HARA前向效用及其最优解的显式描述 投资组合

因此，我们获得了UP·，Xe bθ·s=DxpbZ,d ue到断言(2-c),我们得出U·，Xe Bθ·s是任意x>0的鞅，对于任意可容许策略θ,我们得到了t,xEt(θ·S)=DxpbZtEt(θ·S)pet bθ·s-p.（3.49）由于pd>0(U(t,x）是一个随机效用）,命题a.5(takeeZ:=zdezdwhishis S的鞅密度，且supτ∈ttebq eτ(θ·S)peτbθ·s-p=-dxpsupτ∈ttehuτ,xeτ(θ·S)-i<+∞,我们得到了U(t,xEt(θ·S))对于任意adm可容许的S是一个上鞅trategyθ和任意x>0。这就结束了定理的证明。注3.12。1）从定理的证明中，我们可以很容易地看出，当UPI为前向u时，(3.43)是有的。2）定理3.11和3.4指出，具有（3.18）的f orm的前向效用集是由对P(0)，ZD参数化的，其中ZD是当UPI为前向效用时存在的D的乘性Doob-Meyer分解中的正局部鞅。如果我们假定p(0)是给定的，那么定理3.11声称，所有幂型f或沃德效用都是通过将概率的局部c hange与定理3.8相结合而得到的，该局部c hange在经济上对应于信念的局部变化。再次，当参数p(0)，ZD被选择时，最优投资组合利率由（3.45）明确描述。3.3定理3.8的证明定理3.8的证明需要三个中间的技术引理。证明这些引理所用的主要工具是两种类型的积分--涉及随机测度--我们将在下面精确说明。设K=(K(t),ω，x）,x∈Rd，ω∈Ω，t∈[0,T])是AEP可测泛函。（1）如果K是非负的，我们用K和K表示下列非递减过程(3.50)(Kμ)t:=ztzrdk(u,（2）设Q是一个概率，§Q是Q下的补偿器。我们说K是(Ω-Q)可积的，并表示K∈Gloc(Ω，Q),I f(3.51)x0<t≤·K(t，St)I{st6=0}-zkt(x)Q({t}，dx)1/2∈a+loc(Q)。在这种情况下，所得积分-由K(Ω-Q)-表示为a Q-局部鞅。当q=P时，我们简单地写出W∈Gloc(μ)。关于这两个积分的更多细节和性质，以及所得到的积分，我们可以参考Jacod(1979)、Jacod和Shiryaev(2003)或He、Wang和Yan和（1992）。引理3.14。假设S是局部有界的，Zeloc(S)6=，假设2.1有M1holds，D i S可预测，且由（3.18）修正为前向效用。然后，过程D满足(3.52)D=Dexp(aD)=DE(XD),XD:=aD+x(ead-1-aD),且以下断言成立。(i)对于任意α∈(0,1）,过程(3.53)(1+bθtrz)p-1-pbθtrzp(p-1)i{bθtrz≤α}μ，(1+bθtrz)pI{bθtrz>α}μ，是不可减且局部可积的。(ii)p a-几乎所有(ω，t)∈Ω×[0,+∞[,bθ∈int(D+)。(iii)最优投资组合率bθ是（3.42）的根。即(3.54)0=p-1b+cbθ+z(1+bθtrz)p-1-1p-1zf(dz)，P a-a-e.(iv)最优投资组合利率bθ,satis为(3.55)e-≈ad·xd=P(p-1)bθtrcbθ·a-zh(1+bθtrz)p-1-1+(1-P)bθtrx(1+bθtrz)p-1如果(dz)·A.这里xd1由（3.52）给出。(v)如果我们表示u(t,ω,x):=1+xtrbθt(ω)p-1，则(3.56)1-A+但是:=1+z(u(t,x)-1)'A({t},dx)=exp(Ω)，at:='A({t},dx),IRd结果，正的可预测过程(1-A+bu)-1，i是局部有界证明的。当pD(t)>0时（t,ω)∈[0,t]×Ω-u(t,x）是一个随机效用-,可以看出D(t)/di是一个有变化的正的、可预测的过程。因此，(3.52)中的分解成立。引理的断言(i)-(v)将分三个步骤进行（下面的a、b、c部分）：a部分证明了断言(i)，而b部分证明了断言(ii)、(iii)和(iv)。

部分证明了断言(v)。A）注记(3.57)U(t),xEt(θ·S))=dxpexp adtinelet(θ·S)P=dxpet xdinelet xθ=dxpet(1+xd)·xθ+xd，对于任何可接受的策略θ,其中XDis取自(3.52)，xθ由(3.58)xθ=pθ·S+p(p-1)θtrcθ·A+(1+θtrz)p-1-pθtrzU(t),xEt(θ·S))是局部上鞅(θ=bθ的局部鞅）当且仅当(3.59)p(1-p)ead·xθ+xd是局部上鞅(θ=bθ的局部鞅）我们很容易地推导出，(3.59)成立当且仅当(3.60)(1+θTRZ)p-1-pθTRZI{θTRZ≤α}∑A+LOC，且P A-几乎全部(ω,t）,我们有(3.61)exp(-ad)p(1-p)·xd=Φpbθ·A，且minθ∈Rd[ΦP(θ)]=ΦP(bθ)，其中ΦP(2.8)给出，对于阅读器(3.62)Φp(θ):=btrθp-1+θtrcθ+z(1+θtrx)p-1-pθtrxp(p-1)F(dx),由于I{θtrz>α}μ=pi{θtrs>α}∈A+loc,和(1+θtrz)p-1-pθtrzi{θtrz≤α}μ=(1+θtrz)p-1-pθtrzi{θtrz≤α}μ++(1+θtrz)p-1i{θtrz>α}时，我们通过将（3.61）中的第二等式与引理A.3结合，推导出引理的断言(i)来自(3.60).b),引理的断言(ii)和(iii)都是紧随其后的，而断言(iv)是从将（3.54）插入(3.61).c)的方程式中，通过将(3.54)乘以(3.54)来实现的，并且使用了Ab=rxf(dx)a，ac=0和Ft(dx)at=({t}，dx)，我们得到(3.63)Z(1+bθtrz)p-1z({t}，dz)=0,一方面，我们得到了(3.63)Z(1+bθtrz)p-1z({t}，dz)=0。另一方面，通过跳入(3.55)，然后在结果方程中插入(3.63)，再次使用Δac=0，我们得到了1-exp(-ad)=exp(-ad)@xd=-z(1+bθtrz)p-1({t},dz)+a=-bu+a.由此，断言(v)从上述等式中得到，并得到了e-ad的局部边界。这就实现了引理的证明。f ollowing引理将说明当UP是一个正向效用时，q阶最小Hellinger鞅密度是如何建立的，并与最优投资组合率bθ有关。引理3.15。假设S是局部有界的，Zeloc(S)6=，假设2.1有M1holds，D i S可预测，且由（3.18）修正为前向效用。然后，以下性质成立:(i)EP-可测泛函(3.64)Wt(z):=1+bθtrtz1/(q-1)-11-at+r1+bθtrty1/(q-1)'A({t},dy)=:u(t,z)-11-1+bu，是(μ-'A)-可积的，即。(ii)由(3.65)eZ:=e eN,eN:=q-1bθ·sc+W(μ-Ⅴ)定义的过程eZ是S的鞅密度。(iii)以下(3.66)(q-1)xd+xh1+xdàq-1-1à(q-1)xdi=q(q-1)h(q)(eZ,P）成立，其中XDis由（3.52）定义。由于引理3.14-(v),(Eγt)-1:=(1-a+bu)-1=Eadis lo cally有界，且x0<t≤·(cWt):=x0<t≤·zwt(x)({t},dx)=x0<t≤·但1-a+但e3ad·adis是一个非递减的局部有界过程。因此，W∈Gloc(μ)当且仅当ifhX(Wt(st))I{st6=0}i1/2=(Eγ)-2(1+bθtrx)p-1-1μ1/2∈A+loc(P)。同样，(eγ)-2=(1-a+bu)-2=e2ad（见引理3.14的断言(v)）的有界性意味着上述主张等价于(3.67)(1+bθtrx)p-1-1μ1/2∈a+loc(P)。如果我们把γ:={z∈rd bθtrz≤α}，那么-D ue to(P(x))1/2≤Px-很容易确认(3.67)是由(3.68)v:=(1+bθtrz)p-1-1I'Aμ(3.68)的局部可积性所隐含的，V:=(1+bθtrz)p-1-1I^acμ。V∞的局部可积性直接来源于I{bθtrS≤α}·[bθ·S,bθ·S]∈a+loc(sincebθiss-integrabure，hencebθ·S是c`adl`ag半马特）,它的局部可积性直接来源于I{bθtrS≤α}·[bθ·S,bθ·S]∈a+loc（sincebθiss-iss-iss-integrate，S=c`adl`ag半马特）,和(q-1)(1-α)2(p-2)vx(bθtróS)I{bθtróS≤α}I{bθtróS≤α}·[bθ·S,bθ·S]。为了证明V的局部可积性，只要证明(3.69)Z(1+bθtz)p-1bθtrzi{bθtrz>α}F(dz)·A∈A+loc就足够了。实际上，通过将(3.69)与(1+bθtrz)pI{bθtrz>α}μA+loc（见引理3.14-(I))结合，以及TRZF(dz)·A+(1+bθTRZ)pI~nc'A，我们推导出(1+bθTRZ)p-1i{bθTRZ>α}μ是局部可积的（它是不递减的，其补偿器是局部可积的）。

最后，由于toI{bθtrz>α}=xi{bθtrS>α}∈a+loc，由bθ·S是一个C`adl`ag半鞅的事实，我们得出Vis是局部可积的。在这个证明的剩余部分，我们将证明（3.69）。由于命题A.4，我们有(3.70)bθtrcbθ·A∈A+loc，和bζ·A:=bθtrb-zbθtrzi{bθtrz>α}F(dz)·A∈A+loc。从bθ的值(3.54)，我们得到（回想一下：={x∈rd:bθtrx≤α}和q-1=(p-1)-1)(3.71)-(q-1)bζ-bθtrcbθ=p-1zΩc(1+bθtrz)p-1bθtrzf(dz)+zà(1+bθtrz)p-1p-1p-1bθtrzf(dz)。然后，通过组合0(1+bθtrz)p-1p-1p-1bθtrzf(dz)I{bθTRZ≤α}μ(1-α)p-2(BθTRZ)I{BθTRZ≤α}μ(1-α)p-2i{BθTRδS≤α}·[Bθ·S,Bθ·S]∈A+loc，(3.70)和(3.71)，我们得出结论（3.69）成立。这就结束了断言(i)的证明。因此，eZ是一个正局部鞅。然后，直接应用Ito公式foreZS得出结论：当且仅当b·a+(p-1)cbθ·a+zx(1+bθtrx)p-1(1-a+bu)-1-1f(dx)·a0时，atezs是局部鞅。然后，通过区分是否为Δa=0或Δa6=0这两种情况，很容易检验上述方程与（3.54）等价。的确，很明显，我们有ba=rxf(dx)a，和ca=0，在{a=0}上，我们有1-a+bu=1。这就结束了断言(ii)的p顶。在这个证明的剩余部分，我们集中讨论最后一个断言（即断言(iii)）的pr。当Z1时，通过将(3.56)和(b.121)合并，我们推导出(1+xd)q-1-1=q(q-1)h(q)(eZ,p）。这个方程在{a6=0}上正好是(3.66)；而在{a=0}上，当Z1时（回想一下这里β和bθ重合）由合并(3.55)和(b.122)得到(3.66)。这证明了(3.66)，引理的证明是完全的。备注3.16。（1）在引理3.15的证明中，很容易注意到（3.67）的证明完全遵循θ∈L(S)和方程（3.54）。因此，证明对于p=0的情形也是有效的。因此，如果bθ∈L(S)且是(3.72)b-cλ+zh1+λtrx-1-1Ixf(dx)=0的根，则process1+bθtrx-1-1i∈Gloc(μ)。2）引理3.17（见下文）的证明也仅基于（3.54）的bθfulls和（3.65）给出的ofeZ形式。这两个引理都不假定p∈(-∞,1）上的任何条件，因此引理3.17对于p=0的情形仍然有效，或者当asbθ∈L(s)解(3.54)，dez由（3.65）给出时，等价alentlyeZ是零级极小Hellinger鞅密度，当p=0时，等价alentlyeZ是零级极小Hellinger鞅密度是零级极小Hellinger鞅密度是零级极小Hellinger鞅密度是零级极小Hellinger鞅密度。引理3.15的修正过程是q阶的最小Hellinger鞅密度。即：对于任意Z∈Zeloc(S，P),eZ是满足(3.73)h(q)(eZ,P)h(q)(Z，P)的鞅密度（属于Zeloc(S，P))。证明了eZ是满足(3.73)h(q)(eZ,P)h(q)(Z，P)的鞅密度。由于引理3.15-(ii)，引理的证明将从证明Ofez的最优性开始。借助于Choulli and Stricker(2006)中的命题3.2（关于拟左连续性的情形，另见Choulli and Stricker(2005)中的命题4.2）,足以证明(3.73)对于任意正鞅密度Z=E(N)成立:N=β·sc+Y(μ-Ⅴ),Yt(x)=kt(x)+bkt1-ati{at<1},bkt:=zkt(x)'A({t},dx),其中β∈L(S)和pkt(st)I{st6=0}.1/2∈a+loc。由于zTcz和φ(z):=(1+z)q-qz-1q(q-1)的凸性，在集合{}a=0}上，我们推导出(3.74)dh(q)(z,P)da-dh(q)(eZ,P)da=(βtrcβ-eθtrceθ)+zeθtrxk(x)-φ(ek(x))=(βtrcβ-eθtrceθ)+zeθtrxk(x)-ek(x)f(dx)=0。这里θ=(p-1)bθ,ek(x):=(1+bθtrx)p-1-1和φ′(k(x))=(p-1)Bθtrx=Eθtrx。

最后一个均衡性（3.74）是由botheZ和Z属于Zeloc(S)得到的，等于(3.75)b+Cβ+ZxK(x)F(dx)=0,并且b+(p-1)cbθ+zxek(x)F(dx)=0。现在，我们比较了这两个跳转过程ΔHet(Z,P）和δhet(eZ，P）,再次利用φ(z)的凸性，如下:①Het(Z，P)-Het(eZ，P)=(1-at)“φ-bkt1-at-φeγ-1t-1#+zhφ(kt(x))-φ(1+bθtrtx)p-1eγ-1t-1i'At(dx)≥(1-at)(1-bkt1-at-eγt)eγ1-qt-1q-1+zhkt(x)+1-eγ-1t(x)t(1+bθtrtx)p-1i(bθtrtx+1)eγ1-qt-1q-1q-1èt(dx)=eγ1-qtq-1zh(kt(x)+1)-eγt-1(1+bθtrtx)Trx)p-1ibθtrtxt(dx)=0。（3.76）（3.76）中的最后一个等式来自（3.75）（通过将两个方程与Δa相乘并使用ba=rx({t}）,dx),if ac=0和Ft(dx)at=({t},dx))导致zx(kt(x)+1)({t},dx)=0,和0=eγ-1tzx(1+bθtrtx)p-1({t},dx)。因此，通过（3.74）和（3.76）的结合，我们推导出tatez是S的最小q阶Hellinger鞅性。这就实现了该引理的证明。现在，我们准备好给出定理3.8的证明。定理3.8的证明：我们开始证明(1)=(2)。因此，假定断言（1）成立，引理3.14、3.15和3.17是有效的，并且存在最小Hellinger鞅密度eZ（由引理3.15给出）。此外，将Ito公式应用于E(XD)q-1与（3.52）和（3.66）相结合，容易得到（3.41）。这证明了定理的断言(2.b)和(2.c)。为了得出断言（2）成立的结论，我们需要证明断言(2.a)。这是根据Upwith最优投资组合率的前向性质得出的，xe bθ·S=dxpe q(q-1)h(q)eZ,p p-1e bθ·S p(3.77)=dxpe bθ·S p(3.77)=dxpe bθ·S eγ1-qbθ·S+q(q-1)h(q)eZ,p p-1(3.78)=dxpe bθ·S eZ。（3.79）很明显，(3.77)是从（3.41）和p-1=q-1得出的，而（3.78）和（3.7）是从（3.41）和p-1=q-1得出的。79）从(b.120)-对于Z1的情况-中得出，只要ord er q,eZ的MHM密度存在。这个证明断言（2）。在这个证明的剩余部分g中，我们重点讨论p巡回(2)=yen（1）。因此，我们认为断言（2）是完全正确的。然后，很明显，(3.77)、(3.78)和（3.79）总是成立，只要q阶的MHM密度存在，一个d断言(2.b)是有效的。因此，这些等式与断言(2a)的结合意味着Up·,xE bθ·S是一个m artin Gale。此外，对于任何可容许的θ,我们有(Dxp)-1Up(·,xE(θ·S))=E(θ·S)pe bθ·s1-pe q(q-1)h(q)ez,pp-1eBθ·sp-1=eBθ·S ez E(θ·S)/eBθ·S p=bz E(θ·S)/eBθ·S p=E(θ·S)/eBθ·S p=E(θ·S)/eBθ·S p=E(θ·S)/eBθ·S p=E(θ·S)/eBθ·S p。a.5,证明Up(·,xE(θ·S))是任何可容许的投资组合利率θ的上鞅。因此，Upis是一个正向u性和断言（1）成立。4对数型正向函数的参数化利用本节集中于描述f orm为(4.80)U(t,x):=bd(t)log(x)+d(t)的正向函数，我们将证明这类正向函数是由两个密切相关的局部鞅tobD和d完全参数化的。对于这些随机效用，我们考虑了可容许投资组合的set,Aadm(x,log)，它比(2.14)中的一个略有改进。Aadm(x,log):=nπ∈L(s)x+π·s>0,&[u(τ,x+(π·s)τ)]-τ∈Ttis一致可积。然后，可容许投资组合率的集合-以θ(x,log)-由(4.81)θ(x,log):=nθ∈L(s)E(θ·s)>0&θe-(θ·s)∈Aadm(x,log)O给出。下面，我们阐述了这部分的主要结果。定理4.1。假定(4.80)中的Ude是一个随机效用，使得(4.82)supτ∈TTE bD(τ)<+∞和supτ∈TTE d(τ)<+∞。假定S局部有界，Zeloc(S)6=，且ssu pemption 2.1对mte bD(T)ft/e(bD(T))成立。

那么下面的断言（1）和（2）是等价的。（1）泛函Uis是具有最优投资组合率bθ的前向效用。（2）以下性质成立:(2.a)过程bd是正鞅。(2.b)关于Q:=bd(T)bd(0)-1·P的零阶MHM密度存在（即byeZQ)，且存在一个Q-局部鞅Lq，使得(4.83)D(t)=bd(t)D(0)bd(0)-1+lqt-h(0)t(eZQ，Q),0≤t≤t(2.c)pa-几乎全部(ω，t),最优投资组合率bθ属于int(D)，是(4.84)bq-cλ+zh1+λtrx^-1-1ixfq(dx)=0的根，其中bq和FQ(dx)是S在Q下的可预测特征。(2.D)过程bnt:=D(t)-bd(t)log ezqt是鞅。我们开始证明di？cult部分，它是(1)=yen（2）。假设断言（1）成立。由于命题3.3，最优投资组合利率Bθx不依赖于初始资本x∈(0,+∞)。因此，这一事实与断言（1）的结合导致putbθ:=bθ,和(4.85)U t,xEt(bθ·S)=log(x)bD(t)+bD(t)log Et(bθ·S)+D(t)是一个鞅，对于任意x∈(0,+∞),对于任意θ∈θ(x,log)，(4.86)U(t,xEt(θ·S))=log(x)bD(t)+bD(t)log(Et(θ·S))+D(t)是一个上鞅，因此bD(t)是一个正鞅，D是一个c`adl`ag上鞅。证明了在Q:=BD(t)/BD(0)·p下，断言(2.a)和D(t)/BD(t)是一个上鞅。因此，存在一个可预测且不递减的pr函数AQ，使（4.85）和（4.86）转化为（应用Ito公式并在Q下进行补偿后）(4.87)-ΦQ(θ)·a-aq-ΦQ(bθ)·a-aq=0。这里，(2.8)通过取p=0和R=Q而给出的函数ΦQ，(bQ，c，FQ)是S在Q下的可预测特性（显然是cq=c)。因此，(4.87)蕴涵着Bθ在集合D+上使Φq变得最小，并且Thusbθ满足引理A.3的假设。因此，断言(2.C)紧随这个引理之后。然后，通过引理3.15和引理3.17（详见注3.16）的证明，我们推导出fw(t，y):=1+bθtry-1-1∈Gloc(μ，Q),并且给出了关于Q,denotedeZQ，existing的零级最小Hellinger鞅密度byezq:=E(eNQ),eNQ:=-bθ·Sc,Q+fw(μ-ρQ),这证明了断言(2.b)。由于命题B.1(B.120)中的q=0，我们得到了Ezq-1=Ebθ·S。通过在（4.85）中插入th是等式，我们得到了(4.88)Ut，xEt(bθ·S):=Bd(t)log(x)+Bd(t)log(x)+D(t)=Bd(t)log(x)+D(t)-Bd(t)log Ezqt。然后，断言(2d)遵循了Ut，xEt(bθ·S)和Bd都是鞅的事实，这就完成了证明断言(2)，证明了r的everse蕴涵（即。(2)=§(1))，很容易指出，只要断言(2.b)h成立，(4.88)就有效。然后，断言(2.a)和(2.d)暗示uq t,xEt(bθ·S)是任意x>0的q-鞅。然后，一旦我们证明th atUQ(t,xEt(θ·S))是任意x>0且任意θ∈θ(x,log）的q-上鞅，就会立即得到断言（1）。为此，我们需要计算，xEt(θ·S))=log(x)+log(Et(θ·S))+d(t)/bd(t)=log Et(θ·S)/Et(bθ·S)+uq t,xEt(bθ·S),=:log x(t)+uq t，xEt(bθ·S).那么，很容易看出X=E(θ·S)/E(Bθ·S)=EZQE(θ·S)是一个正的q-局部鞅（这意味着log(X(t))是一个q-局部上鞅）,由于EY+≤EY+1-EQ e(log(X(τ)))+≤EQ(X(τ))+1≤2。然后，Lavall\'ee-Poussin变元允许我们得出N\\log(X(τ))+，τ∈Tto是q一致可积的。由于uq t,xE(bθ·S)是鞅，我们推导出Huq(τ,xEτ(θ·S))i+,τ∈Tt是q一致可积的。这一事实与θ的可容许性的结合导致了一致可积的ofUQ(t,xEt(θ·S))。因此，这个过程是一个q-上鞅，并完成了定理的证明。注4.2。从Theore M4.1中可以清楚地看出，如果我们假定BD和D是可预测的，那么BD是常数。

因此，在这种情况下，只有一个f orward效用，它将经典的对数效用用一个最优定价密度的H ellinger过程扩充。关于对数效用的最优投资组合的完整描述，我们请读者参考Géoll和Kallsen(2003)。值得一提的是，Tour方程（4.84）与Kardaras(2012)在一维上下文中导出的方程相同。Kabanov(2013)尝试将这个方程（称为“市场方程”）扩展到多维框架。5离散时间市场模型本节说明了我们关于离散时间市场模型的第3和第4节的结果，它是经济和/或金融文献中最常用的市场模型。我们考虑交易时间为t=0，1，..，t的市场模型，市场模型的信息量由F=(Fn)n=0，1，..，t给出，d维股票价格过程由S=(Si)i=0，1，..，t表示。对于x∈(0，+∞)，p<1，而t=0，1,...,T,我们pu T(5.89)Up(T,x):=D(T)xp,如果p6=0,bD(T)log(x)+D(T),如果p=0,其中D=(D(T))T=0,1,..,T,(bD(T))T=0,1,..,T,(D(T))T=0,1,..,T,和(D(T))T=0,1,..,满足(5.90)sup0≤j≤tehd(j)+bD(j)+D(j)i<+∞。类似于（2.9）对于连续时间情形，我们将D+jby(5.91)D+j:=nθ∈rd1+θtrx>0,对于任意j=1,2,...,T，j(dx)-a.eo,Gj(dx):=p(sj∈dx fj-1),其中y=sj:=sj-sj-1。对于任意过程X=(Xi)i=0,1,……,T,我们将其关联到jthperience(j=1,2,……,T)θj(X,Up)的可容许策略集，其给定形式为(5.92)θj(X,Up):=nθ∈L(Fj-1)d+j e xjsj(1+θtrsj)p-1Fj-1<+∞,p-a.s.o.在这个f假设中，假设2.1成为假设5.1。对于任意j=1,2,...,T,任意θ∈D+j,P-A.E.,且所有收敛于P-A.S的序列(θn)n≥1purint(D+j)。对于θ,我们有velimn→+∞e d(j)Kp(θtrnsj)fj-1=(+∞,在γj上；e d(j)Kp(θtrsj)fj-1,在γcj.(5.93),其中Kp(y):=y(1+y)1/(q-1)=y(1+y)p-1和γj:={Gj(Rd)>0和θ6∈t(d+j)中，我们给出了具有（5.89）形式的前向u函数的参数化算法。定理5.2。设p∈(-∞,0)TM(0,1）。假设S是有界的，假设5.1成立，D满足（5.90）。那么，下面是等价的。(i)Up(t,x)-在（5.89）中定义-是一个具有最优投资组合的前向效用bθ=(bθi)i=1,2,...,t。(ii)两个过程D和bθ被给出bθj∈θj(D，Up)是e djèsj(1+θtrèsj)p-1fj-1=0,(5.94)和D(j-1)=e D(j)(1+bθtrjèsj)pfj-1，(5.95)的根，对于所有j=1,2,...,t。H ereθj(D，Up)在（5.92）中定义。注5.3。定理5.2完全参数化了（5.89）在离散时间设置中的前向效用。事实上，这些前向实用程序的唯一参数是进程D的终端值，也就是D(T)。给定这个随机变量，我们计算了第n个时间段的最优投资组合，bθnas方程（5.94）的根。然后，我们从（5.95）计算dn-1。然后，我们一遍又一遍地重复这个过程，直到我们完全确定过程D和bθ。定理5.2的证明。注：由于(5.90)，过程D可以表示为byD(t)=D(0)ZDtexp(aDt),zdt:=tyi=1D(j)E(D(j)fj-1),aDt:=txj=1 log E D(j)D(j-1)fj-1,t=1,2,...,t；Zd=1,ad=0。很容易证明ZDis是一个正的martin gale（因为pD(j)>0)和aDis预测表。因此，在证明的其余部分，我们将给出概率度量Q:=Zdt·P。我们将从证明(i)=§(ii)开始。因此，假设(i)成立。那么存在一个可容许策略bθ，使得对于任何其他可容许策略θ,过程Upj,jyk=1(1+bθtrk@sk)！和Upj,jyk=1(1+θtrk@sk)！分别是鞅和上鞅。这意味着对于任意j=1,2,...,T，(5.96)D(0)eq(1+θtrjsj)p fj-1≤D(0)e-adj+adj-1=D(0)eq(1+bθtrjsj)p fj-1。那么，(5.96)的RHS项中的相等性意味着（5.95）。

而整个不等式（5.96）可以转化为tod(0)Z(1+θtrjx)pGQj(dx)≤D(0)Z(1+bθtrjx)pGQj(dx),其中GQj(dx)由GQj(dx):=qsj∈dxfj-1给出。根据引理a.3和假设5.1,我们得出结论:(5.97)j(λ):=D(0)Z(1+λtrx)pGQj(dx),λ∈D+j，是int(D+j)上的di值，其最小值θj是int(D+j)的根，它是0=πj(λ)=pD(0)Z(1+λtrx)p-1xgqj(dx)的根，这与(5.94)等价，并得到断言(ii)。为了证明相反（即(ii)=≈(i)),我们假定断言(ii)成立。然后将(5.95)的两边乘以xpqj-1k=1(1+bθtrjsk)p，得到(j-1)xpj-1yk=1(1+bθtrksk)=ED(j)xpjyk=1(1+bθtrjsk)p fj-1！。这证明了对于任意x∈(0,+∞)的过程Upj,xjyk=1(1+bθtrksk)！，j=0,1,…,T,isa鞅。由于pD(j)>0且对于任意j=0,p<1,1、……，T,那么对于任何可容许的投资组合改进θ，我们导出了(j)(1+θtrj@sj)p-d(j)(1+bθtrj@sj)p≤pD(j)θj-bθj tr@sj)p≤pD(j)θjθj tr@sj(1+bθtrjsj)p-1。然后，通过在上述不等式的两边取条件期望，利用(5.94)和(5.95)，我们得到xpD(j)(1+θtrjsj)pfj-1≤expd(j)(1+bθtrjsj)pfj-1=xpD(j-1)。然后，将该不等式的两个ide乘以j-1yk=1(1+θtrksk)p，我们得出结论：对于任一x>0且任一可容许θ的情形，xjyk=1(1+θtrj@sk)！=xpD(j)jyk=1(1+θtrk@sk)p,j=0,1,...是一个上鞅。在离散时间市场模型中，最简单、最流行的情形之一是二项式模型。设ζja是一个FJ可测的随机变量，它只取两个值：对任意j=1,2,...,T,ζuja和ζdja满足0<ζdj<1<ζuj.给定股票在时间j-1（即sj-1)的价格，时间j的价格要么上升到sj-1ζuj，要么下降到sj-1ζdj。因此，我们得到sj=sj-1ζj=sjyk=1ζk,s>0。我们用(Aj)j=1,...,t(5.98)Aj:={ζj=ζuj}∈fj给出的事件序列。对于这个模型，我们有#(Ω)=2n<+∞。因此，任何随机变量都是可积的，且θj(D，Up)=L(fj-1)'AD+j，j=1,2,…，t。此外，在这种情况下，由于(5.99)D+j=i1/(1-ζuj)sj-1,1/(1-ζdj)sj-1h=int(D+j)，πj=1,2,…，t，假设5.1总是有充分性的。在这个简单的框架中，幂型前向实用工具的描述--将Musiela和Zariphoupoulou(2009a)的结果推广到幂型情况--有一个更明确的形式，在下面给出。推论5.4。下面两个断言是等价的。(i)Up(t，x）,在（5.89）中删除，是一个具有最优投资组合率的前向效用函数bθ=(bθj)j=1,2,…,t。(ii)过程D是一个具有乘法Doob-Meyer分解的上鞅，D=D(0)ZDexp(aD)(ZDis是一个正鞅，aDis是可预测的），它具有以下性质:(ii.1)通过设Q:=zdt/zd^·P,则对于j∈{1,2,..,T},bθj=γj-1(ζuj-1-γjζdj+γj)sj-1∈d+j,γj:=(ζuj-1)Q(ajfj-1)(1-ζdj)Q(acjfj-1)！1-Q(II.2)可预测过程ady由adj=-jxk=1log(γp-1kq(Akfk-1)+Q(ackfk-1))(ζuk-ζdk)p-1(ζuk-1-γkζdk+γk)p-1,j=1,2,...,T给出。这个推论可以作为定理5.2的应用得到。因此，我们将避免再次重复同样的证明，通过给出一些注释来强调这种情况的良好特征，这些特征极大地简化了证明。由于D+JIS打开且#(Ω)<+∞，假设（5.90）和（5.93）自动确定。由（5.97）给出的函数τj=Q(ajfj-1)(1+(ζuj-1)λsj-1)p+Q(acjfj-1)(1+(ζdj-1)λsj-1)p，它在d+j上是可得的。因此，bθji是方程的解，θ′(λ)=0，这导致（5.100）。最后，通过将（5.100）插入（5.95）并应用D的分解导出形容词。这就结束了推论的证明。我们通过导出对数情形的结果来结束这一小节。定理5.5。假设S是有界的，bD和D两个过程满足（5.90）,并且假设5.1对mte BDT ft/EBD(T)成立。

则函数U(t，x):=bD(t)log(x)+D(t)（见(5.89))，是一个具有最优投资组合bθ=(bθi)i=1,2,...的正效用，t(ii)bD是一个正鞅，过程bθ满足(5.101)bθj∈θj(bD，U)和bθj是EbD(j)1+θtr@sjsjfj-1！=0,j=1,2,...,t的根，过程D是一个上鞅，其可预测部分由(5.102)-jxk=1 e bD(k)log(1+bθtrksk)给出fk-1。这里的θj(bD，U)由（5.92）给出。证明。假设断言(i)成立。然后，对于任意x∈(0,+∞),过程suj,xjyk=1(1+bθtrk@sk)！是鞅。然后，我们推导出过程d(j)+bd(j)logjyk=1(1+bθtrk@sk)！和bd(j)都是鞅。这证明了ATBD是一个正鞅。因为对于任一容许的leθ,Uj,xjyk=1(1+θtrk@sk)！，是一个su泛鞅。然后我们推导出(5.103)e bd(j)log(1+θtrjsj)fj-1≤e D(j-1)-D(j)fj-1=e bd(j)log(1+bθtrjsj)fj-1。因此，(5.103)的RHS项中的相等性意味着adj:=jxk=1 e D(k)-D(k-1)fk-1=-jxk=1 e bd(k)-D(k-1)fk-1=1 e bd(k)log(1+bθtrksk)fk-1。这证明了（5.102）。若设Q:=Bd(T)Bd(0)-1·P，则(5.103)为Zlog(1+θtrjx)GQj(dx)≤Zlog(1+bθtrjx)GQj(dx)，其中GQj(dx):=Q(sj∈dxfj-1)。这证明了在集合d+j上，tbθj极大函数(5.104)Yj(λ):=zlog(1+λtrx)GQj(dx)。根据引理a.3，我们得出结论:bθj∈INT d+j，且bθj是0=bd(j-1)πyj(λ)=bd(j-1)z1+λtrx-1xgqj(dx)=e bd(j)(1+λtr@sj)-1sjfj-1的根。这证明了(5.101)，从而完成了断言(ii)的证明。为了证明(ii)蕴涵(i),我们假定断言(ii)成立。然后，由于（5.101）和bd是鞅的事实，我们计算u(j，xqjk=1(1+bθtrksk))fj-1=bd(j-1)log(x)+e d(j)fj-1+bd(j-1)j-1xk=1log(1+bθtrksk)+e bd(j)log(1+bθtrjsj)fj-1，=uj-1,xj-1yk=1(1+bθtrksk)！最后一个等式很容易从（5.102）得到。这证明了Uj,XJYK=1(1+bθtrksk)！对于任意x∈(0,+∞)是amartingale。由于（5.101）和对数函数的凹性，我们得到了对于任意给定的θe bd(j)hlog(1+θtrj@sj)-log(1+bθtrj@sj)i fj-1≤0。然后，将此不等式与Uj,xjyk=1(1+θtrk@sk)！=Uj,xjyk=1(1+bθtrk@sk)！+bd(j)jxk=1log1+θtrk@sk1+bθtrk@sk！结合，我们得出了过程Uj,xjyk=1(1+θtrk@sk)！是一个上鞅。对于二项式m odel，其集合θj(bD，U)和d+j，与幂次情形的集合相似。b项模型中的对数前向效用的hecharacterization如下。推论5.6。以下两个断言是等价的。(i)U(t，x)在(5.89)中定义，是一个具有最优投资组合bθ=(bθj)j=1,2,...,t的前向效用。(ii)以下假设成立:(ii.1)di是一个正鞅，且bθjis由(5.105)bθj=(ζuj-1)qj-(1-ζdj)(1-Qj)(ζuj-1)(1-Qj)(ζuj-1)(1-Qj)(ζuj-1)(1-Qj)sj-1∈D+j给出，其中Qj:=Q(ajfj-1)，Q:=D(t)D(0)·P和Ajis由（5.98）给出。–jxk=1 hlogζuk–ζdj1–ζdkqj Qj+logζuk–ζdjζuk–1(1-Qj)(1-Qj)i.证明。这个推论的p顶板来自定理5.5，并且在二项式情况下，包含在（5.104）中的函数Yj(θ)的形式为(5.107)Yj(θ)=log(1+(ζuj-1)θsj-1)Qj+log(1+(ζdj-1)θsj-1)(1-Qj)。二项式离散模型的一个推广是多维离散模型，其中D维股票价格过程在任意时刻分支为n(n>2)个可能值。对于这种模型，假设5.1-对于BD和p=0的情况而不是D-和（5.90）自动满足，因为集合D+是开放的，并且#(Ω)<+∞。

HARA型正向效用的特征和其他说明性的例子可以在Ma(2013)6中找到。结论和相关的开放问题本文完整而明确地描述了当S是局部有界的，并且在对这些效用的参数和市场模型的参数作了一些温和的假设（见假设2.1）的情况下，HARA型正向效用。我们的方法是最明确的，处理最普遍的市场模型，这是没有d ou bt的。然而，我们的结果有一些可以改进和/或扩展的地方。此外，我们的工作导致了一些相关的开放问题。下面，我们概述了其中的一些问题和可能的推广。（1）我们的结果一方面可以推广到一般S（不一定局部有界）的情况。另一方面，假设2.1可以忽略不计，这就产生了最小Hellinger de Scherator的新概念。最后一部分构成了我们在Choulli and Ma(2013)中目前的工作--也就是未进展的工作，其中前向效用和前向投资组合的显式形式被丢失，而特征仅由对偶实现。同时，我们还可以猜想，当U是一个前向性时，Zeloc(P)6=θ的非套利假设是多余的。这可以通过将Choulli,Deng和Ma(2013)的resu lts扩展到random Firefeld实用程序的情况来证明。（2）我们能为任何random Firefeld实用程序定义一个向前的“regularis”吗？这个前向正则是最小的前向效用，它大于或等于r。（3）离散时间设置中的前向效用的参数化被简化为一个参数，该参数是过程D的最终值。换句话说，在这种情况下，前向效用及其最优组合也是使用反向迭代计算的。这就引出了一个问题，即我们能否在连续时间框架下，用倒向随机二元方程来刻画这些正向效用。这听起来是PDES方法的一个非常有希望和有趣的替代方案。对于指数情形，我们从Mchristoph Frei中了解到，这个问题最近由Anthropelos(2013)解决。（4）另一个问题是，这些远期效用及其最优投资组合如何改变不可违约的市场，或者更一般地说，改变任何运行的dom退出时间。我们相信，这一问题将导致这些正向u值在不确定模型下的稳定性。附录本附录包含两个部分，我们参考了Jacod(1979)（定理3.75,第103页）和J.acod和Shiryaev(2003)（引理4.24,第185页）,作为f.ollowing表示定理的一些有用的中间结果。设N∈M0,loc。那么，存在一个可预测且可预测的过程φ,n′∈M0,locate[n′],s]=0和泛函f∈EP和g∈EO使得(i)TxS=0f(s,@ss)I{}ss6=0}∈a+loc,txs=0g(s,@ss)I{}ss6=0}∈a+loc,(ii)mpμ(GeP)=0,(iii)过程N是由(a.108)N=φ·sc+W(μ-'A)+gμ+N′,W=f+bf1-ai{a<1}.这里bft=zft(x)({t},dx)和f有一个版本，即{a=1}}{bf=0}.此外(a.109)nt=ft(st)+gt(st)i{st6=0}-bft1-ati{st=0}+N′t.本文通篇用Jacod的N（P下）的分量/参数来称为四元组(β,f,g,N′)。对于任何与P等价的概率测度R，我们用(bR,c,vr)（其中vr（dt,dx)=FRtdAt)来表示S相对于R的可预测特性。注记因此，从RéP，我们有fréf，pa-a.e。因此，分别在（2.9）和(a.110)中定义的集合D+和D不依赖于等价的概率。引理a.2。假定S是局部有界的。设R为概率测度等价顶。然后，给出了t(d+)=D:={λ∈D+:δ>0,1+λtrx≥δ，f-A.E}中D+satis(a.110)0∈in的内部证明。

通过停止，假定S以K为界并不损失一般性。对于任意λ∈int(D+)，存在ε>0，使得对于任意B(λ，π)=D+。注:λ:=λ(1+π2λ)∈B(λ，π)，因此我们有1+λtrx>0,fr-A.E。因此，我们写出1+λtrx=ππ+2λ+2λ(1+λtrx)π+2λ≥ππ+2λ>0,fr-a.e.这证明了λ∈D，因此我们得到了int(D+)×D.在证明的剩余部分我们将证明反包含。设λ∈D，一致界fr om低于δ。然后，很容易看出B(λ，δ/k)=d+。这证明了λ∈int(D+)，并且引理的证明直接从注意到0∈D.引理A.3开始。假定S是局部有界的，设R是等于P的概率测度，下面的断言成立，P A-A.E.(i)对于任一λ∈int(D+),(A.111)zx(1+λtrx)1/(q-1)-1fr(dx)<+∞。(ii)在(2.8)中的函数Φrp(λ)是凸的，适当的，下半连续的，在int(D+)上是双列的，且Φrp(λ)=br+Cλq-1+zhx(1+λtrx)1/(q-1)-xiFR(dx),λλ∈int(D+),(iii)如果minλ∈DΦrp(λ)=Φrp(λ),假设2.1对于λ∈Rd,假设2.1 mte drdp ft成立，则λ∈int(D+).证明。这个引理的p顶将在三个部分中得到，其中我们将分别证明断言(i)、(ii)和(ii)。a）对于任何λ∈int(D+)，由于引理a.2，存在δ∈(0,1）使得1+λtrx≥δ>0,f-A.E。然后，将泰勒展开式应用到(1+λtrx)1/(q-1)-1=(1+λtrx)p-1-1中，得到了r∈(0,1）的存在性，使得(1+λtrx)p-1-1=(1-p)λtrx(1+rλtrx)p-2≤δp-2(1-p)λtrx。（根据S是局部有界的事实），我们得到Zx(1+λtrx)1/(q-1)-1fr(dx)≤δp-2λ(1-p)ZxFR(dx)<+∞,p a-a.e.这证明了引理的断言(i)。b）由于Fatou的引理和fp≥0,显然ΦRPI是凸的、真的和半下连续的。然后，一旦证明了ΦRPON int(D+)的可确定性，引理的断言(ii)的证明就完成了。设λ∈int(D+)。那么，对于任意y∈Rd，感谢a部分证明的断言(i)和引理a.2，存在ε>0，使得对于任意0≤ε≤ε，λ+εy∈dom(Φrp)。函数gp(λtrx):=(1+λtrx)p-1-pλtrxq(q-1)的泰勒展开式的一个应用意味着存在r∈(0,1）这样kε(x):=gp(λtrx+εytrx)-gp(λtrx)ε=ytx(1+λtx+rεytx)1/(q-1)-1。同时，注意(kε(x))ε是由k(x):=yx max(1+λtrx)1/(q-1)-1,(1+λtrx+εytrx)1/(q-1)-1上有界的。由于引理A.3-(i)，k(x)是F-可积的，由于λ,λ+εy∈dom(Φrp)。将支配收敛定理应用于(kε(x))ε,得到(a.112)Limε→0Φrp(λ+εy)-Φrp(λ)ε=ytrΦ*(λ),其中Φ*(λ)由Φ*(λ):=br+cλq-1+zhx(1+λtrx)1/(q-1)-xiFR(dx)给出，从(a.112)可以清楚地看出ytrΦ*(λ)是Φrpatλ的方向导数，在y中是线性的。因此，由于Rockafellar(1970)中的定理25.2，ΦRPIs在λ∈int(d+).c）处可执行，以证明断言(iii),我们首先注意到λ属于d+-,因为d+Chrodom(Φrp)-,并且λn:=n-1nλ∈int(D+)=D,将断言(ii)直接应用于每个λn，推导出Φrpi在λn处是可犯的，由于Φrp的凸性，我们得到λtrn→Φrp(λn)≤(n-1)→Φrp(λ)→Φrp(λn)≤0。这意味着th atzλtrnx(1+λtrnx)p-1-1p-1fm(dx)≤-λtrnb+(1-p)λtrncλn。因此，结合这个假设2.1就意味着λ∈int(d+)（否则，利用上述不等式中的Fatou引理，我们将得到+∞≤λtrb+(1-p)λtrcλ，这是不可能的）。这就完成了引理命题A.4的证明。设S局部有界，并有以下分解=S+SC+z(μ-'A)+b·A.设θ为S-可积过程，α∈(0,+∞)。(i)过程(a.113)xθ:=θ·s-xθtr@si{θtr@S>α}是局部有界半鞅。(ii)若我们表示ζθ:=θtrb-z(θtz)i{θtrz>α}F(dz)，则ζθ·a∈a+loc。(iii)过程xθ-ζθ·a是局部有界半鞅。