多因素局部随机的显隐含挥发 波动率模型

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摘要翻译：
考虑一种资产，其风险中性动力学由一般的局部随机波动率模型描述，得到了欧式期权价格和隐含波动率的一族渐近展开式。我们的隐含波动率扩张是显性的；它们不需要任何特殊函数，也不需要数值积分。为了说明我们的方法的准确性和通用性，我们在五种不同的模型动态下实现了它：CEV局部波动率，二次局部波动率，Heston随机波动率，$3/2$随机波动率和SABR局部随机波动率。
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英文标题：
《Explicit implied volatilities for multifactor local-stochastic
  volatility models》
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作者：
Matthew Lorig, Stefano Pagliarani, Andrea Pascucci
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最新提交年份：
2014
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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英文摘要：
  We consider an asset whose risk-neutral dynamics are described by a general class of local-stochastic volatility models and derive a family of asymptotic expansions for European-style option prices and implied volatilities. Our implied volatility expansions are explicit; they do not require any special functions nor do they require numerical integration. To illustrate the accuracy and versatility of our method, we implement it under five different model dynamics: CEV local volatility, quadratic local volatility, Heston stochastic volatility, $3/2$ stochastic volatility, and SABR local-stochastic volatility.
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关键词：波动率模型 多因素 波动率 volatilities Applications

多因子局部随机挥发模型的显式隐含挥发Matthew Lorig*Stefano Pagliarani and Andrea Pascucci，此版本：2014年12月1日摘要我们考虑一种资产，它的风险中性动力学由一般的局部随机挥发模型描述，并推导出欧式期权价格和隐含挥发的一族渐近展开式。我们还对这些量建立了严格的误差估计。我们隐含的挥发展开式是显式的；它们不需要任何特殊函数，也不需要数值积分。为了说明我们方法的准确性和通用性，关键字：隐含波动率、局部随机波动率、CEV,Heston随机波动率、3/2随机波动率和SABRLocal-随机波动率。引言LSV模型结合了局部波动率(LV)和随机波动率(SV)模型的特点，通过函数σ(t，St，Yt)来描述底层S的瞬时波动率，其中Y是一些辅助的，可能是多维的随机过程（例如，Lipton(2002)、Alexander和Nogueira(2004)、Ewald(2005)、Henry-Labordere(2009)和Clark(2010))。通常，不可观察的LSV（或SV或LV）模型参数是通过校准市场上观察到的隐含挥发物来获得的。由于这个原因，模型诱导的隐含挥发的闭式近似是有用的。在LV、SV和LSV模型中，已有多种近似隐含挥发物的计算方法。关于LV模型，最早和最著名的隐含波动率结果可能是toHagan和Woodward(1999)，他们使用奇异摄动方法得到了一般LV模型的隐含波动率展开式。对于某些模型（例如，CEV)，它们得到闭式近似。最近，Lorig(2013)使用正则扰动方法得到了当LVmodel可以写成一个关于Black-Scholes的正则扰动时的隐含波动率展开式。Jacquier a nd L orig(2013)将Andre Foungne(2013)的re sults推广到美国西雅图华盛顿大学应用数学系的隐含波动率的闭式近似。电子邮件:mattlorig@gmail.com.cmap，Ecole PolyTechnology Route de Saclay,91128 Palaiseau Cedex,France。电子邮件:stepagliara1@gmail.com。由风险基金会金融风险主席提供部分支持。意大利博洛尼亚大学，博洛尼亚大学。电子邮件:andrea.pascucci@unibo.itmodels w ith jumps。加泰勒尔等。（2012）利用热核方法研究了LV模型隐含波动率的小时间渐近性。富克等人。（201 2）（参见alsoFouque et al.(2011))利用组合奇异正则扰动理论导出了一般多尺度随机波动模型的渐近展开式。Forde和Jacquier(2011)利用SDEs的大偏差Freidlin-Wentzelltheory得到了一般零相关随机波动率模型隐含波动率的小时间行为。他们的工作为刘易斯（2007）以前的工作增加了数学上的严谨性。Forde和Jacquier(2009)使用大偏差技术获得了Heston模型（有相关性）中隐含波动率的小时间行为。他们进一步对Forde等人的这些结果进行了重新分析。

（20 12）.最近，Jacquier a nd Lor ig(2014)为任何具有分析可处理的特征函数的模型提供了一个显式的隐含波动率近似，其中包括a-ne随机波动率和指数l-evy模型。关于LSV模型，也许最著名的隐含波动率结果是Ha gan et al.（2002）,他使用WKB近似方法在具有类似CEV的局部波动率因子和类似GBM的波动率辅助因子的LSV模型中获得了隐含波动率的表达式（即SABR模型）。另一个重要贡献是B.e.restycki et al.(2004)，who指出anLSV环境下的隐含波动率可以通过求解一个quas-i线性parab olic偏微分方程得到。最近，Henry-Labord`ere(2005)利用Riemann流形上的核展开导出了任意LSV模型隐含波动率的有限阶渐近性。作为一个例子，他引入了λ-SABR模型，这是一个具有波动率均值回归辅助因子的LSVmodel，并得到了隐含波动率的闭式征兆公式。另见Henry-L Abord`ere(2009)。最后，我们提到Watanabe(1987)和Benhamou等人最近的工作。（2010）和Bompis和Gobet(2012)，他们使用Malliavin ca lc ulustechniques推导出LSV环境下隐含波动率的接近D型近似。对于隐含波动率的极值攻击，也有一些无模型的结果。最值得注意的是，我们提到了Lee(2004)和Gao and Lee(2014)的工作。我们（通过一系列数值实验）表明，与其他著名的隐含波动率近似（如Hagan and Woodward(1999)对CEV、Fo rde e t al.(2012)对Heston和Hagan et al.(2002)对SABR）相比，我们的appr肟化具有更好的性能。此外，我们证明了我们的隐含波动率扩张满足了短期债券的严格界限。作为隐含波动率分析的副产品，我们得到了一些关于Black-Scholes价格短期到期日行为的新结果，这些结果具有一定的独立性。我们的所有结果与Berestycki等人的短成熟度渐近结果是一致的。(2002)，Berestycki等人。（2004年）和Bompis和Gobet(2012)。本文所提出的方法建立了Pagliarani和Pascucci(2012)关于标量积分的渐近定价公式，后来又在Pagliarani等人中得到了推广。（2013）和Lorig等人。（2014）对标量L\'evy-type过程进行了研究。本文的其余部分如下：在第2节中，我们介绍了一类一般的局部随机波动模型。我们还得到了欧式期权价格的一族渐近展开式，并在一定的假设下，为我们的定价近似提供了严格的误差界。在第3节中，我们将我们的渐近价格扩张转化为隐含波动率的渐近e xpansion。在第4节中，我们对我们的定价和隐含波动率扩展建立了严格的误差估计。最后，在第5节中，我们在四个著名的模型上检验了隐含波动率的近似性：CEV局部波动率、Heston随机波动率、三半随机波动率和SABR局部随机波动率。2一类一般LSV模型的渐近定价为简单起见，我们假定一个无套利、零利率、无分割NDS的摩擦nle ss市场。我们假定一个等价鞅测度e P,由市场在c余概率s pace（Ω,F,{Ft,t≥0},P）上选择。Ft,t≥0表示市场的历史。

我们考虑一个严格的正资产S，它的r是中立动力学由S=exp(X)给出，其中X=Z(1)是d维di=(X，Y)的分量，解为dz(i)t=μi(t，Zt)dW(i)t，Z=Z∈Rd，dhW(i)，W(j)it=ρij(t，Zt)dt，ρij<1。（2.1）我们假定SDE(2.1)有唯一的强解。例如，在Ikeda and Watanab e(1989)或Pascucci(2011)中可以找到存在唯一强解的条件。我们还证明了coe_cients是这样的：对于某些正t，e[St]<∞对于所有t∈[0,t]。设Vtbe是一个欧洲导数的时间t值，在时间t>t时到期，Payo_（XT）。在中性定价中，对于一个欧罗巴式期权，我们必须给出形式为mu(t，x，y):=e[i(XT)XT=x,yt=y]的函数。众所周知，在温和的假设下，函数u满足Kolmogorov倒向方程(t+a(t))u(t，x，y)=0,u(t，x，y)=i(x),(2.2),其中算子a(t)给出exlicly byA(t)=dxi,j=1ρij(t，z)σi(t，z)σj(t，z)zzj+dxi=1μi(t，z)zi。（2.3）作为一个固定的假设，我们强加μ=-σ，以确保S=EXA是鞅。对于现有的多种模型，模型的维数为d=1（如CEV）或d=2（如Heston,SABR）。对于特殊情况d=1,2,我们写出A(t)asA(t)=A(t,x,y)(x-x)+f(t,x,y)y+b(t,x,y)y+c(t,x,y)xy,(x,y)∈R(2.4),其中A:=σ,f:=μ,b:=σ,c:=ρσσ,当d=1（即loc al波动模型）时，只出现A。注2.1（确定性利息ra tes）。对于确定性利率r(t)，必须计算formeu(t)的expec,ex,y):=ehe-rttr(s)ds（eXT）eXT=ex,yt=yi,其中dext=dxt+r(t)dt。在这种情况下，变量的一个简单变化su(t,x(t,ex）,y):=eRTtr(s)eu(t,ex,y）,x(t,ex）:=ex+zttr(s)ds,(2.5)揭示了函数u,如（2.5）所示，满足（2.2）。2.1 a(t)的多项式展开式我们注意到（2.3）是一般d维二阶二次方程运算量a(t)=dxi,j=1aij(t,z)zizj+的特例dxi=1ai(t,z)zi,t∈r+,z∈Rd。（2.6）等价地，我们也可以把算子A(t)写成一种更紧凑的形式，即A(t):=xα≤2Aα(t,z)dαz,t∈R+,z∈Rd,(2.7)其中，利用标准的多指标表示法，我们有α=(α,···,αd)∈Nd,α=dxi=1αi,dαz=αz···αdzd,在本节中，我们将介绍A(t)的一族展开格式，我们将用它来构造柯西问题（2.2）的闭式近似解（每族一个）。设N∈N，我们说(An(t))0≤N≤nis是一个N阶多项式展开式，z)An(t):=xα≤2aα,n（t,z)Dαz(2.8)其中(i)对于任意t∈[0,t]函数Aα，n(t,·)是多项式，对于任意z∈RD，函数Aα，n(·,z)属于L∞([0,t])；(ii)对于任意t∈[0,t]我们有一个α，0(t,·)=Aα，0(t)，空间常数二阶算子A(t)是椭圆的。下面，我们给出一些例子。例子2.3（泰勒多项式表达式）。假定coe cientsaα(t，·)∈CN(Rd)。然后，对于任意给定的z,n≤n,我们将aα,na定义为空间变量s中aα在z周围的泰勒展开式的n阶项。也就是说，我们设aα,n(·,z)=xβ=ndβzaα(·,.z)β！(z-.z)β,n≤n,α≤2,其中像往常一样β！=β！···βD！和Zβ=Zβ···ZβDD。例2.4（含时Taylor po lynomial expans）。假定coe_cients为Aα(t,·)∈CN(Rd),然后，对于任意给定的z:r+→Rd，我们将Aα,na定义为Aα的泰勒展开式的n阶项。即我们setaα,n(·,z)=xβ=ndβzaα(·,z(·))β！(z-z(·))β,n≤n,α≤2。例2.5（厄米多项式展开式）。

Hermite展开式在不光滑的情况下很有用。Dupire关于带跳跃模型的局部挥发公式给出了一个显著的数学例子（参见Friz e t Al.（2013））。在某些情况下，例如众所周知的方差-Gammamodel，基本解（即底层随机模型的转移密度）具有奇异性。在这种情况下，用某种Lpnorm而不是点态近似是很自然的。对于以a tz为中心的Hermite展开式，其中内积H·,·Iγ是以z为中心的高斯加权的积分，函数Hβ(z)=Hβ(z)··Hβd(zd),其中Hn是第n个一维Hermite po多项式（pro pernormite po多项式，使得Hhα,Hβiγ=δα,β,δα,β为Kronecker delta函数）。2.2形式解在这部分n中，我们引入了一个启发式方法，构造了backwardCauchy问题的近似解（2.2）。下面，我们将在所有运算符中显式地指示t-dep endence。另一方面，我们通常会隐藏Z依赖关系，我们考虑一个多项式展开式(An(t))n≥0,假定（2.7）中的算子A(t)可以形式化地写成asA(t)=A(t)+B(t),B(t)=∞xn=1an(t),（2.9）将A(t)的展开式（2.9）插入Cauchy问题（2.2）,我们(t+A(t))u(t)=-B(t)u(t),u(t)=+ZTTDTP(t,t)B(t)u(t),（2.10）,其中P(t,t)是A(t)生成的算子的半群；我们将显式地定义P(t),将u的表达式（2.10）插入到（2.10）的右边，并迭代得到u(T)=P(T),T)+ZTTDTP(T,T)B(T)P(T,T)+ZTTDTZTTDTP(T,T)B(T)B(T)u(T)=··=P(T,T)+∞xk=1 ZTTDTZTTDT··ZTTK-1DTKP(T,T)B(T,T)B(T)··P(TK-1，tk)B(tk，T)P(tk，T)=(2.11)=P(T,T)+∞xn=1NXK=1ZTTDTZTTDT··ZTK-1DTKXI∈In,kP(T,T））Ai(T)P(T,T)Ai(T)··P(tk-1,tk)Aik(tk)P(tk,T)=,(2.12)In,k={i=(i,i,···,ik)∈Nk:i+i+···+ik=n}。（2.13）为了从（2.11）得到（2.12）,我们使用了这样一个事实：在m(2.9)中，算子B(t)是一个内和，并且我们在(Aik(t))的下标和(I+I+··+ik)上进行了划分。根据展开式(2.12)，我们设u=∞xn=0un,其中definnedu(t):=P(t,t)=,un(t):=nxk=1zttdtzttdt··zttk-1dtkxi∈In,kP(t,t)Ai(t)P(t,t)Ai(tk)P(tk,t).(2.14)2.3表达式的uBy假设，函数Aα,0depe nd仅在T上。因此，算子A(t)是参数随时间变化的ADI曲面的生成器。将运算符A(t)写成fo lowing形式是有用的:A(t)=dxi,j=1cij(t)zizj+hm(t),πzi,hm(t),πzi=dxi=1mi(t)zi。（2.15）这里的D×D-矩阵C(t)对于任意t∈[0,t]是正的，且m是D维向量。由A(t)生成的op（t,t）半群的作用是众所周知的。对于一个至多呈指数增长的ny可测函数，我们有(t):=P(t,t)=ZrDγ(t,·；T,ζ）=（ζ）dζ,（2.16）,其中：ζ（T,z；T,ζ）是d维高斯n密度τ(T,z；T,ζ=p(2π)dC(t,T）exp-hc-1(T，T)(ζ-z-m（T,当协方差矩阵C(T,T）和平均向量z+m(T,T）由C(T,T)=Zttds C(s),m(T,T)=Zttds m(s)给出时，(2.16)中定义的函数uas是齐次倒向柯西问题(T+A(T))u=0的唯一的非快速增长解，其结束条件u(T)=2.4表达式，如下面的定理所示，每个u(T)都可以表示为作用在u(T)上的一个二次方程算子Ln(T,T）。定理2.6。假定Rd上函数快速递减的Schwartz空间（？）。

然后显式地给出了（2.14）中的函数byun(t)=Ln(t,t)u(t),（2.17）,其中uis由（2.1 6）和Ln(t,t)=nxk=1 zttdtttdt··zttk-1dtkxi∈in,kGi(t,t)Gi(t,t)··gik(t,tk),（2.18）随in,kas由（2.13）和Gi(t,tk)=xα≤2aα,i（tk,M(t,tk))dαz,（2.19）随Ai(t,z）如（2.8）,且M(t，s):=z+M(t，s)+C(t，s)→z。（2.20）证明。证明的主要思想是证明（2.19）中的算子Gi(t，tk)Ai(tk)=Gi(t，tk)P(t，tk)。（2.21）假设（2.21）成立，我们可以利用P(tk，tk+1)是半群(t，t)=P(t，t)P(t，t)··P(tk-1,tk)P(tk，t)，我们可以重写(2.14)asun(t)=nxk=1zttdtzttdt··zttk-1dtkxi∈In,kGi(t，t)Gi(t，t)·gik(t，t)P(t，t),由此直接得到(2.17)-(2.18)。因此，我们只需要证明Gi(t，tk)满足（2.21）。对于所有t<t，u(t,·)都属于快速衰减函数的Schwartz类。因此，任何形式为p(z)dβzu(t，z)的函数，其中p是多项式，都有傅里叶表示。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以研究P（t,tk）Ai（tk）a c tson振荡指数eλ(x):=eihλ,xi。我们注意到:p(t,tk)eλ(z)=eΦ(t,tk,λ)eλ(z),其中Φ(t,tk,λ)=xα≤2(iλ)αztktdt aα,0(t)。（2.22）接着，我们观察到算子Mi(t，tk)在（2.20）中的第i分量Mi(t，tk)可以写为Mi(t，tk)=Mi(t，tk，-i)，Mi(t，tk，λ)=-iλi(Φ(t，tk，λ)+ihλ，zi)。（2.23）利用（2.23）我们观察到，对于任何自然数n，我们有(-iλi)neΦ(t,tk,λ)eλ(z)=Mi(t,tk,λ)eλ(z)=Mi(t,tk,λ)(-iλi)n-1eΦ(t,tk,λ)eλ(z)=··=[Mi(t,tk)]neΦ(t,tk,λ)eλ(z)。注意到λi，λj，Mi(t,tk,λ)eλ(z)也是通勤的，即Mi(t,tk）和Mj(t,tk）也是通勤的。因此，对于任意多指标β，我们有(-Iπλ)βEΦ(t,tk,λ)Eλ(z)=(M(t,βEΦ(t,tk,λ)Eλ(z),（2.24）最后，我们计算p(t，Ai(tk)eλ(z)=xα≤2p(t,tk)aα,i（tk,z)dαzeλ(z)(by(2.9))=xα≤2(iλ)αP(t,tk)aα,i（tk,z)eλ(z)=xα≤2(iλ)αaα,i（tk,-i′λ)P(t,tk)eλ(z)=xα≤2(iλ)αaα,i（tk,-i′λ)eΦ(t,tk,λ)eλ(z)(by(2.22))=xα≤2(iλ)αaα,i（tk,M(t,tk))eΦ(t,tk,λ)eλ(z)(by(2.24))=xα≤2(iλ)αaα2aα,i(tk,M(t,tk))dαzeΦ(t,tk,λ)eλ(z)=xα≤2aα,i(tk,M(t,tk))dαzp(t,tk)eλ(z)(by(2.22))=Gi(t,tk)P(t,tk)eλ(z)，(by(2.8)和(2.19))得到证明。正如我们将在4.1节中所示，函数(un)可以被描述为一个嵌套的问题序列的解（见方程(4.16)，当(An(t))在一个泰勒级数中被定义时，如示例2.3）。O ne可以很好地检验w he n(x)=(ex-ek),un(t)=Ln(t,t)u(t)未给出的函数un(n)满足嵌套Cauchy问题。因此，定理2.6对看涨期权Payo也成立。对于任何满足第2.2项的扩展(An(t))，这都是正确的。Ln(t，t)中的项数增长速度快于N！，这对大N提出了一个挑战。然而，我们将在Se Curtis 5提供的数值例子中看到，在n=3的情况下，可以得到exc Ellent近似。注2.9。当d=1,2时，oper算子A(t)由（2.4）给出。在这种情况下，我们写Ai(t)asAi(t):=Ai(t，x,y)(x-x)+fi(t，x,y)y+bi(t，x,y)y+ci(t,x,x，y，我们有明确的gi(t，s):=ai(s，Mx(t，s),My(t，s))(x-x)+fi(s，Mx(t，s),My(t，s))y+bi(s，Mx(t，s))y+ci(s，Mx(t，s))x+zstdq a(q)+2zstdq a(q)x+zstdq c(q)y，My(t，s)=y+zstdq f(q)+2zstdq b(q)y+zstdq c(q)x.3隐含波动率展开式在这一节中，我们从上一节所发展的渐近定价扩展中导出了一个显式隐含波动率近似。在开始我们的分析时，我们为X=log S asin(2.1)、时间t、到期日t>t、初始值(Xt,Yt)=(X,y)∈R×Rd-1和调用选项Payo}}(Xt)=(ext-ek)+设置一个多因子LSV mo de l。我们的目标是找出这一特定看涨期权的隐含波动率。

为了简单起见，我们有时会支持s对(t，t，x，y，k)的依赖关系。然而，读者应该记住，在考虑n下，期权的隐含波动率确实取决于o n(t，t，x，y，k)，即使这没有被精确地指出。下面，我们将排除Black-Scholes价格和隐含波动率的解释，这将是本节的基本内容。给定byuBS(σ；τ,x,k):=exN(d+)-ekN(d-),d±:=σ√τx-k±στ,τ:=t-t,（3.1）,其中N是标准d正态随机变量的CDF。根据(2.16)tha t,当下列情况下：（x）=(ex-ek)+we有（t,x)=uBS(σ；t-t,x,k）,其中σ=st-tztta(s)ds,（3.2）,其中a=C1,1as in（2.15）,或者根据多指数表示法，a=a(2，0，...，0)，0。对于(τ,x,k）,与调用价格u∈((ex-ek)+,ex）相关的隐含波动率被定义为方程ubs(σ；τ,x,k)=u的唯一严格正实解σ。（3.3）3.1形式推导我们在这里给出了我们的隐含波动率展开式的形式推导，它是基于第2节中给出的pr ice展开式。在整个过程中(t，t，x，k)都是fix，因此我们使用短NotationUBS(σ)=uBS(σ;t-t，x，k)来表示Black-Scholes价格。考虑appr肟化物调用价格族，其指数为δu(δ)=nxn=0δnun=uBS(σ)+nxn=1δnu，δ∈[0,1]，(3.4),其中σ如（3.2）和函数un(t)=Ln(t,t)u(t)如定理2.6所给出。请注意，设置δ=1会产生我们的价格e xpansion。g(δ):=(uBS)-1(u(δ))，δ∈[0,1]。（3.5）求隐含波动率σ=g(1)。我们将在4.2节引理4.13中证明，对于任意δ∈[0,1]，在适当的假设下u(δ)∈((ex-ek)+，ex)。这保证了（3.5）中的g(δ)存在。通过将（3.5）的b边展开为δ中的泰勒级数，我们看到σ允许一个形式σ=g(1)=σ+∞xn=1σn,σn=n！nδg(δ)δ=0的展开。（3.6）注意，由（3.4）我们也有un=n！nδUBS(g(δ))δ=0,1≤n≤n。（3.7）可以通过应用附录B中给出的Faa di Bruno公式的贝尔多项式来计算（3.7）的右手边:un=n！nxH=1hσUBS(σ)Bn,hδg(δ),δg(δ)...,n-h+1δg(δ)δ=0,1≤n≤n.(3.8)结合（3.8）和（3.6）,可以用(σk)0≤k≤n-1来显式求解σn,y ieldsσn=unσubs(σ)-n！nxh=2bn,h(1，σ，2，σ，..,(n-h+1)！σn-h+1)hσubs(σ)σubs(σ)，1≤n≤n。（3.9）注意，σn的表达式（3.9）涉及两类项:un/σubs(σ)和nσubs(σ)/σubs(σ)。我们将证明这些项不需要任何数值积分或特殊函数就可以显式地计算出来。证明将依赖于下面的引理。引理3.4。设m≥0且取x(t，t，k，σ)。则MX(x-x)uBS(σ)(x-x)uBS(σ)=-στ2τMHM(ζ）,ζ：=x-k-στστ2τ,τ:=t-t,（3.10）其中Hn(ζ）：=(-1)neζnζeζ是第n个厄米多项式。使用Black-Scholes公式(3.1)，直接计算表明(x-x)uBS(σ)=σ√2πτeζ+K，其中ζ=ζ(x)如上。因此mx(x-x)uBS(σ)(x-x)uBS(σ)=eζmxe-ζ=σ√2τmez mζe-ζ=-1σ√2τmhm(ζ）,其中在最后一个e质量中，我们使用了第m个厄米多项式的定义n，重新定义上面的d。命题3.5。固定(t，t，k，σ)，设ζ和τ如引理3.4所示。那么对于任何n≥2，我们有nσubs(σ)σubs(σ)=n/2xq=0n-q-1xp=0cn，n-2qσn-2q-1τn-q-1p-σ√2τp+n-q-1hp+n-q-1(ζ）,其中coe cients（cn,n-2k）递归地由cn,n=1和cn,n-2q=(n-2q+1)cn-1，n-2q+1+cn-1，n-2q-1，q∈{1,2,···,n/2}求出。解算符J:=τ(x-x)。σubs(σ)=σjubs(σ)是经典的。对于任意n∈nnσubs(σ)=n/2xq=0cn,n-2qσn-2qjn-qbs(σ),(3.11),其中cn,n=1和cn,n-2q=(n-2q+1)cn-1,n-2q+1+cn-1,n-2q-1,n/2},(3.11)的证明是一个简单而乏味的递归关系，为了简洁起见，我们略去了它。

现在，我们计算nσuBS(σ)σuBS(σ)=n/2xq=0cn,n-2qσn-2qτn-q(x-x)n-qbs(σ)σuBS(σ)=n/2xq=0cn,n-2qσn-2qτn-q(x-x)n-q-1(x-x)uBS(σ)τσ(x-x)uBS(σ)=n/2xq=0cn,n-2qσn-2qτn-q(x-x)n-q-1(x-x)uBS(σ)=n/2xq=0cn n-2 q-1τn-q-1 n-q-1 p p+n-q-1 x（x-x）uBS(σ)（x-x）uBS(σ)=n/2 xq=0 n-q-1 xp=0cn,n-2 qσn-2 q-1τn-q-1 n-q-1 p-σ√2τp+n-q-1 hp+n-q-1(ζ），其中得到我们使用的最后一个等式（3.10）。修正(t，t，x，y)。对于每一个满足2.2的多项式展开式(An(t))，且前一个满足n∈n的多项式展开式，un/σUBS(σ)是形式σUBS(σ)=xmχ(n)m(t,t,x,y)-σ√2τMHM(ζ）,(3.12)的整数和，其中ζ和τ如引理3.4所示。coe-cientsχ(n)m(t,t,x,y）是x和y的显函数，在时间变量中包含迭代积分。如果迭代时间积分可以显式计算，则χ(n)m(t，t，x，y)在所有变量中都是显式的。从方程（2.25）和注记3.2我们观察到，对于d=1,2gi(t,s）u:=ai(s,Mx(t,s）,My(t,s））(x-x)uBS(σ)。对于波动率因子为d-1的一般LSV模型，我们得到了vemy(t,s）=(My(t,s）,My(t,s）,My(t,s）。..,myd-1(t，s))。因此，利用定理2.6我们得到了(t)σuBS(σ)=ln(t，t)(x-x)uBS(σ)=eln(t，t)(x-x)，(3.13)其中eln(t，t)=nxk=1zttdtzttdt··zttk-1dtkxi∈In,kGi(t，t)··gik-1(t，tk-1)aik(s，Mx(t，tk)，My(t，tk))。（3.14）teln(t，t)是c李尔）是一个关于x和y的导数的di-ertial算子，并且依赖于(t，t，x，y)的hascoe-cients。注意到对于所有m≥1的myubs(σ)=0，从（3.13）中可以清楚地看出，un/σuBS(σ)在形式mun(t)σuBS(σ)=xmχ(n)m(t,t,x,y)mx(x-x)uBS(σ)(x-x)uBS(σ)。（3.15）方程（3.12）由等式（3.15）和引理3.4得出。由于(χ(n)m)依赖于生成元a(t)的coe-cients和多项式展开式（An(t)）的选择，所以Coe-cients(χ(n)m)的seq ue nc e必须在cas e的逐个基础上得到。从命题ns 3.5和3.6可以明显看出，只要（3.14）中的迭代时间积分可以显式计算（多项式展开式（An(t)）中的Coe）在时间上是分段多项式时总是这样），则（3.9）中的每个项都可以计算，而不需要数值积分或SP-ecial函数，序列(σn)n≥1中每个σn的显式表达式可以手工计算。然而，由于项数g与n很快就行了，因此使用计算机代数程序（如Wolfram的Mathematica）是有帮助的。在附录C中，我们给出了对于n≤2的σn的显式表达式。A(t)的COE}CIE nts被展开为泰勒级数，如示例2.3所示。在作者的网站上，我们还提供了Mathematicanotebooks，其中包含了第5节所述LSV模型中n≤4时σn的表达式。当无风险利率是时间r(t)的确定性函数时，上述隐含波动性结果与k→k-rttr(s)ds一致。4泰勒展开式的渐近误差估计本节我们对第2节讨论的Cauchyproblem(2.2)的近似解以及第3节提出的隐含波动性的短期误差估计给出了点。在本节中，我们将假定t>0andn∈narefixed，(2.6)中的算子a(t)的COE满足以下假设：假设4.1。存在一个常数M使得：i）U niform椭圆度:m-1ζ<dxi,j=1aij(t,z)ζi,j<Mζ,t∈[0,t],z,ζ,Rd.ii）正则性和有界性:coe的aij，ai∈C[0,t]×Rd和aij(t,·),ai(t,·)∈CN+1(Rd),其所有阶偏导数均以M为界,关于t∈[0,t],在假定4.1下,已知a(t)存在一个基本解λ(t,z；t,ζ）,它是Cauchy问题（2.2）的一个公式。

等价地，对于任意T∈]0,T[和任意最多为指数增长的可测函数，向后抛物型Cauchy问题（2.2）允许唯一经典解u,它已知byu(T,z)=ZrDγ(T,z；T，ζ）dζ,T∈[0,T[,z∈RD。（4.1）另外，利用Feynman-Kac表示定理，函数γ(t,z；t,ζ）也是由A(t)生成的随机过程的转移密度。注4.2。假设4.1可以大大放宽。Pagliarani a nd Pascucci(2014)最近推广了主要结果（定理4.5a、nd推论4.6)，以包括数学中的大多数流行模型（如C EV、Hesto n、SABR、three-halves等）。现在考虑示例2.3中讨论的泰勒多项式展开式。明确指出对扩展点z的依赖关系将会很有帮助。特别地，对于任意的z∈Rd，我们考虑了polyno mialproteman(A(z)n(t))0≤n≤n，给定byA((z)n(t,z)A((z)n(t)):=xα≤2A(z)α,n(t,z)dαza((z)α)，n(·,z)=xβ=ndβzaα(·,z)β！(z-z)β,n≤n,(4.2)。我们分别定义了γ和u的N阶Taylor近似，其中心点为(z)N(t,z):=nxn=0u(.z)N(t,z,t,ζ）,(4.3)其中函数SU(.z)N(t,·)=L(.z)N(t,t)u(.z)(t,·),γ(.z)N(t,t)u(.z)(t,·),γ(.z)N(t,t)u(.z)(t,·),t，ζ=L(.z)N(t,t)'A(.z)N(.z)N(.z)(t,·),（4.4）如定理2.6所给出。请注意，对于一个被修改的T，u(.z)是被修改的，如由（4.4）修改的标记。还要注意，我们再次使用了上面的上标z来强调对taylorexpansion初始点的依赖。对于特定的选择(z=z)，我们给出以下定义：定义4.3。对于给定的成熟日期T，我们分别给出了u和ζ的N阶泰勒近似，即u(T，z):=u(z)N(T，z)，γN(T，z；T,ζ）:=μ(z)N(T，z；T,ζ），(4.5)，其中u(z)N(T，z)和μ(z)N(T，z；T,ζ）如(4.3)-(4.4)中所述。现在，我们给出了隐含波动扩展N的类似定义。正如我们在第3节中所做的那样，我们使用记号(x，y)∈R×RD-1来表示Rd中的一个点，因此我们将x从所有其他分量中分离出来，以便将对数价格从所有其他变量中区分出来（例如。varianc e过程，vol-vol工艺，对于到期日为T且对数罢工为k的看涨期权，我们将隐含波动率σ的N阶泰勒近似以(x，y)∈R×RD-1为中心，为σ(x，y)N(T,x,y,k):=σ(x，y)(T)+nxn=0σ(x，y)N(T,x,y,k)，T<T，(x，y)∈R×RD-1,(4.6)，其中，为了清楚起见，我们回忆σ(x，y)(T)=st-tztta(2,0,...,0)(s,x，y)ds,(4.7)σ(x，y)N(T,T,）x,y,k)=u(\'x,y）N（T,x,y,k)σubsσ(\'x,y）(T)；t-t,x,k-n！nxh=2bn,h1！σ（x,y）,2！σ（x,y）,。.，(n-h+1)！σ（x,y）n-h+1×hσubsσ(x,y）(t)；T-T,x,K-σUBSσ((x，y)(T)；t-t,x,k,n≥1,(4.8)u(\'x,y）n（T,x,y,k)=L(\'x,y）n（T,T）u(\'x,y）（T,x,k）=L(\'x,y）n（T,T）uBS(σ(\'x,y）(T)；t-t,x,k）。（4.9）几个音符是有序的。首先，我们将参数k添加到函数u(_x,_y）n中，以指示其依赖于日志罢工。如（4.9）所示，到期日T的函数u(_x,_y）ndepe nds。第三，在序列不过，为了清楚起见，我们没有用Bn，H1写所有这些论点！σ（x,y）,2！σ（x,y）,。.，(n-h+1)！σ(_x，_y)n-h+1。第四，我们再一次用上标(x，y)明确地指出了泰勒展开式对初始l点的依赖关系。对于特定的选择(x=x和y=y)，我们进行以下识别：识别4.4。

对于具有lo g str ike k和ma turity T的看涨期权，我们将隐含波动率σ的N阶泰勒近似定义为σN(T,x,y,k):=σ(x,y)N(T,x,y,k)，(4.10),其中σ(x,y)N(T,x,y,k)定义为(4.6)-(4.7)-(4.8)-(4.9)。4.1转移密度的误差估计和pric以下定理为err提供了一个渐近点态估计，即T→t-或通过用N阶r近似代替精确的转移密度来引入。定理4。5.设假设4.1成立，且设0<T≤T，则对于任一ε>0，我们有γ(T,z；T,ζ）-'Aγn(T,z；T,ζ）≤C(t-t)N+1àm+ε(T,z；T,ζ）,0≤T<T,z,ζ,Rd,(4.11),其中(γn(T,z；T,ζ）如(4.5)中所规定的，γm+ε(T,z；T,ζ）是热算符Hm+ε=(M+ε)dxi=1zi+T,(4.12)的基本解，C是只依赖于M,N,T和ε的正常数。结合m4.5和(4.1)我们得到了定价误差u(T,z)-un（T,z）的渐近估计。推论4.6。在定理4.5的假设下，对于任意0<T≤T,ε>0，我们得到u(T,z)-un（T,z)≤C(t-t)N+1 zrdàM+ε(T,z）；T,ζ）=(ζ）dζ,0≤T<T,z∈rd.（4.13）,其中un（T,z）如（4.5）所示。定理4.5的证明依赖于以下高斯估计（参见Friedman(1964),第1章）。引理4.7.设A(T)是满足假设4.1的双列算子，且设γ=γ(T,z；T,ζ）是对应于A(T)的基本解，则对于任意ε>0和β，γ∈nd，且γ≤N+3，我们有(z-ζ）βdγzà(T,z；T,ζ）≤C(t-t)β-γm+ε(T,z；T,ζ）,0≤T<T≤T,z,ζ,Rd,（4.14）,其中γM+ε是热算符（4.12）的基本解，C是一个正常数，它只依赖于M、N、T、ε和β。我们需要以下初步估计（参见（Lorig et al.，2013,引理6.23））引理4.8。在定理4.5的假设下，对于n≤n，Δ>0的任意n∈n，并且对于任意β∈Nd，我们有dβz~n(_z)n(t，z)≤C(t-t)n-β1+z-\\zn(t-t)-nàm+ε(t,z；t,ζ）,(4.15)对0≤t<t≤t,z,ζ,z∈rd成立。这里，函数γM+ε是热算符（4.12）的fu ndamental解，C是一个正常数，它只依赖于M、N、T、ε和β。定理4.5的证明。从（Lorig et al.，2013,定理3.8）中，对于任何给定的T≤T，(2.17)-(2.18)给出的函数(u(z)n)n≥1可以等价地定义为下列嵌套热型Cauchy问题序列的唯一非快速增长解:T+A(z)(T)u(z）n(T,z)=-nph=1A(z)h(T)u(z）n-h(T,z)，T<T,z∈Rd，u(z）n(T,z)=0,z∈Rd。（4.16）本文直接从（Lorig et al.，2013,定理3.10）中得到。为了完整性，我们在这里提供了Lorig等人给出的证明的草图。（2013年）。通过（4.16）可以很容易地证明:v(.z):=u-u(.z)n解(t+A(t))v(.z)(t,z)=-npn=0(A(t)-A(.z)n(t，z))u(.z)n-n(t,z)，t<t,z∈Rd，v(.z)(t,z)=0，z∈Rd，其中我们已经定义了A(.z)n(t)=nxi=0A(.z)i(t)。因此，通过Duhamel原理，我们得到u(t,z)-un(t,z)=ztzrdà(t,z）；s,ζ）nxn=0A(s)-[A(z)n(s)\\u(z)n-n(s,ζ）dζds,t<t,z∈rd。现在，通过（4.2）我们有(A(s)-[A(z)n(s))u(z)n-n(s,ζ）≤xα≤2A(z)α(s,ζ）-nxi=0A(z)α，n(s,ζ）=xα≤2Aα(z)n-n(s)=xα≤2Aα(z)n-n(s)-nxi=0xβ=ndβzaα(s,z)β！(ζ-z)βdαζu(z)n-n(z)n-n(s,ζ）≤mζ-Zn+1 xα≤2dαζu(z)n-n(s,ζ）,其中最后一行是假设4.1中的假设(ii)关于Coe_cient(Aα)α≤2。