风险度量重要抽样估计量的中等偏差

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摘要翻译：
重要性抽样已成为计算尾部风险测度的重要工具。由于这些量通常主要由稀有事件确定，标准蒙特卡罗方法可能效率低下，而重要性抽样提供了一种加快计算速度的方法。本文考虑了在重要抽样中产生的加权经验过程（加权经验度量的过程模拟）的适度偏差。建立了适度偏差原理，作为已有结果的推广。利用Gao和Zhao（Ann.Statist.，2011)建立的大偏差delta方法和经典的大偏差技术，将加权经验过程的中等偏差原理推广到与风险度量相对应的加权经验过程的泛函。主要结果是一个分布的分位数函数的重要性抽样估计量的中等偏差原理和期望缺口。
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英文标题：
《Moderate deviations for importance sampling estimators of risk measures》
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作者：
Pierre Nyquist
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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英文摘要：
  Importance sampling has become an important tool for the computation of tail-based risk measures. Since such quantities are often determined mainly by rare events standard Monte Carlo can be inefficient and importance sampling provides a way to speed up computations. This paper considers moderate deviations for the weighted empirical process, the process analogue of the weighted empirical measure, arising in importance sampling. The moderate deviation principle is established as an extension of existing results. Using a delta method for large deviations established by Gao and Zhao (Ann. Statist., 2011) together with classical large deviation techniques, the moderate deviation principle for the weighted empirical process is extended to functionals of the weighted empirical process which correspond to risk measures. The main results are moderate deviation principles for importance sampling estimators of the quantile function of a distribution and Expected Shortfall.
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关键词：风险度量 估计量 风险度 Applications distribution

风险度量的重要性抽样估计量的适度偏差。重要性抽样已成为计算尾部风险测度的重要工具。由于这些量通常主要由r是事件来确定，标准蒙特卡罗法可以有效地提高计算速度，而预测抽样提供了一种加快计算速度的方法。本文考虑了重要性抽样中加权经验过程的过程模拟量--加权经验过程的中等偏差，建立了中等偏差原理，作为已有结果的推广。利用Gao和Zhao（Ann.Statist.，2011)建立的大偏差delta方法和classi cal大偏差技术，将加权经验过程的模型偏差原理推广到与风险度量相对应的加权经验过程的函数。主要结果是关于分布分位数函数的重要抽样估计量的中等偏差原理和期望短值。重要性抽样已经成为ma king Monte Carlo模拟的常用工具。特别是当用于估计由罕见事件决定的大量时。从系统的原始动力学出发，在考虑的情况下，根据测度的距离定义了一种重要抽样算法，其思想是，在新的动力学下，对于数量o ne的重要事件试图更频繁地估计willoccur。由于测量值可能发生许多变化，因此选择哪一个是模拟算法就变得非常重要。在金融学和精算学中，常用风险值和预期缺口等度量方法来量化风险。这些和其他风险度量都依赖于损失分布的尾部，除了非常简单的模型外，没有精确的公式。因此，在蒙特卡罗方法中的随机模拟也成为计算这类量不可缺少的方法。许多风险度量可以表示为损失分布的泛函。当这些函数主要由稀有事件决定时--在这种情况下，事件位于分布的尾部--标准蒙特卡罗的计算成本可能太高，不适于实际使用。为了减少计算成本，同时保持所需的准确性，重要性采样日期为2018年10月9日。2010年数学学科分类。初生60F10、65C05；中学62F12,62P05。关键词和短语。大偏差，中等偏差，经验公关，进口抽样，蒙特卡罗，风险度量。2 P.NYQUISTa可行的替代方案。为了估计概率，或者更确切地说，估计期望，一个算法的e-ciency用结果估计量的方差来表示。在研究这些问题方面做了大量的工作。一种成功的方法是将估计问题与一个随机对策联系起来，并研究了acco mpanying Isaacs方程的子解，例如[12,13]这方面的一些早期工作。所谓的Lya punov不等式[2-4]提供了分析e的途径。然而，在研究分位数和其他ris k度量的计算方面所做的工作还很少。值得注意的例子有[16]和[17]，其中研究了分位数的重要抽样估计。由于风险度量在分布中通常是非线性函数，估计量通常是有偏差的。

因此，方差不再是分析模拟算法的标准度量。在文献[19]中，从经验过程的角度研究了重要性抽样算法。建立了与已知风险模型的重要抽样估计相关的经验过程的中心极限定理。所考虑的风险度量值为风险价值和预期缺口。作为中心极限定理的一个测度，作者在稀有事件极限中研究了中心极限定理中极限随机元的性质。[19]的主要内容是对应于基础加权经验测度和delta方法的经验过程的一个中心极限定理（见例[24])。本文通过从大偏差的角度研究相同加权经验过程，对[19]的中心极限定理进行了补充。这些结果被称为中等偏差，它们是在中心极限定理和大偏差原理之间的中间尺度上概率的渐近性。适中的偏差使dd达到中心极限，这是因为它们刻划了收敛速度，并提供了如何构造渐近区间的信息。因此，在考虑统计估计时，中偏差性质的研究是一个长期的问题。本文的主要结果分别是分位数函数的重要抽样估计和期望缺口的中偏差。作为一个结果，在[25]和[20]的基础上，我们得到了对重要采样中产生的加权经验测度作出反应的经验过程的大偏差原理（或简称中等偏差原理），这是[25]和[20]的结果对加权经验测度设置的一个相当直接的推广。利用这个推广，证明了中等偏差原理对于分位数函数和期望缺口的重要抽样估计量是成立的。除了加权经验过程的中等偏差原则外，主要的工具是[15]中建立的大偏差的delta方法。然而，对于期望偏差，仅用delta方法是不够的，需要更详细地考虑估计量的渐近性，并利用指数逼近得到中等偏差原理。本文旨在为一般重要性抽样算法建立相应的中等偏差结果，并将其应用于分位数和期望缺口的情况。具体的实例分析的具体算法将在其他地方介绍。经验过程的重要性抽样3经验过程的适度偏差是一个相当好的研究课题。一般文献[1,5-7,20,25]。另见[15]和其他参考文献。用标准蒙特卡罗预测，结果有一些中等偏差。例如，除了建立大偏差的delta方法，[15]研究了几种常见估计量的模式率偏差。在[14]中，作者研究了期望缺口的渐近性态，其中一个结果是中等偏差原理。对于随机模拟方法来说，相对于标准的蒙特卡罗模拟方法，关于中等偏差的文献似乎更少。在相当长的一段时间里，平均相互作用粒子模型已经被广泛地研究与随机模拟有关。在此背景下，一项开创性的工作是[10]研究了粒子填充的适度偏差，最近[8]研究了一大类平均ld型相互作用粒子模型的适度偏差。

文献[18]给出了进口抽样中的加权经验测度的最大偏差结果，并将其应用于重要抽样分析中。本文可以看作是该工作的经验过程模拟。第2节介绍了本文所用的记号，并给出了经验过程和大偏差的必要背景。第三节讨论了重要性抽样与经验过程之间的联系，并对重要性抽样中产生的加权经验过程给出了模式率发展原理。这一结果在第四节中得到了对分位数函数和期望缺口的估计量进行重要抽样的适度devia原则。Se吸力5.2中给出了用于第4节结果的一些辅助结果的证明。预赛2.1.记谱法。整篇论文（E,E）表示一个可测空间。M=M(E)和Mb=Mb(E)分别表示E上概率测度的空间和s在E上变化的测度的步长。对于v∈Mbdenoteby mc，0b测度η∈Mb，使得η'A，η(E)=0的子集。对于（E,E）上的任一测度η，p≥1，Lp(E,η)是可测实值函数f的空间，使得(Rfpdη)1/p<∞。对于函数f:E7→R，supp(f)表示f的支持度，对于测度也是如此。当F是集合函数时，supp(F)是最小的可测集，使得supp(F)+supp(F)在F∈F之前。特别地，如果并是可测的，则supp(F)=@F∈fsupp(F)。对于可测集A，设AOAND A有选择性地表示A的内部和闭包。设{λn}是一个增序列，使得λn→∞且λn=o(√n)为n→∞。对于两个实值函数f a nd g,f=o(g)和f'Ag分别表示f(x)/g(x)tendsto0和1为x→∞；序列S也是如此。设bn=√n/λn。利用序列{λn}的性质，Bn→∞a s n增长。在整个过程中，大偏差和中等偏差是交替使用的，而中等偏差原则是大偏差原则的解释，具有确定的速度和sca ling。技术结果，虽然通常被称为中等偏差原则，但被称为大偏差原则。经验过程。设X,X,...是独立同分布的r个随机变量，在E中取值时，其规律为μ∈M,对于4p.NYQUISTn≥1,则对应于n个随机变量的经验测度为μn=nnxi=1δxi,其中δX表示X处的单位点质量。与μ相关的数量的蒙特卡罗时间是基于这一系列经验度量。例如，函数f在μ下的themean是es tima ted byμn(f)。根据大数定律，当n→∞时，经验矩阵在弱拓扑中收敛到μ，概率为1。设F是一类可测函数F,使得F∈L(E,μ)和，foreach x∈E，sup{F(x):F∈F}<∞。此外，设全有界函数F:F7→R的spac e为全有界函数F:F7→R的spac e。该spac e具有超范数F F=sup{F(F):F∈F}。对于任意x∈E，f(x)f=sup{f(x):f∈f}，这将会有一个小小的错误。对于（E,E）上的每一个参数η，存在一个对应于ηF(F)=η(F)=Zefdη,F∈F的响应元素ηF∈∞(F)，特别地，存在一个对应于经验测度的元素ηfn∈∞(F)。为了便于标注，只要上下文清楚，上标就会被删除。如果对所有x∈E,s upf∈FF(x)-μ(f)<∞,则由ζn(f)=√nμn(f)-μ(f)-,f∈f给出的经验过程ζn可以看作是一个映射到π∞(f)的映射。为了使可测性问题的讨论最小化，经验过程的较大偏差结果一般用外概率和内概率表示（见下文）。

在第N4节中，当c与分布的尾部e相关时，我们用所有球和坐标投影所能化的σ-代数g给出了σ∞（F）的配准条件，并给出了配准条件下配准条件下的配准条件下配准条件下配准条件下配准条件下配准条件下配准条件下配准条件下配准条件下的配准条件。这与[15]中所采用的方法是一致的，并确保了必要的可测性（见[24]，1.7)。在此基础上，对所涉及的随机变量或σ-代数的可测性不作明确的假设，其余的结果将用外概率和内概率来解释。在定理2.1、3.1和3.3中，对于ageneral类F,假定了过程的可分性。这只是为了保证可度量性，对于风险度量的应用程序，所提到的特殊σ-代数的用途解决了这一点。关于经验过程和一般的Banach空间值随机变量的可测性的更多细节见[11,21,2 4]和其中的参考文献。大偏差。本文讨论了某些经验过程的大偏差问题。为了引入这个概念，必须引入[24]第1.2节所述的外积分和内积分以及外概率和内概率的概念。让(Ω，F,P）是一个任意概率空间，E是与P有关的期望算子，T是一个ar双元映射。T关于P的外积分是可测的，T关于P的外积分是可测的，E[U]=inf{E[U]:U≥T,U:Ω7→[-∞,∞]是可测的，E[U]是存在的。Ω的任意子集B的外概率被定义为P(B)=inf{P(A):A B,A参见[24]第1.2节及以后。对于某些度量空间X，考虑一个概率空间序列(Ωn，Fn，Pn)，映射Xn:Ωn7→X，假设I:X7→[0，∞]是紧水平集下半连续的。则{Xn}满足X中的大偏差原理(LDP)，速度为c-1n，其中{cn}tur+和cn→∞,速率函数Iif,对于任何可测集A~(X)，-infx∈aoi(X)≤lim infn→∞cnlog pn*(Xn∈A)≤lim supn→∞cnlog p*n(Xn∈A)≤-infx∈ai(X)。在不存在任何mea可获得性问题的情况下，pn*和p*n被pn替换。Sanov定理([9],定理6.2.10)指出，经验度量序列{μn}满足M中的LDP,具有τ-拓扑，速度为n-1和速率函数由相对熵H(·μ)给出。如文[25]所述，序列λ(n)ζno=nbn(R)n(R)o，用τ-拓扑表示Mb中的LDP,s peedλ-2 n和ratefunctioni(R)(η)=r dηd(R)d(R)，如果η∈M(R)，0b，+∞。本文的关键结果是文[25]所建立的，它涉及基于独立且相同分布的随机变量序列的经验过程的DP。在实际生产过程中，LDP也被称为中等偏差原则(MDP)。设D:F×F7→R表示F上的伪度量，给定byd(F，g)=z(f-g)dμ，F，g∈F。可以理解，如果参考测度改变，则Iμ、dare的定义也相应改变。定理2.1（参见[25],定理5）。假定F是一类函数inL(E,μ),且存在常数a≥1和δ∈(0,1）,使得对于所有整数n，k≥1,λnk≤ak-(δ-1/2)λn。（2.1）然后，{(bn(μnTM)}证明了速度λ-2nandrate泛函(G)=infniTM(η):η∈MbandηF=G，在Fo,G∈∞(F)，(2.2)当且仅当以下三个条件满足:(i)(F，d)是t,(ii)bn(μnTM)→0,(iii)存在M>0使得对于所有u>0,lim supn→∞λnlog nμ(F(x)F>uλn"an)≤-um。（2.3）6 P.NYQUISTRemark 2.2。上述公式与文[25]中定理5的公式是条件（2.1）和（2.3）的形式。

紧扣[20]为证明提供了主要论证，建立LDP的必要条件和最基本的条件确实是（2.1）和(2.3)，而不是[25]中提供的条件（定理5的条件（3.5）和(iii)）。本文的新结果定理3.1是[20]中定理2.1和论证对加权经验测度设置的一个相当直接的推广。在文献[25]中的定理2中，证明了当F类在0和1之间一致有界时，对λn的限制和条件(iii)是不必要的（后者当然是必要的）。这使我们能够对某些重要抽样算法放弃λn上的条件，如定理3.3所述。注意，速率函数（2.2）简明地是人们所猜测的速率函数，在这种意义上，只要收缩原理是适用的（例如当F为时），(2.2)就是得到的速率函数。我们利用的第二个结果是在[15]中建立的大偏差的delta方法。只有结果的一部分被按下，整个语句的读者都被引用到原始文件中。这里，(Ωn，Fn，Pn)是一个概率序列。定理2.3（定理3.1，[15])。设X和Y是两个可度量化拓扑空间。设Φ:DΦcoBx7→Y在与D coBx相切的θ处为Hadamard-di能级。设xn:Ωn7→dΦ，n≥1，为映射序列，且{rn}为满足rn→∞的正实数的s阶。如果{rn(xn-θ)}满足具有速度c-1与NAND速率函数I的LDP，使得{I<∞}D，t hen{rn(Φ(Xn)-Φ(θ))}满足具有速度c-1与NAND速率函数IΦ\'θ(y)=inf{I(x):Φ\'θ(x)=y}。加权经验过程的中等偏差在重要性抽样中与从distr ibutio ns抽样相对应，因此，希望从s抽样完全适合于估计任务。为了使一个分布yen是可行的，它必须持有下面的条件。importanc e抽样所对应的加权经验测度为vwn=nnxi=1w(Xi)δXi，其中Xi是具有共同分布的独立随机变量，而w(·)是权函数，由Radon-Nikodym导数dμ/dé给出。以X，…，Xnis为基础的（标准）经验度量，用§n表示。IndimPortance抽样的思想是，如果'Awns是μwns的良好近似，使用'Awnn应该给出兴趣量的良好估计。然而，根据数量，正试图估计它可能会有一个很好的近似子集的E。与标准蒙特卡罗相反，人们不能指望加权经验度量在某种意义上接近整个空间E上的μ。在[18]中，通过引入所谓的重要性函数ion（这里用fi表示）来考虑这个问题。函数fi是非负的、可测的和μ(fi)<∞的，并用fi表示E的直接区域。然后，它有μonsupp(fi)，并且有可能求出权函数w=(dμ/d)I{f>0}，该函数现在在整个空间E上都很好地求出。在重要性抽样7近似中，一个好的过程的解释是，wfnis接近于加权测度μf。对于本文的其余部分，我们不对importancefunction做任何明确的注释，它被认为包含在权函数W中；关于更多的讨论见[18]。类似于经验过程ζ与标准经验测度的关系，有一个经验过程ζwn与加权经验测度'Awn有关，ζwn(f)=√n'Awn(f)-yen(f)-,f∈f。这一结果得到了{ζwn}的LDP。定理3.1。设F是一类实值函数，使得对于每一个F∈F，0≤F≤1.设对于每一个α>0,E'A[exp{αw(X)}]<∞且λnsatis(2.1)。

若F为Ⅴ-Donsker，则与重要抽样对应的经验过程序列{bn(Ⅴwn-}）满足速度λ-2与非速率函数iwf:qi∞(F)7→[0,∞]给定byIwF(G)=infniⅤ(η):η∈m'A，0b，η(wf)=G(F)±F∈fo时的LDP。（3.1）进一步证明了{bn(§wn-Ω)}在概率上收敛于0°∞（F）中的零元。设wF={wF:f∈f}。一个关键的观察是，对于每一个f∈f，vwn(f)=vn(wf)和μ(f)=v(wf)。在此基础上，得到了{bn(§wn-'A)}在反向滤波中的LDP与在反向滤波中得到{bn(§n-'A)}的LDP是完全相同的，即在反向滤波中得到了{bn(§n-'A)}的LDP。的确，考虑了取F∈www∞(wF)到Fw∈www(F)的映射，其中Fw(F)=F(wF)，该映射是连续的，压缩原理可以应用。因此，本文给出了非加权经验过程{bn(§n-'A)}在wF中的LDP。此外，收缩原理所隐含的速率函数精确地为（3.1）。s F类是由§-Donsker假定。对于每α>0,一致界F,e'A[exp{αw(X)}]<∞和Donskerproperty[24,第2.10节]的持久性的假设意味着wF也是Ⅴ-Donsker。从[21]中的定理14.6可以看出(wF，d)是完全有界的。Donsker性质给出了等式{√n(n-)}的一致中心极限theore m。这意味着序列{bn(§n-'A)}收敛于0的概率；定理2.1的条件(ii)成立。有待检查（2.3）。首先，注意在F上的假设下，E'A[exp{αF(X)wF}]≤E'A[exp{αw(X)}]，从而在w(X)具有所有阶指数矩的假设下，证明了定理2.1的条件(iii)；参见[20]中主要定理陈述后的注释。因此，通过定理2.1，{bn(§n-§)}满足了LDPin的π∞(wF)。这就完成了证明。备注3.2.对于双列序列{λn}，可以放松关于w(X)f(X)f的指数矩的假设。例如，如果λnis在形式λn=n1/p-1/2上，对于p∈(1,2）,对于每α>0，有E'A[exp{αw(X)f(X)2-pf]<∞就足够了；参见[20]中的推论1。当权函数w在SUP(F)上有界时，在{λN}上的限制ns是可以得到的。这类似于[25]中的定理2。8 P.NyquistTheorm3.3。设F是一类实值函数，使得0≤F≤1且F∈F。设w在SUP(F)上有界。如果F是v-d onsker，则与重要性抽样相对应的经验过程s等式{bn(§wn-yen）}在速度λ-2与速率函数（3.1）给出的情况下满足了π∞(F)中的LDP。此外，{bn(vwn-μ)}在概率上收敛于0~∞（F）中的零元。定理3.3可以用W上的假定界直接修改[25]中e m2的证明。细节略去。风险度量的重要性抽样估计的中等偏差如下，设下空间为E=R，并假定{λn}满足（2.1）。注意，由于定理3.3，如果w是b在supp(F)上，则本节的结果在没有这个假设的情况下成立。设F表示μ的dis分枝函数，F(t)=μ(I{·≤t}），设t是F的尾，t(t)=1-F(t)。Twn(T)=vwn(I{·>T}）,T∈R.利用定理3.1可以很容易地证明尾T的重要抽样估计量的一个中等偏差的结果。回想一下第2节，为了保证必要的可测性，对于这个结果，σ∞空间(F)配备了由所有球和坐标投影所赋能的σ-代数（见[15])。对于其余的结果，没有这样的屁股数字。推论4.1。设FA={I{·>t}:t≥a}对于a>0。假定：满足定理3.1的假设。然后，序列{bn(Twn-t)}满足具有速度λ-2的NAND速率函数IwFagiven byIwFa(G)=infni'A(η):η∈m'A，0b，η(I{·>t}w)=G(t)→t∈[a,∞]o，其中G∈q∞[a,∞]。此外，该序列在概率上收敛于[a，∞]中的零元。

本文的证明是由定理3.1得到的，因为任意概率测度的FaisⅤ-Donsker类。对与原始分布尾部有关的重要抽样建立了一致中差原理，通过delta方法d（定理2.3）可以得到某些泛函的相应结果预见子。我们通过考虑分位数函数的Ipor抗采样估计来说明这一点。对于非增C`ADL`Ag函数H:R7→R，求逆映射Φp(H)=H-1(p)=inf{u:H(u)≤p},p∈(0,1）,真分位数函数T-1的重要抽样估计由(Twn)-1表示。定理4.2。假设F在区间[t-1(p)-θ,t-1(q)+θ]上对Lebesguemeure具有连续密度F>0,对于0<q<p<1和某些参数>0。如果抽样分布满足定理3.1的假设，则重要性抽样9中的等式bn(Twn)-1-t-1经验过程满足速度λ-2 NAND速率函数wt-1(G)=infni'A(η):η∈m'A，0b，η(I{·>t-1(u))=G(u)±u∈[q，p]o中的LDP。（4.1）此外，该序列在概率上收敛于zero元(q，p)。对推论4.1的一个简单修改，给出了任一b>A的{bn(Twn-t)}在π∞[A,b]上的LDP。取a=t-1(p)-0和b=t-1(q)+0并设Fa,bbe为相应的指示函数集合。[24]中的引理3.9.20和3.9.2 3指出，当把它看作一个从[a，b]的分布函数集到[q，p]的映射时，isHadamard逆映射的左连续形式可以在与[a，b]上的连续函数集相切的F处实现。对于这里所考虑的逆映射的右连续版本，Hadamard在T处的可测性也同样成立。由于尾函数的导数是-f，对应的逆函数的导数是α7→α(t-1)f(t-1)。Hadamarddi的可获得性与上述推论4.1和定理2.3的修正一起，意味着分位数过程{bn((Twn)-1-t-1）}满足速度λ-2 NAND速率函数～iwt-1(G)=infnIwFa,b(α):α∈∞[a,b],α(t-1(u)))f(t-1(u))=G(u)±u∈[q,p]o的LDP。接下来，我们通过在这两个公式中显示不等式来识别（4.1）中IWT-1的速率函数。取任意一个G∈∞[q，p]。首先，假设e=α(t-1(u))=f(t-1(u)))G(u)对于eachu∈[q，p]不存在α∈∞[a，b]，或者，如果α存在，不存在η∈M'A，0b，使得η(I{·≥t}w)=α(t)foreach t∈[a，b]。然后，～iwt-1(G)和iwt-1都是完全相等的。因此，我们可以假定G∈[q，p]是这样的，即我们可以选择αut∈[a，b]和ηut∈m'A，0b，使得对于eachu∈[q，p]来说αut(t-1(u))=G(u)f(t-1(u))和对于每个t∈[a，b]来说ηut(I{·≥t}w)=αut(t)。clearly～IWT-1(G)≤IwFa,b(α*)≤I'A(η*)。左手边对η*没有依赖关系，吸收系数～IWT-1(G)≤INFNI'A(η):η,0b,η(I{·>t-1(u)}w)f(t-1(u))=G(u)±u∈[q，对于反向不等式，注意，对于任何δ>0，存在αδ∈π∞[a,B]使得αδ(t-1(u))=f(t-1(u))G(u)对于每个u∈[q，p]和~iwt-1(G)+δ≥IwFa,b(αδ)。类似地，e是ηδ∈mc，0b，使得对于每个t∈[a,b]和diwfa(αδ)+δ≥I'A(ηδ)来说，ηδ(I{·>t}w)=αδ(t)。这些不等式加在一起产生了~iwt-1(G)+2δ≥I'A(ηδ)。上述对于任何δ>0都成立，由于G是任意的，我们得出结论，(4.1)中增加的iwt-1是分位数过程的速率函数。最后，从推论4.1的改进版本和（标准的）delta方法中得到了概率收敛。10 P.NYQUISTNext,我们研究了风险度量e e xpe cted缺口的imp或抗抽样估计的适度偏差。

对于非增C`adl`ag函数H和0<p<1,设γp(H)为γp(H)=pzpH(u)du。如果T是随机变量分布的ta il,则γp(t-1)称为在p水平上的期望Sho,并由γp((Twn)-1)给出一个重要抽样估计量。对于本文的其余部分，我们将设q沿某些单调序列{qm}趋于零，使得对于每个m,T(t-1(qm))=qm。这是可能的，因为在mo st处可以有可数的多个点q，使得T不是连续的att-1(q)。为了得到与预期的不足相对应的e mpirical过程s的LDP,我们做了以下假设:oμ具有第二阶矩eμ[X]<∞,(A1),且当m→∞时，qm=o(f(t-1(qm)))。(A2)o抽样分布yen具有适当的加权seco nd矩，E'A[(Xw(X))]=E'A[Xw(X)]<∞,(A3)并且，当m→∞时，qme'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]=o(f(t-1(qm)))。(A4)在陈述关于预期缺口估计量的主要结果之前，我们可以更详细地看一下(A1)-(A4)。考虑一个规则变化的尾T，其指数为-α，α>0。即对于每t>0,limx→∞t(tx)t(x)=t-α。我们设L表示一个泛型慢变函数，即这样的函数:L(tx)/L(x)→1为x→∞（在∞处慢变）。关于正则变异的彻底处理和在下面所用的结果，见[23]。为了使μ具有一个合适的二阶矩，要求α>2。缺点是屁股膨胀(A2)。B y Karamata的T he orem,f(x)'Aαx-1t(x)为x→∞。因此，f(t-1(qm))'Aαt(t-1(qm))t-1(qm)=αqmt-1(qm)为m→∞,这导致tof(t-1(qm))qm'Aαqmt-1(qm)为m→∞。分母为零，因为分布有变化时刻。注意，在规则变化的情况下，这可以从分位数的行为类似于q-1/αml(qm)的事实中很容易看出，其中L在0处缓慢变化。因此，分母的行为类似于q1-1/αml(qm)，当α>1时，该分母变为零。当潜在的distr Ibut是轻尾的，如高斯型时，衰变甚至是莫里亚皮的。因此，假设(A2)适用于一大类轻尾分布和重尾分布。重要抽样11中的经验过程更多涉及的假设是关于抽样分布的(A4)。同样，设ta il T随指数-α有规律地变化。利用与上述相同的渐近等价性，f(t-1(qm))qme'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]'Aαqm(t-1(qm)))qme'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]=α(t-1(qm))e'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]，即m→∞。此外，由于t-1(qm)'Aq-1/αml(qm)为m→∞,f(t-1(qm))qme'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]'Aαq-2/αml(qm)e'A[w(X)I{X>t-1(qm)}].对于标准蒙特卡罗(w1),e'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]=qmandf(t-1(qm))qme'A[w(X)I{X>t-1(qm)}]q2/α-1ml(qm)-1,如果α>2,则取∞。当m→∞时，逆收敛于0,对于一个轻尾（类高斯）的完全分析得到了相同的结果。这表明，即使对于标准的蒙特卡罗，假定(A4)也是完全成立的。设σq,p(w)和σp(w)为pσq,p))μ(dx)+q(t-1(q)-t-1(p))，σp(w)=pz∞t-1(p)(x-T-1(p))w(x)'A(dx)-p z∞T-1(p)(x-t-1(p))μ(dx)定理4.3。并且定理4.2的假设对每个QM都成立。然后，对序列bnγp((Twn)-1)-γp(t-1)-进行了研究，得到了R中的LDP的速度λ-2与速率函数wp(z)=z2σp(w),z∈R(4.2)注记4.4。由于标准Mo nte Carlo常适用于特殊情况w1，定理4.3建立了标准Monte C估计Ex pec ted缺口的moder At Disput原理。在[14]中，作者研究了基于标准蒙特卡罗估计的期望风险值（即条件风险值，CVaR)的各种渐近性。因此，作为定理4.3的一个特例，我们得到了他们关于中偏差原理[14,Theore M1.3]的结果。以见第12页。

假设这两个速率函数确实是相同的，请注意根据定理4.3,当w1时，速率函数为Iwp(z)=z/(2σp(1))，其中σp(1)=pz∞t-1(p)(x-t-1(p))μ(dx)-pz∞t-1(p)(x-t-1(p))μ(dx)。（4.3）在[14]中，用左连续逆对预期缺口进行了修正。假定逆在α∈(0,1）是连续的，则在α处求出的左连续逆等于在1-α:inf{t:F(t)≥α}=inf{t:1-α≥1-F(t)}=inf{t:1-α≥t(t)}=t-1(1-α)处求出的右连续逆t-1。因此，利用上述结论，我们将文[14]中α水平的期望缺口与p=1-α水平的期望缺口等价。为了使这两个速率函数为e,使用[14]的速率函数表示为随机变量Z(α)的se cond矩，Z(α)=1-α(x-t-1(1-α))+-1-αZ∞t-1(1-α)T(X)dx,X按μ分布为e。利用Fubini定理可以看出:aS(z)=z2e[z(α)]=σ1-α(1),当p=1-α和w1时，[14]的速率函数与定理4.3的速率函数一致。由于q=0时第q个分位数可能爆炸，所以映射t7→γp(t-1)一般不需要是Hadamard di-everency。在p=0时，q(α)=z2e[z(α)]=σ1-α(1)=z(α)=z2e[z(α)]=z2e[z(α)]=z2e[z(α)]=z2e[z(α)]=z2e[z(α)]=z2e=z2e[z(α)]。可能是quantilemap不产生一个元素的π∞[0,p]，因为得到的泛函是无界的。因此，这不仅仅是一个应用delta方法来获得预期缺口的LDP的问题。相反，我们使用大偏差分析中的k nown作为指数良好近似（参见[9]，定义4.2.14):设(X，d)为度量空间，对于每个δ>0，设γδ={(X，y):d(X，y)≥δ}tox×X。对于所有n，m∈Z+，设(Ω，Fn，Pn，m)为概率空间，设X值随机变量～Xn，Xn，mbe按联合律Pn，m分布，边际值分别为μn，μn，m。{Xn,m}是{~Xn}的指数好逼近，如果对于每个δ>0,集合{ω:(~Xn,Xn,m)∈'Aδ}是fn可测的，并且对于每个K>0,对于所有m≥mk,存在一个mk，使得lim supn→∞λnlog Pn,m(γδ)≤-K。同样地，如果可以构造出概率spac e s{(Ω,Fn,Pn,m）}，则测度{μn,m}的s等式是{~μ}的指数良好逼近。重要性抽样中的经验过程13以下是定理4.3的证明。这个想法是考虑到映射γp的一个新版本。对于一般的非增C`adl`ag函数SH和0<q<p<1，将映象γq,p:q∞[q，p]7→R由γq,p(H)=pzpqh(u)du定义。当t-1∈q∞[q，p]时，映象γq在t-1处是可实现的，并应用定理2.3，对应于γq的经验过程的LDP立即得到（引理4.5）。注意，当m→∞时，qm任意地接近于0，可以认为随机变量γqm,p((Twn)-1)-γqm,p(t-1)应该接近于γp((Twn)-1)-γp(t-1)。定理4.3证明的下一个步骤是如何在非指数良好逼近的意义上证明这一点。也就是说，可以选择足够大的m，以便在上述情况下可以任意地使γqm((Twn)-1)-γtm(f-1)变小。引理4.6e利用文[19]中导出的绝对误差≥δ概率的上界，以及推论4.1和定理4.2导出的一维LDP来稳定这种指数良好逼近。文献[9]中的定理4.2.16指出，如果一个ra ndom序列使LDP可变，则任何其他序列的appr肟化指数良好，也将满足LDP。此外，速率函数用与firerst序列相关的速率函数的terms表示。因此，一旦我们建立γqm，p((Twn)-1)-γqm，p(t-1)确实是γp((Twn)-1)-γp(t-1)的指数良好逼近，定理4.3就证明了引理4.5。