HARA前向效用及其最优解的显式描述 投资组合

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摘要翻译：
本文讨论了HARA型的前向性能。精确地说，对于股票价格过程是由局部有界的$d$维半鞅建模的市场模型，我们详细地描述了这类正向效用的一个完整而显式的刻画。此外，每一个正向工具的最优投资组合都被明确地描述。我们的方法是基于由Hellinger过程的重要统计概念得到的最小Hellinger鞅密度。这些鞅密度是最近引入的，并出现在这里为这些向前的实用程序量身定做。在概述了HARA正演的参数化方法之后，我们给出了离散时间市场模型的示例。最后，通过指出一些相关的有待解决的问题，对本文进行了总结。
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英文标题：
《Explicit Description of HARA Forward Utilities and Their Optimal
  Portfolios》
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作者：
Tahir Choulli and Junfeng Ma
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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英文摘要：
  This paper deals with forward performances of HARA type. Precisely, for a market model in which stock price processes are modeled by a locally bounded $d$-dimensional semimartingale, we elaborate a complete and explicit characterization for this type of forward utilities. Furthermore, the optimal portfolios for each of these forward utilities are explicitly described. Our approach is based on the minimal Hellinger martingale densities that are obtained from the important statistical concept of Hellinger process. These martingale densities were introduced recently, and appeared herein tailor-made for these forward utilities. After outlining our parametrization method for the HARA forward, we provide illustrations on discrete-time market models. Finally, we conclude our paper by pointing out a number of related open questions.
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关键词：投资组合 最优解 Quantitative Optimization Applications

HARA前向效用和前向投资组合的显式描述*Tahir Choulli和Junfeng MaMathematical和统计科学系Alberta大学，EdmontonAlberta,T6G2G1,Canada,2018月29日本文讨论HARA型的前向性能。精确地说，对于股票价格过程是由局部有界的D维半鞅建模的ma rketmodel，我们给出了这类前向性的一个完整而显式的刻画。此外，本文还详细描述了沃德公用事业的最优投资组合。我们的方法是基于由Hellinger过程的重要统计概念得到的最小Hellinger鞅窝。在概述了ward的HARA参数化方法之后，我们给出了离散时间市场模型的实例。1引言自从Merton(1971，1973)发表重要论文以来，效用最大化和最优投资组合理论在多个方向和框架内得到了成功的发展。这些成就可以在Karatzas和Wang(2000)、Kramkov和Schachermayer(1999)、Cvitanic等人的著作中找到。(1992，2001)，Karatzas和Zitkovic(2003)，以及其中引用f EW的参考。在这些研究中，au thors考虑了一个有限的投资期限，实际上忽略了可变期限对最优选择投资组合和/或投资者行为的影响。地平线将如何影响投资的经济问题是古老的，可以追溯到费舍尔（1931）。在数学背景下，th是一个非常重要的问题，直到最近才有了一些进展。然而，代理人应该从她在股票市场上的投资中找到最佳投资组合，以及在最佳时间内清算她所有的资产（可交易或不可交易）的问题已经存在了一段时间，并通过多种方式得到了解决。关于这个问题的文献，我们请读者参阅Evans等人。(2008)，Henderson和Hobson(2007)，以及其中的参考文献。一个特别有趣的方法*这项研究完全由加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）通过G121210818资助。作者非常感谢弗雷迪·德尔班和邓军为改进论文提出的宝贵建议和建议，并感谢Christoph Frei向他们通报了人类（2013）。对应作者，电话：1 780 492 907 8,传真：1 780 492 682 6,tchoulli@ualberta.ca这个问题是由Henderson和Hobson(2007)提出的，其中作者提出将投资和液体时间问题转化为对地平线不敏感的效用问题。当它存在时，作者们称之为泛函效用，即无水平偏差效用。事实上，前向性（或前向性）的概念主要通过Musiela-Zariphopoulou(2007，2009a，2009b，2010)的作品，Henderson-Hobson(2007)和Choulli等人的作品以不变的形式出现在文学作品中。（2007）（其他相关主题见Choulli andStricker(2005，2006)）。forward实用程序构成了由Karatzasand Zitkovic(2003)提出的random foungield实用程序大类的一个子类。这些随机效用出现在经济学中的随机效用模型理论中，因为psy chometomic文献提供了关于随机选择行为的经验证据。关于这些th emes的详细信息，我们请读者参阅Suppes Etal。(1989)，McFadden和Richter(1970)，Coh en(1980)和Clarck(1996)以及其中引用的参考文献很少。

一个随机效用代表了一个代理的偏好（或在Fish er(1930)中称为代理的simpatience)，它使用关于市场的公共信息的availableaggregate curnow在每一个瞬间更新。在这些随机效用中，前向效用的特点是它是一个上鞅，或者说是一个在最优状态下产生的财富过程，而在最优状态下是一个鞅。前向效用的概念自诞生以来，在不同的背景下得到了广泛的研究，并在许多方面得到了推广和推广。在最优状态下，前向效用是一个最优状态下的一个最优状态下的最优状态下的最优状态下的最优状态下的最优状态下的最优状态下的最优状态下的最优状态下的最优状态下的最优状态。事实上，在风险度量Z ariphopoulou和Zitkovic(2010)的背景下，使用了远期公用事业。在Henderson(2007)和Anthropelos(2013)中，远期公用事业的概念主要和广泛地用于Indi interence定价和/或评估。从Berr ier，Rogersand Tehrenchi(2009)开始，在stron g的市场模型假设下，有许多尝试来描述这些远期公用事业。随后，Zitkovic(2009)给出了半马丁市场模型在布朗运动驱动下，效用为指数型时的对偶刻画，并给出了具体的刻画。最后，在Choulli等人。（2011）中，指数型的正向效用在半马丁格尔框架中得到了完整和显式的描述。本文的主要目的是给出Hara型正向效用的显式参数化。确切地说，我们感兴趣的是具有(1.1)U(t,ω,x)=D(t,ω)xp(ω,t）或U(t,ω,x)=D(t,ω)+bd(t,ω)log(x)形式的前向效用，U(t,x)。我们将显式地描述过程D、p、D和bd的动力学以及每类前向效用的最优投资组合。由于Choulli等人引入并发展了最小Hellinger鞅密度的概念，这将得以实现。（2007年）。实际论文的结果--第3节和第4节--不能与C houlli et al.(2011)的结果放在一个统一的框架内。这一事实从本文和Choulli等人的风险厌恶过程的直接形式中可以明显看出。分别为（2011年）。Hellinger过程/积分的概念出现在统计学和/或信息论中，并在其中发挥着重要作用。Jacod、Kabanov、Shiryaev、Stricker和C·Houlli等许多学者对它进行了扩展和改进，以便更好地用于数学分析。关于更多的细节，我们请读者参阅Kabanov(1985)，Kabanov等人。(1984，1986)，Chouli and Stricker(2005，2006)及相关文献。第2节将介绍数学模型，并对其进行初步说明和记号。在第3节和第4节中，我们将详细描述HARA前向效用的参数化，而第5节说明离散时间市场模型的特征。本文通过指出一些相关的开放问题来总结这项研究。其他技术和/或中介结果收集在附录中。2初步和注释本节包含两个小节。第四节给出了数学模型，并对其进行了初步分析。2.1数学模型数学模型从一个给定的由(Ω，F，F，P)表示的组合概率空间开始，其中组合F:=(Ft)0≤T≤tis完全且右连续，T表示投资的组合地平线。在这个设置中，我们考虑了一个d维局部有界半区间S=(St)0≤t≤t，它表示d个风险资产的折扣价格过程。接着，我们回顾了半区间S的可预测性的认识（Jacod和Shiryaev(2003)的第II.2项）。与跳跃相关的rand om测度eμ由μ(dt，dx)=xi{}ss6=0}δ(s，ss)(dt，dx)表示，其中δ是A点的Dirac测度。

S的连续局部鞅部分用SC表示。这就导致了f ollowing分解，称为“规范表示”（见定理2.34，Jacod和Shiryaev(2003)的II.2节），即(2.2)S=S+SC+x(μ-'A)+B，其中随机测度yen是随机测度的补偿器。C的条目是cij:=hSc，i，Sc，ji，三重（B,C,v)称为s的可预测特征。进一步，我们可以得到满足(2.3)B=B·a,C=C·a和v(ω，dt，dx)=dAt(ω)Ft(ω，dx)的特征三重的一个版本，这里a是一个递增的可预测过程，B和C是可预测过程，Ft(ω，dx)是一个可预测核，bt(ω)是一个向量，ct(ω)是一个对称的d×d-矩阵，对于所有(ω，t)∈Ω×[0,t]。在本文的续篇中，我们常把ω、t和wr删去，例如，F(ω，dx)简称为Ft(ω，dx)的特征B、C和v，满足Ft(ω，{0}）=0,Z(x1)Ft(ω，dx)≤1,而在{a6=0}上，bt=zx({t}，dx)，C=0。我们设vt(dx):=({t}，dx)，at:=t(IRd)=atft(IRd)≤1。我们通过Pa（分别为Pe）得到关于（分别等价于）P的绝对连续的所有概率测度的set。概率Q下的局部鞅集用Mloc(Q)表示，而S的等价鞅测度集由(2.4)Meloc(S):=nq∈PE给出：S是Qo下的局部鞅，通常a+表示递增的、右连续的、自适应的、可积的过程集。如果C是一类过程，我们用C_1表示过程集X=0,用C_1表示过程集X,使得存在一个停止时间序列(Tn)n≥1,平稳地增加到T（即P(Tn=T)→1为n→∞）,停止过程Xtn属于C。我们把C_0,loc=Cócloc.在本文中，我们将用局部鞅密度代替用martin gale测度。为此，我们将得到以下密度集(2.5)Zeloc(S):=nz=E(N)>0N和ZS是局部鞅，和/或(2.6)Zeq,loc(S):=nz=E(N)∈Zeloc(S)xfq(N)∈A+loco，其中对于任意r∈IR,由(2.7)fr(x)给出的函数fris:=(1+x)r-1-rxr(R-1),如果r6∈{0,1}且x>-1,x-log(1+x),如果r=0且x>-1,(1+x)log(1+x)-x,如果r=1且x≥-1,+∞。对于等价于P的概率测度r，函数fris+函数Φrr和集合d+将在我们的分析中起重要作用。在整个论文中，xtry将描述RD中x和y的内部过程。函数Φrr-也表示为Φrr=Φrwhenr=p-取值于(-∞,+∞],由(2.8)Φrr(λ):=λtrbrr-1+λtrcλ+zfr(λtrx)FR(dx),±λ∈Rd,±r6=1给出，而set D由(2.9)D+:=nθ∈ird:1+θtrx>0,F(dx)-几乎全部x∈irdo表示。下一个技术问题对于我们主要结果的显式形式至关重要。对于somep∈(-∞,1）和正局部鞅M=E(N),N=0,设(β,f,g,N′)为N的Jacod参数（详见定理a.1）,并设测度FMt(dx):=(1+Ft(x))Ft(dx),则依赖于（p,M）的主要假设为假设2.1。对于任一可预测过程λ使得λ∈D+,P A-A.E.和所有可预测过程序列，(λn)n≥1,使得λn∈int(D+),和λn→λP A-A.E.,我们有(2.10)limn→+∞zkp(λtrnx)FM(dx)=+∞,在γ上；zkp(λtrx)FM(dx)=+∞,在γC上。其中Kp(y):=y[1](1+y)P-1和γ:={FM(Rd)>0和λ/∈int(D+)}。假设2.1是一个技术条件，本质f或随机最优化的解属于该函数的E-射域的内部。下面，我们列举了一些满足假设2.1.1的模型）假设2.1在S连续时是自动的，因为在这种情况下，F0和γ='A.2)假设2.1适用于任何模型，例如:ft(dx)=ntxi=1δxi(t)(dx)，P a-a.e.其中xi(t)是一个值在rd中的过程，而ntis是一个值在n中的过程。

在风险理论中可以找到ke rnels F为原子的模型的例子，如xt=ntxj=1yj，这里(Yi)i≥1是iid且与泊松过程N无关，且nxk=1p(y=yk)=1。Hereyk∈Rdand n∈n，并给出了直到时间T的集合要求。在集合Ω×[0,T]上，我们得到了分别由自适应过程和RCLL过程以及自适应过程和连续过程生成的以O和P表示的两个σ-函数。在设置Ω×[0]时，T]×Rd,我们考虑σ-fieldep=pB(Rd)(rep.eo=oB(Rd)),其中B(Rd)是Rr的borelσ-field。对于anyeo-可测泛函g，(h eer eo表示后）,当mpμ(GEP)存在时，我们将mpμ(GEP)定义为惟一ep-可测泛函，使得对于任意有界W∈eP，mpμ(W g):=e ztzrdw(s,x)g(s,x)μ(ds,dx)=mpμW mpμ(GEP)。在本文中，我们将经常使用以下顺序来比较两个随机过程。设X和Y是两个X=Y的过程。如果y-x是一个非递减过程，我们就写出Y，这个顺序在最近的文献中被用来定义最小Hellinger m artin gale测度（或密度），例如见Choulli an d Stricker(2005，2006)和Chou lli et al.（2007）。下面，我们对包含局部变化概率的Hellinger过程进行了稍微的扩展。(i)设Q为概率测度，Y为Q-局部鞅，使得1+@Y≥0。然后，如果RCLL非减过程(2.11)V(q)(Y)=hyci+xfq(Y)是q-局部可积的（即V(q)(Y)∈a+loc(q))，则它的q-补偿器称为局部鞅Y（或E(Y))关于q的q阶Hellinger过程，并用h(q)(Y，q)（分别为h(q)(E(Y)，q))表示。(ii)设N∈M0，loc(P)使得1+N>0，且Y是半鞅使得Y E(N)是P-局部鞅且1+Y≥0。然后，如果过程(2.12)hYci+x(1+N)fq(Y)是P-局部可积的，则它的P-补偿器称为关于E(N)的q阶Hellinger过程E(Y),并用h(q)(E(Y),E(N))表示。设q为实数。我们把最小Hellinger鞅密度称为oforder q,它属于Zeq,loc（S,Z）和Satis(2.13)h(q)(bZ,P)h(q)(Z,P）,πZ∈Zeq,loc(S)。下面的引理证明了最小Hellinger鞅密度的概念在局部化下是稳定的，从而足以局部地描述这个最小鞅密度。这个引理是Choulli等人建立的。（2011）对于exp的最小熵-Hellinger鞅密度(q=1，最小熵-Hellinger鞅密度）的情形，引理2.6。设(Tn)n≥0(t=0)是一个平稳地增加toT的停止时间序列，并设q∈R。假定对于每个n,stnade最小的q级Hellinger鞅密度（以下简称q级MHM密度）,表示为byeZ(n),则S表示q级MHM密度，表示为byeZ,并给出byeZ:=E(eN)和den:=xn≥1i]]tn-1,Tn]]ez(n)-·ez(n)。这个引理的证明是直接的，将省略。2.2关于随机场应用的初步讨论，我们称之为rand OMField实用程序，任意B([0,T])B(R)F-可测泛函，U(t),x,ω)满足：(i)对于任意的x,过程U(t，x，ω)是一个c`adl`ag和适应过程，(ii)并且对于任意的(t，ω)函数x7→U(t，x，ω)是严格递增和严格凹的。对于随机效用U(t，x，ω)，一个概率测度Q，一个半马项x，x∈r，使得U(t，x，Q，U)<+∞,我们用(2.14)Aadm(x，x，Q，U):=nπ∈L(x)supτ∈Tteq Uτ，x+(π·x)τ-<+∞o表示模型(x，x，Q，U)的可容许投资组合的s et。这里TTis停止时间的集合，τ，使得τ≤T。当X=S，Q=P时，为了简单起见，我们写Aadm(X，U)。考虑一个C`adl`ag半鞅，X和一个概率测度，Q。

然后，我们调用一个前向实用程序（X,Q)、任何随机的实用程序，U:=(U(t),ω，x）），通过以下的自生成性质：a）函数U(0，b）对于任意x∈(0,+∞),存在e xi stπ_x∈Aadm(x,x,Q),如U s,x+(π_x·x)s=eqhu T,x+(π_x·x)s=eqhu T,x+(π_x·x)T fsi,the T≥T≥s≥0。c）对于任意x∈(0,+∞),对于任意π∈Aadm(x,x,Q),我们有s,x+(π·x)s≥eqhu T,x+(π·x)T fsi,the T≥T≥s≥0。当x=s,Q=P时，我们简单地称U为前向效用。Le Tx是一个C`adl`ag半鞅，Q是一个概率测度。然后，我们调用HARA前向实用工具（X,Q）,(X，Q)的任意前向u性，其形式为(2.15)Up(t,X):=D(t)xp(t),u(t,X):=bD(t)log(X)+D(t),Ue(t,X):=De(t)exp(γ(t)X)。这里D=(D(t))0≤t≤t,p=(p(t))0≤t≤t,γ:=(γ(t))0≤t≤t,De=(D(t))0≤t≤t,De=(D(t))0≤t≤t,De=(D(t))0≤t≤t≤t,De=(D(t))0≤t≤t≤t,第二类HARA实用程序（即ofUpand u两种情况）。Choulli等人完全分析了指数型前向效用（即Ue的情况）。（2011年）。在我们看来，不可能用一个单一的形式来描述所有的情况，这一事实得到了我们为r isk-aversion过程P和γ所找到的直接形式的高度支持。命题2.9。设U:=U(t,ω,x）是一个随机效用，S是一个半随机效用。那么下面成立。(i)如果U i是（s）的f或ward实用程序，P）,则对于任一停止时间τ∈TT，泛函(2.16)U(t,ω,x):=U(tτ(ω),ω，x)是对(Sτ，P)的前向动力效用。(ii)考虑一个概率测度Q是对P绝对连续的，密度过程用z表示。则随机函数效用(2.17)UQ(t,ω,x):=U(t,ω,x)Zt(ω)是对（S,P）的前向效用当且仅当U是对（S,Q）的前向效用。这个命题的证明很容易，可以在Choulli等人身上找到。（2011）.3幂型正向效用的参数化在本节中，我们将把以下形式的正向效用参数化(3.18)Up(t，x):=D(t)xp(t)。为此，我们首先推导出投资组合利率过程的一些有用性质，这些性质在下面列出。设π是一个投资组合(π∈L(S))且x>0,使得(3.19)x+π·S>0,且x+(π·S)->0。然后，我们用(3.20)θx:=x+(π·S)-1π求出投资组合率。引理3.2。设π是一个投资组合，x>0，这样（3.19）成立。在此基础上，进一步证明了：（一）投资组合利率θxs是S-可积的，E(θx·S)=(x+π·S)/x>0。（二）π与其投资组合利率θxvia(3.20)和(3.21)π=xe-(θx·S)θx之间存在一一对应关系。这个引理的证明是显而易见的，我们可以省略。对于我们处理效用Up的分析（在p=0和p6=0的情况下），处理投资组合利率比处理投资组合本身更方便。因此，我们需要对我们将在本文中使用的可接受的投资组合利率的集合进行分析。对于任意半马项X、任意概率Q、任意游动效用U和任意初始资本X>0，我们将可容许投资组合利率的集合θ(X，X，U，Q)由(3.22)θ(X，X，Q，U):=nθ∈L(X)e(θ·X)>0&πX:=xe-(θ·X)θ∈Aadm(X，X，Q，U)O表示。同样，当X=S和Q=P时，为了简单起见，可容许投资组合利率的集合用θ(X，U)表示。命题3.3。假定S是局部有界的，Zeloc(S)6=é。设p∈(-∞,1）并考虑(3.23)Up(t,x):=d(t)xp,如果p6=0d(t)+bd(t)log(x),如果p=0。对于任意x∈(0,+∞),考虑以下极大问题(3.24)maxπ∈Aadm(x)EUp(t,x+(π·S)t)，其中集Aadm(x,Up）在（2.14）中定义。

（1）对于任意x∈(0,+∞),如果(3.24)-的解由eπx-exi sts表示，则(3.25)x+eπx·S>0,且x+eπx·S)->0。（2）初始资本为x的最优投资组合利率由θx:=(x+eπx·S)-1eπx表示，与x∈(0,+∞)无关（或等价eπx/x与x无关）。Kramkov和Schachermayer(1999)清楚地证明了随机变量x+(eπx·S)是正的，且过程(x+eπx·S)Z是一个上鞅，对于任意Z∈Zeloc(S)6=.这意味着过程x+eπx·S和x+(eπx·S)-都是正的，断言（1）跟随。为了证明断言(2)，只需说明：对于任意x∈(0,+∞),Xeπ∈Aadm(x,Up）,以及对于任意π∈Aadm(x,Up）,我们h=x-1π∈Aadm(1,Up）。本节的其余部分包含以下几个小节。第1小节（第3.1小节）讨论过程p的描述，而第2小节（第3.2小节）讨论过程D。在最后一小节（第3.3小节）中，我们详细地证明了定理3.8的证明，它为第2小节的一般结果提供了基础。在本文的其余部分，我们用Up(t，x)表示（3.18）中定义的泛函。这个函数也依赖于不确定度ω∈Ω，而为了简单起见，我们将在整篇文章中使用shortThandup(t，x)。3.1风险厌恶过程的动态p，这一小节构成了我们在（3.18）中定义的函数参数化中的一个步骤。下面，我们将陈述这一子部分的主要结果：定理3.4。假定S是局部有界的，Zeloc(S)6=é。设Up(t，x)在(3.18)中定义为(3.26)supτ∈Tteàd(τ)-<+∞,且p=(p(t))0≤t≤tis局部有界。如果Up(t，x)是一个前向效用，那么p(ω，t)=p(0)p-几乎所有ω∈Ω，并且对于所有t∈[0，t].定理3.4的证明需要两个中间步骤，将在引理3.5和3.6中详细说明。这两个引理证明了当p具有常数符号时，定理3.4成立。引理3.5。假定p=(p(t))t≥0为正，(3.26)成立，Upis为正效用，则过程p在(ω，t)中为常数（即定理3.4在这种情况下成立）。由于Up(t,x）是一个随机效用，所以对于任意(t,ω)∈[0,t]×Ω,Up(t,x）在变量x中是严格递增的。这意味着pD>0，因此D>0（因为p是正的）。通过停止并使用P roposition 2.9-(i)，我们可以假定--不失一般性--P是有界的。因此，在这种情况下，对于任意x>0-，即0∈θ(x，Up)-d ue到（3.26）,零投资组合利率θ=0是允许的，这是很容易的。因此，对于任意x>0且任意停止时间σ和τ满足σ≥τ的情况，任意抽样定理和Up(t,x）的上鞅性质导致(3.27)e D(σ)xp(σ)fτ≤D(τ)xp(τ)。通过推算Q:=D(σ)/D(τ)E(D(σ)/D(τ))·P,和δ:=p(σ)-p(τ),我们得出(3.27)为eq elog(x)∞-1fτ≤cq:=e(D(σ)fτ)-1-1,对于所有x>0。由于elog(x)-1=elog(x)++e-log(x)++e-log(x)-fτ≤cq+2,对于所有x>0,上述相等性等价于(3.28)EQ elog(x)+fτ)+exp-log(x)EQ(θ-fτ)≤cq+2。由于Jens en的相等性，(3.28)yieldsexp log(x)EQ(θ+fτ)=EQ(θ-fτ)=0，p-a.s.或等价于P(σ)=P(τ)p-a.s,此不等式对于所有x>0成立。由于停止时间对是任意的，那么引理的证明就立即进行了。在引理3.5的证明中，p上的正性条件是至关重要的，没有它，这个方法在某个阶段就不会是结论性的。因此，对于负p的情况，我们将用Berrier等人的一个r esult来进行讨论。(2009)，其中作者试图度量一个随机域效用在其随机域共轭上的前向pr运算的e-ECT，该共轭可以被定义为。

对于任何随机效用，U(t,x)，x∈R+我们定义它的Frenchel-Legendre共轭（以下称为随机共轭），V(ω,t,y)，byV(t,ω,y):=supx>0U(t,ω,x)-xy，t≥0，y>0。（3.18）中Upded的随机共轭由(3.29)Vp(t,y)=-(D(t)p(t))1-q(t)yq(t)(q(t))-1给出，其中q是p的共轭过程，由q(t):=p(t)p(t)-1给出。引理3.6。假设过程p=(p(t))0≤t≤tis为负，(3.26)成立，且Upis为正效用。则p在(t，ω)中为常数，即p(t)=p(0)，P-A.S.证明。考虑t≥0，任意b组。命题3.7（见本证明的末尾）的直接应用到Up（t,x)=D(t)xp(t)及其随机共轭在(3.29)imp中的定义是：对于任意t′∈[t，+∞)，任意Z∈Zeloc(S),和η∈L+(Ft)，我们是(3.30)E(D(t′)p(t′))1-q(t′)q(t′)(ηZT′ZT)q(t′)ft！≤(D(t)p(t))1-q(t)q(t)ηq(t),当xs:=(D(s)p(s))1-q(s)q(s)Zq(s)s>0时，方程（3.30）变为(3.31)ext′eα(q(t′)-q(t))ft≤Xt。由于X是正的（这是由于q(t)=p(t)p(t)-1>0)，我们导出(3.32)maxneεα+ext′i{q(t′)-q(t)≥ε}ft,eεα-ext′i{q(t′)-q(t)≤-ε}ft≤Xt,对于任意α∈IR和任意ε>0,其中α=α+-α-。因此，我们推导出q(t\')=q(t),p-a.s。T≥T′≥T≥0。这就结束了引理的证明。前一引理的证明本质上是基于以下命题3.7。如果U(t,x）是一个前向效用，那么对于任意t′，0≤t≤t′≤t和任意η∈L+(Ft)，我们有(3.33)V(t,η)≤ess infz∈Zeloc(S)e V(t′，ηzt′zt)Ft,p-a.S.证明。这个命题的证明可以在Berrier等人身上找到。（2009）.本小节剩下的p艺术致力于定理3.4的证明。定理3.4的证明：如果过程p是正的或负的，那么该定理的证明分别来自引理3.5和引理3.6。因此，只要我们证明过程p有一个常数符号（即p(t)p(0)>0,p-a.s.对于allt∈[0,t])，这个定理就得到了证明。为此，我们假定(3.34)sup0≤t≤tP(t)>0,p-a.s.,并考虑th e随停止时间τ:=infnt≥0P(t)P(0)<0ot。由于(3.26)，对于任意x≥1,零投资组合属于Aadm(x,Up）。因此，D和Up(t,e）是两个永不消失的C`adl`ag上鞅，因而p(t)=log(Up(t,e）/D(t))是一个右连续的自适应过程。通过将p与（3.34）的r光连续性结合起来，我们推导出p有常数符号当且仅当(3.35)p(0)p(τ)>0,p-a.s.由于p是局部有界的，所以假定p有界并不损失一般性。对于p rove(3.35)，我们将分别在a）和b）部分中区分p(0)<0还是p(0)>0。a）假定p(0)<0，因此D(0)<0。然后，由于(3.26)，我们推导出nullstrategy对于任意x>0是可容许的。因此，D(t)xp(t)是一个上鞅，对于任意x>0，我们有D(τ)xp(τ)I{p(τ)>0}f≤-e D(τ)xp(τ)I{p(τ)<0}f+D(0)xp(0)。这证明了(3.35).b)假设p(0)>0，或等效地D(0)>0。对于任意n≥1,存在θn∈AADM(n-1),使得(3.36)端(τ)n-p(τ)(1+(θn·S)τ)p(τ)O=D(0)n-p(0),由于Delbaen和Schachermayer(1994)引理A1.1,存在一个非负实数序列ce,(αk)k=n,..,Nn,使得nnxk=nαk=1,yn:=1+nnxk=nαk(θk·S)τ几乎肯定收敛于Y≥0,由于Fatou引理和Zeloc(S)6=θ,我们obtainE(ZY)≤limn→+∞e(ZYn)≤1，对于某些Z∈Zeloc(S)。这意味着0≤Y<+∞p-a.s。

考虑(Xn)n≥1给定Xn:=D(τ)n-p(τ)Yp(τ)n-d(τ)Yp(τ)n-d(τ)Yp(τ)n，P-A.S.,并通过对{p(τ)>0}和{p(τ)<0}情形的区分，一方面推导出(3.37)LiMn→+∞xn=-d(τ)Yp(τ),如果p(τ)>0；-∞,如果p(τ)<0。另一方面，我们Havexn≥nnxk=nαkn-p(τ)D(τ)(1+θk·sτ)p(τ)-D(τ)Yp(τ)n≥nnxk=nαkk-p(τ)D(τ)(1+θk·sτ)p(τ)-D(τ)Yp(τ)n(3.38)然后，通过取（3.38）两边的期望，利用（3.36）和Up(τ,1+pnnk=nαkθk·sτ)的上鞅性质，我们得到(3.39)E(Xn)≥D(0)″nnxk=nαkk-p(0)-1#。由于Xnis非正，同样Fatou对(3.39)左边项的引理导致(3.40)E(limn→+∞Xn)≥-D(0)>-∞。然后，由于（3.37）和（3.40）我们推导出P(P(τ)<0)=0。因此（3.35）成立，并在假定（3.34）下证明了该定理。当我们证明th假设成立时，该定理的p顶将是完全的。为此，考虑τ:=inf{t≥0p(t-)=0}t.由于p从不消失（由于Upis是一个随机实用工具），我们推导出在{τ<t}上，我们有p(τ-)=0p-a.s。这意味着τ是一个可预测的停止时间，它是由停止时间(σn)n≥1满足sup0≤t≤σnp(t)>0p-a.s.满足的。因此，Pσnful符合假定(3.34)，因此它是常数等于P(0)。然后，在{τ<T}上，我们有0=p(τ-)=p(0)6=0，这意味着τ=T和p(t-)=p(0)6=0p-a.s.这证明了p(T)和p(t-)这两个过程永远不会消失，(3.34)立即随之而来。这就结束了定理的证明。3.2过程的动态性在这一小节中，我们为powertype前进实用程序展开了参数化的第二步，也是最后一步。由于定理3.4，在本节的其余部分中，我们将假定过程p在(ω，t)中是常数，并且我们将描述(D(t))0≤t≤tas以及与Up(t，x)相关的效用最大化问题的最优投资组合。这些结果将在两个定理中给出，这些定理是以一般性的递增顺序陈述的。首先，我们描述过程D是可预测的变化（定理3.8）。然后，我们删除了可预测性和变化假设，并确定了ofD的一般形式（定理3.11）。定理3.8。设p是实数，使得06=p<1，q是它的共轭(q:=pp-1)，集合D+由（2.9）给出。假设D(t)是一个具有参数化的c\'adl\'ag和可预测过程，S是局部有界的，Zeloc(S)6=，并且假设2.1中M1成立。那么，下面的断言（1）和（2）是等价的。(1)U(t，x)=D(t)xpi是具有最优投资组合率bθ的正向效用。（2）最小Hellinger鞅密度q,eZ,存在性和结论：（2.a）过程bz:=eze bθ·s是鞅。（2.b）过程D由(3.41)D=de q(q-1)h(q)(eZ,P)p-1给出。（2.c）P a-几乎全部(ω，t),最优投资组合利率bθ属于int(D+),是(3.42)b+(p-1)cθ+zà(1+θtrx)p-1-1xf(dx)=0,P a-a.e的根。这个定理的证明需要一些中间结果，这些结果本身是有趣的。从技术上讲，定理3.8是本小节的核心。因此，为了清楚地说明，我们将把它的证明推迟到第3.3节。在下面，我们将强调定理3.8在特殊情况wh en S是连续的情况下的重要性，然后我们将处理在一般情况下描述D。推论3.9。假定D(t)是一个具有有限变分的C\'adl\'ag和可预测过程，S是连续的，Zeloc(S)6=é。（1）U（t,x)=D(t)xpi是具有最优投资组合率bθ的前向效用。（2）最优投资组合率bθ是b+(p-1)cθ=0,p a-a.e的根，且具有以下性质：（2.a）过程D由dt=dexp qztbθtrucubθudau,0≤t≤t给出。（2.b）过程bz:=e(p-1)bθ·ms e bθ·s是鞅，其中ms是S.证明的局部鞅部分。

这个推论的证明是由定理3.8直接得到的，并且证明了以下事实：当S连续时，所有阶r的最小Hellinger密度与最小鞅密度一致（参见Choulli et al.(2007))，并且假设2.1成立。这就结束了对这一推论的证明。定理3.4和3.8声称，具有（3.18）形式的、具有可预测和可预测变异D的远期效用集是由常数p(0)参数化的，常数p(0)是风险规避过程的初始值。在给定p(0)的情况下，利用最优定价密度的Hellinger过程唯一明确地确定了过程D。这个密度是Choulli等人明确计算的最小Hellinger鞅密度。（2007）（参见alsoChoulli和Stricker(2005，2006)关于p的其他情况），并在此提出了功率型正向效用最大化的“最优对偶过程”的自然R ole。此外，最优投资组合利率是通过逐点RD方程（3.42）显式给出的。现在，我们正处于对D的一般形式的描述阶段，并实现了（3.18）中的Up-definitioned-在其完全推广中的参数化。定理3.11。假定p在(-∞,0)(R)(0,1）中为常数，D满足(3.43)D(t)=D(0)E(ND)exp(aD),这里NDS是局部鞅，ADS是具有变化的可预测过程，如ZD:=E(ND)>0。假设S是局部有界的，Zeloc(S)6=，假设2.1有mzdholds。那么，下面的断言（1）和（2）是等价的。(1)Upis是具有最优投资组合率bθ的前向效用。（2）以下性质成立。(2)q阶最小Hellinger鞅密度，表示为byeZD,存在且(3.44)D=dzdeq(q-1)h(q)(eZD，ZD)p-1。(2.b)最优投资组合利率bθ属于int(D+),是(3.45)bd+(p-1)cθ+zθ(1+θtx)p-1-1xfd(dx)=0,pa-a-e的根。(2.c)过程bz:=ZDeZDE(bθ·S)是鞅。这里，bd和fdary给出n为(3.46)bd:=b+cβ+zf(x)xF(dx),FD(dx):=(1+f(x))f(dx)和β，f，g，nd是由定理a.1保证的Nd的Jacod参数。证明。我们从证明(1)yen（2）开始。假设断言（1）成立。设(Tn)n≥1是停止时间的一个平衡点，它平稳地增加到T，使得(ZD)Tnis是一个鞅。设qn:=zdtn·P。根据引理2.9，我们得出结论：Un(T,ω,x):=Dexp(adt:/tn)xpi是（STn,Qn）在最优投资组合率bθn:=bθi[[0,tn]]时的正向动态效用。因此，将定理3.8直接推广到（STn,Qn,Un,bθn),表明该模型的最小Hellinger鞅密度byeZD,n,th在satis(3.47)exp(adtàTn)=etàTn q(q-1)h(q)(eZD,n,Qn)1/(q-1),0≤t≤t,在[[0,Tn]]上bθ属于int(d+),是（3.45）的根。因此，很明显，这最后一个陈述隐含着断言(2.b)。根据引理2.6，我们得到了关于ZD（记为byeZD）的q阶最小Hellinger鞅密度存在于H(q)t(eZD，n),Qn)=h(q)t:/tn(eZD，ZD）。因此，这个等式与（3.47）的组合导致断言(2.a)。由于命题B.1（见公式(b.120)，注意这里的ourbθ是该命题的eβ的一个版本）和(3.44)，我们导出(3.48)bZ=ZDeZDE(bθ·S)=ZDE ehd·S+q(q-1)h(q)(eZD,ZD)p-1e(bθ·S)p-1eq(q-1)h(q)(eZD,ZD)p-1e(bθ·S)=(Dxp)-1U(t,xEt(bθ·S)),证明了bZ是一个鞅，因为U(t,x)是具有最优投资组合率bθ的正向效用。这就结束了(1)yen（2）的证明。在此证明的其余部分，我们将讨论(2)yen（1）。假设断言（2）是ful的，并指出只要断言(2-a)成立，(3.48)就仍然有效。