作为一个风险度量，它是一个确定性的等价物，因此，沿着命题4.3的路线递归认识产生了一个强的时间一致性评估指数。5.3加权V@R可接受性在上一小节中，我们在这里只是一个加权V@R可接受性指数的可能条件版本的草图。在[19]之后，我们定义[0,1](Ft)={α∈L(Ft):0≤α≤1}。这个集合显然是σ-稳定的。

我们认为函数族Φm:[0,1](Ft)→[0,1](Ft),m∈L+(Ft),均为联合局部:aΦm(α)+1acΦn(β)=Φam+1acn(1aα+1acβ),对于每一个a∈Ft,m,n∈L+(Ft)和α，β∈[0,1](Ft)；凹:α7→Φm(α)是凹的；增加:Φm≤Φn,对于每一个m≤n∈L+(Ft)；规格化:Φm(0)=0和Φm(1)=1,对于每一个m∈L+(Ft)。这样的族称为条件凹畸变族。注意，由于条件凹陷和局部，因此ΦMIS是连续的。我们将加权的V@r可接受性指数定义为:w(X):=ess SUP m∈L+(Ft):z∞-∞xdm F(X[T+1,T]Ft)(X)≥0,(5.4)其中F(X[T+1,T]Ft)(X)=～p[X[T+1,T]≤xft]是X[T+1,T]的~p下的正则条件分布，积分取ω.再一次按照文[19]的论证，我们得到了tam，==(qd∈mtd:e″-txk=t+1 mkdk+1-kβ！Ft#≤φM(β),对于所有β∈L+(Ft))，其中M是Q的密度过程，φM(β):=essupα∈[0,1](Ft){ΦM(α)-αβ}，M∈L+(Ft)和β∈L+(Ft)是ΦM的凸共轭。用这个公式，我们可以定义AIMAX,AIM AXMIN,AIM in max。我们可以假定UT是Ft-态依赖的。这只是一个技术步骤。显然，(φM)是凸增函数的一个联合局部族。附录1关于L-凸分析的标准结果。设Y是从X到L的L-线性泛函集，我们用L-σ(X,Y）表示其映射X7→Z(X),X∈X对任意Z∈Y是L-连续的最小拓扑。命题a.1。设X是局部L-凸拓扑L-模，Y是从X到L的一组L-线性泛函，则具有L-σ(X，Y)-拓扑的X是局部L-凸拓扑全模。通过定义，X上的L-σ(X，Y)-拓扑由0uA的邻域族生成，ε:=X∈X:SUPZ∈AZ(X)≤ε,其中A是Y和ε∈L++的一个有限子集。因为Z（.）是一个L-半范数，我们应用[24，定理2.4]。假定Y本身是一个L-模，X也是一组L-线性泛函，Y,L-σ(Y,X）又是一个局部L-凸拓扑L-模。此外，X，L-σ(X，Y)-的L-对偶空间正好是Y。如果X**=X，X*具有L-σ(X*，X)-拓扑，X是L-RE对偶空间。在X*×X上我们总是考虑对偶Hx*，Xi:=X*(X)。如果{X∈X:F(X)≥m}给出的上水平集对allm∈L是闭的，则局部函数F:X→l是上半连续的；如果F<∞且存在X∈X使得F(X)>-∞,则为真的。凹共轭函数F:X→→F是由F(X→):=ess infx∈X{hx*,xi-f(X)}，X→∈X*给出的。F的下模hypo(F)=(X，m)∈X×l:F(X)≥m。(a.1)从现在起，我们考虑X是一个σ-稳定的局部L-凸拓扑L-模，使得零的所有邻域集是σ-稳定的。从文[24]中的L-模理论中，我们得到了如下命题A.2。设F:X→LB为适当函数，则为1。F是L-凹的当且仅当hypo(F)是L-凸的且F是L-局部的。F对任意F是L-凹且L-上半连续的，一个L-半范数是泛函p:E→L+,其中对于任意m∈Land X∈E,p(X+Y)≤p(X)+p(Y),对于任意X,Y∈E.3,p(mX)=Mp(X)=Mp(X)=p(Y)。如果F是L-真凹上半连续函数，则F=F。对于非空族(Ai)i∈i∈G，本质上确界ess sup{Ai:i∈i}是带1的元素B∈G。AIB为所有I.2。对于所有C∈G fulling 1。并且C B具有P[B\\C]=0。进一步我们得到了sup{(Ⅵ)}=θ。下一个引理在[24,引理2.9]中得到了证明。引理A.4。每一个非空族A=(Ai)i∈i，都有一个本质上确界。

如果为了我，j也aiutuaj∈A，则A中存在一个增序列(an)，使得ess sup(A)=SN∈nan。A.2增函数的条件逆在本节中，对于n,m∈L，我们使用约定n<m如果p[n<m]=1。对于局部增函数F:l→l，我们定义它的左、右连续版本asf-(m):=1eamess supnF(n):n∈land n<moneamo-1eacm∞,(A.2)F+(m):=1ebmesinfnf(n):n∈land n>monebmo+1ebcm∞,(A.3),其中m∈landeam={m>-∞},andebm∞={m<∞}。由于局部性和F±itholdsf+(m)≤f-(m\')，对于m,m\'∈L，且m<m\'。(A.4)第A.5条。对于一个局部增函数F:l→l，当f-(G(s))≤s≤F+(G(s))，在{F(-∞)<s<F(∞)}上，G(s)=-∞,在{s<F(-∞)}上，G(s)=∞,在{F(∞)<s}上，(a.5)时，局部增函数G:l→l称为F的条件逆。条件反演的成立并不是假定F的值域边界上G的值为递增的任何条件，它只是指-∞≤G(F(-∞))≤G+(F(-∞))和g-(F(∞))≤G(F(∞))≤+∞。例如，我们不能要求G(F(-∞))=-∞或G(F(-∞))=G+(F(-∞))。这是很重要的，因为通过了解下面的左反和右反，命题A.9指出F(-1，l)和F(-1，r)都是F的逆，很可能F(-1，l)(F(-∞))=-∞<F(-1，r)(F(-∞))以及F(-1，l)(F(∞))<F(-1，r)(F(∞))=+∞和关于F边界上的条件逆的约定将意味着F(-1，l)和F(-1，r)都不是条件逆。也就是说，F(m)≥F(m\')当m≥m\'时，我们给出F asF（-1,l）(s):=1asess inf{m∈l:1asF(m)≥1ass}+1 acs∞(A.6)=1ass sup{m∈l:1bsf(m)≤1bss}+1 acs∞,F（-1,r）(s):=1bsess sup{m∈l:1bsf(m)≤1bss}-1bcs∞(A.7)=1bsess inf{m∈l:F(m)>s在Bs}-1bcs∞,对于s∈l,而:={F(∞)≥s}和Bs:={F(∞)≥s}）≤s}引理A.7。局部增函数F:l→lare局部增函数左连续和右连续的条件左逆和右逆。证明。请考虑一个局部递增函数F:l→l。我们将证明左逆函数(-1，l)的陈述，右逆函数的情况也是如此。步骤1：注意，AES对于每个es≤s。这意味着1ACS∞在增加。因此，直接检查显示F(-1，l)正在增加。步骤2：接下来我们将显示F(-1，l)是局部的。选择s，es∈\'地B∈G。由于F是局部性的，因此它如下:=ACBS+1BCES={F(∞)<1BS+1BCES}=(BüAcs)TM(BCTMAces)。(A.8)因此，我们推导出C=(BüAs)(R)(BCTMAes)(R)(AsTMAes)。然而，(AsTMAes)(BTMAs)(R)(BCTMAes),henceC=(BTMAs)(R)(BCTMAes)。(A.9)这意味着ATC(1BS+1BCES)=1BASS+1BCAESES(A.10)Cc(1BS+1BCES)=1BACSS+1BCASES。(A.11)我们认为，bm∈l:1basf(m)≥1bass=1bm∈l:1asf(m)≥1ass。(A.12)事实上，包容是直接的。对于converseinclusive，设1ben∈1bm∈l:1basf(m)≥1bass。注意，根据As的定义，集合{m∈l:1asf(m)≥1ass}不是空的。事实上，as={F(∞)≥s}，因此，1asf(∞)≥1ass表示∞∈{m∈l:1asf(m)≥1ass}。因此，picksome em∈m∈L:1asf(m)≥1ass。F的局部性产于1ben+1bcem∈m∈L:1asf(m)≥1ass乘以1b，利用(A.9)-(A.12)和F的局部性，我们推导出(-1，l)(1BS+1BCES)=1CESS INF m∈1:1CF(m)≥1C(1BS+1BCES)+1Cc∞=1BASS+1BCAESS INFεl:1aesf(m)≥1aeses+1aes∞=1bf(-1,l)(s)+1bf(-1,l)(es)。因此F(-1,l)是局部的。请注意:=ESS supm∈lf(m)<s cand bs:=ESS infm∈lf(m)>s cstep 3：最后，我们将证明F(-1,l)是左连续的。