动态评价指标

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摘要翻译：
本文提供了一个统一的框架，特别允许研究动态货币风险度量和动态可接受性指标的结构。我们在这里使用的主要数学工具是$l^0$-模理论，它允许我们显著地推广已有的结果。在本文的第一部分，我们发展了条件评价指标的一般理论，并给出了条件评价指标的鲁棒表示；在第二部分，我们将该理论应用于作用于随机过程的动态可接受性指标。
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英文标题：
《Dynamic Assessment Indices》
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作者：
Tomasz R. Bielecki, Igor Cialenco, Samuel Drapeau, Martin Karliczek
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最新提交年份：
2014
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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英文摘要：
  This paper provides a unified framework, which allows, in particular, to study the structure of dynamic monetary risk measures and dynamic acceptability indices. The main mathematical tool, which we use here, and which allows us to significantly generalize existing results is the theory of $L^0$-modules. In the first part of the paper we develop the general theory and provide a robust representation of conditional assessment indices, and in the second part we apply this theory to dynamic acceptability indices acting on stochastic processes.
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关键词：评价指标 Applications Quantitative Mathematical Presentation

动态评估指数Estomasz R.BieleckiDepartment of应用数学，伊利诺伊理工学院，芝加哥，60616 IL,Usabielecki@iit.Eduigor CialencoDepartment of应用数学，伊利诺伊理工学院，芝加哥，60616 IL,Usaigor@math.iit.edusamuel drapeauhumboldt-universit-在柏林，Unter den Linden 6100 99柏林，germanydrapeau@math.hu-berlin.demartin karliczekhumboldt-universit-在柏林，Unter den Linden 6100 99柏林它特别允许研究动态货币风险度量和动态可接受性指数的结构。我们在这里使用的主要数学工具是L-模理论，它允许我们对已有的结果进行有意义的推广。论文的第一部分发展了条件评估指标的一般理论，并给出了条件评估指标的稳健表示，第二部分将该理论应用于作用于随机过程的动态可接受性指标。关键词：评估指标，动态可接受性指标，动态绩效度量，动态风险度量，确定性等价，强时间一致性，动态GLR。MSC2010:91B30，60G30，91B06，62P05。内容简介1初步介绍了42种条件评估指标的稳健表示52.1条件评估指标和条件风险接受族。.........52.2健壮表示。.....................................82.3标度不变条件评估指数。.......................122.4确定性等同。....................................133随机过程的评价指标153.1随机过程的条件评价指标。..................153.2路径相关动态评价指标。........................动态一致性评价指标194个215例235.1动态损益比。.................................235.2优化确定性当量。..............................265.3加权V@R可接受性指数。...........................26A附录27A.1 L-凸分析的标准结果。..........................27A.2增函数的条件逆。.........................28A.3命题2.10的证明。...................................32A.4命题2.11的证明。....................................34“每一个认识都是人类精神从自然中撕下来的一个秘密。我坚持这一点：任何复杂的事物被定义所照亮，被定义在其中，被分解成碎片，将被分离成即使对一个孩子来说也完全透明的碎片，排除我们的直觉在行动时对我们耳语的模糊和黑暗的部分，将对象分离成逻辑碎片，然后我们只有通过定义才能进一步走向新的成功。“尼古拉·卢津（引自罗兰·格雷厄姆的《定义中的命名》)导言本文在离散时间动态框架中对评估指数进行了研究。评估指数是用来评估回报机会和损失危险之间的权衡。因此，评估指数的数学理论基础上的两个基本操作范式是在任何类型的经济/金融活动中都很好理解的真理：(A)转向优于集中；(B)更大的成功优于较小的成功。这两个程式化的关键范式在数学上转化为人工智能的准空腔和单调性特性。

在静态情况下，这两种范式是在Cerreia-Vioglioaet al.[12],Cerreia-Vioglioet al.[11]，Drapeau和Kupper[22]。与满足性质(A)和(B)的偏好顺序相对应的数值表示包括风险度量（参见Artzner et al.[3]，F-Ollmer and Schied[25]，Frittelli and Rosazza Gianin[29])以及可接受性指数（参见Chernyand Madan[19])，由于我们研究评估指数的主要动机来自于风险和报酬随时间传播的分析领域，因此，如前所述，我们在本文中从事动态设置中的AIs研究。因此，正如在动态（经典）风险度量和动态可接受性的情况下，评估指标可以用来评估（度量）古典意义上的各种风险，例如，就像V@r这样的货币风险度量一样，但它们也可以用来评估货币风险和相应回报之间的权衡，只是可接受性指标，如损益比这样的指标。因此，AIs的范围既包括经典的风险度量，也包括经典的可接受性指数。然而，我们在这里采用了Drapeau和Kupper[22]精神下对风险的普遍解释，将风险看作是对损失的危险性相对于潜在回报的评价，这就使我们对评估指标的理解变得更加深入，我们称之为动态评估指标。与静态情况相比，对Daiss的研究具有更多的概念差异，这些差异涉及到条件性和对时间内传播的风险和回报进行充分的跨时间评估的必要性。在本工作中，我们有意义地将以前关于评估指标的研究扩展到条件/动态环境，特别是允许我们应用我们的理论来研究作用于离散时间随机过程的Daiss。我们在这里用来导出Drapeau和Kupper[22]对条件集的推广结果的主要数学工具是起源于Filipovic等人的L-模理论。[24]和Kupper和Vogelpoth[32]。inFrittelli和Maggis[27,28]，Bion-Nadal[10]，Biagini和Bion-Nadal[6]也研究了类似的扩张问题。本文受[22]的方法和技巧的启发，在一般情况下对局部凸拓扑L-模进行了研究，在许多方面延续和发展了前人的研究成果。由于显而易见的原因，我们不能在这里提供所有这些作品的综合列表。除了前面提到的论文之外，我们认为应该引起读者注意的还有以下几篇文章：Cheridito和Kupper[13]，Acciaio等。[2]、弗里特利和罗萨扎·吉亚宁[30]、比昂-纳达尔[9]、比昂-纳达尔[10]、比亚吉尼和比昂-纳达尔[6]、切尔尼和马丹[18]、比莱茨基等人[7]、德特莱夫森和斯堪多洛[20]、切里蒂托等人。[15,14,16],Frittelli和Maggis[27,28],Cerreia-Vioglioaet Al.[12]，Cerreia-Vioglio等。[11]，Frittelli和Scandolo[31]，Penot和Volle[33]。在第1节中，我们将介绍一组将在整个论文中使用的一些基本概念。第2节提供了我们在条件评价指标的一般理论背景下的工作的主要贡献，条件评价指标是基于局部凸拓扑L-模的，取值于L。特别地，定理2.12给出了一个上半连续条件评价指标的鲁棒表示，甚至刻画。这是一个新颖而重要的结果，推广了文[22]在静态（非条件）条件下得到的相应结果。从所有的技术结果来看，通向定理2.12的道路并不容易。

特别是附录），我们需要获得这个健壮的双表示。特别地，我们给出了条件增函数及其一般左逆和右逆的完全对偶结果。主要障碍在于地方的中心问题，这是微妙的，必须非常小心地处理。分别在第2.3节和第2.4节中给出的关于标度不变指数的结果和关于确定性的结果是新的、有趣的和有用的。我们应用一般理论研究离散时间随机过程的DAIs。这是intwo Craavors。首先，在3.1节中，我们几乎一字不差地应用了第2节的结果，考虑动态评估指标将进程映射到进程序列中，并通过非常自然地选择flspace作为停止进程的空间。对本节中导出的稳健表示结果的分析带来了关于局部性性质的有趣的见解：事实上，相对于Ot的requiringlocality（参见3.1节）意味着αTSIS只评估处理的未来（相对于t），对于s<t，αTSIS只是评估处理的时间s的值的函数。这是一个缺点，因为对于某些应用程序来说，这可能是一个不需要的特性。为了克服这一缺陷，我们在第3.2节将第2节的理论应用于所谓的路径依赖DAI的情况，它将过程映射为过程。它们尤其可以帮助决策者（如投资者或监管者），他们愿意在每次都设计一个DAI来明确说明正在评估的潜在过程的过去演变（见示例3.10）。在第4节中，我们研究了强时间一致路径依赖评价指标，这些指标满足一些附加的性质。用相应的确定性等价导出了动态规划原理的一个相关版本，它刻画了这种情况下的强时间一致性。第5节提供了我们认为既有趣又重要的例证。本文研究了动态增益损耗比的厌恶性，它是一个标度不变的DAI,特别地，我们给出了它的鲁棒性表示。另外还给出了两个例子。最后，在附录中，我们给出了大量的数学结果，这些结果是我们理论的基础。附录还对论文正文中的一些辅助技术结果给出了证明。初步证明(Ω，G，P)是一个概率空间。我们用G+表示所有事件A∈G的集合，且P[A]>0。如果没有另有规定，符号[Ai]G代表一个可数划分(Ai)i∈N G ofΩ。L，lwe表示所有G-可测随机变量的空间，其值分别为(-∞,∞)和[-∞,∞]。像往常一样，我们识别随机变量，它们几乎肯定等于P。对于两个随机变量m，n∈，关系m>n，m≥n，可以用P-几乎肯定的意义来理解，即P[m>n]=1和P[m≥n]=1。我们还定义了L+:={m∈Lm≥0}和L++:={m∈Lm>0}。正如导言所述，我们是在L-模的设置中工作的。我们参考[24，32]，这一理论是在那里提出的，以获得更多的细节。空间L是一个格序环，在这个格序环上我们考虑了Ballsbε(m):=n∈L:m-n≤ε，m∈L，ε∈L++所诱导的拓扑，使得Lto是一个拓扑环。从这一点开始，X表示一个L-模。给定一个集合CX，它的σ-稳定壳被定义为σ(C):=nxaixi:[Ai]G和(Xi)co，(1.1)它持有Cσ(C)。如果C=σ(C)，则称集合C X为σ-稳定的。一个集合C X称为L-凸，如果λX+(1-λ)Y∈C，对任一λ∈L，且0≤λ≤1且X,Y∈C，则C是σ-稳定的，当且仅当对于每[Ai]G和(Xi)C，paixi∈C。这样一个L-凸锥在X上有一个L-模预序<，它由X<Y给定，如果x-y∈K。

我们说一个集合C X关于K是单调的，如果关于K没有歧义，我们就说它是单调的；如果C+K=C，用（拟）凹函数，我们采用约定，∞-∞:=-∞和0·±∞=0。假定函数F:X→lisoL-局部如果F(1ax+1acy)=1af(X)+1acf(Y)；oL-拟凹如果F(λX+(1-λ)Y)≥F(X):/F(Y)；oL-凹如果F(λX+(1-λ)Y)≥λF(X)+(1-λ)F(Y)；o关于K单调如果F(X)≥F(Y),只要X<Y；对于任意X,Y∈X,λ∈Land 0≤λ≤1,且任意a∈G。对于每个[Ai]G和(Xi)X,F是局部的当且仅IFF xaixi=xaif(1aixi)=xaif(Xi)，(1.2)；对于每个A∈G和X∈X,F是局部的当且仅IFF(X)=1af(1ax)，(1.3)。由两个参数组成的局部函数F称为联合局部函数。我们进一步说F是，加法和标量乘法都是关于乘积拓扑的连续映射。也就是说，对于任意λ∈L++和X∈K，λX∈K。即，λX+Z<λy+Z对任意λ∈L+和Z∈X,当X<Y表示X时，当F取值于F(mX+nY)=mF(X)+n F(Y)域时，l-线性；当F(λX)=λF(X)时，正齐次；当F(λX)=F(X)时，标度不变量；当F(X+mκ)=F(X)+m时，κ∈K\\0方向上的cash可加性；对于任意X，Y∈X，任意m，n∈L，任意λ∈L++。我们现在假定X是局部L-凸拓扑L-模，参见[24,定义2.2]。用X*表示它的L-对偶，即从X到L的所有连续L-线性泛函的集合。L-对偶X*本身就是一个L-模。弱拓扑是X中最粗的拓扑，它的映射x7→Z(X),X∈X对任意Z∈X*是连续的。对于函数F:X→land for m∈L,我们用相应的上水平集来表示Isam:={X∈X F(X)≥m}。一个函数F:X→L是上半连续的，如果它的上水平集对所有m∈L都是闭的。文献[24,32]表明，对于任意m∈L，F:X→L是L-拟凹或单调的当且仅当它的上水平集是L-凸或单调的。也已知F是L-凹的（即L-局部的）当且仅当其下模hypo(F):={（X,m)∈X××Lα(X)≥m}是L-凸的（即σ-稳定的）。对于任意X,Y∈B,一个集合B是向上向下的，如果XY,分别为XüY，则属于B。对于一个向上向下的集合，它的本质上确界分别为本质上确界，是由该集合中的一个递增序列和一个递减序列得到的，参见[26,附录A5]。类似的结果也适用于集合族。如果(Ai)G是向上的，分别是向下的，关于包含预序，那么存在本质上确界，分别是本质上确界，参见[24，引理2.9]。在本文中，如果不引起混淆，我们通常会对凸分析中的所有概念放弃对L1的引用。2条件评估指标的鲁棒表示在本节中我们遵循[22]的路线，将其中的设置和结果推广到条件情况。在本节的其余部分中，我们将定义一个锥面K X，关于这个锥面的单调性将被理解。2.1条件评估指数和条件风险接受族本文研究的主要对象是条件评估指数，其定义如下。

一个条件考核指标是一个函数α:X→L,是本地的，类似于[22]中讨论的风险度量和风险接受族之间的一对一关系，我们也得到了定理2.4中所述的条件评估指标和下面定义的条件风险接受族之间的一对一关系。即使我们不是L-模，使用约定∞-∞=∞和0·∞=0on，我们也得到了类似的结果。也就是说，如果B∈G使ai B a对所有i来说，它保持P[aB]=0。回想一下，所有概念，如拟凹、局部等，都是从L-意义上理解的。一个条件风险接受族是一个族A:=(Am)m∈(X)中的LOF集，其中：对于任意m∈L是凸的：Amis凸的；o递减的：Am An,对于任意n,m∈L，使得m≥n；o单调的：Am+K=Am,对于任意m∈L；o联合σ-稳定的:A=(Am)m∈L={(X,m)∈X××L：X∈Am}X×L是σ-稳定的；o左连续的：对于每个m∈L，以下恒等式成立trueam=1B(m)\\n<m上B(m)n=-∞上Bc(m)An+1Bc(m)X,其中B(m)={m>-∞}。注意，对于任意序列(mi)_l和任意[Ai]_G，A的联合σ-稳定性等价于atxaiami=APAimi的性质。特别地，取mi=m，i∈N，我们得到paiam=Am，从而我们得到集合Amisσ-stable。下面的定理2.4将在鲁棒表示定理的证明中起核心作用（参见第2.2节）。定理2.4。给定一个条件评估指数α，由Amα:={X∈X:α(X)≥m}，m∈L，(2.1)定义的族aα=(Amα)m∈L是一个条件风险接受族；反之，给定一个条件风险接受族a=(Am)m∈L，由αa(X):=ess SUP m∈L:X∈Am,X∈X，(2.2)定义的函数αa:X→lde是一个条件评估指数。此外，用前面的符号，αaα=α和aαa=a。注2.5。在上面的结果中，AMAs被m∈L索引，而不是m∈L，以得到一对一的响应（one-to-oneCorrespondence）。的确，假设我们的概率测度P可以推广到G G。设X:=L∞G(G)，其中L∞G(G)在[32,4.2节]中定义为L∞F(E)。我们取一个A∈G，0<P[A]<1。agent以事件A为指数条件来评估它的效用，而对Ac有一个对数，即α(X)=eàa1-e-x)+1acln(X)，X∈L∞G(G)。因此，α(0)=1a-∞1表明，对于每一个m∈L，06∈AM，如果我们只取m∈Lintoaccount，则αAα(0)=∞6=α(0)，因此对偶性将失败。注2.6。注意，定理2.4的一个版本已经在[28]中导出。然而，对于可接受的风险，我们需要联合σ-稳定性和索引by(l)而不是l；另见注2.5。与[28]中鲁棒表示的证明方法相反，这里theRobust表示定理2.12的出发点将是定理2.4中所述的条件评估指数和条件风险接受族之间的一一对应关系。我们还注意到定理2.4是[22，定理1.7]的条件版本。证明。第1步：设α是一个条件评价指标，并设接受集族amα，其中em∈L，如（2.1）所示。据了解，Aα在减小。此外，对于任意m∈L，由于AMα是拟凹单调泛函的上水平集，所以它是凸单调的。其次，我们证明了aα是联合σ-稳定的。设[Ai]G和(Xi，mi)i∈naα，特别是α(Xi)≥mi,i∈n。通过对aα的认识，通过α的局部性，通过(1.2)，得到(X，m):=pai(Xi，mi)=(PAiXi，PAimi)=αxaixi=xaiα(1aixi)=xaiα(Xi)≥xaimi=m，从而(X，m)∈aα，这表明了aα的联合σ-稳定性。最后，我们证明了aα的左连续性。现在设m∈B:=B(m)={m>-∞}。

通过α的局部性，通过Aα的联合局部性，证明了Bcanα+1Bcx=1Bamα+1Bcx=1Bca+1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Bca=1Ba首先，我们证明了αa1是单调的。取X，Y∈X，使X<Y。通过A的单调性，如果Y∈Am，则X∈Am。因此{m∈l:Y∈Am}{m∈l:X∈Am}。取夹杂物中的两个部分，证明了α的单调性。然后我们将证明α是拟凹的。为了做到这一点，我们考虑X，Y∈X，我们设m，n∈LBE使得X∈Amand Y∈AN。这样的m，n是存在的，因为根据A的左连续性，我们得到了a-∞=X。然后，我们设置em=m:/n，根据A的递减性质，我们得出X，Y∈Aem。现在，我们取λ∈L，即0≤λ≤1。通过A的凸性，我们得到凸组合Z:=λx+(1-λ)Y∈Aem,因此αA(Z)≥em。因此，αA(Z)≥ess sup{m∈L:X∈Am}ess sup{n∈L:Y∈An}，从而得出证明αA的拟同腔的αA(Z)≥αA(X)αA(Y)仍然是证明αA的局部性的结论。为此，设A∈G，X∈X，并考虑m∈L，使得X∈AM，同样，这样的m是存在的，因为根据A的左连续性，我们得到了A-∞=X。从A的σ-稳定性出发，从0∈a-∞的事实出发，我们得到1ax∈aam-1ac∞,这意味着αA(1ax)≥1am-1ac∞,因此1AαA(1ax)≥1am，因此，取这个不等式中关于m的本质上确界，我们得到AαA(1ax)≥1AαA(X)。（2.3）现在，设n∈1ax∈AN。由于X∈a-∞,我们通过A的σ-稳定性得到，见注释2.3，X=1A(1ax)+1acx∈aan-1ac∞,这意味着αA(X)≥1an-1ac∞,因此1AαA(X)≥1an。取最后一个不等式中关于n的本质上确界，得到1aαa(X)≥1aα(1ax)，它与（2.3）一起证明了αa的局部性，因此αaa是一个条件评价指标。第三步：充分证明了定理2.4的最后一个陈述。假设α是一个条件评估指标，那么aα是一个条件风险接受族，因此αaα是一个条件评估指标。注意，对于任意X∈X，我们有αAα(X)=e ss supm∈l:X∈amα=esssupm∈l:α(X)≥m=α(X)，所以α=αAα。现在假设A是一个条件风险接受族。我们将证明对于任意m∈L是amαA=am，由此我们推导出AαA=A。如果m=-∞,则a-∞αA={X∈X:αA(X)≥-∞}=X。通过A的左连续性，我们得到a-∞αA=a-∞。接下来，假设m>-∞。给定ε∈L++，我们声称αa(X)≥m意味着X∈AM-ε。事实上，一个联合σ-稳定的存在{n∈L:X∈An}是向上定向的。因此，存在一个递增序列(ni){n∈l:X∈an}，使得ni↑αA(X)。设ai:={ni≥m-ε},Bi:=ai\\ai-1,对于i∈n，设b:=A,则[Bi]G,和X∈ani，对于每一个i∈n。通过A的σ-稳定性，我们得到pbi(X,ni)=(X,PBini)∈A。然而，通过构造，我们得到了em:=PBini≥m-ε,从而X∈am-ε。因此，对于所有ε∈L++=\\n<man，我们推导出αA={X∈X:αA(X)≥m}=X∈X:ess sup{n∈_l:X∈An}≥m=X∈X:X∈AM-ε。最后，鉴于A的左连续性，我们有⑤n<man=Am（见注释2.3，我们得到了αA=Am。对于一般情况m∈L,我们写出m=-1AC∞+1AM,其中A={m>-∞},并利用σ-稳定性得到AMαA=AM。因此，aαa=a.2.2鲁棒表示在本小节中我们证明了条件评价指标的一个鲁棒表示定理，这是本文的主要结果之一。从现在起，我们假定X是一个条件局部凸拓扑模。我们进一步假定锥K是闭的，并且我们对所有X∈K}定义了相关的极锥BYK=:={X~∈X~*:hx~*，Xi≥0。现在我们将引入两个概念，这两个概念对我们的研究是至关重要的。定义2.7。

条件风险函数是函数R：使得(i)它是联合局部的；(ii)映射S7→R(x*,条件风险函数R被称为极小值，如果(iii)它是联合拟凸的，并且对于所有λ∈L++,R(λX*,s)=R(X*,s/λ)；关于条件模的背景见[24]和附录A。(iv)它有一致的渐近极大值，对于任意X*,Y*∈K，它是sups∈LR(X*,s)=ess sups∈LR(Y*,s）；(v)左连续型（在第二个参数中）R-(X*,s）是联合下半的。所有条件极小风险函数的集合用Rmin表示。注2.8。注意条件(iv)与(iv′)是等价的，它有一致的渐近最大值，即对于任意x*,y*∈K*,r-(x*,∞)=r-(y*,∞)；结论为2.9。条件极大罚函数是函数π:k^×l→l，使得(A)它是联合局部的；(b)M7→π(x*,m）对于任意x*∈K^，它是正齐次的，而对于任意x*∈K^，(c)它是正齐次的；(d)它是极大不变量，即如果对于某些x*∈K^，m∈L，π(x*,m)=∞,那么对于所有y*∈K^，π(y*,m)=∞；(e)它是上半连续的。所有条件极大罚函数的集合由pmax表示。命题2.10。条件最小风险函数的集合SR∈Rmin，条件最大惩罚函数的集合π∈Pmax，以下列方式联系起来:π(-1，r)(X*,s)∈Rmin，(2.4)r(-1，r)(X*,m)∈Pmax，(2.5)其中π(-1，r)(X*,s）和r(-1，r)(X*,m）表示第二个参数的右反转。此外，这种关系是一对一的。这个命题的证明推迟到附录A.3。命题2.11。设C X是一个闭的、凸的、单调的、σ-稳定的集合。然后，存在一个惟一的函数π:kà→l，使得它是(a)正齐次且凹的；(b)极大不变量；(c)上半连续，π(λxé,m)=λπ(xé,m）对于所有λ∈L++和xé,m∈Ké,l。对于进一步的细节，分别对π和R的第二个参数应用规则a.5。并且这样，x∈c≈hX,xéi≥π(xé)，对于所有xà∈Ké。（2.6）此外，对于所有的X*∈K，这个函数由关系式π(X*)=χC(X*):=ess infx∈CHx*,Xi显式给出。这个命题的证明也推迟到附录A.4。最后，我们可以证明本部分的主要结果。定理2.12。(i)设α:X→l1是一个上半连续的条件评价指标。然后，α对于唯一的R∈Rmin具有形式α(X)=ess infx*∈KàR(X*,hx*,Xi)，(2.7)的稳健表示；(ii)对于任何条件风险函数R，(2.7)的右边定义了一个上半条件评估指标。证明。(i)根据定理2.4，α(X)=ess SUP M∈L:X∈Am,X∈X,(2.8)其中A=(Am)M∈L是对应的（2.1）意义下的条件风险接受族。特别地，每一个集合Am，m∈L，都是单调凸的，并且根据注2.3，它也是σ稳定的。另外，由于α是上半连续的，所以每个集合Am，m∈L是闭的。因此，通过命题2.11，我们得到了定义π:k·××l→lbyπ(x*,m):=ess infx∈amhx*,Xi,(2.9)，即π满足定义2.9的性质(c)-(e)。此外，从（2.6）中得出，对于所有的Xπ∈K，(2.10)和（2.8）结合得出α(X)=ess SUP m∈L:hX，XπI≥π(X~，m)，对于所有的Xπ∈K，(2.6)得到了X∈AM p≥hX,X~i≥π(X~，m)。（2.11）此外，第2.9条规定的πfullls(a).的确，设x*,y*,k*,m,em由于A是等σ-稳定的，因此AAM+1ACEM=1AAM+1ACAEM。因此π(1ax~+1acy~*,1am~+1aceM)=ess infex∈Aam+1 acfmh1ax~+1acy~*,EXI=ess infx∈Aam+1 acy~*,YAx~+1acy i=1aessinfx∈AMHx~*,Xi+1acessinfy∈AfMHy~*,Yi=1aπ(x~，m)+1 acπ(Y~，em),因此π是联合局域的。由于映射M7→π(·，m)是递增的，因此分别给出了π-和π+的左连续和右连续形式，如(a.2)和(a.3)。

其次，我们证明了α(X)=β-(X)=β+(X),X∈X，(2.12)其中β-(X):=e ss supm∈l:hX,X~i≥π-(X~，m)对于所有X~∈Kut，(2.13)β+(X):=e ss supm∈l:hX,X~i≥π+(X~，m)对于所有X~∈Kut，(2.13))和(2.13)β+(X):=e ss supm∈l:hX,X~i≥π+(X~，m)。(2.14)由于π-(X*,m)≤π(X*,m)≤π+(X*,m）对于所有X*,m∈Kut×L,则推得β-(X)≥α(X)≥β+(X),X∈X.(2.15)如果β-(X)在某个集合A∈G+上等于-∞,则等式（2.12）在A上成立。因此，利用局部性，足以证明(2.12)对于β-(X)>-∞成立。通过对β-的认识，存在一个收敛到β-(X)的递增序列(mn)，使得mn<mn+1<β-(X)。通过对增函数的左连续和右连续形式的认识，我们得到了对所有xut∈K，和所有n∈n的π+(X~，mn)≤π-X~，mn+1,因此，对所有n∈n的mn≤β+(X),因此β+(X)≥β-(X)。这与（2.15）结合，就意味着（2.12）。用R表示π+的右逆。通过命题A.9，见注A.10，我们得到了R=(π-)(-1，R)。因此，通过（2.12）和(A.14)，我们得出结论:α(X)=ess SUP m∈L:R(X*,hX,X*i)≥m对于所有X*∈K，因此，α(X)=ess SUP m∈L:ess INFX*∈Kutr(X*,hX,X*i)≥m=ess INFX*∈Kutr(X*,hX*,Xi)≥m=ess INFX*∈Kutr(X*,hX*,Xi）。最后，我们证明了R∈Rmin的唯一性。利用命题2.10和(2.12)，证明了α(X)=ess SUP m∈L:hX,Xéi≥eπ(Xé，m)对于所有Xé∈Kü.（2.16）对于唯一的eπ∈Pmax成立。我们假定(2.16)满足πi∈Pmax，i=1,2。对于所有的n∈i=1,2,我们考虑setsAn,i:={X∈X:HX*,Xi≥πi(X*,n）,对于所有的Xπ∈K=}=\\Xπ∈K={X∈X:HX*,Xi≥πi(X*,n）}。（2.17）对于每Xà∈Kà，m∈L，集合{XàX:hxà，Xi≥m}是明确闭的、凸的、σ-稳定的和单调的。在（2.17）中，我们得出结论：对于每n∈1=1,2,a，i，是闭的，凸的，单调的，σ-稳定的。设A={m=∞}。由命题2.11我们得到，对于i=1,2,πi(x*,m)=ess infn≥mn>m在Aess infx∈AN,IHX*,Xi=ess infx∈SN≥mn>m在AN,IHX=,Xi=ess infx∈SN≥mn>m上。（2.18）由于A是递减的。特别地，注意上半连续函数族的本质函数是上半连续函数，(A.3)π+的视图是上半连续函数。在AC上，我们将证明[n≥mn>m，AAn上，i={X∈X:α(X)≥m和α(X)>m在A}，i=1,2。（2.19）如果X属于左手边，则X∈An，对于A上的n≥m且n>m的情形，由（2.12）和（2.14）得到α(X)≥n，从而得出X属于右手边的结论。反之，如果α(X)≥m且α(X)>m在A上，则由（2.12）和（2.14）一起，在A上存在n≥m且n>m，使得对于所有的xut∈Kut，存在hx*,Xi≥πi(X*,n）。因此，X∈An，iand，因此X在（2.19）的左手边。最后，(2.18)与(2.19)结合，暗示了AC上π=π。由于π是右连续的，所以A上π=π=∞,因而π=π。(ii)如果函数R是一个条件风险函数，即它满足(i)和(ii)从知识2.7中得出，对于每一个x*∈K，函数R(x*,hx*,·i)是局部的，拟凹的，单调的，半连续的。所有这些性质在ess inf下都得到了保留，从而得到了注2.13的证明。与[22]类似，如果存在κ∈K，使得对于任意xπ∈K，存在hxπ，κi>0，则对于唯一的最小风险函数R:Kπκ×l→l，可以在归一化setkπκ:={xπ∈K=:hxπ，πi=1}，(2.20)上得到鲁棒表示（2.7）。在这种情况下，2.7中的条件(iii)被(iii)′所代替，α是联合拟凸的。相应的对偶极小风险函数具有α的附加性质，如下文结果所述。命题2.14。

一个上半连续评估指标α是凹的，正齐次的，标度不变的，或κ-Cash可加的当且仅当对应的最小风险函数R是凸的，正齐次的，标度不变的，或κ-Cash可加的，在第二个参数中，我们的证明与静态情况相似（参见[21,22])，这里我们省略它。2.3标度不变的条件评估指标在这一节中我们说明了在标度不变的特定情况下的鲁棒表示是什么样子的。注意，标度不变评估指标对应的接受集Am，m∈L是闭锥和凸锥。我们将它们的极集asAm,=={xututurixuturi:hx*,Xi≥0,对于所有X∈Am},m∈L。（2.21）命题2.15。设α:X→LBE为上半连续标度不变条件评估指标。然后，表示式（2.7）中唯一的条件最小风险函数R∈Rmax，其形式为:R(x~，s)=-∞在{s=-∞}上:x~∈Am，θ在{-∞<s<0}上+∞在{s≥0}上，x~∈K′和s∈L。（2.22）证明。与定理2.12.(i)相似，我们考虑函数π(x*,m):=ess infx∈AMHx*,Xi=χAM(x*),(2.23)，其中最后一个等式如下(a.25)。由于Amis是一个锥，因此对于任意m∈L可以得到χAm=χAm,？，(2.24)。事实上，通过确认，x_ut∈Am，?当且仅当对于每个X∈Am是hx_t，Xi≥0。利用Amis是一个锥的事实，我们在本质函数(2.23)中用λ∈L++收敛到0来标度X，从而得到X^∈Am,当且仅当χAm(X^)=0。另一方面，如果1 bx*6∈1bam，-对于每一个b∈G+，它接着是承认Am，-存在X∈Am，-使得hx*，Xi<0。当λ∈L++趋向于∞时，对于每一个B∈G+，1bx^6∈1bam，^，当且仅当π(x^，m)=-∞。根据局部性和χam，^，我们推导出方程（2.24）是成立的。最后，我们需要证明（2.22）给出的R是第二个参数中π的条件右逆。它认为χam，uto只取0和∞为值。对于xπ=0，在{s≥0}上明确地成立了R(0,s)=∞,在{s<0}上成立了-∞,与关系式（2.22）相对应。另一方面，如果1axπ6=0,且A∈G+,则ess infm∈lχam,ut(x^)=χx^(x^)=χ{0}(x^)=-∞。因此，应用右逆的认识，得到了atr(x*,s)=-1{s=-∞}∞+1{s≥0}∞+1{s=-∞}∞+1{s≥0}∞+1{-∞<s<0}∞+1{s≥0}∞+1{-∞<s<0}σ1 m∈L:xπ∈Am,n.利用一般x*∈K=的稳定性得到表达式2.22.2.4确定性等价在Cheridito和Kupper[13]中，研究了确定性等价在风险度量中的概念。在这里，我们对条件评估指标进行了类似的研究。在第4节中，我们将在研究过程评估指标的（强）时间一致性时，关键地使用确定性当量的概念。在本节中，我们取xκ∈K\\{0}。条件评价指标α的κ-条件确定性等价是局部泛函C:X→L，使得α(C(X)κ)=α(X),X∈X。（2.25）条件评价指标α的条件确定性等价的自然候选项为C(X):=ess INF m∈L:α(Mκ)≥α(X),X∈X。（2.26）备注2.17。然而，一般说来，definition(2.26)即使是自然的，也可能不会产生一个有效的certaintyequivalent。具体地说，如果α是标度不变的评估指标，则如（2.26）中所示的C(X)将只计算0和-∞,而（2.25）一般不会计算。实际上，为了简单起见，假定K=L+和κ=1，并设C如（2.26）所示。对于最大的m>0，我们有m≥X，通过α的单调性，我们推导出α(m)≥α(X)。