风险度量重要抽样估计量的中等偏差

假定定理4.2的假设是充分的。然后，用速度λ-2与速率函数bnγp,q((Twn)-1)-γp,q(t-1)=R中的LDP,wq,p(z)=z2σq,p(w),z∈R(4.4)引理4.6。在定理4.3的假设下，序列{bn(γqm，p((Twn)-1)-γqm，p(t-1))}是{bn(γp((Twn)-1)-γp(t-1))}的指数良好逼近。引理4.5和4.6在第5章中得到了证明。本节的主要结果定理4.3的证明是引理4.5和4.6的简单组合；下面基本上是对上述提纲的简明重申。定理4.3的证明。由引理4.6{bn(γqm，p((Twn)-1)-γqm，p(t-1))}是{bn(γp((Twn)-1)-γp(t-1))}的指数良好近似。利用文[9]引理4.5的大偏差原理和定理4.2.16，序列{bn(γp((Twn)-1)-γp(t-1))也满足R中的LDP,且速度为λ-2n。关联速率函数isIwp(z)=supδ>0lim infm→∞infy∈Bz,δiwqm,p(y),14 p.nyquist，其中Bz,δ={x∈R:x-z<δ}。由（4.4）给出了与该序列相关的速率函数Iwqm，p，它如下:wp(z)=supδ>0lim infm→∞infy∈bz,δy2σqm,p(w)=supδ>0infy∈bz,δy^lim supm→∞σqm,p(w)=z(lim supm→∞σqm,p(w))-1。在假设(A1)-(A4)，lim supm→∞σqm,p(w)=σp(w)的情况下，Iwqm，p=z2σp(w),且速率函数为indeedivp(z)=z2σp(w)。辅助结果的证明在本节中，对引理4.5和4.6进行了证明。引理4.5是由定理2.3的应用而得到的分位数过程的结果。引理4.6的证明是关于第四节讨论的过程的某些维版本的LDP的指数b界的证明。引理4.5的证明。映射γq，p(Twn)-1)是线性的，因而在t-1处是Hadamard dierential，其导数是ma p(t-1，γp(t-1)。根据链式规则，映射Twn7→γq，p((Twn)-1)也是Hadamard dierentialy，它是线性的，因此在t-1处是Hadamard dierentialy，γq，p(Twn)-1)也是Hadamard dierentialy，γq，p(Twn)-1)。Hadamard可扩展性与C推论4.1aND定理2.3一起得到了{bn(γp,q((Twn)-1)-γp,q(t-1))}的LDP,spee dλ-2n。结合率函数isIwq,p(z)=infni'A(η):η∈m'A，0b,pzpqη(·>t-1(u)}w)f(t-1(u))du=zo,z∈r(5.1)可以得到Iwq,p的显式表达式，与引理4.6的证明相同类型的凸优化参数。一是请注意，对于一个测度Eη，使得h=dη/dL(R),v)，zpqη(·>t-1(u)}w)f(t-1(u))du=zpq z∞t-1(u)w(x)h(x)f(t-1(u))v(dx)du=z∞t-1(p)zpt(x)üqw(x)h(x)f(t-1)(u)du'A(dx).重要抽样中的经验过程15此外，由于密度f是连续的和严格正的，所以区间[q,p],z∞t-1(p)zpt(x)üqw(x)h(x)f(t-1)(dx)(dx)=z∞t-1(p)w(x)h(x)v(dx)+zt-1(q)t-1(p)(x-t-1(p))w(x)h(x)v(dx)，z∞t-1(q)t-1(p)(x-t-1(p))w(x)h(x)v(dx)进入优化问题线性约束。为了简洁起见，我们省略了优化过程的细节，并且我们强调，如果约束被重写如上，与引理4.6的证明的相应部分相比，没有额外的限制。进行优化得到了Iwq,p(z)=z2σq,p(w)。引理4.6的证明。对于任一δ>0且给定的0<qm<p，考虑pbnγp((Twn)-1)-γp(t-1)-(γqm,p((Twn)-1)-γqm,p(t-1))≥δ=pbnp zqm(Twn)-1(u)-t-1(u)\\du≥δ.根据[19]中3.4的命题证明，给出了该概率的上界，即pbnp–1(qm)≥δ(5.2)+p BNP Z∞t-1(qm)(Twn(x)–T(x))Dx≥δ(5.3)+p BNPTWN(t-1(qm))(Twn)–1(qm)–t-1(qm)≥δ。（5.4）我们声称，(5.2)-(5.4)中的每一个从ab到ove都有一个指数术语的界，该术语在对数尺度上给出了正确的行为。后者是指(5.2)-(5.4)中的每一个都有一个指数项（单独）的界，该项依赖于m。因此，当取对数并与λ-2n相乘时，n→∞的极限可以随心所欲地变为负值。

这样的指数b界来自于相应随机变量的大偏差结果。首先考虑（5.2）。量子过程的LDP的一维形式是{bn((Twn)-1(qm)-t-1(qm)}满足LDP,它遵循16 p.nyquistatp bnqmp(Twn)-1(qm)-t-1(qm)≥δ=expn-λnκ(qm,pδ/4)+o(λn)o,其中κ(qm,δ)=infni'A(η):η,0b,qmη(I{·>t-1(qm)}w)f(t-1(qm))≥δo。根据推论4.1和定理2.3，序列{bnr∞t-1(qm)(Twn(x)-T(x))dx}满足速度λ-2 nand速率函数的LDP,I(z)=infni'A(η):η∈m'A，0b,z∞f-1(qm)η(I{·>x}w)dx=zo，z∈r.该LDP蕴涵着tp bnp z∞t-1(qm)(Twn(x)-T(x))dx≥δ=expn-λnκ(qm,pδ/4)+o(λn)o,其中κ(qm,δ)=infni'A(η):η∈m'A，0b,z∞t-1(qm)η(I{·>x}w)dx≥δo。最后考虑（5.4）。上限为：p bnptwn(t-1(qm))(Twn)-1(qm)-t-1(qm)≥δ≤p bnp Twn(t-1(qm))-qm)×(Twn)-1(qm)-t-1(qm)≥δ(5.5)+p bnqmp(Twn)-1(qm)-t-1(qm)≥δ。（5.6）用δ/8代替δ/4的概率（5.6）为(5.2)，可按s ame方法精确处理。为了导出(5.5)定义的一个上界，对于某个参数>0，事件am={Twn(t-1(qm))-qm≥±qm}。然后，P BNP Twn(T-1(qm))-qm)×(Twn)-1(qm)-T-1(qm)≥δ=P BNP Twn(T-1(qm))-qm)×(Twn)-1(qm)-T-1(qm)≥δ，AM+P BNP Twn(T-1(qm))-qm)×(Twn)-1(qm)-T-1(qm)≥δ，右边的第二项从上界为p bnp Twn(t-1(qm))-qm)×t-1n，v(qm)-t-1(qm)≥δ，acm≤p bnqmp t-1n，v(qm)-t-1(qm)≥δ8重要抽样中的经验过程17，因为x只是一个c，这个概率与（5.2）相同。此外，p bnp Twn(t-1(qm))-qm)×(Twn)-1(qm)-t-1(qm)≥δ，am≤p qm Twn(t-1(qm))-qm)≥.由于bn→∞和qm→0为m,n→∞,因此对于每一个m,对于所有n≥nm，有一个nmsuchbn≥q-1m.因此，取n个su,p qm twn(t-1(qm))-qm)≥≤pbn twn(t-1(qm))-qm)≥0。序列{bn twn(t-1(qm))-qm}满足R中的LDP,速度λ-2 nandrate函数I(z)=inf I'A(η):η∈m'A，0b,η(I{·>t-1(qm)}w)=z,z∈R。因此，p bn twn(t-1(qm))-qm)≥ε=exp-λnκ(qm，c)+o（pn twn(t-1(qm))λn),其中κ(qm,δ)=inf I'A(η):η∈m'A，0b,η(I{·>t-1(qm)}w)≥δ。对于I=1,2,3且任一δ>0,κI(qm,δ)→∞asm→∞。这是通过求解变分问题得到κI的明确表达式，然后使用ass Umements(A1)-(A4)来实现的。对于κ，注意(qm/f(t-1(qm)))γ(I{·>t-1(qm)}w)≥δ意味着左手边也是正的且≥δ，或者是负的且≤-δ；对于κ、κ，也是如此。因此，每一个变分问题都涉及到带凸约束的凸泛函的极小化。关于凸优化和拉格朗日乘子s的更多背景知识，请参见例如[22]。我们概述了关于κ的方法，剩下的两种情况将完全处理，因此省略细节。首先，注意唯一感兴趣的测度η∈MB是那些满足η的测度。根据Radon-Nikodym定理，每一个η都存在一个非Ne加蒂函数h，使得η(dx)=h(x)v(dx)。因此，最优化问题可以是L(R，v)中的函数，这样在(supp(v))C上tH=0。在大偏差分析中，这些函数与一个概率相关。目前，leth表示任意η的Radon-Nikodym导数关于抽样分布的Radon-Nikodym导数。首先取第二个（不等式）c为(qm/f(t-1(qm)))r∞t-1(qm)w(x)h(x)v(dx)+δ≤0。然后，用凸优化的语言，我们所关心的问题是最小化Hzh(x)v(dx),主题是zh(x)v(dx)=0,qmf(t-1(qm))z∞t-1(qm)w(x)h(x)v(dx)+δ≤0.18p。对于常数λ,λ,拉格朗日L byL(h)=zh(x)v(dx)+λzh(x)v(dx)-0+λz∞t-1(qm)qmw(x)h(x)f(t-1(qm))v(dx)+δ。

为了解决最小化问题，我们注意到:Limπ→0L(h+πg)-L(h)=ZG(x)h(x)'A(dx)+λZG(x)'A(dx)+λZ∞t-1(qm)qmg(x)w(x)f(t-1(qm))v(dx)=ZT-1(qm)-∞g(x)(h(x)+λ(dx)+Z∞t-1(qm)g(x)h(x)+λ+λw(x)f(f-1(qm))v(dx)。对于g∈L(R,ρ)它必须满足(x)=(-λ，在(-∞,t-1(qm))'Asupp('A),-λ-λqmw(x)f(t-1(qm)),在(t-1(qm))，∞)supp('A)。第1个约束条件用等式表示，给定:0=zh(x)'A(dx)=-λzt-1(qm)-∞(dx)+z∞t-1(qm)-λ-λw(x)f(t-1(qm))'A(dx)=-λ-λqmf(t-1(qm))。即λ=-λqmf(t-1(qm))(λ=-λqmf(t-1(qm)).（5.7）类似地，第二个约束产生了-δ=z∞t-1(qm)qmw(x)h(x)f(t-1(qm))v(dx)=qmf(t-1(qm))z∞t-1(qm)-λ-λqmw(x)f(t-1(qm))w(x)'A(dx)。在一些代数之后，使用(5.7)，λ=δqmf(t-1(qm))e'A[w(x)I{x>t-1(qm)}]-qm。（5.8）在h表达式中插入（5.7）和（5.8）并计算L(h)给出最佳值。当第二个约束条件为δ-(qm/f(t-1(qm)))R∞t-1(qm)w(x)h(x)v(dx)≤0时，pr OCEED也是如此。结果表明，在重要抽样中的经验过程19，这个最小化问题具有相同的最优值，即κ.κ(qm，δ)=δf(t-1(qm))qm(E'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]-qm)。按照对κ、κ、κ(qm，δ)=δt-1(qm))e'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]-2t-1(qm)e'A[xw(X)I{X>t-1(qm)}]+e'A[xw(X)I{X>t-1(qm)}]-(e'A[X{X>t-1(qm)}]-(qm)}]-(e[X]{X>t-1(qm)}]-qm-1(qm))和m,δ)=δe'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]-qm。最后，我们必须验证假设(A1)-(A4)对于κI(qm，δ)→∞确实是su-cient，如m→∞,I=1,2,3。由于f(t-1(qm))qm(e'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]-qm)-1=qme'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]f(t-1(qm))-qmf(t-1(qm))通过(A2)和(A4)收敛到0，因此逆e作为m→∞而收敛到∞。这是κ.的ta kescare。此外，κ-分母中的每一项要么等于或从上面被eyen[xi{X>t-1(qm)}]和e'A[xw(X)I{X>t-1(qm)}]中的一个限定。μ_nite(μ_nits)和μ_nite(μ_nits)二阶矩的加和(A1)和在ρ_nether下的加权二阶矩的假设(A3)意味着当m→∞时，这两项都收敛于0。因此，分母收敛于0和κ(qm，δ)→∞为m→∞。因此，对于任意K,δ>0,对于所有m≥mk,可以选择一个整数mk<∞suchthatlim supn→∞λnlog p bnp zqm((Twn)-1(u)-t-1(u))du≥δ≤-K。这就完成了证明。感谢我的顾问Henrik Hult进行了有价值的讨论，提出了有见地的意见和建议，也感谢他在整个工作过程中不断的鼓励。他对初稿的反馈对这部手稿有很大的改进作用。参考文献[1]M.A.Arcones。经验过程的适度偏差。随机不等式及其应用，第189-212页。P.Robab.,56,Birkh-auser,Basel,2003。MR2073434[2]J.H.Blanchet和P.W.Glynn。e-cient稀有事件模拟的最大重尾随机游动。安。APPL的。问题，18(4)，1351-1378，2008。MR2434174[3]J.H.Blanchet,P.W.Gl Yynn,K.Leder.重要抽样前的Lyapunov不等式及其解。ACM反式。模特。康普特。Simul.,22（3）,1104-1128,2012.20 P.Nyquist[4]J.H.Blanchet,J.Liu.r个规则变化随机游动的状态相关重要性抽样。在APPL。问题，40(4)，1104-1128，2008。Mr2488534[5]A.A.Borovkov和A.A.Mogul\'skié。拓扑空间中大偏差的概率。西比RSK。垫子。[1],21（5）,12-26,189,1980。Mr0592213[6]A.德·阿科斯塔。Markov链empir测度的中偏差：下界。ANN。probab.25(1)，259-284,1997。MR1428509[7]A.de Acosta和X.Chen。马尔可夫链经验测度的中等偏差：上界。J.定理。《案例》，11(4)，1075-1110，1998。MR1660920[8]P.Del Moral,S.Hu,L.Wu.M oderate平均粒子模型的偏差。预印本，ARXIV:1204.3308，2012年。[9]A.Dembo和O.Zeitouni。大偏差技术与应用，第2版。

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