HARA前向效用及其最优解的显式描述 投资组合

断言(i)的证明是经典的，可以在Dellacherie-Meyer(1980)或Jacodand Shiryaev(2003)中找到。由于S是局部有界的，所以我们可以清楚地证明θI{θ≤n}·S和I{θ≤n}·xθ是局部有界的半马集。因此，pθtr@si{θtr@S>α，θ≤n}是一个局部有界的有限过程，它的紧致由vθ,n:=(θtrz)I{θtrz>α,θ≤n}等给出。显然，θti{θ≤n}·s-θtrbi{θ≤n}·a和xθtr@si{θtr@S>α,θ≤n}-vθ两个过程是局部鞅。由于xθ-的补偿器存在且是局部可积过程，因此我们导出了v ar exθ=limnV ar i{θ≤n}·exθ=ζθ·a。这证明了断言(ii)和(iii)。这里，对于任何变差为V的过程，我们用V ar(V)来表示变差。命题A.5。设p∈(-∞,0)TM(0,1）,eZ为鞅密度，且bθ∈θ(1,Up）,则bz:=eze(Bθ·S)为真鞅。如果我们表示tebq:=bzt·P，并考虑θ∈θ(1，Up)满足(a.114)supτ∈ttebq Eτ(θ·S)pEτ(bθ·S)-P<+∞,则符号(P)E(θ·S)pE(bθ·S)-pq是abq-上鞅证明。在证明的剩余部分，我们证明了p<0,并且我们认为(Tn)n≥1是一个停止时间序列，它是一个平稳地缓和到T的，从而使tnis是一个真鞅。因此，sinceeZE(θ·S)是一个超级马丁大风，通过推入eqn:=eztn·P，并利用Jensen不等式推导出eBqeetàtn(θ·S)/etàtn(bθ·S)pfs≥eBqn(etàtn(θ·S)Fs)/etàtn(bθ·S)fsi P=eeqn(etàtn(θ·S)fssi,对于0≤S<t≤t。证明了E(θ·S)/E(Bθ·S)p/2是非负Bq-局部下鞅。然后，根据A.114)和de la Vall\'ee Poussin的论证，我们推导出th是过程isa truebq-下鞅。再说一遍，Jensen在等式中的一个应用，得到Ebqh et(θ·S)/et(bθ·S)p fsi≥Ebq et(θ·S)/et(bθ·S)p/2fs≥es(θ·S)/es(bθ·S)p,-E(θ·S)/E(Bθ·S)pis abQ-superm artin gale,这就结束了本文的研究。下面，我们讨论了局部概率变化下的最小Hellinger鞅密度（以下简称MHM-密度）的一些有用性质。在附录的最后一部分，我们将把最小Hellinger鞅密度的一些性质推广到局部概率变化的情形。这个扩展是由我们在第3和第4节中的参数化方法所声称的。在本文的其余部分中，我们考虑了一个r eal数p∈IR,p6=1,q=pp-1,和一个正局部鞅Z，它由(b.115)Z:=E(N),N:=β·sc+W(μ-'A)+gμ+N,Wt(x):=ft(x)-1+bft-at1-ati{at<1}给出。这里β、f、g、n-是N的Jacod分量。在这一节中，我们经常使用关于密度Z的鞅密度集(B.116)Zeq，loc(S，Z):=nz p rocess Z>0,ZZ∈Zeq，loc(S)o,其中Zeq，loc(S)由(2.6)-(2.5)给出。在Z（测度的局部变化）下，过程S具有以下可预测性和连续局部鞅部分Sc,Z,bZ,aZ,vzand fz，由(b.117)Sc,Z:=sc-cβ·A,bZ:=b+cβ+zf(x)h(x)F(dx),azt:=vz({t},IRd）,vz(dt,dx):=FZt(dx)dAt,FZt(dx):=(1+ft(x))ft(dx)给出。命题b.1。设p∈(-∞,1）和q为其共轭数（即q:=p/(p-1))。考虑拟局部鞅，Z，andeZ∈Zeq，loc(S，Z)。

假设存在β∈L(S)这样的pa-a.e.eβ∈D+，(b.118)0=bz+(p-1)cλ+zh(1+λtrx)p-1-1IxFz(dx)和(b.119)W∈Gloc(μ，Z)，Wt(x):=(1+eβtrtx)p-1-11-a+rut(x)vz（{t},dx）,andeZ:=E(eN),eN:=(p-1)Eβ·Sc,z+Wμ-'Az.然后，下面成立。(b.120)ezq-1=e ehz·S+q(q-1)h(q)(eZ,Z)=e eβ·S e q(q-1)h(q)(eZ,Z)。这里，ehz:=(γZ)1-qeβ和γZ:=1-azt+r(1+eβtry)p-1'AZ({t},dy)satifies(b.121)γzt=1+q(q-1)h(q)(eZ,Z)1-p，在{}a=0}上，我们有(b.122)q(q-1)dh(q)(eZ,Z)=peβtrceβda+Z=peβtrceβda+Z，h(1+EβTrx)p-1-q(1+EβTrtx)p-1-1)iFZ(dx)证明。由于该命题的所有假设和所有结论在局部化条件下都是稳定的。换句话说，如果存在一个不断增加的停止时间序列(Tn)n，使得该命题在[[0,Tn]]上对于每n≥1是有效的，那么它将是全局有效的。因此，假定Z是鞅，并且putQ:=zt/Z·P·P·P并不丧失一般性。然后，很容易看出(bZ，c，FZ)在Q下与S的可预测性相吻合，§z与μ的Q-补偿器相吻合，方程(b.118)-(b.119)转化为在Q存在下Atez是最小的Hellinger martin gale dens itity的事实。T hus，Choulli等人推论4.7的直接应用。（2007）（参见Choulli和Stricker(2009)的定理3.1来获得完整的和其他的刻画），导致了(b.120)中的firerst相等性。在(b.120)中的第二等式是由Yor公式（即e(X)e(Y)=e(X+Y+[X，Y]))和(b.121)导出的。因此，在这个p屋顶的剩余部分，我们将着重于证明(B.121)和(B.122)。为此，我们从如下计算Hellingerprocess开始：(b.123)q(q-1)h(q)(eZ,Z)=q(q-1)h(q)(eZ,q)=q(q-1)(p-1)e(p-1)(eγq)-q-1+q-q(1+eβtrx)p-1/eγqif dx)·a++x(1-aQ)'A(Eγq)-q-1-q(eγq)-1-1-1)因此，由于在集合{}a=0}上我们有eγq=1，我们推断(b.122)立即跟随s从上面的等式。通过取(b.123)两侧的跳变，并使用the e fac=0,bt@at=rxfqt(dx)@at=rx'Aq({t},dx)andRx(1+eβtrx)q(p-1)'Aq({t},dx)=0（从(b.118)中导出），我们得到q(q-1)h(q)(eZ,Z)=buQ(1-aQ+buQ)-q-aq-q buQ/(1-aQ+buQ)-aQ^++(1-aQ)ut(1-aQ+buQ)-q-1-q-qbuq/(1-aQ+buQ)-q-q-q-q/(1-aQ+buQ)其中buQ=r(1+eβtrx)p-1vq({t},dx)=eγq-1+aQ。因此，对上述结论进行简化，得到(B.121)，完成了该命题的证明。ReferencesAnthropelos,M.(2013):正向指数性能：定价与最优风险分担。预印本。http://arxiv.org/abs/1109.3908。Berrier,F.和L.C.G.Rogers。Tehranchi,M.R.（2009）：前向功利函数的一个表征。mimeo,Cambridge.Clark,S.A.(1996):随机效用模型的选择空间，经济理论，7(1)，179-189。Cohen,M.A.，《随机效用系统--案例》，数学心理学学报，22(1)，1-23，1980。Choulli,T.Deng,J.和Ma,J.（2013）：无套利、生存能力和Num\'eraire投资组合的关系。阿尔伯塔大学预印本（25页）。Choulli,T.and Ma,J.(2013):一个最优的de simator和Forward实用程序。正在进行的工作（25页）。Choulli,T.，Ma,J.和Morlais,M.(2011):T hree论文集关于具有可变退出时间的指数套期保值。Musiela Festisch,Springer.Choulli,T.和Stricker,Ch.（2009）：比较了最小Hellinger鞅测度oforder q和q-最优鞅测度。随机过程及其应用。Choulli,T.和Stricker,C.（2005）：不完全市场中的最小熵-Hellinger鞅测度。数学。金融学15（3）,465-490.Choulli,T.和Stricker,C.（2006）：更多关于最小熵-Hellinger martin gale measur ES.Math.金融学16（1）,1-19.乔利，崔克，陈，李，金。（2007）：Q阶最小Hellinger鞅测度。11（3）,399-427.

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