凸投资组合约束下的递归效用最大化

（4.6）这就产生了，当n变为infirnity，*zntf(.pn)-→z∞tf(.p∞)，p-a.s。（4.7）从de la vall\'ee poussin判据出发，我们导出了族([zntf(\\pn))n的一致可积性。实际上，对于满足η>η\'>1和η\'ηη-η\'=3的一个可积族，η\'(\\zntf(\\pn))η\'=EP(\\znt(ζ+ztc*tdt-ztδsupp(\\nt)dt))η\'≤EP(\\znt)ηη\'ηEp(ζ+ztc*tdt-ztδsupp(\\nt)dt)1η\'η≤Ep(ζζ+Ztc→Tdt)1-η′η<∞,(4.8)其中第二个不等式是由函数Z-→Z的不减性质导出的。从（4.7）和（4.8）中，我们得到了序列e(_zntf(_pn))n在L(P)中的收敛性，即y ieldsep_z∞tf(_P∞)=limn→∞ep_zntf(_P∞)=limn→∞G(_pn)。从函数P'A-→ep'A[at(Ⅴ)]的凸性（见引理4.1)中，我们推导出P'A-→G(P'A)的凹性，其蕴涵了limn→∞G(_pn)≥supp'A∈pg(P'A),因此G(_P∞)≥pg(P'A)。supp§pg(Pü)。第三步：我们证明了预算约束具有相等性。我们假定supp'A∈pep'A\"ζ+ztctdt-at(Ⅴ)#=l<x。从刻画(3.7)，我们推导出存在hut∈～h，使得ζ≤Xl,c*,h*twherexl,c*,h*t=l+zthsdss-ztcsds,dt dP a.e.,t∈[0,t].Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/18我们表示为~ct=c*t+x-LTdt dP a.e.,t∈[0,t]。ThenXx,～c,h*t=x+zth*sdss-zt～csds=l+zth*sdss-ztc*sds=Xl,c*,h*t在平移稳定性下，(～c,ζ）satis fires(2.8)(2.9)和suppèpèp\"ζ+zt～ctdt-at(Ⅴ)#≤x,这意味着(～c,ζ）∈A(x)（参见特征（3.7））。根据比较定理（见定理2.1)，我们有Yx,～c,ζ≥Yx,c*,ζ=sup(c,ζ）∈A(x)Yx,c,ζ,这与最优l策略(c*,ζ）的唯一性相矛盾，因此l=x,等式（4.5）成立。第四步：我们证明~p*确实是最优的。由于~P*等价于P，所以很明显，Ⅴ*∈N。从假设(2.6)~k是一个闭集，并且so＇nt-→v＇t，dt dP a.e.意味着v＇t∈~k dt dP.我们有e~p＇[ζ+rtc＇sds-at()]≥x，并且so~e~p＇[AT()]≤-x+e~p＇[ζ+rtc＇sds]<+∞，这意味着AT()<+∞~p＇a.s.我们有e~p＇[AT)+rtc＇sds]<+∞。由于~P*与P等价，我们有AT(Ⅴ*)<+∞P a.s。这表明了vututilities N(~k)和so~putilities。利用Fatou引理，我们有E[(~z~t)η]≤lim infn-→∞E[(~znt)η]<∞。类似地，E[(~z·t)1-η]≤lim infn-→∞E[((~znt)1-η]<∞。因为_vn∈GequiP a.s.，和_vnconver起到了_v*dt dP a.e。然后是§utu∈GequiP A.S.这说明了~p\\\\\\p，并推导出了最优性。我们的目的是得到(c*,ζ）最优性的一个必要条件。我们遵循Du·e和Skiadas[6]以及El Karoui等人的方法。[7]，通过研究一个无约束的辅助优化问题。设λ为正常数，我们考虑以下消费-投资问题SUP(c,ζ）∈AJ(x,c,ζ,~p*,λ),(4.9),其中泛函J定义在一个byJ(x,c,ζ,~p*,λ)=Yx,c,ζ+λx-e~p*[ζ+Ztctdt-at(§*)].（4.10）我们回想一下凸分析的以下经典结果（例如，参见Luenberge r[13]，定理1第217页和定理2第221页），它与问题（2.10）和（4.9）的解有关。我们假定折扣因子有界(H1),控制集A是非空(H3),u函数满足通常条件(H4),效用函数绝对值拟凹(H5),容许策略集(H6)平移稳定性保持A。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/19(i)存在一个正常数λ*,即atv(x)=sup(c,ζ）∈Aj(x,c,ζ,~p*,λ*)。(4.11)(ii)最大值在(4.9)中由(c*,ζ）得到。证明。(i)和(ii)：se t A是凸的。最优化pr oblem（4.9）的slater条件成立，因为由～ζ=Xand～ct=X2t,0≤t≤t构成的策略(～c,～ζ）是可容许的（即(～c,～ζ)∈A)。使用引理3.4，值函数（4.11）是foungnite。

从Luenberger[13],定理1 pag e 217,存在一个正常数λ*,使得等式（4.11）和断言(ii)成立，下一个结果是一个动态极大值原理。它将消费和最终财富的效用导数与在预算约束下实现最优的概率测度的密度和表示最优的概率测度的密度联系起来。证明是技术性的，在附录中为d。定理4.2我们x≥v(0,0）。假设贴现因子有界(H1),控制A的s et不化为nu ll策略(H3),效用函数满足通常条件(H4),效用函数的绝对值为拟凹(H5),容许策略集(H6)上的平移稳定性保持。设(C*,ζ）∈A为(4.9)的最优消费和最优终端财富，且λ=λ*在命题4.1中给出。设(Yx,c*,ζ,Zx,c*,ζ）是BSDE(2.11)(2.12)的解。则以下最大值原理成立:αz*tsδt′u\'(ζ*)=λ*~z*tdp a.s.αz*tsδtu\'(c*t)=λ*~z*t，0≤t≤tdt dP a.e.，其中z*t=Et(-βmy*),su ch the my*t=rtzx,c*,ζsdws,0≤t≤t，dt dP a.e.注4.2定理4.2给出了原始问题interms的解的刻画，interms的密度为~z*,z的密度为与最坏情况相关的概率测度的密度。它是Cvitanic和Karatzas[4](Section 12）在α=1,zut=1,sδt=1 dt dP a.e.时的结果的推广。对于所有t∈[0,t]。注4.3根据动态规划原理，最优策略(c*,ζ）的唯一性和与最坏情况相关的概率测度Q*的唯一性，我们推导出概率测度P*的唯一性。前向-后向系统与实例在本节中，我们将最优消费-投资策略刻画为前向-后向系统的唯一解。这一特征是马希姆原理的c序列。实际上，从定理4.2可以看出，最终财富ζ和最优值。Matoussi,H.Mezghani,M.MnIF/20消耗量C*ta由C*t=iλ*αsδt～z*tz*-1t,dt dP a.e.t∈[0,t](5.1)ζ=iλ＇＇αsδt～z＇tz＇-1t,dP a.s.（5.2）其中I（resp.I）是U(resp.？U)的导数函数的逆。下面的结果是定理4.1和定理3.1的直接共序列。定理5.1我们x≥v(0,0）。我们假定贴现因子有界(H1),控制项A为非空(H3),效用函数满足通常条件(H4),效用函数的绝对值为拟凹(H5),可容许策略(H6)上的平移稳定性保持不变。我们考虑Y∈Dexp,zy=(ZYt)t∈[0,t]Rd值自适应过程满足E[RTZYtdt]<∞,(c*,ζ）∈A(x)和(Z，～Z)两个与P等价的概率测度密度。然后，Y与Yx给出的最优值过程一致，c*,ζ,(c*,ζ）由(5.1)-(5.2)给出，Z与(2.5)给出的最小测度Z*的密度一致，~Z与(4.3)给出的最小测度Z*的密度一致，当且仅当存在满足Xx,c*,h*t=x+rth*tdiag(Ss)-1dss-rtc=sds，且以下正反向系统dyt=(δtyt-αu(cutt)+2βzyt)dt+ZY′tdwt,yt=αu(ζ）dzt=-βztzy′td wt,Z=1d～zt=～zt(BT+σ-1tt)wt～Z=1存在唯一解。证明。如果Y由（2.1）给出，Z由（2.5）给出，那么，对于m Bordigoni等人。[3],(Y，ZY)是BSDE(2.2)带终端条件（2.3）的唯一解，Z是该方程在我们的前向-后向方程组中的解。由定理3.1可知，偶(c*,ζ）是（2.10）的唯一解，即。

V(x)=Yx,c*,ζWich暗示(Y，ZY)是theBSDE(dyt=(δtyt-αu(cutt)+2βzyt)dt+ZY\'tdwtyt=αu(ζ）的解，且存在Xx，c*,h*t=x+rth*tdiag(Ss)-1dss-rtc*sds和Xx，c*,h*t≥ζ。由于Z与~Z*重合，那么Z是下面的前向SDE(dzt=-βztzy\'tdwtz=1的解。从定理4.1可知，~Z根据下面的前向SDE(d～zt=～zt=)演化t(bt+σ-1tt)wt～Z=1。反之亦然。例5.1不完全市场：在此例中，我们给出了风险资产投资策略的显式公式。我们考虑了一个由两种风险资产组成的市场。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/21s=(St,St)0≤t≤t,其中价格由(dst=bStdt+σstdwt,dst=bStdt+σstdwt,(W，W)为p-f标准布朗运动，b，b，σ，σ为常数。我们取K={h=(h,h)\'∈R；h=0}。这是Karatzas等人[10]研究的不完全市场情形，其中投资仅限于有限的风险资产。由此得到凸集-K的支持函数为(δsupp(h)=0如果，则为h=0δsupp(h)=∞否则，且~k={h∈R；H=0}。我们知道风险中性测度的密度由~z=t=ET(-θw-r(θ+'Aσ)dW)给出，其中θi=biσi,i=1,2和Girsanov定理(～wt=wt+θt～wt=wt+θt+rt'Asσdsisa～p~-f布朗运动。若δ0,α=0,α=1和u(z)=log(z),则由递归关系得到yx,ζ=-βlog ephexp-βu(ζ）i,（5.3）,这是动态熵风险测度中的一个典型例子。我们参考Barrieu和ElKaroui[2]关于风险度量的更多细节。随机控制问题（2.10）与问题VRM(x):=supζ∈x(x)eph-exp-βu(ζ）i,（5.4）,其中x(x)={ζ≥0,ζ=x+rthtstdst,h∈L(S),supp'A∈pep§[ζ]≤x}。第一步：求解随机控制问题（5.4）效用函数Urm(z)=-exp-βu(z)是严格凹增的。它满足了稻田的条件。Kramkov和Schachermayer[12]给出了对偶问题的解。存在一个过程～Z*和一个常数Z*,最优终端财富由ζ=Irm(Z*～Z*t)a.S.给出。（5.5）其中Irm(z)=((Urm)\')-1(z)=(β)β1+βZ-β1+β。根据对偶理论的经典结果，投资者的最优财富过程由Xx,*t=e~p*[irm(z~~z~t)ft]给出，由于m arket是不完全的，因此过程(Xx,*t)的变化与布朗运动无关，即θ+tσ=0dtdp,t∈[0,t]。其结果为xx,T=(β)β1+βzπ-β1+βexp(-β(1+β)(b)2(σ)T)zβT，(5.6)a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/22,其中Zβt=Et(β1+βbσ～w)。由于Xx,*=x，我们有(β)β1+βz*-β1+β=x。从方程（5.6）并利用它的O公式，我们得到了xx,*T=x exp(-β(1+β)(b)2(σ)T)β1+βb(σ)zβtdstst。由于dXx,*T=ht*dstst,我们有公式thath_t=x exp(-β(1+β)(b)2(σ)T)β1+βbzβT(σ),dt dP a.e.,±T∈[0,T]，因此投资于风险资产S的股份数，由(θβT)T∈[0,T]表示，由θβT=x exp(-β(1+β)(b)2(σ)T)β1+βbzβT(σ)St,dt dP a.e.,±T∈[0,T]给出。如果我们将β发送给infity，我们得到θ∞T=xb(σ)～z^tst,dt dP a.e.,±T∈[0,T]。（5.7）第二步：由于最优控制是由Ⅴ*=(Ⅴ*,Ⅴ*)(0,-b)给出的，所以我们检验了~P*∈P,ζ∈A(x)和上界(3.5)-(3.6)上的可积条件，我们有δsupp(Ⅴ*T)=0 dt dp A.e.T∈[0,T]。一个简单的微积分是E[(～z~T)η]<∞,E[(～z~T)1-η]<∞和δSUPP(Ⅴ*)关于[0,T]上的Lebesgue测度是等可积的。这说明了~put∈p.Nex t，我们必须计算ep[expγ′u(ζ]]=ephexpγln(x)-β(1+β)(b)2(σ)t+β1+βbσ～wt-β(1+β)(bσ)tI<∞。这说明了ζ存在非空。由于检验了inequi性x≥v(0,0)=0，我们得到了A(x)是非空的且ζ存在于A(x)中。

第三步：结果的解释方程（5.7）与直觉是一致的，因为当β达到完全性时，我们迫使动态价值过程中出现的惩罚项（见方程（2.1））等于零，因此当基础模型已知时，我们的不确定性下效用最大化模型收敛于一个经典的效用最大化问题。在（5.7）中给出的投资风险资产的最优策略对应于不完全市场中效用最大化问题的解，当t和u的效用函数为u(x)=log(x)时。这样的结果可以作为一个稳定的结果。在鲁棒性最大化问题的背景下，可以将COE？Cientββ+1Bσ解释为一个修正的相对风险。此外，人们可以将这种情况视为波动性水平的变化。波动率从σ水平增加到β+1βσ。如果β接近于0，则调整的相对风险足够小，投资于风险资产的股票数量减少，这与直觉一致，因为我们最大限度地模仿了最坏的情况。例5.2矩形凸约束假设一个由单一资产组成的市场，其中价格由dst=bStdt+σstdwt，a。Mnif/23w为P-F标准布朗运动，b、σ为常数。我们考虑K=[α,β]的情形；-∞<α≤0≤β≤+∞。我们知道δsupp(h)=βh-ραh+和～k=r，风险中性测度的密度由～z=t=ET(-z(θ+Ⅴσ)dW)给出，我们取x≥0。若δ0,α=0,α=1,u(z)=log(z),且递归关系式（5.3）成立，则随机控制问题（2.10）与问题vrm(x):=supζ∈x(x)eph-exp-βu(ζ）i,(5.8)有关，其中x(x)={ζ≥0,ζ=x+rthtstdst,h∈L(S)和supp'A∈pep'A[ζ-AT('A)]≤x}。效用函数Urm(z)=-exp-βu(ζ）是严格凹增的。紧随凸对偶的经典论证，例如Kramkov和Schachermayer[12]和Pham[15],存在Z*,S.T.最优财富过程由(~ζ=Irm(z~~z~t)a.s.~x~t=e~p~[ζ-rttδsupp('As)dsft]dt dP a.e.给出。对偶问题由~vrm(z):=inf'A∈n(~k)eph～urm(zz'At)+zztδsupp(Ⅴs)dsi给出，其中~urms为urm的Fenchel-Legendre变换。对偶control问题的动态版本由~vrm(t，z):=inf'A∈n(~k)eph～urm(zz'At)+zztδsupp(Ⅴs)dsi给出。（5.9）与（5.9）相关的HJB方程由-vt(t，z)+supa∈r[Lav(t，z))-z(βa-αa+)=0,(t，z)∈[0，t)×(0，+∞)v(t，z)=～urm(z)，z∈(0，+∞).（5.10）给出，其中av=zb+aσ→vz是退化的，不保证经典解的存在性。本文利用粘性解理论，将对偶值函数刻画为相关HJB方程的粘性解。附录6.1。比较定理的证明用以下符号表示：“yt=yt-yt，ut=ut-ut，ut=ut-ut，ut=ut-ut”和“ut=ut-ut”。该对(δy,R(z-z)dW)是下列等式的解:Δyt=(δtyt-αut)dt+2βztdt-2βztdt+(zt-zt)dwtyt=αut,a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/24这意味着对于任何停止时间T≥τ≥T,我们得到了以下不等式:rtzsds-rtzsds-rtzzsds-rtzzsds-zsds=rtzs-zsds≥0,其中<.,>表示与欧几里得范数相关的内积，我们推导出Δyt≤yτ-zτt(δsys-αus)ds-βzτt<zs-zs,Zs>ds-zs)dws。我们将概率测度q*,2等价于P,其中它的密度是P-鞅*,2 twithz*,2t=ET(-βzzsdws)。sincer.(zs-zs)dws是P-鞅，则(zs-zs)dws+βr<zs-zs，Zs>ds是aq*,2-局部鞅。

设(Tn)nbe是r.(zs-zs)dws+βr<zs-zs,z>ds的一个约化序列，则对于n足够大，我们有Tn≥t和soZt(zs-zs)dws+βzt<zs-zs,Zs>ds=eq*,2[zτTn(zs-zs)dws+βzt<zs-zs,Zs>dsFt]在{t≥ττTn≥t}上，这意味着在{t≥ττTn≥t}上，yt≤eq*,τótn-→τ,q*,2a.s。和σyτtn-→σyτq*,2a.s。由于Y（resp.Y）在dexpandéu(resp.éu)在Dexp中，通过支配conve rgence定理，我们在{T≥τ≥T}上得到了Δyt≤eq*,2[i)Yτ-zτT(δsys-αus)dsft]。从随机Gronwall-Bellman不等式（s ee附录C,Skiadas和Schroder[20])中，我们得到了Δyt≤eq*,2[zttαe-rstδsdsusds+αe-rttδsdsusds+αe-rttδsdsustft]。（6.1）从不等式(2.13)-(2.14)中，我们得到了Δyt≤0,0≤t≤t,dt dp a.s.结果如下：如果Y=Y，那么从（6.1）中，我们有eq*,2[rtαe-rsδsdsusds+[αe-rtδsdsut]=0,其中意为ut=0,t∈[0,t]和ut=0。由于BSDE(2.2)-(2.3)有唯一解，则Yt=Yt,t∈[0,t]a.E。对于LAST点，我们用相似的方法进行了论证。如果Y=Y，则Δut=0,t∈[0,t]和Δut=0与我们的假设相矛盾，因此Y<Y.a。Matoussi,H.Mezghani,M.MNIF/256.2。连续性定理的证明我们只证明了这一陈述。由于U(cnt)≥U(ct),对于所有0≤t≤t和U(ζn)≥U(ζ）,根据比较定理2.1,序列((Yx,cn,ζn)0≤t≤t)也是不增加的，且soYx,c,ζt≥Yx,cn,ζnt≥Yx,c,ζt,0≤t≤t(6.2)我们将(Y(∞)t)0≤t≤t=Y(∞)t=limn-→∞Yx,cn,ζnt,0≤t≤t=t=Yx,cn,ζnt,0≤t≤t。从(Yx，cn，ζnt)0≤t≤t的认识出发，从不等式（6.2）和序列(ζn)nand(cnt)0≤t≤tn的单调性出发，我们得到了exp(-βztt(αU(cns)-δsyx,cn,ζns)ds)-βαU(ζn)≤exp(βztt(αU(cns)+δsyx,cn,ζns)ds)+αβU(ζn)≤expαβzt(U(cs)+U(cs)=expαβzt(U(cs)+U(cs)））ds+kδk∞tβess sup0≤t≤tyx,c,ζt+ess sup0≤t≤tyx,c,ζt+αβ(U(ζ）+U(ζ））：从柯西施瓦茨不等式出发，我们有Ep[gT]≤ephexp2αβzt(U(cs)+U(cs))ds iphexp2kδk∞tβessup0≤t≤tyx,c,ζt+essup0≤tyx,c,ζt+essup0≤tyx,c,ζt+2αβ(eu(ζ）+U(cs)+U(cs))i≤ephexp2αβzt(U(cs)+U(cs))ds iphexp4kδk∞tβessup0≤t≤tyx,c,ζt+essup0≤t≤tyx,c,（6.3）从折现事实r(H1)上的有界性出发，由于（c,ζ）∈A(x),（c,ζ）∈A(x),Yx,c,ζ,Dexp展开Yx,c,ζ,Dexp,我们得到Gt∈L(P)。B y支配收敛定理，我们有y(∞)t=-βlog Ep[exp(-βztt(αu(cs)-δsy(∞)s)ds)-βαu(ζ）ft],0≤t≤t。由于存在BSDE(2.11)-(2.12)的唯一解，我们必然有y(∞)=Yx,c,ζ,结果如下。最大值原理的证明(6.4)a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/26我们考虑如下的seta,η:=nz*tstδαu′(ζ*)-λ*~Zt>0,φ<ζ*<ηo,我们得到如下:ζn=ζ+na,η.我们证明了(c*,ζn)∈a:从~p*下的repr定理来看，存在如下proc esshn∈~h,即na,η=e~p*[na,η]+zthns(diagSs)-1dss,即:na,η=e~p*[na,η]+zthns(diagSs)-1dss,其中h*n=h*+hn。

对于n足够大，我们在集{uto<ζ<η}上有0≤n≤θ和soè≤ζn≤η+π。从效用函数(H4)的标准假设出发，我们在集合{uto<ζ<η}上有μu(θ)≤μu(ζn)≤μu(η+^)。所以对于n足够大，E[exp(γ′u(ζn))]是，这意味着(c*，我们从J（见（4.10））的认识和策略的最优性(C*,ζ），我们有0≥n(J(x，c*,ζn,~P*,λ*)-J(x，c*,ζ,~P*,λ*))(6.5)=n(Yx,c*,ζn-yx,c*,ζ,ζ）-λ*e~P*[1a,η]≥neqnhαsδt(u(ζn)-u(ζn)-u(ζ）)i-λ*e~P*[1a,η]=nephzqntαsδt(u(ζn)-u(ζn)-u(ζ）)1a,η],ηi-λ*e~P*[1a,η],其中概率测度qn具有由P-鞅zq给定的密度n=(ZQnt)0≤t≤t=(Et(-βMx,c*,ζn))0≤t≤tand Mx,c*,ζnt=rtzx,c*,ζnsdws。由于ζnandζ之间存在θn，使得u(ζn)-u(ζ*)=u\'(θn)(ζn-ζ*)，我们推导出n(μu(ζn)-u(ζn))1a,η-→u\'(ζ*)1a,ηdp a.s。（6.6）和n(μu(ζn)-μu(ζ*))1{<ζ<η}≤μu\'(th)dP a.s。（6.7）从对ZQnt的认识出发，我们得到ZQnt=exp(-βMx,c*,ζnt-2β<Mx,c*,ζn>t)。（6.8）由BSDE(2.11)得到Yx,c*,ζnt-yx,c*,ζn=zt(δsyx,c*,ζns-αu(c*s))ds+2βhmx,c*,ζnit+Mx,c*,ζnt。(6.9)a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/27pugging(6.9)到(6.8)，我们得到Zqnt=exp Ztβ(δsyx,c*,ζns-αu(C*s))ds-β(Yx,c*,ζnt-yx,c*,ζnt-yx,c*,c*,ζnt-yx,c*,ζnt-yx,c*,ζn),从命题2.1(i)中我们得到了elimn-→∞zqnt=exp Ztβ(δsyx,c*,ζs-αu(C*s))ds-β(Yx,c*,ζt-yx,c*,ζnt-yx,c*（6.10）在折现因子(H1)aNd有界性下，由于(Yx,c*,ζnt)0≤t≤t∈Dexp,wehaveZQnt≤exp tβδ∞sup0≤t≤tyx,c*,ζnt+αβztu(cuts)ds+βessup0≤t≤tyx,c*,ζnt。（6.11）从命题2.1(i)中，我们得到了Yx,c*,ζt≥Yx,c*,ζnt≥Yx,c*,ζt，以及soess sup0≤t≤tyx,c*,ζnt≤ess sup0≤t≤tyx,c*,ζt+ess sup0≤t≤tyx,c*,ζt≤tyx,c*,soess sup0≤t≤tyx,c*,soess sup0≤t≤tyx,sup0≤t≤tyx,sup0≤t≤tyx,sup0≤t≤tyx,sup0≤t≤tyx。（6.12）利用不等式(6.7)、(6.11)和(6.12)，我们得到了(u(ζn)-u(ζ*))1{<ζ<η}zqnt≤u\'(ρ)exp tβδ∞(ess sup0≤t≤tyx,c*,ζt+ess sup0≤t≤tyx,c*,ζt)+αβztu(cés)ds+β(ess sup0≤t≤tyx,c*,ζt):=gT。从柯西-施瓦茨不等式出发，我们得到了ep[gT]≤u\'(c)ephexp2αβztu(cés)=gT。）ds i(6.13)ephexp2(2+kδk∞t)βessup0≤t≤tyx,c*,ζ+essup0≤t≤tyx,c*,ζt。从折现因子(H1)上的有界性出发，由于(c*,ζ）∈A,(c*,ζ）∈A,Yx,c*,ζ∈Dexp展开Yx,c*,ζ,Dexp,我们得到gT∈L(P)。通过支配收敛定理and代入不等式(6.6)和(6.10)，我们得到了:0≥limn-→∞eqnhαsδtn(μu(ζ*)-u(ζn))1{<ζ<η}i-λδe~P＇[1a＇，η]=eq＇hαsδt′u＇(ζ*)1a＇，ηi-λ＇e~P＇[1a＇，η]，这意味着对于所有的0<θ<η<∞来说，P(a＇，η)=0。发送∑-→0和η-→∞时，我们有a~，ηnz*tstδα~u\'(ζ*)-λ~~zt>0，因此证明了不等式（6.4）。第二步：我们证明了αz~tsδtu\'(ζ*)≥λ~~z~tdp a.s。（6.14）我们考虑以下setb′,η:=nz*t′αsδt′u′(ζ）-λ~z*t<0,ut<ζ<ηo.a。马图西、H.Mezghani，M.MnIF/28我们的定义如下：我们证明了(c*,ζ\'n)∈A:如第1步，对于n足够大，我们在集合{utu<ζ<η}上有0≤n≤ε和soutu≤ζ\'n≤η。从效用函数(H4)的标准假设出发，我们在集合{utu<ζ<η}上有μu(th)≤μu(ζ\'n)≤μu(η)。这表明对于n足够大，E[exp(γ′u(ζ\'n))]是有限的，所以(C*,我们从J（见（4.10））的认识和策略的最优性(C*,ζ），我们有0≥n(J(x，c*,ζ\'n,~P*,λ*)-J(x，c*,ζ,~P*,λ*))(6.15)=n(Yx,c*,ζ\'n-yx,c*,ζ\'n-yx,c*,ζ）+λ*e~P*[1b*,η]≥neq′nhαsδt(μu(ζ\'n)-u(ζ\'n)-u(ζ\'n))i+λ*e~P*[1b*,η]=nephzq′nt\'αsδt(μu(ζ\'n)-u(ζ\'n))1b*,η])1b*,η]，其中概率测度q′n具有给定的密度通过P-鞅zq′n=(zq′nt)0≤t≤t=(Et(-βMx,c*,ζ\'n))0≤t≤tand Mx,c*,ζ\'nt=rtzx,c*,ζ\'nt=nsdws。由于ζ\'n与ζ之间存在θn，使得u(ζ\'n)-u(ζ\'n)=u\'(θn)(ζ\'n)-u(ζ\'n))1bp,η-→-u\'(ζ\')1bp,ηdp a.s。(6.16)和n(μu(ζ\'n)-μu(ζ*))1{<ζ*<η}≤μu\'(th)dP a.s。（6.17）从对Zq′nt的认识出发，我们得到Zq′nt=exp(-βMx,c*,ζ′nt-2β<Mx,c*,ζ′n>t)。

（6.18）从BSDE(2.11)中，我们得到了Yx,c*,ζ\'nt-yx,c*,ζ\'ns-αu(cuts))ds+2βhmx,c*,ζ\'nit+Mx,c*,ζ\'nit+Mx,c*,ζ\'nt。（6.19）将（6.19）插入到（6.18）中，我们得到了zq\'nt=exp ztβ(δsyx,c*,ζ\'ns-αu(cuts))ds-β(Yx,c*,ζ\'nt-yx,c*,ζ\'nt-yx,c*,c*,ζ\'nt-yx,c*,ζ\'nt=exp ztβ(δsyx,C*,ζs-αu(C*s))ds-β(Yx,c*,ζt-yx,c*,ζ）=z*tdt dP a.s.（6.20）在折现因子(H1)的边界s下，由于(Yx,c*,ζ\'nt)0≤t≤t∈Dexp,Wehavezq\'nt≤exp tβδ∞sup0≤t≤tyx,c*,ζ\'nt+αβztu(cuts)ds+βessup0≤t≤tyx,c*,ζ\'nt。(6.21)a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/29从命题2.1(ii)出发，我们得到了Yx,C*,ζtoT≤Yx,C*,ζ\'nt≤Yx,C*,ζ\'nt≤Tyx,C*,ζ\'nt≤ess sup0≤Tyx,C*,ζ\'nt≤ess sup0≤Tyx,C*。（6.22）利用不等式(6.17)、(6.21)和(6.22)，我们得到了(u(ζ\'n)-u(ζ*))1{<ζ<η<η}zq\'nt≤u\'(ρ)exp tβδ∞（ess sup0≤t≤tyx,c*,ζ+ess sup0≤t≤tyx,c*,ζt)+αβztu(cuts)ds+β(ess sup0≤t≤tyx,c*,ζt):=～gt。从柯西-施瓦茨不等式出发，我们得到了ep[～gt]≤u\'(c)ephexp2αβztu。从折现因子(H1)上的有界性出发，由于(C*,ζ)∈A,(C*,ζ\')∈A,Yx,C*,ζ∈Dexpandyx,C*,ζ\'∈Dexp，我们得到了~gt∈L(P)。通过支配收敛定理a将不等式(6.16)和(6.20)代入(6.15)，我们得到了:0≥limn-→∞eq′nhαsδtn(μu(ζ*)-u(ζ′n))1{<ζ<η}i+λδe～P＇[1b＇，η]=eq＇h-αsδt′u＇(ζ＇)1b＇，ηi+λ＇e～P＇[1b＇，η]，这意味着对于所有的0<θ<η<∞来说，P(b＇，η)=0。在[η]→0和[η]→∞的情况下，我们得到了集{ζ>0}dP a.s的zutsδtαu′(ζ)≥λ~z~ton。（6.24）由于效用函数满足了Inada条件（假设(H4))，所以对于所有的0<π<η<∞我们有P(ζ=0)=0，所以P(bp,η)=0。我们证明了不等式（6.14）：发送ω-→0和η-→∞我们有bθ,ηnz*tstδαu′(ζ）-λ~zt<0o，所以证明了不等式（6.14）。结果如下：（6.4）和（6.14）。消费过程也有同样的内容。我们非常感谢Nicole El Karoui的有益评论和富有成效的讨论。参考文献[1]Anderson E,Hansen L.P,Sargent T.（2003）。四个半群，用于模型定义、鲁棒性、风险价格和模型检测。欧洲经济协会学报1,68-123.Barrieu,P.El Karoui,N.（2008）.通过最小化风险度量来定价、套期保值和最优设计衍生品。在Ren\'e Carmona编辑的“Indi Counted Erence Pricing：Theoryand Applications”一书中，Springer-Verlag,77-141.a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/30[3]Bordigoni,G.,Matoussi,A.,Schweizer（2007）.建筑效用最大化问题的一种随机控制方法。F.E.benth等人。《随机分析与应用》。第二次Abel研讨会论文集，2005年，奥斯陆，Springer,125-151.[4]Cvitanic,J.,Karatzas,I.（1992）。约束投资组合优化中的凸对偶性。应用概率年鉴2,767-718.[5]Delbaen F.,Schachermayer,W.（1994）.资产定价基本定理的一般版本。《数学》,300,463-520.杜德埃，斯基达斯，C.（1994）.连续时间证券定价：效用梯度法。数学经济学报，23,107-131.（2001年）。约束条件下递归效用优化的动态最大原则。应用概率年鉴3,664-693。[8]F-Ollmer H.和Kramkov D.（1997）Constra ints下的可选分解，probab。理论相关领域，1 09,1-25.Fa idi W.,Matoussi A.,Mnif M.（2011）.递归实用程序的马希化。动态极大值原理法。[10]Karatzas,I,Lehoczky,J.P.,Shreve,S.,Xu,G.L.（1991）。不完全市场中效用最大化的鞅方法和对偶方法。SIAM Controlland Optimization杂志29,702-730。[11]Karatzas,I.,Shreve,S.

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