凸投资组合约束下的递归效用最大化

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摘要翻译：
研究了在凸约束条件下，终端财富和消费的鲁棒最大化问题。通过研究相关的二次倒向随机微分方程（简称BSDE）,证明了消费-投资策略的存在唯一性。我们用对偶方法刻画了最优控制，并导出了动态极大值原理。
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英文标题：
《Maximization of recursive utilities under convex portfolio constraints》
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作者：
Anis Matoussi, Hanen Mezghani and Mohamed Mnif
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最新提交年份：
2014
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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英文摘要：
  We study a robust maximization problem from terminal wealth and consumption under a convex constraints on the portfolio. We state the existence and the uniqueness of the consumption-investment strategy by studying the associated quadratic backward stochastic differential equation (BSDE in short). We characterize the optimal control by using the duality method and deriving a dynamic maximum principle.
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关键词：效用最大化 投资组合 最大化 Differential maximization

在convexportfolio constraintsAnis matoussiuniversity du Risque et de l\'asurance du MansLaboratoire Manceau de math ematiquese-mail：anis.matoussi@univ-lemans.frhanen mezghanies University of Tunis El ManarLaboratoire de mod mod mod a ManarLaboratoire monceau de ling enieur,enite-mail：manis.matoussi@univv-lemans.frhanen mezghanies关键词：效用最大化，倒向随机双列方程，递归效用，模型不确定性，鲁棒控制，最大值原理，前向-后向系统。MSC分类(2000):92E20,60J60,35B5 0。摘要：本文研究了一个在凸约束条件下，基于终端财富和消费的鲁棒效用最大化问题。通过研究相关的二次倒向随机双向方程（简称BSDE）,证明了消费-投资策略的存在唯一性。我们通过对偶方法和导出动态最大值原理来描述最优控制。*研究部分由Societ Eg En\'erale赞助的风险基金会的主席金融风险、由Bancaire Fran Caise赞助的未来主席衍生品以及由法国电力公司和Calyon赞助的主席金融和可持续发展支持。这项工作部分由法国电力公司的研究项目MATPYL支持。Matoussi,H.Mezghani,M.MNIF/21。引言效用最大化是数学中的一个基本问题。它是由默顿[14]引入的。他利用随机控制方法，给出了当风险资产服从几何布朗运动，效用函数为CRRA型时，价值函数和最优比例组合的最优公式。本文考虑一个不确定条件下的效用最大化问题。在模型未知的情况下，投资者的目标是确定最优消费投资策略。这类问题被称为鲁棒效用最大化，并被表述为foungnd supπinfqu(π，Q)(1.1)其中U(π，Q)是Q-期望效用。投资者必须解决一个超级中程公关问题。他考虑了最坏的情况，通过最小化一组可行的度量，然后他最大化他的效用。在文献中，有两种方法来解决鲁棒效用马喜化问题。第一种方法依赖于对偶方法，如Quenez[16]或Shied和Wu[18]。他们考虑了一组称为先验的概率测度，并在这组测度上最小化。第二种方法是基于惩罚方法，在所有可能的模型中都取最小化，如Anderson、Hansen和Sargent[1]。此外，Skiadas[19]遵循同样的观点，他在Markovian上下文中给出了控制问题v ia BSDE的动力学。在我们的情况下，q-expected效用是基于相对熵的非经典效用函数和惩罚项的和。在Bordigoni等人[3]中，他们证明了一个惟一的Q*最优模型的存在性，该模型使我们的代价函数最小化，并利用最优控制技术研究了最小化问题的动态值。在Faidi,Matoussi和Mnif[9]中，他们用BSDE方法研究了市场中pr oblem（1.1）的最大值部分，如Du和Skiadas[6]和El Karoui等人[7]的方法。在本文中，我们假定投资组合在给定的闭凸非空子集K中取值。

Karatzas、Lehoczk y、Shreve和Xu[10]在不完全市场情形下，以及Cvitanicand Karatzas[4]在不完全市场情形下，研究了当底层模型已知时的问题。Skiadas和Schroder[21]利用效用梯度方法研究了凸交易约束下的终身消费-投资组合递归效用问题。他们导出了一系列的最优性条件，其形式是一个有约束的正倒向随机双列方程。Wealthy是在递归中计算的，从时间上向前的时间零点va lue开始，而Utilityy是在递归中计算的，从时间上向后的结束日期值开始。在此背景下，我们研究了投资组合下凸c约束下的消费-投资效用问题的鲁棒表达式。利用测度变化和可选分解欠约束，给出了可容许消费投资问题的一个dua l刻画，并在此基础上证明了以终端无界的二次BSDE在0时刻的解为准则的优化问题的一个存在性结果。为了描述解的结构，我们使用对偶参数。经典环境中的对偶appr oach的核心是，当判据取在历史概率测度下时，为拉格朗日构造一个鞍点，并在有限维情况下应用一个最小极大定理。伊塔。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/3适合使用U和U的共轭函数。在我们的研究中，准则是在确定最坏情形的概率下进行的，并且共轭函数不会自然出现。我们以一种不受约束的方式使用对偶性参数。我们证明了一个概率测度的存在性，在这个测度下预算约束是等式的。在此基础上，我们导出了一个极大值原理，给出了最优的必要条件和最优条件，并由此给出了最优终端财富和最优消费率的隐式表达式。后一结果是Cvitanic和Karatzas[4]工作的推广。第二节描述了模型和随机控制问题。研究了最优策略的存在性和唯一性。在第四节中，我们利用对偶技术刻画了最优消费策略和最优终端财富。在第五节中，我们将最优控制与前向-后向系统的解联系起来，并研究了一些例子。我们考虑一个概率空间(Ω，F，P)，支持一个d维标准布朗运动W=(W，...，Wd)，在给定的时间范围[0，T]上。我们将用F表示由W生成的公式(Ft)0≤t≤t=(σ(Ws,0≤s≤t))0≤t≤t的P-增广。对于FT上的任意概率测度Q P,Q关于P的密度过程是连续P鞅zq=(ZQt)0≤t≤twithzqt=dqdp FT=ephdqdp fti。[3]研究了一个动态取值过程为formyt=ess infq∈QF sδteqhztαsδséusds+αsδtut fti+βeqhrδT,T(Q)fti的鲁棒控制问题，（2.1）其中qf={QQ P,Fand H(QP):=eq[logdQdP]<∞},α和α是非负常数,β∈(0,∞),δ=(δt)0≤t≤tandéu=(ut)0≤t≤frogravy可测过程，utis一个FTmeasurable随机变量，sδt=e-rtδsdsis，折扣因子和rδt，pe nalization项，即熵率和终端熵的s um:rδt,t=sδtzttδssδslogzqzqtds+sδtsδtlogzqtzqtt。我们定义以下空间:l+(FT)是非负的FTmeasurable随机变量的集合。lexpis所有FTmeasurable随机变量的空间X withep[exp(γX)]<∞对于所有γ>0。dexpis所有渐进meas过程的空间X=(Xt)0≤t≤twithep\\expγess sup0≤t≤txt\\<∞fo r所有γ>0。a。Matoussi,H.Mezghani,M.

Mnif/4dexpish是所有渐进可测过程X=(Xt)0≤t≤t，如ep“ztexp(γxs)ds#<∞对所有γ>0。ht(Rd)是所有渐进可测过程的集合rdvalue Z=(Zt)0≤t≤t，如zh:=ep”ztztdt<∞。我们假定效用过程对某些常数δ∞的折现因子有界性和指数可积性，即(H1)0≤δ≤δ∞。(H2)πu∈dexpand′ut∈lexp.在效用过程的折现factor(H1)有界性和指数可积性下(H1)有界性和指数可积性。H2)，Bordigoni等人。[3]（定理6,Theore M12和P roposition 16）证明了问题（2.1）的一个最优概率测度q*的存在唯一性，它们表明(Yt)T∈[0,T]的动力学满足以下bsdedyt=(δtyt-αut)dt+2βzytdt+ZY\'td wt,(2.2)Yt=αut,(2.3)。表示欧几里得范数，表示转置算子。T heyestablished为Y的递归关系=-βlog ephexpβztt(δsys-αéus)ds-βαut fti。（2.4）证明了存在唯一对(Y，ZY)∈Dexp×HT(Rd)解(2.2)-(2.3),并证明了概率测度Q*的密度为真鞅，且给出:Z*t=Et(-βMy),0≤t≤t,(2.5),其中MyT=RTZY\'sd Ws；t∈[0,t]dt dP和E表示随机指数。从现在起，我们对效用最大化问题感兴趣。让我们考虑一个可以在时间0和时间T之间消费b e的投资者。我们用c=(ct)0≤t≤t表示消耗率。我们考虑一个由一个债券和一个风险资产组成的市场。在不损失一般性的情况下，我们假定键是常数。风险资产S:=(S，...，Sd)按随机di方程sdsit=sit bitdt+dxj=1σijtdwjt，si=1，i=1，i=1，i=1….我们假定过程b=(bt，...，bdt)T∈[0,T]（瞬时收益率向量）a nd过程σ=(σijt)1≤i,j≤dt∈[0,T]（波动率矩阵）是F渐进可测的。我们将始终确定相对RIS-K过程θt:=σ-1TBT，a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/5研究了Ztθtdt<∞,P a.s.的可积性。我们用H=((Ht,...,Hnt)T∈[0,T])\'表示投资策略，表示投资组合中投资的资产数量。我们将x贯穿一个包含0的非空闭凸集，并用δsupp(x):=δsupp(xK):=supy∈K(-y\'x):Rd-→Rü{+∞}表示凸集-K的支持函数。这是Rd上的一个闭的、正齐次的、性质凸函数，它的E-射域在(Rockafellar[17]p.114)～K:={x∈Rd,δsupp(xK)<∞}={x∈Rd,存在β∈R s.t.-y′x≤β,±y∈K}，它是一个凸锥（称为-K的势垒锥）。我们假定~K是闭的，函数δsupp(.K)在~K上是共连续的。（2.6）示例oK是线性空间：无约束投资组合OK=Rd(δSUPP(x)=0如果，x=0δSUPP(x)=∞否则，~K={0}.oK是Rd中的凸闭锥：卖空契约K={π∈Rd；πi≥0，i=1，...,d}。(δsupp(x)=0如果，x∈Kδsupp(x)=∞否则，且~K=K.·K是Rd中的凸闭集：矩形constraintsK=dyi=1ki，其中ki=[αi,βi]；-∞<αi≤0≤βi≤+∞δsupp(x)=PDI=1βix-i-PDI=1αix+iand～k=r.在所有这些ex项中，～k是闭合的，且supp ort函数在～k上是连续的，即假设（2.6）成立。A.Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/6投资策略被约束保持在凸集K中。我们用~c和~H表示以下集合~c:={c=(ct)T∈[0,T]f-渐进可测，ct≥0dt dP a.e。和ztctdt<∞}，～H:={H=(Ht)T∈[0,T]f-渐进可测，rdvalue和H\'diag(S)-1∈L(S)和Ht∈K dt dP a.e.}，其中L(S)表示f-渐进可测过程的集合，rdvalue使得关于S的随机积分被我们定义。给定初始财富x≥0和策略(c，H)∈～c×～H，时间T的财富过程降低由:dxx,c,Ht=H\'tdiag(St)-1dst-ctdt,Xx,c,H=x给出的动力学。

(2.7)inves tor具有由效用函数U和U建模的偏好。我们将可接受策略集合定义如下：定义2.1(i)我们用A表示为所有过程的集合(c，∑)∈C×L+(FT)使得{ZTexp(γu(cs))ds族：c∈～c}=:Cad,（2.8）{exp(γu(ζ））：ζ∈L+(FT)}=:曾经，(2.9)对于所有γ>0的条件是一致可积的。(ii)给定初始财富x≥0,我们将集合A(x)定义为所有过程(c，ζ）的集合，且存在满足Xx,c,ht≥ζ的H∈~H。我们将假定(H3)控制集A是非空的。注2.1当效用函数u为对数时，假设(H3)是成立的。最优消费-投资问题被表述为v(x)=sup(c，ζ)∈A(x)Yx,c,ζ,x∈R+,(2.10),其中Yx,c,ζ=(Yx,c,ζt)0≤t≤tis由dyx,c,ζt=(δtyx,c,ζt=αu(ct)dt给出，Yx,c,ζt=(δtyx,c,ζt=αu(ct)dt+2βZx,c,ζtdt+Zx,c,ζ\'td w t(2.11)Yx,c,ζt=αu(ζ）。（2.12）下面的结果是BSDE(2.2)-(2.3)的一个s trict比较定理。定理2.1我们考虑了BSDE(2.2)-(2.3)的(Y，Z)和(Y，Z)的两个解，它们分别与(utu，uT)和(utu，u)有关。证明了效用过程(H2)在折扣因子(H1)和指数可积性上的有界性成立，且ut≤utdt dP a.e.,t∈[0,t],(2.13)ut≤utdp a.s.(2.14)a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/7则我们有≤Ytdt dP a.e.,t∈[0,t],且比较严格。若Y=Y，则Yt=Yt,t∈[0,t]dt dP a.e.特别地，如果P(ut<ut)>0或e[rt{uut<ut}dt]>0,则y<y。另外，我们得到了BSDE(2.11)-(2.12)解的一个连续性结果，这将有助于说明(c,ζ）→Yx,c,ζ的规律性，并证明动力学极大值原理。Faidi等人给出了证明。[9]（命题3.2pp.1024)并在附录中给出了对于完备s的sa ke的证明。命题2.1中我们假定效用过程(H2)的折现因子(H1)、指数可积性和控制集A的非空(H3)。设（c,ζ）∈A和（cn,ζN)N∈NAN.(i)若ζnζdP A.s.CNT ct,0≤t≤t,dt dP A.E。当n为in时，thenYx,cn,ζnt Yx,c,ζt,0≤t≤t,dt dP a.s.当n变为infirefity时。(ii)如果ζnζdP a.s。CNT ct,0≤t≤t,dt dP A.E。当n变为y时，thenYx,cn,ζnt Yx,c,ζt,0≤t≤t,dt dP a.s.当n变为n时。3。最优策略在这一节中，我们将讨论最优消费-投资策略的存在性和唯一性。根据布朗运动的鞅表示定理（见Karatzas和Shreve[11]),任何等价于P的概率测度在m:zv=e-z(θ+σ-1v)w，(3.1)中都有一个密度过程e ss,其中，在rd值f-渐进可测过程的集合N中，rtσ-1ttdt<∞P a.s。且E[zvt]=1。通过Girsanov定理，我们将过程（Vc,Ht)t≥0byvc,Ht:=zth\'sdiag(Ss)-1dss-ztcsds,在P'A=z'At·P下（Vc,Ht)t≥0的Doob-Meyer dec omposition是：Vc,Ht=zth\'sσs-ztcsds+a,Ht,t∈[0,t]，(3.2),其中w是一个P'A-布朗运动，且过程a,H=(a,Ht)0≤t≤tis给定bya,Ht:=rt(-H\'s,s)ds,0≤t≤t。我们引入了以下概率测度集：定义3.1(i)我们用P表示所有概率m的类具有以下性质：存在一个非递减可预测过程a,a,H=(a,Ht)0≤t≤t TATVC,Ht+ZTCSDS-AT,t∈[0,t],(3.3)a。Matoussi,H.Mezghani,M.

Mnif/8是对任意(c，H)∈～c×～H的p-局部s上鞅。(ii)由At(v)表示的上界过程是一个非递减可预测过程，且a(v)=0，s阿季斯(3.3)且(at-at(v))T∈[0，T](3.4)对满足（3.3）的所有非递减过程都是不递减的。因此，由f-ollmer和Kramkov([8]引理2.1)，概率测度pyen属于pif，且仅当半鞅Vc的Doob-Meyer分解中的所有可预测过程都存在一个上界，在我们的情况下由aü，H表示。在这种情况下，上变幅等于上界。由于[8]对Le MMA2.1的研究，我们给出了一个集合，它由以下所有的概率测度Pyen组成：对vàN(～k),其中(～k):={vàN:'A∈~k和Ztδsupp('At)dt<∞}。上变分过程由:at(Ⅴ)=Ztδsupp('As)ds,t∈[0,t]给出，我们的结果是:η>1和η>1。我们用gequi:={g:[0,T]→rds.T.δsupp(g)是关于[0,T]}上的L ebesgue测度的等可积的，θad={§∈N(～k)s.T.supv'Ae[(z'AT)η]<∞,supv'Ae[(z'AT)1-η]<∞和§gequip.a.s}。我们用p表示元素p'A∈p:p={p'A∈p，使得，ad}注3.1需要这样的限制来刻画消费投资的最优策略（见定理4.1）。Pham[15]也是这样，为了得到支配随机变量ζ的对偶特征N FT-可由受控过程测量，即。存在一个用（c,H）表示的可容许的消费-投资关系式，使得ζ≤Xu,c,HT,我们将对所有的P§∈P,(3.5)ess INFP§∈PEP§[AT(Ⅴ)Ft]在（t,w）中证明。（3.6）所有这些条件都在la st部分的例子中得到了满足。在3.1中，我们假定控制集A是非空的(H3)。设x∈R+和(c,ζ）∈～c×L+(FT)。则存在H∈～H使得ζ≤Xx,c,HTif且仅有ifv(c,ζ）:=supp'A∈pep'A\"ζ+ztctdt-at(v)#≤x。(3.7)a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/9proof。必要条件。我们考虑（c,ζ）∈～c×L+(FT)和P≈P。存在H∈～H，使得ζ≤Xx,c,HT。由于Xx,c,h.+r.ctdt-a.(Ⅴ)是一个pc-局部上鞅，当n进入时，存在一个停止时间(τn)n∈n∞序列，即ep'A\"Xx,c,HTàτn+ztàτnctdt-atàτn(Ⅴ)#≤x。由条件（3.5）,(AT(Ⅴ))tn的非递减性质，由于Xx,c,HT+rtcsds是非负的，Fatou引理得到了tlim infn→∞ep“Xx,c,HTàτn+ztàτnctdt-atóτn(Ⅴ)#≥ep”lim infn→∞Xx,c,HTτn+ztóτnctdt-atóτn(Ⅴ)\\#。我们有Tóτntdp a.s。当n为In时，在τn(Ⅴ)AT(Ⅴ)dP a.s.处。我们推导出：对于所有的p'A∈P,Ep'A\"xx,c,ht+ztctdt-at(v)#≤x。这表明v(c，ζ）≤x.su.cient条件。考虑随机va-riable g=ζ+rtctdt。当CeV(c,ζ）=supp'A∈PEP§[g-at(Ⅴ)]≤x<∞时，通过F-Ollmer和K-Ramkov[8]的随机控制Le mma a.1,存在过程的Rcllv:Vt=ess supp'A∈PEP§[g-at(Ⅴ)+AT(Ⅴ)ft]0≤t≤t≤t(3.8)而且，对于任意P^aP，过程(Vt-at(Ⅴ))t∈[0,t]是P'A-局部上鞅。根据条件(3.6)，该过程V从下有界。利用Féollmer和Kramkov约束下的可选分解（见他们的定理3.1),过程V允许这样一个构型:Vt=V(c,ζ）+Ut-ct,t∈[0,t],其中U∈～s:={Xx,c,H+rcdt-x,c∈～c,H∈～H},且c是一个（可选的）c=0的非递减过程。因此存在H∈～H使得（c,Xx,c,HT)∈A(x)且vt≤Xx,c,HT+ztcsds,A.s.0≤t≤t(3.9)利用t=t的方程（3.8）和不等式(3.9)，我们得到了vt:=ζ+ztctdt≤Xx,c,ht+ztcsds,0≤t≤t,所以ζ≤Xx,c,ht，其中H∈～H,并结束了证明。作为最后一个命题的直接结果，我们对于可容许策略集a(x)有一个集合P的必要条件。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/10推论3.1我们假定控制集A是非空的(H3)。对于所有x∈R+，A(x)是非空的当且仅当v(0,0)=supp§pep§[-at(v)]≤x。证明。假定A(x)是非空的。

然后，有exists H∈～H使得ζ=0≤Xx,0,ht.由命题3.1,我们有v(0,0)≤x。反过来，假设v(0,0)≤x。根据假设3.1,e存在H∈～H,使得ζ=0≤Xx,0,ht，特别是A(x)是非空的。我们需要以下与setA(x)的贴近性和凸性有关的技术引理。我们假定效用函数满足下列条件:(H4)(i)U:R+-→R和u：R+-→R分别与集合{U<∞}和{U<∞}有关，(ii)U和U满足通常的Inada条件，即U′(∞)=μU′(∞)=0和U′(0)=μU′(0)=∞。我们还假定效用函数(H5)的abs olute值对于所有λ∈[0,1],z≥0,z≥0,我们有U(λz+(1-λ)z)≤max(U(z),U(z))和U(λz+(1-λ)z)≤max(U(z),U(z))。注3.2效用函数函数(H5)绝对值的拟凹性为U(z)=U(z)=log(z)或U(z)=U(z)=zηη，η∈(0,1）。引理3.1我们假定控制集A是非空(H3)且x≥v(0,0）。setA(x)对于几乎处处收敛拓扑是闭的。证明。我们考虑一个数列(cn，ζn)n∈a，使得ζn-→ζdP a.s。利用Fatou引理，利用族exp(γ_u(ζn))n的一致可积性，得到了Ep[exp(γ_u(ζ))]≤supnep[exp(γ_u(ζn))]<∞。（3.10）通过族exp(γμu(ζn))NAND的一致可积性，当P(a)≤ζ时，则e存在ζ>0，从而在(3.10)-(3.11)中导出zaexp(γμu(ζn))dP≤1，从而导出zaexp(γμu(ζn))dP≤φ(3.11)的有界性和ζ的等可积性。这表明ζ是had。同样地，通过Fatou引理，我们得到了Ep'A\"ζ+ZT ctdt-at(Ⅴ)#≤lim infn-→∞Ep'A\"ζn+ZTCNtdt-at(Ⅴ)#≤x，这意味着v(c，ζ）≤x。从刻画（3.7）中，我们推导出（c,ζ）∈A(x)，从而证明了集合A(x)的贴近性。引理3.2我们假定控制集A是n个空的(H3)，x≥v(0,0）且效用函数(H5)的绝对值的拟凹性成立，则集A(x)是凸的。Matoussi,H.Mezghani,M.MNIF/11 Proof。我们取（c,ζ）∈A(x),（c,ζ）∈A(x)和λ∈[0,1]。从效用函数(H5)绝对值的拟凹性出发，利用Cauchy Schwartz不等式，我们得到了所有γ>0eP[exp(γ_u(λζ+(1-λ)ζ）]≤qeP[exp(2γ)u(ζ）)]qeP[exp(2γ)u(ζ）]≤suphadeP[exp(2γ)u(ζ）]<∞。类似地，λC+(1-λ)C∈CAD。这表明了A的凸性。A(x)的凸性跟随A的凸性和命题3.1。引理3.3我们假定控制集A是非空(H3)且x≥v(0,0）。当P≥1时，概率测度q*的密度z*在Lp(P)中。证明。由方程(2.11)给出的Yx,c,ζ的动力学，我们得到了-β(Yx,c,ζt-yx,c,ζs-αU(s))+βzt(δsyx,c,ζs-αU(s))ds=-2βztzx,c,ζsds-βztzx,c,ζs-αU(s)dsI=EPh(z*t)pi。由于Y∈Dexpand(U(ct)0≤t≤t∈Dexp，结果如下。下一个结果与泛函（c,ζ）-→Yx,c,ζ的凹性和上半连续性有关。在3.2上我们假定控制集A是非空(H3)且x≥v(0,0）,在效用函数(H4)的标准假设下，泛函（c,ζ）-→Yx,c,ζ是严格凹的和上半连续性的。对于测度dt dP,我们取xλ∈(0,1）,(c,ζ）∈A(x)和(c,ζ）∈A(x),使得P(ζ6=ζ）>0 orct6=ctver非零集。然后通过setA(x)的凸性，我们得到了(λc+(1-λ)c,λζ+(1-λ)ζ）∈A(x)和(Yx,λc+(1-λ)c,λζ+(1-λ)ζ,Zx,λc+(1-λ)c,λζ+(1-λ)ζ）是与(U(λc+(1-λ)c),U(λζ+(1-λ)ζ）相关联的BSDE(2.11)-(2.12)的解。

我们集合ct=u-1(λU(ct)+(1-λ)U(ct))，t∈[0,t]和ut=u-1(λU(ζ）+(1-λ)U(ζ））。由于对效用函数(H4)的标准假设，c和ζ被很好地定义了。从U和U的凹性出发，我们得到U(λct+(1-λ)ct)≥λU(ct)+(1-λ)U(ct)=U(.ct)dt dP a.e.,t∈[0,t]和U(λζ+(1-λ)ζ≥λU(ζ)+(1-λ)U(ζ）=μU(∑)dP a.s。比较定理（见定理2.1）产生syx,λc+(1-λ)c,λζ+(1-λ)ζt≥Yx,c，ζtdt dP a.e.,t∈[0,t]。(3.12)a。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/12从Yx,c,ζT（见eq uuration（2.1））Yx,c,ζT=ess infq∈qf sδteqhztαsδsu（cs）ds+αsδtu（s）fti+βeqhrδT,T(Q)fti≥λess infq∈qf sδteqhztαsδsu（cs）ds+αsδtu（cs）fti+βeqhrδT,T(Q)fti+(1-λ)ess infq∈qf sδteqhztαsδsu（cs）ds+αsδT′u(ζ）fti+βeqhrδT,T(Q)fti=λYx,c,ζT+(1-λ)Yx,c,ζT。（3.13）由（3.12）和（3.13）推导出Yx,λc+(1-λ)c,λζ+(1-λ)ζ≥λYx,c,ζ+(1-λ)Yx,c,ζ。（3.14）从效用函数的严格凹性出发，我们得到了关于测度dt dP的非空集上的P(μU(λζ+(1-λ)ζ)>λU(ζ)+(1-λ)U(ζ)>0或U(λct+(1-λ)ct)>λU(ct)+(1-λ)U(ct)。比较定理（见定理2.1）得出syx,λc+(1-λ)c,λζ+(1-λ)ζ>λYx,c,ζ+(1-λ)Yx,c,ζ。这表明了(c,ζ）-→Yx,c,ζ的严格凹性。我们转向Yx,c,ζ的上半连续性。Le t(cn,ζn)∈A(x)使得cnt-→ct,dt dpa.e.,t∈[0,t]和ζn-→ζdP A.s。从引理3.1，我们得到(c，ζ）∈A(x)。我们设~cn=supm≥ncmand~ζn=supm≥nζm。则～ζnζdP a.s。和～CNT ct,0≤t≤t,dt dP A.E。当n进入时。从命题2.1我们推导出那么Yx，～cn，～ζn Yx，c，ζ。另一方面，我们有～ζn≥ζnand～cn≥cn，所以c omparison定理（见定理2.1）得到Yx,～cn,～ζn≥Yx,cn,ζn，这意味着limnYx,～cn,～ζn≥limnsup Yx,cn,ζn。这表明Yx,c,ζ≥limnsup Yx,cn,ζ与so（c,ζ）-→Yx,c,ζ是上半连续的。引理3.4假设折现因子有界(H1),控制集A不归约为空策略(H3),且x≥v(0,0）。我们有Up(c,ζ）∈A(x)Yx,c,ζ<∞。（3.15）证明。从Yx,c,ζ的认识出发，利用盘形因子(H1)上的有界性，我们得到了Yx,c,ζ≤ep[ztαsδsu(cs)ds+αsδtu(ζ）]≤c ep[ztu(cs)ds+U(ζ）]。由于对所有y≥0,我们有U(y)≤c(1+ex p U(y))和U(y)≤c(1+exp U(y))，因此从族（2.8）和（2.9）的一致可积性出发。我们的下一个结果是问题唯一解的存在性（2.10）。唯一性是因为(c,ζ）-→Yx,c,ζ是严格凹的。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/13定理3.1我们假定discoun ting因子是boun的(H1),控制集为非空的(H3),效用函数满足通常条件(H4),效用函数的绝对值是拟凹的(H5),且x≥v(0,0）。存在（2.10）的唯一解(C*,ζ）∈a(x)。证明。Le t(cn,ζn)n∈A(x)是问题(2.10)limn→∞Yx,cn,ζn=sup(c,ζ）∈A(x)Yx,c,ζ,(3.16)的一个极大数列，该数列由引理3.4确定。由于ζn≥0dP A.s,cnt≥0dt dP A.s,则由Delbaen和Schacher meyer[5]的引理A.1.1,存在一个数列(cn,ζn)∈conv((cn,ζn),(cn+1,ζn+1）,...）,使得(cn,ζn)几乎可以归结为(c*,ζ)∈c×L+(FT)。利用引理3.1-3.2，我们有(cn，ζn)∈A(x)和(c*,ζ)∈A(x)。由命题3.2得到泛函(c，ζ)-→Yx,c,ζ是凹的，且sosup(c，ζ)∈A(x)Yx,c,ζ≤lim supn→∞Yx,cn,ζ。由命题3.2得到泛函(c，ζ）-→Yx,c,ζ是上半连续的，且solim supn→∞Yx,cn,ζn≤Yx,c*,ζ解（2.10）。4.对偶性与动态最大原理本节的目的是通过对偶形式给出问题（2.10）的解的结构。

实际上，在下卧模型已知的情况下，通过对共轭函数u~u的理解，我们得到了u(Xx,HT)≤~u(yz,T)+yz,txx,HT。如果(z,txx,HT)T∈[0,T]是P下的上鞅，我们得到了e[z,txx,HT]≤x,这意味着他[u(Xx,HT)]≤inf,e[~u(yz,T)]+xy。如果我们得到h*和v*使得我们在后一个方程中对于某个y*具有相等性，则v*是对偶问题的解。在我们的情况下，q*下的判据n和共轭函数的使用是不适用的。事实上，我们有z*T′u(Xx,HT)≤z*T～u(yzT)+yz*tztxx,HT，因此(z*tztxx,HT)T∈[0,T]的上鞅性质一般不成立。我们将使用二元性的论点。首先，我们将证明存在一个概率测度～P*等价于问题V(C*,ζ）=SUPP§PEP§ζ+Ztc(R)Tdt-at(Ⅴ)#的概率测度P解。（4.1）然后，我们将证明预算约束是等式的，这是效用函数的严格一致性和比较定理的结果。我们从下面的Lemma.a开始。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/14引理4.1凸的概率测度集Pis凸，凸函数P'A-→eP§[at(Ⅴ)]是凸的，证明了P'A，P'A∈P，z'A，z'A，它们的密度过程，α∈[0,1]并用P~'A·P表示概率测度P~'A=αP'A+(1-α)P，用z~'A，表示它的密度过程。考虑PR-OCESSAP～definned byap～t=αztzvuz～utau(v)+(1-α)ztzvuz～utau(v)0≤t≤t(4.2)从（3.4）,我们有AT(~)≤AP~t，这意味着，在(～Ⅴ)≤αZtzvuz～utau(v)+(1-α)Ztzvuz～utau(v)0≤t≤t，0≤zviuz～utu≤1,对于i=1，2、我们得到，在(~Ⅴ)≤αZtdAu(Ⅴ)+(1-α)ZtdAu(Ⅴ)0≤t≤t≤αAT(Ⅴ)+(1-α)AT(Ⅴ)。我们有vi∈N(~k),这意味着，当i=1,2时，在(vi)<+∞处，因此在(~v)<+∞处。从函数Z-→zη的凸性出发，利用对P的认识，我们得到了[(z~Ⅴt)η]≤αe[(z'At)η]+(1-α)E[(z'At)η]≤sup'Ae[(z'At)η]<∞。同样，从函数Z-→Z1-η，其中η>1的凸性出发，我们得到了E[(z~'At)1-η]≤sup'Ae[(z'At)1-η]<∞。为了检验等积点，对于所有I=[t，T]和[0,T]，我们有zttδsupp(～'At)dt=At(～'A)-At(～'A)≤ap～ut-ap～ut≤zttδsupp('At)dt+zttδsupp('At)dt，第一个不等式由（3.4）导出，第二个不等式由方程（4.2）导出，并利用等式z～vt=αz'A1t+(1-α)z'A2t,若λ(I)≤0,则δsupp(Ⅴt)dt≤0,若λ(I)≤0,则δsupp(Ⅴt)dt≤0,若λ(I)≤0,则δsupp(Ⅴt)dt≤0,取φ=inf(p,p）,则δsupp(～ut)dt≤0,这表明δsupp(～ut)dt≤0,证明了δsupp(～ut)dt≤0,δsupp(～ut)dt≤0,δsupp(～ut)dt≤0,δsupp(～ut)dt≤0,δsupp(Ⅳt)dt≤0的等积性关于Lebesgue测度及P的凸性，从不等式AT(~Ⅴ)≤ap~Ⅴt中，我们得到了p~Ⅴ(~Ⅴ)≤αePⅤ1(Ⅴ1)+(1-α)ePⅤ2(Ⅴ),从而导出了函数p'A∈p-→ePⅤ)AT(pⅤ)的凸性。a.Matoussi,H.Mezghani,m.Mnif/15下面的Theore m表明存在一个与问题（4.1）的概率测度P*等价的概率测度。具有r espect顶的~P*的密度过程为P-鞅~z^=(~z^t)0≤t≤twith~z^t=ephd~P^dp fti；t∈[0,t],dt dP,a.e.（4.3）假定容许策略集(H6)if(c，ζ)∈A(x),则(c+α，ζ+α)∈A(x)对于任意α>0和α>0是平移稳定性的。注4.1如果效用函数是次加的，则证明了容许策略集(H6)的平移稳定性。定理4.1我们是xx≥v(0,0）。假设折扣因子有界(H1),控制项A为非空(H3),效用函数满足通常条件(H4),效用函数的绝对值拟凹(H5),容许策略(H6)的平移稳定性成立。

然后，存在一个概率测度～put∑psuchthatsupp§∈pep'A\"ζ+ztctdt-at(Ⅴ)#=e～pé“ζ+ztctdt-at(Ⅴ)#，(4.4)，且预算约束是等式的，即supp'A∈pep'A\"ζ+ztctdt-at(Ⅴ)#=x。（4.5）证明：设F(p'A)和G(p'A)由以下泛函定义:F(p'A)=ζ+Ztctdt-at(Ⅴ),和G(p'A)=Ep'AF(p'A)。第一步：设(P'An)n∈NBE是P_n中的一个序列，使得:limn-→+∞G(p'An)=SUPp'A∈PG(p'A)<∞。并用Zn=Zp'An表示相应的密度过程。由于每个ZnT≥0,从Komlos定理可以看出，对于每个n∈n存在一个序列((ZnT)n∈n，且((ZnT)n∈n∈conv(ZnT，zn+1t,...）,使得((ZnT)c在P.a.s上与某个随机变量((z∞t)一致，该随机变量也是非负的，但可以取值+∞。由于p_1是凸的，每个z_n又与某个p_n相关，该p_n根据de la vall eepoussin的判据，((ZnT)n∈NIS一致可积，因而收敛于L(P)。这意味着limn-→∞eP[_znt]=eP[_z∞t]=1，所以d_p∞=_z∞tdp是一个关于P绝对连续的概率度量。我们得到以下停止时间:τ∞=inf{t≥0s.t._z∞t=0}。从过程的连续性质出发，在集合A:={τ∞≤T}上，我们得到了过程的连续性质。利用_z∞的Artingale性质，我们推导出_p∞(A)=ep[_z∞τ∞A]=0。从不等式pn(A)-_p∞(A)≤ep[(nt-)z∞t1a]≤ep[(nt-)z∞t]，A。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/16,由于zntconver to.z∞tin L(P),我们推导出limn-→∞？pn(A)=0。因为P和pna是等价概率，所以我们有P(A)=e·pn[[znta]≤(e·pn[(.znt)-η])η·pn(A)1-η≤(Ep[(.znt)1-η])η·pn(A)1-η。从集合P的认识来看，由于ep[((.znt)1-η]是等价概率，所以存在一个正常数c，使得P(A)≤c·pn(A)1-η。将n发送到infirenity，我们得出P(A)=0andso_p∞是与P相等的概率measure。第二步：我们将证明，对于所有的P'A，G(P∞)≥G(P'A)，由于我们知道((znt)nconver ges to z∞在L(P)中，doob的最大不等式P[sup0≤t≤t_z∞t-znt≥]≤ep[z∞t-znt]在P-概率中蕴涵tha t(sup0≤t≤t_z∞t-znt)n∈nconver ges to 0。对于仍由((zn)n∈n表示的子序列，我们可以假定(sup0≤t≤t_z∞t-znt)n∈n to 0 p-a.s，设mnt:=sup0≤s≤t_z_∞s-_zns和(τn)一个由τn=(inf{t∈[0,t）限定的停止时间序列；mnt≥1}如果{t∈[0,t）；Mnt≥1}6=θt。由于Mnτnis以Mnt:/1为界，则Mnτnconver几乎肯定为0，并且根据支配的conver散度定理，在L(P)中收敛为0。那么，用Burkholder Davis Gundy ine QualityH_z∞-zniτnconver在L(P)中取0,在概率上取a fortiori。当H_z∞-znit=H_z∞-zniτn{τn=T}+H_z∞-znit{τn=T}+H_z∞-znit{τn=T}，则对于a llε>0,P(H_z∞-znit≥ε)≤P(H_z∞-zniτn{τn=T}≥ε)+P(H_z∞-znit{τn<T}≥ε)≤P(H_z∞-zniτn{τn<T}≥ε)≤P(H_z∞-取MnIτn)n,我们有limn→+∞P(h_z∞-znIτn≥ε)=0。由于Mnis是一个递增过程，我们有P(τn<T)=P({}T∈[0,T)s.T mnt≥1}）≤P（{mnt≥1}）,由于mnt≥1},我们有P（{mnt≥1}）-→n→+∞0。则LiMn→+∞p(τn<t)=0，因此LiMn→+∞p(h_z∞-_znit≥ε)=0，即(h_z∞-_znit)nconver不概率为0。我们可以提取一个子序列，也可以用zn表示，这样(h_z∞-_znit)nconver几乎肯定是0。另一方面，我们有，_P∞等价于P，w hich意味着_z∞t>0 P a.s。并且我们已经有了v∞∈N，这样我们就有了z∞t=et-r(θ+σ-1v∞)w，我们就有了w，我们就有了w，我们就有了t=t=et-r(θ+σ-1）。它得到，当n到n时，我们有z∞-z nit=zt(\'znt(θt+σ-1tínt)-\'z∞t(θt+σ-1t∞t))du-→0。由于zn-→z∞dt dp-A.E，我们有了。支持函数δsupp的连续性（见假设2.6）得到δsupp(μn)c与δsupp(Ⅵ∞)dt dp-A.E一致。从集合P的认识出发，δsupp(Ⅵn)nis等积。Matoussi,H.Mezghani,M.Mnif/17关于Lebesgue测度，我们得到了Ztδsupp(Ⅵnt)dt-→Ztδsupp(Ⅵ∞t)dt,p-a.s.当n→∞时。